Дробно-рациональные выражения · урок 12 из 17 · практикум

Практикум:
основное свойство
алгебраической дроби

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG8U-066

1 мин · теория (орг. момент)
Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Сумма 45 мин.
Паспорт: R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения» (17 ч), урок 12/17, единица R04.5 «Основное свойство алгебраической дроби». Тип П (практикум). Новый материал по этой единице — ALG8U-059; вчера (ALG8U-065) — практикум по допустимым значениям; завтра (ALG8U-067) — практикум по действиям с дробями.
Хронометраж (45 мин): титул 1 и цели 1 (сл. 1–2, теория) · устная разминка 3 (сл. 3) · «верно ли сокращено» 2 (сл. 4) · тип 1: образец 3 (теория) + сами 3 (сл. 5–6) · тип 2: образец 3 (теория) + сами 2 (сл. 7–8) · тип 3: образец 3 (теория) + сами 3 (сл. 9–10) · тип 4: образец 2 (теория) + сами 2 (сл. 11–12) · задания с самопроверкой 3 (сл. 13) · найди ошибку 2 (сл. 14) · тренировка 4 (сл. 15) · самостоятельная 4 (сл. 16) · ОГЭ 3 (сл. 17) · итог и ДЗ 1 (сл. 18).
Теория (образцы учителя, сл. 1–2, 5, 7, 9, 11) — 13 мин; всё остальное — работа учеников, 32 мин.
Рисунок: числитель и знаменатель умножаются на одно и то же c ≠ 0 — дробь не меняется. Это и сокращение (справа налево), и приведение к новому знаменателю (слева направо).

R04.5

Цели практикума

Одно свойство — четыре типа заданий

1Сокращать

дроби, раскладывая числитель и знаменатель на множители (ПР-10)

2Менять знак

видеть противоположные множители: $a - b = - (b - a)$ (ПР-10, ПР-12)

3Расширять

приводить к новому знаменателю, убирать «этажи» (ПР-10, ПР-11)

4Исследовать

при каком параметре дробь сократима; что меняется в области определения (ПР-9, ПР-13)

1 мин · теория
ПР-10: «Применять основное свойство рациональной дроби» — главный результат урока. ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях». ПР-11: «Выполнять приведение алгебраических дробей к общему знаменателю…». ПР-12: «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений». ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач…».
Вид деятельности ФРП: «Формулировать основное свойство алгебраической дроби и применять его для преобразования дробей».
Каждый тип: образец по шагам → сразу задания того же типа. Затем смешанные задания, «найди ошибку», самостоятельная в двух вариантах и ОГЭ.

повторение: разложение на множители

Разминка · устно

Разложите на множители — без тетради

1) $x^{2} - 25$	$(x - 5) (x + 5)$	5) $x^{2} - 5 x + 6$	$(x - 2) (x - 3)$
2) $a^{2} - 6 a + 9$	$(a - 3)^{2}$	6) $4 y^{2} + 4 y + 1$	$(2 y + 1)^{2}$
3) $3 x^{2} - 6 x$	$3 x (x - 2)$	7) $ab + a c - b - c$	$(b + c) (a - 1)$
4) $x^{3} - 8$	$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$	8) $7 - x$	$- (x - 7)$

3 мин · практика
Фронтально, по цепочке: ученик называет разложение, учитель открывает ответ. Это все инструменты, которые сегодня понадобятся для сокращения.
1) разность квадратов: (x − 5)(x + 5). 2) квадрат разности: (a − 3)². 3) общий множитель: 3x(x − 2).
4) разность кубов: (x − 2)(x² + 2x + 4); проверка x = 0: −8 = (−2)·4 ✓.
5) корни 2 и 3 (сумма 5, произведение 6): (x − 2)(x − 3). 6) (2y + 1)² = 4y² + 4y + 1 ✓.
7) группировка: a(b + c) − (b + c) = (b + c)(a − 1); проверка a = 2, b = 1, c = 1: 2 + 2 − 1 − 1 = 2; 2 · 1 = 2 ✓.
8) вынос минуса: 7 − x = −(x − 7) — понадобится в типе 2.

повторение: ALG8U-059

Разминка · верно ли сокращено?

Сокращаем только множители

Запись	Верно?	Почему
$\frac{x + 3}{x + 5} = \frac{3}{5}$	нет	$x$ — слагаемое
$\frac{6 x ^{2} y}{9 x y ^{3}} = \frac{2 x}{3 y ^{2}}$	да	$x \neq = 0, y \neq = 0$
$\frac{( x - 1 ) ^{2}}{x - 1} = x - 1$	да	при $x \neq = 1$
$\frac{a ^{2} + b ^{2}}{a + b} = a + b$	нет	$a^{2} + b^{2}$ не делится
$\frac{x - y}{y - x} = - 1$	да	при $x \neq = y$

\frac{a}{b} = \frac{a c}{b c}

b \neq = 0, c \neq = 0

— иначе равенство теряет смысл

R04.5 · тип 1

Тип 1 · образец · сокращение с разложением

Сократите $\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 9}$

3 мин · теория
Образец разбирает учитель. Вопрос классу: «Какой инструмент нужен для числителя? Для знаменателя?» Числитель — квадратный трёхчлен: корни 2 и 3 (по теореме Виета, сумма 5, произведение 6). Знаменатель — разность квадратов.
Алгоритм: 1) разложить на множители; 2) выписать запреты по исходной дроби; 3) разделить числитель и знаменатель на общий множитель.
Проверка числом x = 0: 6/(−9) = −2/3; (−2)/3 = −2/3 ✓.
Ошибка: записать ответ без оговорки x ≠ 3 — тогда равенство «ломается» при x = 3 (справа 1/6, слева деление на 0).

R04.5 · тип 1

Тип 1 · решите сами

Разложите — и сократите

а) $\frac{2 x ^{2} + x - 3}{x ^{2} - 1}$

\frac{( x - 1 ) ( 2 x + 3 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )}

корни

1

и

- 1, 5

= \frac{2 x + 3}{x + 1}, x \neq = \pm 1

б) $\frac{a ^{3} + b ^{3}}{a ^{2} - ab + b ^{2}}$

\frac{( a + b ) ( a ^{2} - ab + b ^{2} )}{a ^{2} - ab + b ^{2}}

= a + b

кроме

a = b = 0

в) $\frac{x ^{4} + x ^{2} + 1}{x ^{2} + x + 1}$

x^{4} + x^{2} + 1 =

(x^{2} + 1)^{2} - x^{2}

= x^{2} - x + 1

запретов нет

R04.5 · тип 2

Тип 2 · образец · противоположные множители

Сократите $\frac{9 - x ^{2}}{x ^{2} - 6 x + 9}$

\frac{( 3 - x ) ( 3 + x )}{( x - 3 ) ^{2}}

= \frac{- ( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x - 3 ) ^{2}}

3 - x = - (x - 3)

= - \frac{x + 3}{x - 3} = \frac{x + 3}{3 - x}, x \neq = 3

R04.5 · тип 2

Тип 2 · решите сами

Чётная степень «съедает» минус, нечётная — нет

Правило
$\frac{- a}{b} = \frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}$
$(a - b)^{2} = (b - a)^{2}$
$(a - b)^{3} = - (b - a)^{3}$

а) $\frac{( a - b ) ^{3}}{( b - a ) ^{2}}$ $= a - b, a \neq = b$

б) $\frac{y ^{2} - x y}{x ^{3} - y ^{3}}$ $= - \frac{y}{x ^{2} + x y + y ^{2}}$

в) $\frac{( x - 2 ) ^{2} ( 3 - x )}{( 2 - x ) ( x - 3 ) ^{2}}$ $= \frac{x - 2}{x - 3}$

2 мин · практика
В парах; таблица правил — опора, ответы открываются по одному.
а) (b − a)² = (a − b)² → (a − b)³/(a − b)² = a − b при a ≠ b.
б) y² − xy = −y(x − y); x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²). Ответ −y/(x² + xy + y²) при x ≠ y. Проверка x = 2, y = 1: (1 − 2)/(8 − 1) = −1/7; −1/7 ✓.
в) (x − 2)² = (2 − x)², (x − 3)² = (3 − x)²: $\frac{( 2 - x ) ^{2} ( 3 - x )}{( 2 - x ) ( 3 - x ) ^{2}} = \frac{2 - x}{3 - x} = \frac{x - 2}{x - 3}$ , x ≠ 2, x ≠ 3. Проверка x = 0: 4 · 3/(2 · 9) = 2/3; (−2)/(−3) = 2/3 ✓.
Ошибка в в): забыть запрет x ≠ 2 — множитель (2 − x) сокращён и из ответа «исчез».

R04.5 · тип 3

Тип 3 · образец · новый знаменатель

Основное свойство «слева направо»

а) $\frac{a}{2 - a}$ к знаменателю $a^{2} - 4$

\frac{a}{2 - a} = \frac{- a}{a - 2}

сначала знак

доп. множитель:

(a^{2} - 4) : (a - 2) = a + 2

= \frac{- a ( a + 2 )}{a ^{2} - 4} = \frac{- a ^{2} - 2 a}{a ^{2} - 4}

б) уберите «этажи»: $\frac{\frac{1}{2} x - \frac{1}{3}}{\frac{1}{4} x + \frac{1}{6}}$

умножим верх и низ на

12

НОК знаменателей

2, 3, 4, 6

= \frac{6 x - 4}{3 x + 2}

\frac{3}{x} = \frac{3 ( x - 1 )}{x ( x - 1 )}

— только при

x \neq = 1

3 мин · теория
Образец разбирает учитель. Новый знаменатель = старый × дополнительный множитель. Если знаменатели «противоположные», сначала меняем знак.
а) Проверка a = 0: 0 и 0 ✓; a = 1: 1/1 = 1; (−1 − 2)/(1 − 4) = 1 ✓.
б) Проверка x = 2: (1 − 1/3)/(1/2 + 1/6) = (2/3)/(2/3) = 1; (12 − 4)/(6 + 2) = 1 ✓. Запрет: 3x + 2 ≠ 0, x ≠ −2/3 (умножение на 12 ≠ 0 область не меняет).
Ловушка (углублённый уровень): умножая на выражение с переменной, мы сужаем область определения. Слева 3/x определена при x = 1, справа — нет. Значит, равенство — тождество только при x ≠ 0 и x ≠ 1.

R04.5 · тип 3

Тип 3 · решите сами

Расширьте дробь или уберите «этажи»

а) $\frac{5}{3 - a}$ к знаменателю $a^{2} - 9$

\frac{- 5}{a - 3} \cdot \frac{a + 3}{a + 3}

= \frac{- 5 a - 15}{a ^{2} - 9}

б) $\frac{0 , 2 x - 1 , 5}{0 , 4 x + 0 , 3}$

умножим на

10

= \frac{2 x - 15}{4 x + 3}

в) $\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$

умножим на

x y

:

\frac{x ^{2} - y ^{2}}{y + x}

= x - y

в) запреты:

x \neq = 0, y \neq = 0, x \neq = - y

— по исходной записи

R04.5 · R04.4 · тип 4

Тип 4 · образец · исследование с параметром

При каком $a$ сократима $\frac{x ^{2} + a x + 6}{x - 2}$ ?

сократима

\Leftrightarrow

числитель

= 0

при

x = 2

4 + 2 a + 6 = 0 \Rightarrow a = - 5

\frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{x - 2} = x - 3, x \neq = 2

График — прямая с «выколотой» точкой

2 мин · теория
Образец разбирает учитель. Идея: квадратный трёхчлен делится на x − 2 тогда и только тогда, когда 2 — его корень (из разложения a(x − x₁)(x − x₂)).
a = −5: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). При других a числитель на x − 2 не делится, и дробь не сокращается.
Вопрос: почему точка (2; −1) выколота? При x = 2 исходная дробь не имеет смысла, хотя x − 3 = −1. Основное свойство сохранило значения, но не область определения.
Это мостик к линии 22 ОГЭ (слайд 17).

R04.5 · тип 4

Тип 4 · решите сами

Сократимость: параметр и целые числа

а) При каком $b$ сократима $\frac{x ^{2} - b x - 12}{x + 3}$ ?

x = - 3 : 9 + 3 b - 12 = 0

b = 1 : \frac{( x + 3 ) ( x - 4 )}{x + 3} = x - 4

б) Докажите: $\frac{n + 1}{2 n + 3}$ несократима при любом натуральном $n$ .

d ∣ n + 1, d ∣ 2 n + 3

d ∣ (2 n + 3) - 2 (n + 1) = 1

R04.5 · типы 1–4

Задания с самопроверкой · база и повышенный

Решите — ответ откроется по клику

база $\frac{x ^{2} - 8 x + 16}{x ^{2} - 16}$ $\frac{x - 4}{x + 4}, x \neq = \pm 4$
база $\frac{5 a - 5 b}{b ^{2} - a ^{2}}$ $- \frac{5}{a + b}, a \neq = \pm b$
повыш. $\frac{x ^{3} - x ^{2} - x + 1}{x ^{2} - 1}$ $x - 1, x \neq = \pm 1$
повыш. $\frac{a}{a - b}$ к знаменателю $b^{2} - a^{2}$ $\frac{- a ^{2} - ab}{b ^{2} - a ^{2}}$

Задача из жизни

Велосипедист проехал $(x^{2} - 9)$ км за $(x - 3)$ ч, $x > 3$ . Найдите его скорость.

$v = x + 3$ км/ч

при $x = 5$ : $16$ км за $2$ ч, $v = 8$ км/ч

3 мин · практика
Самостоятельно в тетрадях, затем учитель открывает ответы по одному, класс сверяет (самопроверка).
1) $\frac{( x - 4 ) ^{2}}{( x - 4 ) ( x + 4 )} = \frac{x - 4}{x + 4}$ , x ≠ ±4. Проверка x = 0: 16/(−16) = −1; −4/4 = −1 ✓.
2) $\frac{5 ( a - b )}{( b - a ) ( b + a )} = - \frac{5}{a + b}$ , a ≠ ±b. Проверка a = 2, b = 1: 5/(1 − 4) = −5/3; −5/3 ✓.
3) x²(x − 1) − (x − 1) = (x − 1)(x² − 1) = (x − 1)²(x + 1); делим на (x − 1)(x + 1): x − 1, x ≠ ±1. Проверка x = 2: (8 − 4 − 2 + 1)/3 = 1; 2 − 1 = 1 ✓.
4) $\frac{a}{a - b} = \frac{- a}{b - a} = \frac{- a ( b + a )}{b ^{2} - a ^{2}} = \frac{- a ^{2} - ab}{b ^{2} - a ^{2}}$ . Проверка a = 2, b = 1: 2/1 = 2; (−4 − 2)/(1 − 4) = 2 ✓.
Задача: v = s/t = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3 (x > 3, поэтому x − 3 ≠ 0). При x = 5: 16 км за 2 ч — 8 км/ч ✓.

R04.5

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$\frac{x ^{2} + 3 x}{x ^{2} + 5} = \frac{3 x}{5}$	сокращены слагаемые	не сокращается
$\frac{a - 5}{5 - a} = 1$	потерян знак	$- 1, a \neq = 5$
$\frac{( x - 1 ) ^{2}}{( 1 - x ) ^{2}} = - 1$	чётная степень	$1, x \neq = 1$
$\frac{x - 2}{x ^{2} - 4} = \frac{1}{x + 2}$ при всех $x \neq = - 2$	потерян запрет	$x \neq = \pm 2$
$\frac{0 , 5 x + 1}{0 , 2 x} = \frac{5 x + 1}{2 x}$	не всё умножено на 10	$\frac{5 x + 10}{2 x}$

R04.5

Тренировка с самопроверкой · все четыре типа

Шесть заданий от базы к олимпиаде

базаСократите $\frac{x ^{2} - 7 x + 12}{x ^{2} - 16}$ .
базаСократите $\frac{b ^{2} - 6 b}{36 - b ^{2}}$ .
повыш.Приведите $\frac{2}{1 - x}$ к знаменателю $x^{3} - 1$ .
повыш.При каком $a$ сократима $\frac{x ^{2} + a x - 10}{x - 2}$ ? Сократите её.
практикаУберите «этажи»: $\frac{1 - \frac{1}{x}}{x - \frac{1}{x}}$ ; укажите запреты.
олимп.Сократите $\frac{x ^{4} + 4}{x ^{2} + 2 x + 2}$ .

Подсказки

3) $x^{3} - 1 = (x - 1) (\dots)$

5) умножьте на $x$

6) $x^{4} + 4 = (x^{2} + 2)^{2} - 4 x^{2}$

Ответы

1) $\frac{x - 3}{x + 4}$ 2) $- \frac{b}{b + 6}$

3) $\frac{- 2 x ^{2} - 2 x - 2}{x ^{3} - 1}$

4) $a = 3$ ; $x + 5$

5) $\frac{1}{x + 1}$ ; $x \neq = 0, \pm 1$

6) $x^{2} - 2 x + 2$

4 мин · практика
Ученики решают в своём темпе, ответы открываются по клику — каждый проверяет себя. 1) $\frac{( x - 3 ) ( x - 4 )}{( x - 4 ) ( x + 4 )} = \frac{x - 3}{x + 4}$ , x ≠ ±4. Проверка x = 0: 12/(−16) = −3/4; −3/4 ✓.
2) $\frac{b ( b - 6 )}{( 6 - b ) ( 6 + b )} = - \frac{b}{b + 6}$ , b ≠ ±6. Проверка b = 1: −5/35 = −1/7; −1/7 ✓.
3) $\frac{2}{1 - x} = \frac{- 2}{x - 1} = \frac{- 2 ( x ^{2} + x + 1 )}{x ^{3} - 1} = \frac{- 2 x ^{2} - 2 x - 2}{x ^{3} - 1}$ . Проверка x = 0: 2; −2/(−1) = 2 ✓.
4) 4 + 2a − 10 = 0 → a = 3; x² + 3x − 10 = (x − 2)(x + 5) → x + 5, x ≠ 2.
5) Умножаем на x: $\frac{x - 1}{x ^{2} - 1} = \frac{1}{x + 1}$ . Запреты: x ≠ 0, x ≠ ±1 (x − 1/x = (x² − 1)/x ≠ 0). Проверка x = 2: (1/2)/(3/2) = 1/3; 1/3 ✓.
6) (x² + 2)² − 4x² = (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2); знаменатель (x + 1)² + 1 > 0 → ответ x² − 2x + 2 без запретов. Проверка x = 1: 5/5 = 1; 1 − 2 + 2 = 1 ✓. При нехватке времени — в ДЗ.

R04.5

Самостоятельная работа · 2 варианта

Четыре задания — по одному на каждый тип

Вариант 1

Сократите $\frac{x ^{2} - 4 x + 3}{x ^{2} - 9}$ . $\frac{x - 1}{x + 3}$
Сократите $\frac{y ^{2} - 2 y}{4 - y ^{2}}$ . $- \frac{y}{y + 2}$
$\frac{3}{2 - x}$ к знаменателю $x^{2} - 4$ . $\frac{- 3 x - 6}{x ^{2} - 4}$
При каком $a$ сократима $\frac{x ^{2} + a x + 8}{x - 4}$ ? $a = - 6$ ; $x - 2$

Вариант 2

Сократите $\frac{x ^{2} + x - 6}{x ^{2} - 4}$ . $\frac{x + 3}{x + 2}$
Сократите $\frac{a ^{2} - 5 a}{25 - a ^{2}}$ . $- \frac{a}{a + 5}$
$\frac{4}{3 - x}$ к знаменателю $x^{2} - 9$ . $\frac{- 4 x - 12}{x ^{2} - 9}$
При каком $b$ сократима $\frac{x ^{2} + b x - 15}{x + 5}$ ? $b = 2$ ; $x - 3$

4 мин · практика
По вариантам, затем взаимопроверка в парах по открытым ответам. Запреты обязательны: без них задание засчитывается наполовину.
В1: 1) $\frac{( x - 1 ) ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{x - 1}{x + 3}$ , x ≠ ±3; проверка x = 0: 3/(−9) = −1/3 ✓. 2) $\frac{y ( y - 2 )}{( 2 - y ) ( 2 + y )} = - \frac{y}{y + 2}$ , y ≠ ±2; проверка y = 1: −1/3 ✓. 3) $\frac{- 3}{x - 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} = \frac{- 3 x - 6}{x ^{2} - 4}$ ; проверка x = 0: 3/2 и −6/(−4) = 3/2 ✓. 4) 16 + 4a + 8 = 0 → a = −6; x² − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4) → x − 2, x ≠ 4.
В2: 1) $\frac{( x + 3 ) ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x + 3}{x + 2}$ , x ≠ ±2; проверка x = 0: −6/(−4) = 3/2 ✓. 2) $\frac{a ( a - 5 )}{( 5 - a ) ( 5 + a )} = - \frac{a}{a + 5}$ , a ≠ ±5; проверка a = 1: −4/24 = −1/6 ✓. 3) $\frac{- 4 ( x + 3 )}{x ^{2} - 9} = \frac{- 4 x - 12}{x ^{2} - 9}$ ; проверка x = 0: 4/3 и −12/(−9) = 4/3 ✓. 4) 25 − 5b − 15 = 0 → b = 2; x² + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3) → x − 3, x ≠ −5.

R04.5 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22 (часть 2)

Постройте график $y = \frac{x ^{3} - 4 x}{x ^{2} - 2 x}$

Определите, при каких $k$ прямая $y = k x$ не имеет с графиком общих точек.

\frac{x ( x - 2 ) ( x + 2 )}{x ( x - 2 )} = x + 2

x \neq = 0, x \neq = 2

Проверьте: прямая параллельна? проходит через «дырку»?

3 мин · практика
Ученики предлагают решение, учитель открывает прямые; полная запись — дома.
Решение. Область определения: x ≠ 0, x ≠ 2. Сокращаем: y = x + 2 — прямая с выколотыми точками (0; 2) и (2; 4).
Прямая y = kx проходит через начало координат. Нет общих точек, если: 1) она параллельна графику: k = 1; 2) пересекает прямую y = x + 2 только в выколотой точке. Через (0; 2) прямая y = kx не проходит никогда; через (2; 4) — при k = 2. Ответ: k = 1; k = 2.
Проверка: x + 2 = kx → x = 2/(k − 1); при k = 2 получаем x = 2 — запрещённое значение ✓.
Критерий линии 22 (2 балла): график построен верно, выколотые точки отмечены, оба значения k найдены; 1 балл — график верен, но найдено одно значение. Частая потеря — не выколота точка.

рефлексия · ДЗ

Итог практикума

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что можно сокращать, а что нельзя?
Чем $\frac{a - b}{c}$ отличается от $\frac{b - a}{c}$ ?
Почему расширение дроби может сузить область определения?

Домашнее задание

Сократите $\frac{3 x ^{2} - 5 x - 2}{4 - x ^{2}}$ .
При каком $c$ сократима $\frac{2 x ^{2} + c x - 3}{x + 1}$ ?
* Сократите $\frac{a ^{3} - a ^{2} b - a b ^{2} + b ^{3}}{a ^{2} - b ^{2}}$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_drobi.htm

1 мин · практика
Ответы на вопросы рефлексии — устно, по одной фразе. Ответы ДЗ: 1) 3x² − 5x − 2 = (x − 2)(3x + 1); 4 − x² = −(x − 2)(x + 2) → $- \frac{3 x + 1}{x + 2}$ , x ≠ ±2. Проверка x = 0: −2/4 = −1/2; −1/2 ✓.
2) x = −1: 2 − c − 3 = 0 → c = −1; 2x² − x − 3 = (x + 1)(2x − 3) → 2x − 3, x ≠ −1. Проверка x = 0: −3/1 = −3 ✓.
3*) a²(a − b) − b²(a − b) = (a − b)²(a + b); знаменатель (a − b)(a + b) → a − b при a ≠ ±b. Проверка a = 2, b = 1: (8 − 4 − 2 + 1)/3 = 1; 2 − 1 = 1 ✓.
Следующий урок ALG8U-067 — практикум «Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей».

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-066 · Практикум: основное свойство алгебраической дроби

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения», 17 ч · урок 12/17 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R04.5 «Основное свойство алгебраической дроби» → 2–18 (R04.4 «Допустимые значения» как сопутствующая → 5, 9–11, 13, 14, 16, 17) · теория 13 мин (сл. 1–2, 5, 7, 9, 11) / практика 32 мин (71 %)
Результаты	ПР-10 (основное свойство дроби) → 4–18 · ПР-9 (допустимые значения) → 4–6, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17 · ПР-11 (приведение к общему знаменателю) → 9, 10, 13, 15, 16 · ПР-12 (тождественные преобразования) → 3, 6–10, 13, 15, 16 · ПР-13 (применение к задачам) → 11–13, 17 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	действия с алгебраическими дробями — ALG8U-067; возведение дроби в степень — ALG8U-068; деление многочленов с остатком и теорема Безу — не используются (сократимость через корень трёхчлена); дробно-рациональные уравнения — строка R05
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:основное свойствоалгебраической дроби

Одно свойство — четыре типа заданий

1Сокращать

2Менять знак

3Расширять

4Исследовать

Разложите на множители — без тетради

Сокращаем только множители

Сократите x2−9x2−5x+6​

Разложите — и сократите

Сократите x2−6x+99−x2​

Чётная степень «съедает» минус, нечётная — нет

Основное свойство «слева направо»

Расширьте дробь или уберите «этажи»

При каком a сократима x−2x2+ax+6​?

Сократимость: параметр и целые числа

Решите — ответ откроется по клику

Задача из жизни

Найдите ошибку

Шесть заданий от базы к олимпиаде

Подсказки

Ответы

Четыре задания — по одному на каждый тип

Вариант 1

Вариант 2

Постройте график y=x2−2xx3−4x​

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-066 · Практикум: основное свойство алгебраической дроби

Практикум:
основное свойство
алгебраической дроби

Сократите $\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 9}$

Сократите $\frac{9 - x ^{2}}{x ^{2} - 6 x + 9}$

При каком $a$ сократима $\frac{x ^{2} + a x + 6}{x - 2}$ ?

Постройте график $y = \frac{x ^{3} - 4 x}{x ^{2} - 2 x}$