Дробно-рациональные выражения · урок 13 из 17 · практикум

Практикум:
сложение, вычитание,
умножение и деление
алгебраических дробей

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · строка R04 · ALG8U-067

1 мин · теория (орг. момент)
Паспорт: R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения» (17 ч), урок 13/17, единица R04.6. Тип урока — П (практикум). Правила действий введены на уроке ALG8U-060; здесь — отработка по типам заданий.
Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %) — всего 45 мин. Теория — образцы, которые разбирает учитель (сл. 5, 8, 11, 14, 15), цели и титул; всё остальное — работа учеников.
Хронометраж: титул и цели 2 мин (сл. 1–2) · разминка 4 мин (сл. 3–4) · тип 1 — 7 мин (сл. 5–7) · тип 2 — 8 мин (сл. 8–10) · тип 3 и ОГЭ — 7 мин (сл. 11–13) · тип 4 — 6 мин (сл. 14–16) · найди ошибку 2 мин (сл. 17) · закрепление 3 мин (сл. 18) · самостоятельная работа 5 мин (сл. 19) · рефлексия и ДЗ 1 мин (сл. 20).
Если класс слабее — сл. 15 показать бегло, задания 4–6 со сл. 18 перенести в ДЗ.

R04.6

Цели практикума

Четыре типа заданий — четыре шага

Действия

приводить дроби к общему знаменателю, складывать, умножать, делить (ПР-11)

Преобразования

упрощать выражения и проверять ответ подстановкой (ПР-12, ПР-9)

Применение

находить значения выражений и решать задачи (ПР-13)

1 мин · теория
ПР-11 (дословно ФРП): «Выполнять приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сложение, умножение, деление алгебраических дробей». ПР-12: «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений». ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях». ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Каждый тип: образец по шагам → задание того же типа самостоятельно (1–2 мин) → проверка.

повторение: R04.4, R04.5

Разминка · устно

Разложите, сократите, вычислите

a^{2} - ab

a (a - b)

x^{2} - 9

(x - 3) (x + 3)

x^{2} + 6 x + 9

(x + 3)^{2}

b - a = ? \cdot (a - b)

- 1

\frac{6 x ^{2}}{9 x}

\frac{2 x}{3}

\frac{a}{3} + \frac{a}{6}

\frac{a}{2}

\frac{2}{x} \cdot \frac{x ^{2}}{4}

\frac{x}{2}

При каких

x

не имеет смысла

\frac{5}{x ( x - 4 )}

?

0

и

4

повторение: R04.5, R04.6

Разминка · устно

Четыре правила — четыре вопроса

1

\frac{3}{x} - \frac{2}{y}

2

\frac{4 a}{b} \cdot \frac{b ^{2}}{2 a ^{2}}

3

\frac{x}{5} : \frac{x}{10}

4

Разложите

a^{3} - 8

R04.6

Тип 1 · образец

Множители $a - b$ и $b - a$ — «встречные»

\frac{1}{a ^{2} - ab} + \frac{1}{b ^{2} - ab} =

= \frac{1}{a ( a - b )} + \frac{1}{b ( b - a )} =

① разложили знаменатели

= \frac{1 ^{\ b}}{a ( a - b )} - \frac{1 ^{\ a}}{b ( a - b )} = \frac{b - a}{ab ( a - b )} =

② сменили знак у знаменателя и перед дробью

= - \frac{1}{ab}

③ сократили на

a - b

; условия:

a \neq = 0, b \neq = 0, a \neq = b

2 мин · теория (демонстрационный пример)
Ключевая мысль типа: прежде чем искать общий знаменатель, найти «встречные» множители (a − b и b − a) и сделать их одинаковыми. Тогда общий знаменатель ab(a − b), а не ab(a − b)(b − a).
На шаге ② в числителе получилось b − a = −(a − b) — сокращаем ещё раз со сменой знака, отсюда минус в ответе.
Вопрос классу: можно ли было оставить общий знаменатель ab(a − b)(b − a)? (Можно, но придётся сокращать на (a − b)(b − a) и не потерять знак — дольше.)

R04.6

Тип 1 · решаем сами

Найдите общий знаменатель и упростите

а

\frac{2}{x ^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}

= \frac{2 - ( x + 1 ) + ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = 0

при

x \neq = \pm 1

б

\frac{a}{ab - b ^{2}} - \frac{b}{a ^{2} - ab}

= \frac{a ^{2} - b ^{2}}{ab ( a - b )} = \frac{a + b}{ab}

при

a \neq = 0, b \neq = 0, a \neq = b

R04.6

Тип 1 · по образцу · самопроверка

Сделайте знаменатели одинаковыми и упростите

а · база

\frac{3}{x - y} + \frac{2}{y - x}

= \frac{1}{x - y}

б · база

\frac{x ^{2}}{x - 3} + \frac{9}{3 - x}

= x + 3

при

x \neq = 3

в · повыш.

\frac{1}{a ^{2} - 2 a} + \frac{1}{4 - 2 a}

= - \frac{1}{2 a}

при

a \neq = 0, a \neq = 2

г · повыш.

\frac{4}{x ^{2} - 4} + \frac{1}{2 - x} - \frac{1}{x + 2}

= - \frac{2}{x + 2}

при

x \neq = \pm 2

2 мин · практика
Ученики решают в тетради, ответы открываются по одному; класс сверяет и называет «встречный» множитель.
Ответы: а) 2/(y − x) = −2/(x − y); (3 − 2)/(x − y) = 1/(x − y), x ≠ y. б) 9/(3 − x) = −9/(x − 3); (x² − 9)/(x − 3) = x + 3, x ≠ 3 (проверка x = 4: 16 − 9 = 7 ✓).
в) a² − 2a = a(a − 2), 4 − 2a = −2(a − 2); общий знаменатель 2a(a − 2): (2 − a)/(2a(a − 2)) = −1/(2a), a ≠ 0, a ≠ 2 (проверка a = 1: −1 + 1/2 = −1/2 ✓).
г) 1/(2 − x) = −1/(x − 2); (4 − (x + 2) − (x − 2))/((x − 2)(x + 2)) = (4 − 2x)/((x − 2)(x + 2)) = −2/(x + 2), x ≠ ±2 (проверка x = 0: −1 + 1/2 − 1/2 = −1 = −2/2 ✓).

R04.6, R04.4

Тип 2 · образец

Деление: разложить, перевернуть, сократить

\frac{a ^{3} - 8}{a ^{2} - 4} : \frac{a ^{2} + 2 a + 4}{a ^{2} + 2 a}

3 мин · теория (демонстрационный пример)
Шаги: a³ − 8 = (a − 2)(a² + 2a + 4) — разность кубов; a² − 4 = (a − 2)(a + 2); a² + 2a = a(a + 2). Делитель переворачиваем и записываем всё одной дробью — потом сокращаем.
Ответ: a при a ≠ 0, a ≠ 2, a ≠ −2. Проверка: a = 1: (−7)/(−3) : 7/3 = 1 ✓.
Углублённый момент: при делении надо проверить, не обращается ли в нуль числитель делителя. Здесь a² + 2a + 4 = (a + 1)² + 3 ≥ 3 — новых ограничений нет. Вопрос: почему a² + 2a + 4 нельзя разложить на множители? (D = 4 − 16 < 0.)

R04.6, R04.4

Тип 2 · решаем сами

Упростите и укажите допустимые значения

\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 9} \cdot \frac{x ^{2} + 3 x}{x ^{2} - 4 x + 4}

= \frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} \cdot \frac{x ( x + 3 )}{( x - 2 ) ^{2}}

= \frac{x}{x - 2}

R04.6, R04.4

Тип 2 · по образцу · самопроверка

Разложите, сократите, укажите условия

а · база

\frac{a ^{2} - 25}{a ^{2} + 5 a} \cdot \frac{3 a}{a - 5}

= 3

при

a \neq = 0, a \neq = \pm 5

б · база

\frac{x ^{3} + 1}{x ^{2} - 1} : \frac{x ^{2} - x + 1}{x - 1}

= 1

при

x \neq = \pm 1

в · повыш.

\frac{x ^{2} - 7 x + 12}{x ^{2} - 16} : \frac{x - 3}{x ^{2} + 4 x}

= x

при

x \neq = 0, 3, \pm 4

г · повыш.

\frac{8 - a ^{3}}{a ^{2} + 2 a + 4} \cdot \frac{a + 2}{a ^{2} - 4}

= - 1

при

a \neq = \pm 2

2 мин · практика
Ответы открываются по клику; к каждому ответу класс называет условия (допустимые значения).
а) (a − 5)(a + 5)/(a(a + 5)) · 3a/(a − 5) = 3, a ≠ 0, a ≠ ±5 (проверка a = 1: (−24/6) · (3/(−4)) = 3 ✓).
б) x³ + 1 = (x + 1)(x² − x + 1); (x + 1)(x² − x + 1)/((x − 1)(x + 1)) · (x − 1)/(x² − x + 1) = 1, x ≠ ±1; x² − x + 1 > 0 (D < 0) — новых условий нет. Проверка x = 2: (9/3) : (3/1) = 1 ✓.
в) x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4), x² + 4x = x(x + 4): (x − 3)(x − 4)/((x − 4)(x + 4)) · x(x + 4)/(x − 3) = x; условия x ≠ ±4 (знаменатель), x ≠ 0 (знаменатель делителя), x ≠ 3 (числитель делителя). Проверка x = 1: (6/(−15)) : (−2/5) = 1 ✓.
г) 8 − a³ = (2 − a)(a² + 2a + 4): (2 − a)(a + 2)/((a − 2)(a + 2)) = −1, a ≠ ±2. Проверка a = 0: (8/4) · (2/(−4)) = −1 ✓.

R04.6, R04.2

Тип 3 · образец · порядок действий

Сначала скобка, потом деление

(\frac{2 a}{a - b} + \frac{b}{b - a}) : \frac{2 a - b}{a ^{2} - b ^{2}}

R04.6, R04.2

Тип 3 · значение выражения

Сначала упростить — потом подставить

$(\frac{2 a}{a - b} + \frac{b}{b - a}) : \frac{2 a - b}{a ^{2} - b ^{2}}$ при $a = 3, 7; b = 1, 3$
сразу подставить	сначала упростить
$\frac{7 , 4}{2 , 4} + \frac{1 , 3}{- 2 , 4} = \frac{6 , 1}{2 , 4}$	$a + b$
делитель: $\frac{6 , 1}{12} = \frac{61}{120}$	$3, 7 + 1, 3$
$\frac{6 , 1}{2 , 4} : \frac{61}{120} = \dots$	$5$

сами

Найдите значение при $x = 1, 37$ :

(\frac{3}{x - 3} - \frac{x + 15}{x ^{2} - 9}) \cdot \frac{x + 3}{2}

= \frac{2 ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} \cdot \frac{x + 3}{2} = 1

при любом

x \neq = \pm 3

, значит и при

x = 1, 37

R04.6, R04.2

Формат ОГЭ · линия 8

Найдите значение выражения

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) : \frac{x + y}{x}$ при $x = 7$ , $y = 0, 4$ $= \frac{1}{y} = 2, 5$
$\frac{a ^{2} - 25}{2 a ^{2} + 10 a}$ при $a = - 0, 5$ $= \frac{a - 5}{2 a} = 5, 5$
$\frac{9 b}{a - b} \cdot \frac{a ^{2} - ab}{54 b}$ при $a = 4, 8$ , $b = - 1, 7$ $= \frac{a}{6} = 0, 8$

Сначала упростить, потом подставить: в ответе ОГЭ — число, без условий.

R04.6, R04.2

Тип 4 · углублённый уровень

Известно $x + \frac{1}{x} = 3$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$

(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x ^{2}}

площадь квадрата = сумма четырёх частей

9 = x^{2} + 2 + \frac{1}{x ^{2}}

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 7

Само

x

находить не нужно — работаем с выражением целиком.

R04.6, R04.2

Тип 4 · продолжение

Из одного равенства — много значений

Сумма кубов

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x}) (x^{2} - 1 + \frac{1}{x ^{2}})

= 3 \cdot (7 - 1) = 18

Делим на $x^{2}$

\frac{x ^{2}}{x ^{4} + x ^{2} + 1} = \frac{1}{x ^{2} + 1 + \frac{1}{x ^{2}}}

= \frac{1}{7 + 1} = \frac{1}{8}

R04.6, R04.2

Тип 4 · решаем сами · самопроверка

Найдите значение, не находя $x$

а

x - \frac{1}{x} = 3. x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = ?

11

б

x + \frac{1}{x} = 6. x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = ?

34

в

x + \frac{1}{x} = - 2. x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = ?

- 2

г · повыш.

\frac{x}{x ^{2} + 1} = \frac{1}{3} . \frac{x ^{2}}{x ^{4} + 1} = ?

\frac{1}{7}

R04.6

Найди ошибку · проверка подстановкой

Решение ученика: где ошибка?

\frac{x + 1}{x - 2} - \frac{x - 1}{x + 2} = \frac{( x + 1 ) ( x + 2 ) - ( x - 1 ) ( x - 2 )}{x ^{2} - 4}

= \frac{x ^{2} + 3 x + 2 - x ^{2} - 3 x + 2}{x ^{2} - 4} = \frac{4}{x ^{2} - 4}

✗

= \frac{x ^{2} + 3 x + 2 - ( x ^{2} - 3 x + 2 )}{x ^{2} - 4} = \frac{6 x}{x ^{2} - 4}

✓

$x$	исходное	ответ ученика
$0$	$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$	$\frac{4}{- 4} = - 1$ ✗
$1$	$- 2 - 0 = - 2$	$\frac{4}{- 3}$ ✗

Значения не совпали — в преобразовании ошибка. Совпали — ещё не доказательство.

R04.6

Закрепление · смешанные задания

Выполните действия

база $\frac{5}{x - 4} - \frac{x + 1}{x - 4}$
база $\frac{a ^{2} - b ^{2}}{3 a} : \frac{a + b}{6 a ^{2}}$
повыш. $\frac{1}{x ^{2} + x} + \frac{1}{x ^{2} + 3 x + 2}$

повыш.Известно, что $a + \frac{1}{a} = 5$ . Найдите $\frac{a ^{4} + 1}{a ^{2}}$ .
практикаОдна труба наполняет бассейн за $a$ ч, другая — за $b$ ч. За сколько часов наполнят вместе? Найдите ответ при $a = 6$ , $b = 12$ .
ОГЭ, линия 8Найдите значение выражения
$\frac{a ^{2} - 4 b ^{2}}{ab} : (\frac{1}{b} - \frac{2}{a})$
при $a = 3, 6$ , $b = - 0, 8$ .

3 мин · практика
Задания 1–3 — все в тетради, 4–6 — по выбору (сильные — 4 и 6). Ответы проговорить устно.
Ответы: 1) (5 − x − 1)/(x − 4) = (4 − x)/(x − 4) = −1, x ≠ 4; 2) (a − b)(a + b)/(3a) · 6a²/(a + b) = 2a(a − b), a ≠ 0, a ≠ −b (проверка a = 1, b = 0: (1/3) : (1/6) = 2 ✓); 3) 1/(x(x + 1)) + 1/((x + 1)(x + 2)) = (x + 2 + x)/(x(x + 1)(x + 2)) = 2/(x(x + 2)), x ≠ 0, −1, −2 (проверка x = 1: 1/2 + 1/6 = 2/3 ✓).
4) (a⁴ + 1)/a² = a² + 1/a² = 25 − 2 = 23. 5) 1 : (1/a + 1/b) = ab/(a + b); при a = 6, b = 12: 72/18 = 4 ч.
6) Делитель 1/b − 2/a = (a − 2b)/(ab); (a − 2b)(a + 2b)/(ab) · ab/(a − 2b) = a + 2b = 3,6 − 1,6 = 2. Проверка «в лоб»: (12,96 − 2,56)/(−2,88) ≈ −3,611; −1,25 − 0,556 ≈ −1,806; частное 2 ✓. Ответ: 2.
Задание 3 — подсказка: x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2). При нехватке времени задания 4–6 — в ДЗ.

R04.6

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

$\frac{7}{a - b} + \frac{3}{b - a}$ $\frac{4}{a - b}$
$\frac{x ^{2} - 4}{3 x} \cdot \frac{6 x ^{2}}{x + 2}$ $2 x (x - 2)$
$(\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}) : \frac{4}{x ^{2} - 4}$ $1$
$x - \frac{1}{x} = 1. x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = ?$ $3$

Вариант 2

$\frac{5}{x - y} - \frac{2}{y - x}$ $\frac{7}{x - y}$
$\frac{a ^{2} - 9}{2 a} : \frac{a - 3}{4 a ^{2}}$ $2 a (a + 3)$
$(\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 3}) : \frac{2 x}{x ^{2} - 9}$ $1$
$x - \frac{1}{x} = 4. x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = ?$ $18$

5 мин · практика
Варианты по партам: 4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам на слайде (открыть по клику).
Вариант 1: 1) 3/(b − a) = −3/(a − b); (7 − 3)/(a − b) = 4/(a − b), a ≠ b. 2) (x − 2)(x + 2)/(3x) · 6x²/(x + 2) = 2x(x − 2), x ≠ 0, x ≠ −2 (проверка x = 1: (−3/3) · (6/3) = −2 = 2 · 1 · (−1) ✓). 3) ((x + 2) − (x − 2))/(x² − 4) · (x² − 4)/4 = 4/4 = 1, x ≠ ±2. 4) (x − 1/x)² + 2 = 1 + 2 = 3.
Вариант 2: 1) −2/(y − x) = 2/(x − y); (5 + 2)/(x − y) = 7/(x − y), x ≠ y. 2) (a − 3)(a + 3)/(2a) · 4a²/(a − 3) = 2a(a + 3), a ≠ 0, a ≠ 3 (проверка a = 1: (−8/2) : (−2/4) = 8 = 2 · 1 · 4 ✓). 3) ((x + 3) + (x − 3))/(x² − 9) · (x² − 9)/(2x) = 1, x ≠ 0, x ≠ ±3. 4) 16 + 2 = 18.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог практикума

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как поступить со «встречными» множителями?
Когда при делении появляется новое условие?
Зачем упрощать до подстановки?

Домашнее задание

$\frac{x ^{3} + 27}{x ^{2} - 9} : \frac{x ^{2} - 3 x + 9}{x ^{2} - 3 x}$
$x + \frac{1}{x} = 4$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ и $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}$
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_drobi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-067 · Практикум: Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения», 17 ч · урок 13/17 · тип П
Единицы → слайды	R04.6 → 4–19 · опора: R04.4 (допустимые значения) → 3, 8–11; R04.2 (тождественные преобразования) → 11–16; R04.5 (основное свойство) → 3, 4, 8
Результаты	ПР-11 (общий знаменатель, сложение, умножение, деление) → 4–11, 18, 19 · ПР-12 (тождественные преобразования) → 11–17 · ПР-9 (допустимые значения) → 6–11 · ПР-13 (применение) → 12, 13, 18 (зад. 5, 6)
Хронометраж	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %); 20 видимых слайдов
Вне урока	возведение дроби в степень — ALG8U-068; рациональные выражения в целом — ALG8U-069, ALG8U-070; обобщение — ALG8U-071; дробно-рациональные уравнения — строка уравнений
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:сложение, вычитание,умножение и делениеалгебраических дробей

Четыре типа заданий — четыре шага

Действия

Преобразования

Применение

Разложите, сократите, вычислите

Четыре правила — четыре вопроса

Множители a−b и b−a — «встречные»

Найдите общий знаменатель и упростите

Сделайте знаменатели одинаковыми и упростите

Деление: разложить, перевернуть, сократить

Упростите и укажите допустимые значения

Разложите, сократите, укажите условия

Сначала скобка, потом деление

Сначала упростить — потом подставить

Найдите значение выражения

Известно x+x1​=3. Найдите x2+x21​

Из одного равенства — много значений

Сумма кубов

Делим на x2

Найдите значение, не находя x

Решение ученика: где ошибка?

Выполните действия

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-067 · Практикум: Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей

Практикум:
сложение, вычитание,
умножение и деление
алгебраических дробей

Множители $a - b$ и $b - a$ — «встречные»

Известно $x + \frac{1}{x} = 3$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$

Делим на $x^{2}$

Найдите значение, не находя $x$