Дробно-рациональные выражения · урок 14 из 17 · практикум

Практикум:
возведение
алгебраической
дроби в степень

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG8U-068

1 мин · теория
Паспорт: R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения» (17 ч), урок 14/17, единица R04.7 «Возведение алгебраической дроби в степень». Тип П (практикум). Вчера (ALG8U-067) — практикум по четырём действиям с дробями; завтра (ALG8U-069) — практикум «Рациональные выражения».
Хронометраж (45 мин): Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Теория: титул 1 · цели 1 · правило 2 (сл. 4) · образцы типов 1–4: 2 + 2 + 2 + 3 (сл. 6, 8, 11, 13). Практика: разминка 2 (сл. 3) · блиц по правилу 2 (сл. 5) · тип 1 сами 3 (сл. 7) · тип 2 сами 3 (сл. 9) · самопроверка типов 1–2 3 (сл. 10) · тип 3 сами 3 (сл. 12) · тип 4 сами 2 (сл. 14) · найди ошибку 2 (сл. 15) · тренировка с самопроверкой 3 (сл. 16) · самостоятельная работа 5 (сл. 17) · ОГЭ 2 (сл. 18) · рефлексия и ДЗ 2 (сл. 19).
Рисунок: дробь в скобках с показателем n и растущие квадраты — степень «раздувает» и числитель, и знаменатель.

R04.7

Цели практикума

Четыре типа заданий — четыре умения

1Знак и коэффициент

возводить дробь с минусом и числовыми множителями без потерь (ПР-11)

2Цепочки

степень + умножение и деление дробей в одном выражении (ПР-11, ПР-12)

3Сначала сократить

разложить, сократить, потом возвести и вычислить (ПР-9, ПР-10)

4Исследовать

сравнивать $q^{2}$ и $q^{3}$ , где $q$ — дробь с переменной (ПР-12, ПР-13)

1 мин · теория
ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях». ПР-10: «Применять основное свойство рациональной дроби». ПР-11: «Выполнять приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сложение, умножение, деление алгебраических дробей». ПР-12: «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений». ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач…».
Виды деятельности ФРП: «Выполнять действия с алгебраическими дробями», «Применять преобразования выражений для решения задач».
Каждый тип: образец по шагам (учитель) → задания того же типа (ученики); после типов 1–2 — слайд самопроверки, в конце — тренировка, самостоятельная работа в двух вариантах и ОГЭ.

повторение: степени 7 кл., ALG8U-067

Разминка · свойства степени

Пять примеров — устно

Задание	Ответ	Свойство
$a^{5} \cdot a^{3}$	$a^{8}$	$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$
$(a^{4})^{3}$	$a^{12}$	$(a^{m})^{n} = a^{mn}$
$(- 3 a b^{2})^{3}$	$- 27 a^{3} b^{6}$	$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$
$(- 1)^{100}$ и $(- 1)^{101}$	$1$ и $- 1$	чётность
$a^{10} : a^{4}$	$a^{6}$	$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$

(- a)^{2 k} = a^{2 k}

(- a)^{2 k + 1} = - a^{2 k + 1}

Чётная степень «съедает» минус, нечётная — сохраняет

R04.7

Правило · откуда оно

Степень дроби — по определению степени

R04.7

Образец → сам · устно

Блиц: возведите дробь в степень

1

(\frac{x}{3})^{2}

= \frac{x ^{2}}{9}

2

(- \frac{a}{b})^{3}

= - \frac{a ^{3}}{b ^{3}}

3

(\frac{2}{y})^{4}

= \frac{16}{y ^{4}}

4

(\frac{a ^{2}}{b ^{3}})^{2}

= \frac{a ^{4}}{b ^{6}}

5

(- \frac{3 m}{n ^{2}})^{2}

= \frac{9 m ^{2}}{n ^{4}}

6

(- \frac{1}{2 c})^{5}

= - \frac{1}{32 c ^{5}}

R04.7 · тип 1

Тип 1 · образец · знак и коэффициент

Возведите в степень: $(- \frac{2 x ^{2} y}{3 z ^{3}})^{3}$

R04.7 · тип 1

Тип 1 · решите сами

Знак → числа → буквы

а) $(- \frac{3 a ^{3}}{2 b ^{2}})^{4}$

знак:

(- 1)^{4} = 1

чётная степень

3^{4} = 81, 2^{4} = 16

\frac{81 a ^{12}}{16 b ^{8}}

б) $(\frac{x ^{2}}{- 2 y})^{5}$

знак: минус в знаменателе,

5

— нечётная

2^{5} = 32, (x^{2})^{5} = x^{10}

- \frac{x ^{10}}{32 y ^{5}}

Углублённо: при каком натуральном

n

верно

(\frac{2 x ^{2}}{y ^{3}})^{n} = \frac{32 x ^{10}}{y ^{15}}

?

R04.6 · R04.7 · тип 2

Тип 2 · образец · степень в цепочке

Упростите $(\frac{2 a ^{2}}{b ^{3}})^{3} : (\frac{4 a ^{5}}{b ^{4}})^{2}$

1) степени:

\frac{8 a ^{6}}{b ^{9}} : \frac{16 a ^{10}}{b ^{8}}

2) деление → умножение:

\frac{8 a ^{6}}{b ^{9}} \cdot \frac{b ^{8}}{16 a ^{10}}

3) сокращение:

\frac{8}{16} \cdot \frac{a ^{6}}{a ^{10}} \cdot \frac{b ^{8}}{b ^{9}}

= \frac{1}{2 a ^{4} b}

a \neq = 0, b \neq = 0

R04.6 · R04.7 · тип 2

Тип 2 · решите сами

Степени → умножение → сокращение

а) $(\frac{x ^{2}}{3 y})^{3} \cdot (\frac{9 y ^{2}}{x ^{3}})^{2}$

\frac{x ^{6}}{27 y ^{3}} \cdot \frac{81 y ^{4}}{x ^{6}}

= 3 y

x \neq = 0, y \neq = 0

б) $(\frac{a ^{2} - b ^{2}}{ab})^{2} : (\frac{a + b}{a})^{3}$

\frac{( a - b ) ^{2} ( a + b ) ^{2}}{a ^{2} b ^{2}} \cdot \frac{a ^{3}}{( a + b ) ^{3}}

= \frac{a ( a - b ) ^{2}}{b ^{2} ( a + b )}

В б) сначала разложите

a^{2} - b^{2}

— иначе не увидите, что сокращать

R04.6 · R04.7 · типы 1–2

Задания с самопроверкой · типы 1–2

Решите и сверьте ответ

База

$(- \frac{2 a ^{3}}{5 b})^{2}$ $= \frac{4 a ^{6}}{25 b ^{2}}$
$(\frac{3 x}{y ^{2}})^{3}$ $= \frac{27 x ^{3}}{y ^{6}}$
$(\frac{a ^{2}}{2 b})^{3} \cdot \frac{4 b ^{2}}{a ^{5}}$ $= \frac{a}{2 b}$

Повышенный уровень

$(\frac{x ^{3}}{y})^{2} : (\frac{x ^{2}}{y ^{3}})^{3}$ $= y^{7}$
$(- \frac{m}{2 n})^{3} \cdot (\frac{4 n ^{2}}{m})^{2}$ $= - 2 mn$
Найдите $n$ : $(- \frac{2 a ^{2}}{b})^{n} = \frac{16 a ^{8}}{b ^{4}}$ $n = 4$

3 мин · практика
Каждый решает в тетради свой уровень (база или повышенный), ответы учитель открывает по клику — проверка всем классом, ученики ставят «+» или «−».
1) (−2)² = 4, 5² = 25 → 4a⁶/(25b²). Проверка a = b = 1: (−2/5)² = 4/25 ✓.
2) 27x³/y⁶. Проверка x = y = 1: 3³ = 27 ✓.
3) a⁶/(8b³) · 4b²/a⁵ = a/(2b), a ≠ 0, b ≠ 0. Проверка a = 2, b = 1: (4/2)³ = 8; 8 · 4/32 = 1; 2/2 = 1 ✓.
4) x⁶/y² · y⁹/x⁶ = y⁷, x ≠ 0, y ≠ 0. Проверка x = 1, y = 2: (1/2)² = 1/4; (1/8)³ = 1/512; (1/4) : (1/512) = 128 = 2⁷ ✓.
5) −m³/(8n³) · 16n⁴/m² = −2mn, m ≠ 0, n ≠ 0. Проверка m = n = 1: −1/8 · 16 = −2 ✓.
6) 2ⁿ = 16 → n = 4; степень чётная — знак «+» ✓; a: 2 · 4 = 8 ✓; b⁴ ✓.

R04.4 · R04.5 · R04.7 · тип 3

Тип 3 · образец · сначала сократить

Найдите значение $(\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 4 x + 4})^{3}$ при $x = - 1$

1) запреты:

(x + 2)^{2} \neq = 0 \Rightarrow x \neq = - 2

2)

\frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{x - 2}{x + 2}

3)

(\frac{- 3}{1})^{3}

= - 27

R04.4 · R04.5 · R04.7 · тип 3

Тип 3 · решите сами

Разложить → сократить → возвести → подставить

а) $(\frac{a ^{2} - 9}{a ^{2} - 6 a + 9})^{2}$ при $a = 5$

\frac{( a - 3 ) ( a + 3 )}{( a - 3 ) ^{2}} = \frac{a + 3}{a - 3}

a \neq = 3

(\frac{8}{2})^{2} = 16

б) $(\frac{x ^{3} - x}{x ^{2} + x})^{5}$ при $x = 3$

\frac{x ( x - 1 ) ( x + 1 )}{x ( x + 1 )} = x - 1

x \neq = 0, x \neq = - 1

(\frac{8}{2})^{2} 2^{5} = 32

Ловушка в б): при

x = 0

ответ «

(- 1)^{5} = - 1

» неверен — выражение не имеет смысла

R04.7 · ПР-13 · тип 4

Тип 4 · образец · исследование

Что больше: $q^{2}$ или $q^{3}$ , где $q = \frac{x}{x + 1}$ ?

3 мин · теория
Учитель разбирает сам. Идея: не возводить дробь с x, а исследовать основание q. Доказательство: q³ − q² = q²(q − 1); q² > 0 при q ≠ 0, значит знак разности совпадает со знаком q − 1.
Проверка числами: x = 1: q = 1/2, q² = 1/4 > q³ = 1/8 ✓. x = −3: q = −3/(−2) = 1,5, q² = 2,25 < q³ = 3,375 ✓. x = −0,5: q = −0,5/0,5 = −1, q³ = −1 < q² = 1 ✓.
Сильным: при каких x будет q³ > q²? q > 1: $\frac{x}{x + 1} - 1 = \frac{- 1}{x + 1} > 0$ ⇔ x + 1 < 0 ⇔ x < −1. При x = 0 (q = 0) степени равны.
Ошибка: «куб всегда больше квадрата» — неверно для 0 < q < 1 и q < 0.

R04.7 · ПР-13 · тип 4

Тип 4 · решите сами

Сравните $q^{2}$ и $q^{3}$ , где $q = \frac{x}{x - 2}$

$x$	$q$	Что больше?
$3$	$3$	$q^{3} > q^{2}$ ( $27 > 9$ )
$1$	$- 1$	$q^{3} < q^{2}$ ( $- 1 < 1$ )
$- 2$	$0, 5$	$q^{3} < q^{2}$ ( $\frac{1}{8} < \frac{1}{4}$ )
$0$	$0$	$q^{3} = q^{2}$

Повышенный уровень

При каких $x$ верно $q^{3} > q^{2}$ ?

$q > 1$ : $q - 1 = \frac{2}{x - 2} > 0$

$x > 2$

R04.7

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$(\frac{2 a}{b})^{3} = \frac{2 a ^{3}}{b ^{3}}$	не возведён коэффициент	$\frac{8 a ^{3}}{b ^{3}}$
$(- \frac{x}{y})^{4} = - \frac{x ^{4}}{y ^{4}}$	чётная степень	$\frac{x ^{4}}{y ^{4}}$
$(\frac{a ^{2}}{b})^{3} = \frac{a ^{5}}{b ^{3}}$	сложили показатели	$\frac{a ^{6}}{b ^{3}}$
$(\frac{a + b}{c})^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{c ^{2}}$	квадрат суммы	$\frac{( a + b ) ^{2}}{c ^{2}}$
$- (\frac{a}{b})^{2} = \frac{a ^{2}}{b ^{2}}$	минус вне скобок	$- \frac{a ^{2}}{b ^{2}}$

R04.7

Задания с самопроверкой · все четыре типа

Шесть заданий от базы к исследованию

базаВозведите в степень: $(- \frac{5 m ^{2}}{2 n ^{3}})^{3}$ .
базаУпростите: $(\frac{a ^{3}}{3 b})^{2} \cdot \frac{9 b ^{3}}{a ^{5}}$ .
повыш.Найдите значение $(\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 2 x + 1})^{4}$ при $x = 3$ .
повыш.При каком $n$ : $(\frac{3 a ^{n}}{b ^{2}})^{3} = \frac{27 a ^{12}}{b ^{6}}$ ?
практикаРебро куба $\frac{2 a}{3 b}$ см. Запишите объём; найдите его при $a = 3, b = 2$ .
повыш. $\frac{x}{y} = 3$ . Найдите $(\frac{x ^{2} + y ^{2}}{x y})^{2}$ .

Ответы

1) $- \frac{125 m ^{6}}{8 n ^{9}}$

2) $ab$

3) $\frac{1}{16}$

4) $n = 4$

5) $\frac{8 a ^{3}}{27 b ^{3}}$ ; $1$ см³

6) $\frac{100}{9}$

3 мин · практика
Каждый выбирает 3–4 задания своего уровня; ответы открываются по одному по клику. Подсказки (говорит учитель): 3) сначала сократите; 4) 3n = 12; 6) (x² + y²)/(xy) = x/y + y/x.
1) $- \frac{125 m ^{6}}{8 n ^{9}}$ . Проверка m = n = 1: (−5/2)³ = −125/8 ✓.
2) $\frac{a ^{6}}{9 b ^{2}} \cdot \frac{9 b ^{3}}{a ^{5}} = ab$ (a ≠ 0, b ≠ 0). Проверка a = 1, b = 1: 1/9 · 9 = 1 ✓.
3) $\frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{x - 1}{x + 1}$ , x ≠ −1; при x = 3: (2/4)⁴ = 1/16. Проверка: 8/16 = 1/2 ✓.
4) 3n = 12 → n = 4; 3³ = 27 ✓, (b²)³ = b⁶ ✓.
5) $V = \frac{8 a ^{3}}{27 b ^{3}}$ ; при a = 3, b = 2: 8 · 27/(27 · 8) = 1 см³ (ребро 6/6 = 1 ✓).
6) (3 + 1/3)² = (10/3)² = 100/9. Проверка x = 3, y = 1: (10/3)² ✓.

R04.7

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта

Вариант 1

$(- \frac{3 a ^{2}}{2 b})^{3}$ $= - \frac{27 a ^{6}}{8 b ^{3}}$
$(\frac{x ^{2}}{2 y})^{3} : \frac{x ^{5}}{4 y ^{2}}$ $= \frac{x}{2 y}$
$(\frac{a ^{2} - 4}{a ^{2} - 4 a + 4})^{2}$ при $a = 4$ $9$
$q = \frac{x}{x + 3}$ , $x = 1$ : что больше, $q^{2}$ или $q^{3}$ ? $q^{2}$

Вариант 2

$(- \frac{2 m ^{3}}{3 n})^{3}$ $= - \frac{8 m ^{9}}{27 n ^{3}}$
$(\frac{a ^{3}}{3 b})^{2} : \frac{a ^{5}}{9 b}$ $= \frac{a}{b}$
$(\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 6 x + 9})^{3}$ при $x = 5$ $\frac{1}{64}$
$q = \frac{x}{x - 1}$ , $x = 2$ : что больше, $q^{2}$ или $q^{3}$ ? $q^{3}$

5 мин · практика
Вариант 1: 1) (−3)³ = −27, 2³ = 8 → −27a⁶/(8b³); проверка a = b = 1: (−3/2)³ = −27/8 ✓. 2) x⁶/(8y³) · 4y²/x⁵ = x/(2y); проверка x = 2, y = 1: (4/2)³ = 8; 32/4 = 8; 8 : 8 = 1 = 2/2 ✓. 3) (a − 2)(a + 2)/(a − 2)² = (a + 2)/(a − 2), a ≠ 2; при a = 4: (6/2)² = 9; в лоб: 12/4 = 3, 3² = 9 ✓. 4) q = 1/4: q² = 1/16 > q³ = 1/64 — больше q².
Вариант 2: 1) (−2)³ = −8, 3³ = 27 → −8m⁹/(27n³); проверка m = n = 1: (−2/3)³ = −8/27 ✓. 2) a⁶/(9b²) · 9b/a⁵ = a/b; проверка a = 2, b = 1: (8/3)² = 64/9; 32/9; (64/9) : (32/9) = 2 ✓. 3) (x − 3)/(x + 3), x ≠ −3; при x = 5: (2/8)³ = 1/64; в лоб: 16/64 = 1/4, (1/4)³ = 1/64 ✓. 4) q = 2/1 = 2: q³ = 8 > q² = 4 — больше q³.
Ответы открывать после сдачи или для взаимопроверки в парах. Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3».

R04.7 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8 (степени)

Найдите значение выражения

(\frac{3 a ^{2}}{b})^{3} \cdot \frac{b ^{4}}{27 a ^{5}}

при $a = - 2, b = 0, 5$

рефлексия · ДЗ

Итог практикума

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие четыре «станции» при возведении дроби в степень?
Почему $(\frac{a + b}{c})^{2} \neq = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{c ^{2}}$ ?
Когда $q^{3} < q^{2}$ ?

Домашнее задание

$(- \frac{2 a}{5 b ^{2}})^{3}$ и $(\frac{4 x ^{3}}{y ^{2}})^{2} : (\frac{2 x ^{4}}{y})^{3}$ .
Значение $(\frac{a ^{2} - ab}{ab - b ^{2}})^{3}$ при $a = - 2, b = 4$ .
* При каких $x$ верно $(\frac{x - 1}{x})^{3} < (\frac{x - 1}{x})^{2}$ ?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_drobi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-068 · Практикум: возведение алгебраической дроби в степень

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения», 17 ч · урок 14/17 · тип П (практикум) · теория 13 мин / практика 32 мин (71 %)
Единицы → слайды	R04.7 «Возведение алгебраической дроби в степень» → 2, 4–19 (повторение свойств степени → 3; R04.6 в типе 2 → 8–10, 17; R04.4, R04.5 в типе 3 → 11, 12, 16, 17)
Результаты	ПР-9 (допустимые значения) → 8–12, 14, 17 · ПР-10 (основное свойство дроби) → 11, 12, 16, 17 · ПР-11 (действия с дробями) → 2, 4–10, 15–18 · ПР-12 (тождественные преобразования) → 8–14, 16–18 · ПР-13 (применение к задачам) → 13, 14, 16, 17 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	степень с целым (отрицательным) показателем — строка R07; практикум «Рациональные выражения» — ALG8U-069; неравенства с дробями в общем виде — сверх урока (только в заметках для сильных)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:возведениеалгебраическойдроби в степень

Четыре типа заданий — четыре умения

1Знак и коэффициент

2Цепочки

3Сначала сократить

4Исследовать

Пять примеров — устно

Степень дроби — по определению степени

Блиц: возведите дробь в степень

Возведите в степень: (−3z32x2y​)3

Знак → числа → буквы

Упростите (b32a2​)3:(b44a5​)2

Степени → умножение → сокращение

Решите и сверьте ответ

База

Повышенный уровень

Найдите значение (x2+4x+4x2−4​)3 при x=−1

Разложить → сократить → возвести → подставить

Что больше: q2 или q3, где q=x+1x​?

Сравните q2 и q3, где q=x−2x​

Повышенный уровень

Найдите ошибку

Шесть заданий от базы к исследованию

Ответы

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Найдите значение выражения

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-068 · Практикум: возведение алгебраической дроби в степень

Практикум:
возведение
алгебраической
дроби в степень

Возведите в степень: $(- \frac{2 x ^{2} y}{3 z ^{3}})^{3}$

Упростите $(\frac{2 a ^{2}}{b ^{3}})^{3} : (\frac{4 a ^{5}}{b ^{4}})^{2}$

Найдите значение $(\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 4 x + 4})^{3}$ при $x = - 1$

Что больше: $q^{2}$ или $q^{3}$ , где $q = \frac{x}{x + 1}$ ?

Сравните $q^{2}$ и $q^{3}$ , где $q = \frac{x}{x - 2}$