Дробно-рациональные выражения · урок 10 из 17 · практикум

Практикум: алгебраическая дробь

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG8U-064

0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Паспорт: R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения» (17 ч), урок 10/17, единица R04.3 «Алгебраическая дробь». Тип П (практикум). Новый материал строки пройден на уроках ALG8U-055…061; практикумы ALG8U-062 (рациональные выражения), ALG8U-063 (тождественные преобразования). Следующий — ALG8U-065, практикум по допустимым значениям.
Хронометраж (45 мин): цели 1 (сл. 2) · разминка 3 (сл. 3) · опорная схема 2 (сл. 4) · пять типов заданий по схеме «образец учителя → сами» 25 (сл. 5–17: образцы 11 мин, работа учеников 13 мин) · найди ошибку 2 (сл. 18) · задания с самопроверкой 5 (сл. 19) · самостоятельная работа 5 (сл. 20) · ОГЭ 2 (сл. 21) · итог и ДЗ 1 (сл. 22).
Если не успеваете: сл. 15 (знак дроби · сами) задать дома, № 5 на сл. 19 оставить сильным.

R04.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

1Вычислять

значение дроби при подстановке и по известному отношению переменных (ПР-12, ПР-13)

2Находить

когда дробь равна нулю и когда не имеет смысла, в том числе с параметром (ПР-9)

3Исследовать

целые значения и знак дроби (ПР-10, ПР-12)

4Моделировать

задачу алгебраической дробью и рассчитывать по формуле (ПР-13)

1 мин · теория
ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях».
ПР-10: «Применять основное свойство рациональной дроби» (выделение целой части, деление числителя и знаменателя на b).
ПР-12: «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений». ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Виды деятельности ФРП: «Выполнять числовые подстановки и вычислять значение дроби, в том числе с помощью калькулятора… Выражать переменные из формул».

R04.3

Актуализация · устно

Найдите значение дроби

\frac{x + 3}{x - 1}

при

x = 3

$\frac{6}{2} = 3$

\frac{a ^{2} - 1}{a}

при

a = - 1

$\frac{0}{- 1} = 0$

\frac{5}{y + 2}

при

y = - 2

не имеет смысла: $\frac{5}{0}$

\frac{2 b}{b ^{2} + 1}

при

b = 1

$\frac{2}{2} = 1$

\frac{x - y}{y - x}

при

x = 4, y = 1

$\frac{3}{- 3} = - 1$

\frac{m}{n}

при

m = 0, 6; n = 0, 2

$\frac{6}{2} = 3$

R04.3

Опорная схема

Дробь $\frac{A}{B}$ : четыре вопроса

R04.3

Тип 1значение дроби при подстановке

Подставляем аккуратно, со скобками

\frac{2 x - y}{x + y}

при

x = 1, 5; y = - 0, 5

= \frac{2 \cdot 1 , 5 - ( - 0 , 5 )}{1 , 5 + ( - 0 , 5 )} = \frac{3 , 5}{1} = 3, 5

отрицательное число — в скобках

\frac{x ^{2} + 1}{x - 3}

при

x = 3, 2

:

\frac{11 , 24}{0 , 2} = 56, 2

с калькулятором: сначала числитель и знаменатель

R04.3

Тип 1сами по образцу · ответы по клику

Найдите значение дроби

1 $\frac{a - 2 b}{a + b}$ при $a = - 1; b = 0, 5$

$\frac{- 2}{- 0 , 5} = 4$

2 $\frac{x ^{2} - 3 x}{x + 1}$ при $x = - 2$

$\frac{10}{- 1} = - 10$

3 $\frac{m ^{2} + n}{m - n}$ при $m = 0, 5; n = - 0, 25$

$\frac{0}{0 , 75} = 0$

4 $\frac{2 y - 1}{y ^{2} - 4}$ при $y = 2$

не имеет смысла: $y^{2} - 4 = 0$

R04.3

Тип 1углублённый уровень · известно отношение

$\frac{a}{b} = 3$ . Найдите $\frac{a + 2 b}{a - b}$

a = 3 b, b \neq = 0

из условия; при

b = 0

отношение не имеет смысла

\frac{3 b + 2 b}{3 b - b} = \frac{5 b}{2 b} = \frac{5}{2} = 2, 5

способ 1: подставили

a = 3 b

\frac{\frac{a}{b} + 2}{\frac{a}{b} - 1} = \frac{3 + 2}{3 - 1} = 2, 5

способ 2: числитель и знаменатель разделили на

b

R04.3

Тип 1сами по образцу · известно отношение

Зная отношение, найдите значение дроби

1 $\frac{a}{b} = 2$ . Найдите $\frac{a + b}{a - b}$

$\frac{3 b}{b} = 3$

2 $\frac{x}{y} = 4$ . Найдите $\frac{x - 2 y}{x + 2 y}$

$\frac{2 y}{6 y} = \frac{1}{3}$

3 $\frac{a}{b} = - 3$ . Найдите $\frac{2 a + b}{a - 2 b}$

$\frac{- 5 b}{- 5 b} = 1$

4повыш. $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ . Найдите $\frac{a ^{2} + b ^{2}}{ab}$

$\frac{\frac{4}{9} + 1}{\frac{2}{3}} = \frac{13}{6}$

R04.3

Тип 2когда дробь равна нулю

При каких $x$ дробь $\frac{x ^{2} - 4 x}{x ^{2} - 16}$ равна нулю?

\frac{A}{B} = 0 ⟺ A = 0, B \neq = 0

x^{2} - 4 x = 0 \Rightarrow x (x - 4) = 0

x = 0

или

x = 4

x^{2} - 16 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = 4, x \neq = - 4

проверяем знаменатель

Ответ:

x = 0

R04.3

Тип 2сами по образцу · ответы по клику

При каких $x$ дробь равна нулю?

1 $\frac{x - 5}{x + 2}$

$x = 5$

2 $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$

$x = - 3$ ( $x = 3$ обнуляет знаменатель)

3 $\frac{x ^{2} + 5 x}{x ^{2} - 25}$

$x = 0$ ( $x = - 5$ отпадает)

4повыш. $\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x - 3}$

таких $x$ нет

R04.3

Тип 2углублённый уровень · параметр

При каких $a$ дробь $\frac{x ^{2} - a ^{2}}{x - 2}$ равна нулю ровно при одном $x$ ?

Случай	Корни числителя	Условие $x \neq = 2$	Значений $x$
$a = 0$	$x = 0$	годится	1
$a = 2$ или $a = - 2$	$x = 2, x = - 2$	$x = 2$ отпадает	1
остальные $a$	$x = a, x = - a$	оба годятся	2

Ответ:

a \in {- 2; 0; 2}

R04.3

Тип 3углублённый уровень · целые значения

При каких целых $n$ дробь $\frac{2 n + 7}{n + 2}$ — целое число?

\frac{2 n + 7}{n + 2} = \frac{2 ( n + 2 ) + 3}{n + 2} = 2 + \frac{3}{n + 2}

выделили целую часть

n + 2

— делитель числа

3

:

\pm 1, \pm 3

Ответ:

n \in {- 5; - 3; - 1; 1}

R04.3

Тип 3сами по образцу · целые значения

При каких целых $n$ дробь — целое число?

1 $\frac{n + 4}{n + 1} = 1 + \frac{3}{n + 1}$

$n + 1 \in {\pm 1; \pm 3} \Rightarrow n \in {- 4; - 2; 0; 2}$

2 $\frac{3 n + 8}{n + 2}$

$3 + \frac{2}{n + 2} \Rightarrow n \in {- 4; - 3; - 1; 0}$

3повыш. $\frac{n ^{2} + 3}{n + 1}$

$n - 1 + \frac{4}{n + 1} \Rightarrow n \in {- 5; - 3; - 2; 0; 1; 3}$

R04.3

Тип 4знак дроби

При каких $x$ дробь $\frac{x - 2}{x + 5}$ отрицательна?

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков:

- 5 < x < 2

1 мин · теория (образец — разбирает учитель)
Знак частного = знак произведения. Строим таблицу знаков на координатной прямой: числитель меняет знак в точке 2, знаменатель — в точке −5.
Строго: дробь < 0 ⇔ система {x − 2 < 0; x + 5 > 0} или {x − 2 > 0; x + 5 < 0}. Первая даёт −5 < x < 2, вторая решений не имеет (связь с R01, системы неравенств).
Проверка: x = 0 → −2/5 < 0 ✓; x = −6 → −8/(−1) = 8 > 0 ✓.
Вопрос: а при каких x дробь ≤ 0? Ответ: −5 < x ≤ 2 (точка −5 по-прежнему выколота).

R04.3

Тип 4сами по образцу · знак дроби

Определите, при каких $x$ выполняется условие

1 $\frac{x + 3}{x - 1} < 0$

$- 3 < x < 1$

2 $\frac{x - 4}{x + 2} > 0$

$x < - 2$ или $x > 4$

3 $\frac{5}{x - 3} < 0$

$x < 3$ (числитель $5 > 0$ )

4повыш. $\frac{x ^{2} + 1}{x + 6} > 0$

$x > - 6$ ( $x^{2} + 1 > 0$ всегда)

2 мин · практика (сами по образцу)
Нули числителя и знаменателя отмечаем на прямой, знаки — по интервалам. Точки — выколотые (строгое неравенство, знаменатель ≠ 0).
1) Нули −3 и 1; между ними числитель > 0, знаменатель < 0. Проверка x = 0: 3/(−1) < 0 ✓. Ответ: −3 < x < 1.
2) Нули −2 и 4; дробь положительна вне отрезка. Проверка x = 0: −4/2 < 0 — не входит ✓; x = 5: 1/7 > 0 ✓.
3) Числитель положителен, значит, нужен знаменатель < 0: x < 3.
4) x² + 1 > 0 при всех x, значит, x + 6 > 0: x > −6.

R04.3

Тип 5дробь — модель задачи

Туда — 60 км/ч, обратно — 40 км/ч. Средняя скорость?

t_{1} = \frac{s}{60}, t_{2} = \frac{s}{40}

путь

s

— в одну сторону

v_{ср} = \frac{2 s}{\frac{s}{60} + \frac{s}{40}} = \frac{2 s}{\frac{5 s}{120}} = \frac{240}{5} = 48

s

сократилось: ответ от пути не зависит

v_{ср} = \frac{2 v _{1} v _{2}}{v _{1} + v _{2}}

общая формула

R04.3

Тип 5сами · задачи из жизни

Составьте дробь и вычислите

1Автобус шёл из A в B со скоростью 30 км/ч, а обратно — 20 км/ч. Средняя скорость?

$\frac{2 \cdot 30 \cdot 20}{30 + 20} = 24$ км/ч

2Одна труба наполняет бак за 6 ч, другая — за 3 ч. За сколько часов наполнят вместе?

$1 : (\frac{1}{6} + \frac{1}{3}) = 2$ ч

3Купили яблок на 600 ₽ по 40 ₽/кг и груш на 600 ₽ по 60 ₽/кг. Средняя цена 1 кг?

$\frac{1200}{15 + 10} = 48$ ₽/кг

R04.3

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$\frac{x ^{2} - 9}{x + 3} = 0$ при $x = \pm 3$	при $x = - 3$ знаменатель $= 0$	$x = 3$
$- \frac{a - b}{c} = \frac{- a - b}{c}$	минус — ко всему числителю	$\frac{b - a}{c}$
$\frac{a + 3}{b + 3} = \frac{a}{b}$	сокращают только множители	нельзя: $\frac{4}{5} \neq = \frac{1}{2}$
$\frac{5}{x ^{2} + 4}$ не имеет смысла при $x = - 2$	$x^{2} + 4 \geq 4 > 0$	имеет смысл при всех $x$

R04.3

Задания с самопроверкой · ответы по клику

Решите и проверьте

базаНайдите значение $\frac{3 a - b}{a + b}$ при $a = - 0, 2; b = 0, 6$ . → $- 3$
базаПри каких $x$ дробь $\frac{x ^{2} - x}{x ^{2} - 1}$ равна нулю? → $x = 0$
повыш. $\frac{x}{y} = - 2$ . Найдите $\frac{3 x + y}{x - 4 y}$ . → $\frac{5}{6}$
повыш.При каких целых $n$ дробь $\frac{3 n - 1}{n + 1}$ — целое число? → ${- 5; - 3; - 2; 0; 1; 3}$
олимп.При каких $a$ дробь $\frac{x ^{2} - a}{x + 1}$ равна нулю ровно при одном $x$ ? → $a = 0$ или $a = 1$

практика 6. В гору велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, обратно — 18 км/ч. Найдите среднюю скорость. → 14,4 км/ч

5 мин · практика (4 мин работа, 1 мин проверка по клику); № 5 — для сильных.
1) (−0,6 − 0,6)/(−0,2 + 0,6) = −1,2/0,4 = −3.
2) x(x − 1) = 0 → x = 0 или x = 1; знаменатель: x ≠ ±1. Ответ: x = 0.
3) x = −2y (y ≠ 0): (−6y + y)/(−2y − 4y) = −5y/(−6y) = 5/6.
4) (3n − 1)/(n + 1) = 3 − 4/(n + 1); n + 1 ∈ {±1, ±2, ±4} → n ∈ {−5, −3, −2, 0, 1, 3}. Проверка n = 3: 8/4 = 2; n = −5: −16/(−4) = 4; n = −2: −7/(−1) = 7 ✓.
5) x² = a. При a < 0 корней нет; a = 0 → x = 0 (годится, одно значение); a > 0 → x = ±√a, одно отпадает только если −√a = −1, т. е. a = 1 (остаётся x = 1). Ответ: a = 0 или a = 1.
6) 2 · 12 · 18/(12 + 18) = 432/30 = 14,4 км/ч. Проверка: путь 36 км: 3 ч + 2 ч = 5 ч, 72 : 5 = 14,4 ✓.

R04.3

Самостоятельная работа · 2 варианта

Самостоятельная работа

Вариант 1

Значение $\frac{2 a + b}{a - b}$ при $a = 0, 5; b = - 1$ . → $0$
При каких $x$ дробь $\frac{x ^{2} - 4}{x + 2}$ равна нулю? → $x = 2$
$\frac{a}{b} = 5$ . Найдите $\frac{a - b}{a + b}$ . → $\frac{2}{3}$
Целые $n$ , при которых $\frac{n + 7}{n + 3}$ — целое. → ${- 7; - 5; - 4; - 2; - 1; 1}$

Вариант 2

Значение $\frac{a - 3 b}{a + b}$ при $a = - 0, 5; b = 1, 5$ . → $- 5$
При каких $x$ дробь $\frac{x ^{2} - x}{x - 1}$ равна нулю? → $x = 0$
$\frac{a}{b} = - 2$ . Найдите $\frac{a + 3 b}{a - b}$ . → $- \frac{1}{3}$
Целые $n$ , при которых $\frac{2 n + 5}{n + 1}$ — целое. → ${- 4; - 2; 0; 2}$

R04.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 12

Расчёт по формуле

При параллельном соединении сопротивление цепи $R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$ . Найдите $R_{2}$ (в омах), если $R = 6$ Ом, $R_{1} = 10$ Ом.

6 = \frac{10 R _{2}}{10 + R _{2}} \Rightarrow 60 + 6 R_{2} = 10 R_{2}

4 R_{2} = 60, R_{2} = 15

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда дробь равна нулю?
Как найти целые значения дроби?
Как определить знак дроби?

Домашнее задание

Значение $\frac{a ^{2} + b}{a - b}$ при $a = - 3, b = - 6$
При каких $x$ дробь $\frac{x ^{2} + 2 x}{x + 2}$ равна нулю?
При каких натуральных $n$ дробь $\frac{n + 11}{n + 2}$ — целое число?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_drobi.htm

1 мин · теория (итоговая сводка правил; рефлексия — ответы одной фразой)
Ответы: числитель равен 0, а знаменатель нет; выделить целую часть и перебрать делители (с отрицательными); знак частного — по знакам числителя и знаменателя.
ДЗ 1) (9 − 6)/(−3 + 6) = 3/3 = 1.
ДЗ 2) x(x + 2) = 0 → x = 0 или x = −2; x = −2 обнуляет знаменатель. Ответ: x = 0.
ДЗ 3) (n + 11)/(n + 2) = 1 + 9/(n + 2); при натуральном n имеем n + 2 ≥ 3, делители 9: 3 и 9 → n = 1 (12/3 = 4) и n = 7 (18/9 = 2).
Следующий урок ALG8U-065 — практикум «Допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях».

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-064 · Практикум: Алгебраическая дробь

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения», 17 ч · урок 10/17 · тип П
Единицы → слайды	R04.3 «Алгебраическая дробь» → 2–22 (теория 14 мин: 2, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 16, 22; практика 31 мин: 3, 6, 8, 10, 13, 15, 17–21)
Результаты	ПР-9 (допустимые значения) → 4, 6, 9, 10, 11, 18, 19, 20 · ПР-10 (основное свойство дроби) → 7, 8, 12, 13, 19, 20 · ПР-12 (тождественные преобразования) → 5, 6, 7, 8, 12–15, 19, 20 · ПР-13 (применение к задачам) → 16, 17, 19, 21 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	допустимые значения подробно (R04.4) — ALG8U-065; основное свойство и сокращение (R04.5) — ALG8U-066; действия с дробями (R04.6) — ALG8U-067; возведение в степень (R04.7) — далее по строке
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: алгебраическая дробь

Сегодня вы научитесь

1Вычислять

2Находить

3Исследовать

4Моделировать

Найдите значение дроби

Дробь BA​: четыре вопроса

Подставляем аккуратно, со скобками

Найдите значение дроби

ba​=3. Найдите a−ba+2b​

Зная отношение, найдите значение дроби

При каких x дробь x2−16x2−4x​ равна нулю?

При каких x дробь равна нулю?

При каких a дробь x−2x2−a2​ равна нулю ровно при одном x?

При каких целых n дробь n+22n+7​ — целое число?

При каких целых n дробь — целое число?

При каких x дробь x+5x−2​ отрицательна?

Определите, при каких x выполняется условие

Туда — 60 км/ч, обратно — 40 км/ч. Средняя скорость?

Составьте дробь и вычислите

Найдите ошибку

Решите и проверьте

Самостоятельная работа

Вариант 1

Вариант 2

Расчёт по формуле

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-064 · Практикум: Алгебраическая дробь

Дробь $\frac{A}{B}$ : четыре вопроса

$\frac{a}{b} = 3$ . Найдите $\frac{a + 2 b}{a - b}$

При каких $x$ дробь $\frac{x ^{2} - 4 x}{x ^{2} - 16}$ равна нулю?

При каких $x$ дробь равна нулю?

При каких $a$ дробь $\frac{x ^{2} - a ^{2}}{x - 2}$ равна нулю ровно при одном $x$ ?

При каких целых $n$ дробь $\frac{2 n + 7}{n + 2}$ — целое число?

При каких целых $n$ дробь — целое число?

При каких $x$ дробь $\frac{x - 2}{x + 5}$ отрицательна?

Определите, при каких $x$ выполняется условие