Дробно-рациональные выражения · урок 11 из 17 · практикум

Практикум:
допустимые
значения
переменных

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG8U-065

Паспорт: R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения» (17 ч), урок 11/17, единица R04.4 «Допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях». Тип П (практикум). Новый материал по единице — ALG8U-058; вчера (ALG8U-064) — практикум «Алгебраическая дробь»; завтра (ALG8U-066) — практикум «Основное свойство алгебраической дроби».
1 мин · теория (организационный момент). Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Теория 14: титул 1 · цели 1 (сл. 2) · образцы, которые разбирает учитель, по 3 мин — тип 1 (сл. 4), тип 2 (сл. 7), тип 3 (сл. 10), тип 4 (сл. 12).
Практика 31: разминка 3 (сл. 3) · тип 1: сами 3 + самопроверка 2 (сл. 5–6) · тип 2: сами 3 + самопроверка 2 (сл. 8–9) · тип 3: сами 3 (сл. 11) · тип 4: выколотая точка 2 + самопроверка 2 (сл. 13–14) · найди ошибку 2 (сл. 15) · задания с самопроверкой 2 (сл. 16) · самостоятельная по вариантам 4 (сл. 17) · ОГЭ 2 (сл. 18) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 19).
Рисунок: дробь $\frac{A}{B}$ и выколотые точки на прямой — недопустимые значения.

R04.4

Цели практикума

Четыре типа заданий — одно правило $B \neq = 0$

1Разложить

знаменатель-многочлен на множители или доказать, что он не обращается в нуль (ПР-9)

2Не терять

запреты при делении и в «многоэтажных» дробях (ПР-9, ПР-11)

3Исследовать

допустимые значения при параметре в знаменателе (ПР-9, ПР-21)

4Применять

условие $\frac{A}{B} = 0$ и видеть выколотые точки графика (ПР-9, ПР-26)

1 мин · теория
ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях» — главный результат урока. ПР-11: «Выполнять приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сложение, умножение, деление алгебраических дробей». ПР-21: «Решать линейные уравнения с параметрами…». ПР-26: «Строить графики функций, описывать свойства числовой функции по её графику».
Вид деятельности ФРП: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях».
Каждый тип: образец по шагам → задание того же типа. Если не успеваем — задания 5–6 слайда 16 перенести в ДЗ.

повторение: ALG8U-058

Разминка · устно

Где выражение не имеет смысла?

Выражение	Недопустимые $x$
$\frac{5}{x - 7}$	$x = 7$
$\frac{x}{2 x + 3}$	$x = - 1, 5$
$\frac{1}{x ^{2} - 16}$	$x = \pm 4$
$\frac{4}{x ^{2} + 9}$	таких нет
$\frac{x - 7}{5}$	таких нет

\frac{A}{B} : B \neq = 0

Запрет даёт только знаменатель; числитель может быть любым

x^{2} + 9 \geq 9

— в нуль не обращается

R04.4 · тип 1

Тип 1 · образец · знаменатель-многочлен

Найдите допустимые значения $\frac{x + 5}{x ^{2} - 5 x + 6} + \frac{3}{x ^{2} + 4}$

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

корни 2 и 3 (теорема Виета)

x^{2} + 4 \geq 4 > 0

при любом

x

x \neq = 2, x \neq = 3

Знаменатель = 0 там, где его график пересекает ось

O x

R04.4 · тип 1

Тип 1 · решите сами

Разложите знаменатель или оцените его

а) $\frac{7}{x ^{3} - 4 x}$

x (x - 2) (x + 2)

x \neq = 0, x \neq = \pm 2

б) $\frac{x}{x ^{2} + 2 x + 5}$

(x + 1)^{2} + 4 \geq 4

x

— любое

в) $\frac{1}{x ^{2} - 6 x + 9}$

(x - 3)^{2}

x \neq = 3

Выделение полного квадрата доказывает: знаменатель никогда не равен нулю

R04.4 · тип 1

Тип 1 · задания с самопроверкой

Найдите недопустимые значения $x$

база $\frac{2 x}{x ^{2} - x - 12}$ $x \neq = - 3, x \neq = 4$
база $\frac{x + 1}{x ^{3} + x}$ $x \neq = 0$
база $\frac{5}{x ^{2} + 6 x + 10}$ таких нет

база $\frac{1}{4 x ^{2} - 1}$ $x \neq = \pm 0, 5$
повыш. $\frac{x}{x ^{4} - 5 x ^{2} + 4}$ $x \neq = \pm 1, \pm 2$
повыш. $\frac{3}{x ^{3} - 2 x ^{2} - x + 2}$ $x \neq = \pm 1, 2$

R04.4 · тип 2

Тип 2 · образец · деление дробей

Допустимые значения $\frac{x + 1}{x - 2} : \frac{x - 4}{x + 3}$

знаменатели:

x \neq = 2, x \neq = - 3

делитель

\neq = 0

:

x - 4 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = 4

= \frac{( x + 1 ) ( x + 3 )}{( x - 2 ) ( x - 4 )}

R04.4 · тип 2

Тип 2 · решите сами

Каждый этаж и каждый делитель

а) $\frac{x}{1 - \frac{4}{x ^{2}}}$

этаж 1:

x \neq = 0

этаж 2:

x^{2} \neq = 4 \Rightarrow x \neq = \pm 2

x \neq = 0, \pm 2

б) $\frac{x ^{2} - 1}{x + 2} : \frac{x ^{2} - x}{x - 3}$

знаменатели:

x \neq = - 2, x \neq = 3

делитель:

x (x - 1) \neq = 0

x \neq = - 2, 0, 1, 3

R04.4 · тип 2

Тип 2 · задания с самопроверкой

Знаменатели + делитель + этажи

база $\frac{x}{x + 1} : \frac{x - 5}{x}$
$x \neq = - 1, 0, 5$
база $\frac{3}{x - 4} : \frac{x + 2}{x ^{2} - 9}$
$x \neq = \pm 3, - 2, 4$

база $\frac{1}{2 + \frac{1}{x}}$
$x \neq = 0, - 0, 5$
повыш. $\frac{1}{1 - \frac{1}{1 - x}}$
$x \neq = 0, 1$

R04.4 · тип 3

Тип 3 · образец · параметр

При каких $a$ дробь $\frac{5}{x ^{2} + 2 x + a}$ имеет смысл при всех $x$ ?

нужно:

x^{2} + 2 x + a = 0

без корней

D = 4 - 4 a < 0

a > 1

Парабола целиком выше оси

O x

3 мин · теория
Переформулировка: «имеет смысл при всех x» ⇔ «знаменатель не обращается в нуль ни при одном x» ⇔ уравнение x² + 2x + a = 0 не имеет корней ⇔ D < 0.
D = 2² − 4a = 4 − 4a < 0 → a > 1. Второй способ: x² + 2x + a = (x + 1)² + (a − 1) > 0 при всех x ⇔ a − 1 > 0.
Графики: a = −3 — корни −3 и 1 (два запрета); a = 1 — касание в x = −1 (один запрет); a = 3 — вершина (−1; 2), запретов нет.
Ошибка: «D ≤ 0» — при a = 1 знаменатель (x + 1)² обращается в нуль при x = −1, поэтому a = 1 не подходит.

R04.4 · тип 3

Тип 3 · решите сами

Параметр в знаменателе: три вопроса

Для $\frac{x}{x ^{2} + a x + 3}$ значение $x = 1$ недопустимо. Найдите $a$ .
При каких $a$ у дроби $\frac{x}{x ^{2} - 6 x + a}$ ровно одно недопустимое значение $x$ ?
При каких $a$ дробь $\frac{3}{( a - 2 ) x + 4}$ имеет смысл при всех $x$ ?

1)

1 + a + 3 = 0 \Rightarrow a = - 4

2)

D = 36 - 4 a = 0 \Rightarrow a = 9

3)

a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2

3 мин · практика
В парах; ответы открывать по одному после обсуждения.
1) Подставляем x = 1 в знаменатель и требуем нуль: 1 + a + 3 = 0, a = −4. Проверка: x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) ✓.
2) Ровно один корень знаменателя ⇔ D = 0: 36 − 4a = 0, a = 9; тогда (x − 3)², запрет x = 3. При a < 9 — два запрета, при a > 9 — ни одного.
3) Линейный знаменатель (a − 2)x + 4. При a ≠ 2 он равен нулю при x = −4/(a − 2) — есть запрет. При a = 2 знаменатель равен 4 ≠ 0. Ответ: a = 2. Ошибка: «a ≠ 2» — перепутаны случаи (ПР-21, линейное уравнение с параметром).

R04.4 · тип 4

Тип 4 · образец · дробь равна нулю

При каких $x$ дробь $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 3 x}$ равна нулю?

\frac{A}{B} = 0 ⟺ {A = 0, B \neq = 0

A = 0 : x = \pm 3

B = x (x + 3) \neq = 0 : x \neq = 0, x \neq = - 3

R04.4 · тип 4

Тип 4 · решите сами · допустимые значения на графике

Чем $y = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ отличается от $y = x + 1$ ?

\frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = x + 1

только при

x \neq = 1

при

x = 1

:

\frac{0}{0}

— смысла нет

прямая без точки

(1; 2)

Сами: где $\frac{x ^{2} - 4 x}{x ^{2} - 16} = 0$ ?

R04.4 · тип 4

Тип 4 · задания с самопроверкой

При каких $x$ дробь равна нулю?

база $\frac{x - 4}{x + 4}$ $x = 4$
база $\frac{x ^{2} - x}{x - 1}$ $x = 0$
база $\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 4}$ $x = \pm 2$

повыш. $\frac{x ^{2} + 5 x + 6}{x ^{2} - 4}$ $x = - 3$
повыш. $\frac{x ^{2} + 1}{x - 3}$ таких нет
повыш.Какая точка выколота у графика $y = \frac{x ^{2} - 9}{x + 3}$ ?
$(- 3; - 6)$

R04.4

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
« $\frac{x + 3}{x ^{2} - 9} = \frac{1}{x - 3}$ , запрет $x \neq = 3$ »	запреты после сокращения	$x \neq = \pm 3$
« $\frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = 0$ при $x = \pm 2$ »	нет отбора	$x = 2$
« $\frac{1}{x ^{2} + 1}$ : запрет $x \neq = - 1$ »	$x^{2} + 1 \geq 1$	все $x$
« $\frac{a}{b} : \frac{c}{d}$ : только $b \neq = 0, d \neq = 0$ »	делитель $\neq = 0$	ещё $c \neq = 0$
« $\frac{5}{x ^{2} + 2 x + a}$ при всех $x$ : $D \leq 0$ »	при $D = 0$ есть корень	$D < 0$

R04.4

Задания с самопроверкой · все четыре типа

Шесть заданий от базы к исследованию

базаДопустимые значения $\frac{x - 1}{x ^{2} + 7 x + 12}$ .
базаПри каких $x$ дробь $\frac{x ^{2} - 25}{x ^{2} - 5 x}$ равна нулю?
повыш.Допустимые значения $\frac{x + 2}{x - 1} : \frac{x ^{2} - 4}{x}$ .
повыш.При каких $a$ дробь $\frac{1}{x ^{2} - 4 x + a}$ имеет смысл при всех $x$ ?
практикаТуда со скоростью $v$ , обратно 60 км/ч: $v_{ср} = \frac{120 v}{v + 60}$ . Какие $v$ допустимы по смыслу? Найдите $v_{ср}$ при $v = 40$ .
повыш.При каких $a$ у дроби $\frac{x + 1}{x ^{2} - ( a + 2 ) x + 2 a}$ ровно одно недопустимое значение?

Подсказки

3) делитель $\neq = 0$

4) $D < 0$

6) $(x - 2) (x - a)$

Ответы

1) $x \neq = - 3, - 4$

2) $x = - 5$

3) $x \neq = - 2, 0, 1, 2$

4) $a > 4$

5) $v > 0$ ; 48 км/ч

6) $a = 2$

2 мин · практика (задания 1–4 в классе с проверкой по клику, 5–6 — сильным или в ДЗ)
1) x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4): x ≠ −3, x ≠ −4. Проверка: 9 − 21 + 12 = 0 ✓; 16 − 28 + 12 = 0 ✓.
2) Числитель: x = ±5; знаменатель x(x − 5) ≠ 0 → x ≠ 0, x ≠ 5. Ответ: x = −5. Проверка: 0 / (25 + 25) = 0 ✓.
3) x ≠ 1, x ≠ 0 (знаменатели), x² − 4 ≠ 0 → x ≠ ±2 (делитель). Ответ: все x, кроме −2, 0, 1, 2.
4) D = 16 − 4a < 0 → a > 4. Проверка a = 5: (x − 2)² + 1 > 0 ✓; a = 4: (x − 2)² — запрет x = 2 ✗.
5) Математически v ≠ −60; по смыслу v > 0. При v = 40: 4800/100 = 48 км/ч. Проверка: путь 2s, время s/40 + s/60 = 5s/120, средняя 2s : 5s/120 = 48 ✓.
6) x² − (a + 2)x + 2a = (x − 2)(x − a). Запреты x = 2 и x = a; ровно один — при a = 2. Проверка: (x − 2)² ✓. Задание 6 — для тех, кто закончил раньше; иначе в ДЗ.

R04.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

По вариантам: четыре типа — четыре задания

Вариант 1

Допустимые значения $\frac{x}{x ^{2} - 8 x + 15}$ . $x \neq = 3, 5$
Где $\frac{x ^{2} - 16}{x ^{2} + 4 x} = 0$ ? $x = 4$
Допустимые значения $\frac{x - 1}{x + 2} : \frac{x - 3}{x}$ . $x \neq = - 2, 0, 3$
При каких $a$ дробь $\frac{1}{x ^{2} + 6 x + a}$ имеет смысл при всех $x$ ? $a > 9$

Вариант 2

Допустимые значения $\frac{x}{x ^{2} + x - 6}$ . $x \neq = - 3, 2$
Где $\frac{x ^{2} - 36}{x ^{2} - 6 x} = 0$ ? $x = - 6$
Допустимые значения $\frac{x + 5}{x - 4} : \frac{x + 1}{x}$ . $x \neq = - 1, 0, 4$
При каких $a$ дробь $\frac{1}{x ^{2} - 10 x + a}$ имеет смысл при всех $x$ ? $a > 25$

4 мин · практика (3 мин работа, 1 мин — взаимопроверка по ответам, открытым кликом)
Вариант 1: 1) x² − 8x + 15 = (x − 3)(x − 5): 9 − 24 + 15 = 0 ✓, 25 − 40 + 15 = 0 ✓. 2) x = ±4; x(x + 4) ≠ 0 ⇒ x ≠ 0, −4 ⇒ x = 4 (0/32 = 0 ✓). 3) Знаменатели x ≠ −2, 0; делитель x − 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3. 4) D = 36 − 4a < 0 ⇒ a > 9 (при a = 9: (x + 3)², запрет x = −3 ✗).
Вариант 2: 1) x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2): 9 − 3 − 6 = 0 ✓, 4 + 2 − 6 = 0 ✓. 2) x = ±6; x(x − 6) ≠ 0 ⇒ x ≠ 0, 6 ⇒ x = −6 (0/72 = 0 ✓). 3) Знаменатели x ≠ 4, 0; делитель x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ −1. 4) D = 100 − 4a < 0 ⇒ a > 25 (при a = 25: (x − 5)² ✗).
Критерий: «5» — 4 верных, «4» — 3, «3» — 2. Типичная потеря — запрет делителя в задании 3 и отбор в задании 2.

R04.4 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22 (часть 2)

Постройте график $y = \frac{( x ^{2} + 4 ) ( x - 1 )}{1 - x}$

Определите, при каких $k$ прямая $y = k x$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

x \neq = 1 : y = - (x^{2} + 4)

выколота

(1; - 5)

Касание — или прямая через выколотую точку

2 мин · практика
Ученики предлагают идею (допустимые значения, упрощение, случаи); полная запись решения — дома.
Допустимые значения: 1 − x ≠ 0 → x ≠ 1. При x ≠ 1: (x − 1)/(1 − x) = −1, y = −x² − 4. График — парабола с вершиной (0; −4), ветви вниз, точка (1; −5) выколота.
Общие точки: −x² − 4 = kx ⇔ x² + kx + 4 = 0. Одна точка при D = k² − 16 = 0: k = 4 (касание в x = −2) или k = −4 (касание в x = 2); обе точки касания ≠ 1 ✓. Ещё случай: прямая проходит через выколотую точку (1; −5): k = −5; тогда x² − 5x + 4 = 0, x = 1 или x = 4, x = 1 исключён → одна точка (4; −20) ✓.
Ответ: k = −5; k = −4; k = 4. Критерий линии 22 (2 балла): верный график и верный ответ; 1 балл — график верен, ответ с ошибкой. Частая потеря — забыта выколотая точка и k = −5.

рефлексия · ДЗ

Итог практикума

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему допустимые значения ищут до сокращения?
Какой запрет добавляет деление?
Когда дробь равна нулю?

Домашнее задание

Допустимые значения:
$\frac{3 x}{x ^{3} - 9 x} + \frac{1}{x ^{2} + x + 1}$ .
Где $\frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x ^{2} - 1} = 0$ ?
* При каких $a$ дробь $\frac{2}{x ^{2} + a x + 9}$ имеет смысл при всех $x$ ?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_drobi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-065 · Практикум: допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения», 17 ч · урок 11/17 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R04.4 «Допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях» → 2–19 (теория: 2, 4, 7, 10, 12; практика: 3, 5, 6, 8, 9, 11, 13–19)
Результаты	ПР-9 (допустимые значения) → 2–19 · ПР-11 (деление дробей) → 7, 8, 9, 16, 17 · ПР-21 (линейное уравнение с параметром) → 11 · ПР-26 (график функции) → 13, 14, 18 · ПР-13 (применение к задачам) → 16 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	основное свойство дроби (практикум) — ALG8U-066; действия с дробями — ALG8U-067; дробно-рациональные уравнения — ПР-20; функция и её свойства — ПР-25, ПР-26
Хронометраж	теория 14 мин · практика 31 мин (69 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:допустимыезначенияпеременных

Четыре типа заданий — одно правило B=0

1Разложить

2Не терять

3Исследовать

4Применять

Где выражение не имеет смысла?

Найдите допустимые значения x2−5x+6x+5​+x2+43​

Разложите знаменатель или оцените его

Найдите недопустимые значения x

Допустимые значения x−2x+1​:x+3x−4​

Каждый этаж и каждый делитель

Знаменатели + делитель + этажи

При каких a дробь x2+2x+a5​ имеет смысл при всех x?

Параметр в знаменателе: три вопроса

При каких x дробь x2+3xx2−9​ равна нулю?

Чем y=x−1x2−1​ отличается от y=x+1?

При каких x дробь равна нулю?

Найдите ошибку

Шесть заданий от базы к исследованию

Подсказки

Ответы

По вариантам: четыре типа — четыре задания

Вариант 1

Вариант 2

Постройте график y=1−x(x2+4)(x−1)​

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-065 · Практикум: допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях

Практикум:
допустимые
значения
переменных

Четыре типа заданий — одно правило $B \neq = 0$

Найдите допустимые значения $\frac{x + 5}{x ^{2} - 5 x + 6} + \frac{3}{x ^{2} + 4}$

Найдите недопустимые значения $x$

Допустимые значения $\frac{x + 1}{x - 2} : \frac{x - 4}{x + 3}$

При каких $a$ дробь $\frac{5}{x ^{2} + 2 x + a}$ имеет смысл при всех $x$ ?

При каких $x$ дробь $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 3 x}$ равна нулю?

Чем $y = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ отличается от $y = x + 1$ ?

При каких $x$ дробь равна нулю?

Постройте график $y = \frac{( x ^{2} + 4 ) ( x - 1 )}{1 - x}$