Дробно-рациональные выражения · урок 9 из 17 · практикум

Практикум: тождественные преобразования рациональных выражений

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG8U-063

1 мин · теория
Паспорт: R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения» (17 ч), урок 9/17, единица R04.2 «Тождественные преобразования рациональных выражений». Тип П (практикум). Теория была на ALG8U-056 (тождества, способы доказательства) и ALG8U-060–061 (действия с дробями, степень дроби); прошлый урок ALG8U-062 — практикум «Рациональные выражения». Следующий ALG8U-064 — практикум «Алгебраическая дробь».
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Сумма 45 мин.
Хронометраж: титул и цели 2 мин (сл. 1–2, теория) · разминка 2 (сл. 3, практика) · алгоритм 2 (сл. 4, теория) · пять образцов по 2 мин — 10 (сл. 5, 7, 9, 11, 13, теория) · «образец → сам» 12 (сл. 6, 8, 10, 12, 14) · ошибки 2 (сл. 15) · задача из жизни 2 (сл. 16) · самопроверка 6 (сл. 17–18) · ОГЭ 2 (сл. 19) · самостоятельная работа 4 (сл. 20) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 21).
Вся теория прежняя, без сокращений: алгоритм и пять образцов разбирает учитель. Практика добавлена: после каждого образца — слайд «образец → сам» (в нём есть и «Ваша очередь» с образца), задания с самопроверкой и два варианта самостоятельной; ответы появляются по клику. Если не успеваете — сл. 18 частично в ДЗ.
Рисунок на титуле: громоздкое выражение после преобразований оказывается числом 2 (разбор — сл. 7). Вопрос классу: «Может ли такое выражение быть равно числу при всех x?»

R04.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

1Упрощать

рациональные выражения по действиям, с учётом допустимых значений (ПР-12, ПР-11, ПР-9)

2Доказывать

тождества с дробями и независимость значения от переменной (ПР-12, ПР-10)

3Вычислять

по условию: $x + \frac{1}{x} = t$ , телескопические суммы (ПР-12)

4Исследовать

целые значения дроби; применять формулы к задачам (ПР-13)

1 мин · теория
ПР-12 (ФРП): «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений» — главный результат урока.
ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях»; ПР-10: «Применять основное свойство рациональной дроби»; ПР-11: «Выполнять приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сложение, умножение, деление алгебраических дробей».
ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».

R04.2

Разминка · устно

Упростите за 10 секунд

\frac{3}{x} + \frac{2}{x}

$= \frac{5}{x}$

\frac{a}{b} \cdot \frac{b ^{2}}{a ^{3}}

$= \frac{b}{a ^{2}}$

\frac{x}{y} : \frac{x ^{2}}{y}

$= \frac{1}{x}$

\frac{1}{a} - \frac{1}{b}

$= \frac{b - a}{ab}$

(\frac{2 a}{b})^{3}

$= \frac{8 a ^{3}}{b ^{3}}$

\frac{x ^{2} - 1}{x + 1}

$= x - 1, x \neq = - 1$

R04.2

План практикума

Алгоритм упрощения рационального выражения

2 мин · теория
Алгоритм записать в тетрадь — он нужен во всех типах.
Шаг 1 делаем по ИСХОДНОМУ выражению: после сокращения часть ограничений «исчезает» из записи, но остаётся в ответе.
При делении на дробь её числитель тоже не может быть равен 0 (после переворота он станет знаменателем).
Вопрос: почему сокращать можно только множители? Основное свойство дроби: числитель и знаменатель умножают/делят на одно и то же ненулевое выражение.

R04.2

Тип 1упростить по действиям · образец

Упростите: $\frac{a ^{2} - 4}{a ^{2} + 4 a + 4} : \frac{a - 2}{3 a + 6} - \frac{a}{a + 1}$

ОДЗ:

a \neq = \pm 2, a \neq = - 1

знаменатели и делитель

a - 2

①

\frac{( a - 2 ) ( a + 2 )}{( a + 2 ) ^{2}} \cdot \frac{3 ( a + 2 )}{a - 2} = 3

②

3 - \frac{a}{a + 1} = \frac{3 a + 3 - a}{a + 1} = \frac{2 a + 3}{a + 1}

Ваша очередь: упростите

\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} - 6 x + 9} \cdot \frac{x - 3}{2 x + 6} + \frac{1}{x}

2 мин · теория
Образец разбирает учитель; «Ваша очередь» — первое задание следующего слайда. Дерево показывает порядок: корень — последнее действие (вычитание).
Проверка образца: a = 0: (−4/4) : (−2/6) = (−1)·(−3) = 3; 3 − 0 = 3; (2·0 + 3)/1 = 3 ✓. a = 1: (−3/9) : (−1/9) = 3; 3 − 1/2 = 5/2 = 5/2 ✓.
Ответ «ваша очередь»: $\frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x - 3 ) ^{2}} \cdot \frac{x - 3}{2 ( x + 3 )} = \frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{2} + \frac{1}{x} = \frac{x + 2}{2 x}$ , при x ≠ 0, x ≠ ±3. Проверка x = 1: (−8/4)·(−2/8) = 1/2; 1/2 + 1 = 3/2 = (1 + 2)/2 ✓.
Типичная ошибка: забыть условие a ≠ 2 — оно приходит из делителя, а не из знаменателя.

R04.2

Тип 1образец → сам

Упростите по алгоритму: ОДЗ → разложить → порядок

база $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} - 6 x + 9} \cdot \frac{x - 3}{2 x + 6} + \frac{1}{x}$ $= \frac{1}{2} + \frac{1}{x} = \frac{x + 2}{2 x}$ , $x \neq = 0, x \neq = \pm 3$
база $\frac{a ^{2} - 1}{a ^{2} + 2 a + 1} : \frac{a - 1}{2 a + 2} - \frac{1}{a}$ $= 2 - \frac{1}{a} = \frac{2 a - 1}{a}$ , $a \neq = 0, a \neq = \pm 1$
повыш. $(\frac{x}{x + 1} + 1) : \frac{2 x + 1}{x ^{2} - 1}$ $= \frac{2 x + 1}{x + 1} \cdot \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{2 x + 1} = x - 1$ , $x \neq = \pm 1, x \neq = - \frac{1}{2}$

3 мин · практика
Работают в тетрадях по алгоритму сл. 4, учитель открывает ответы по одному; поднятые руки «сколько верно».
1) $\frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x - 3 ) ^{2}} \cdot \frac{x - 3}{2 ( x + 3 )} = \frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{2} + \frac{1}{x} = \frac{x + 2}{2 x}$ . Проверка x = 1: (−8/4)·(−2/8) = 1/2; 1/2 + 1 = 3/2 = 3/2 ✓.
2) $\frac{( a - 1 ) ( a + 1 )}{( a + 1 ) ^{2}} \cdot \frac{2 ( a + 1 )}{a - 1} = 2$ ; $2 - \frac{1}{a} = \frac{2 a - 1}{a}$ . Проверка a = 2: (3/9) : (1/6) = 2; 2 − 1/2 = 3/2 = (4 − 1)/2 ✓.
3) $\frac{x}{x + 1} + 1 = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ ; деление на дробь — умножение на перевёрнутую: ответ x − 1. Условие $x \neq = - \frac{1}{2}$ — из числителя делителя. Проверка x = 2: (2/3 + 1) : (5/3) = 1 = 2 − 1 ✓.

R04.2

Тип 2значение не зависит от переменной · образец

Докажите, что значение не зависит от $x$

(\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2}) : \frac{4 x}{x ^{2} - 4}

(x + 2)^{2} - (x - 2)^{2} = 4 \cdot 2 x = 8 x

разность квадратов в числителе

\frac{8 x}{x ^{2} - 4} \cdot \frac{x ^{2} - 4}{4 x} = 2

Значение равно

2

при всех допустимых

x

x \neq = 0, x \neq = \pm 2

Ваша очередь: докажите, что

\frac{a}{a - 3} - \frac{6 a}{a ^{2} - 9} + \frac{3}{a + 3} = 1

при

a \neq = \pm 3

2 мин · теория
Образец разбирает учитель; «Ваша очередь» решают на следующем слайде. «Не зависит от x» = выражение тождественно равно числу на ОДЗ. Доказательство — преобразованием, а не подстановкой нескольких x.
Числитель: $(x + 2)^{2} - (x - 2)^{2} = (x + 2 - x + 2) (x + 2 + x - 2) = 4 \cdot 2 x = 8 x$ . Проверка x = 1: (3/(−1) − (−1)/3) : (4/(−3)) = (−3 + 1/3)·(−3/4) = (−8/3)·(−3/4) = 2 ✓.
Почему три выколотые точки: x = ±2 — знаменатели, x = 0 — числитель делителя 4x.
Ответ «ваша очередь»: общий знаменатель $a^{2} - 9$ : $a (a + 3) - 6 a + 3 (a - 3) = a^{2} - 9$ , итого 1. Проверка a = 1: −1/2 + 6/8 + 3/4 = 1 ✓.

R04.2

Тип 2образец → сам

Докажите, что значение не зависит от переменной

база $\frac{a}{a - 3} - \frac{6 a}{a ^{2} - 9} + \frac{3}{a + 3}$ $\frac{a ^{2} + 3 a - 6 a + 3 a - 9}{a ^{2} - 9} = 1$ , $a \neq = \pm 3$
база $(\frac{y + 1}{y - 1} - \frac{y - 1}{y + 1}) : \frac{y}{y ^{2} - 1}$ $\frac{4 y}{y ^{2} - 1} \cdot \frac{y ^{2} - 1}{y} = 4$ , $y \neq = 0, y \neq = \pm 1$
повыш. $(\frac{a}{a + b} + \frac{b}{a - b}) : \frac{a ^{2} + b ^{2}}{a ^{2} - b ^{2}}$ $\frac{a ^{2} + b ^{2}}{a ^{2} - b ^{2}} \cdot \frac{a ^{2} - b ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}} = 1$ , $a \neq = \pm b$

R04.2

Тип 2тождество → вычисление · образец

Тождество $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ и сумма

Доказательство:

\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 1 - n}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n ( n + 1 )}

Ваша очередь: найдите

\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{19 \cdot 21}

2 мин · теория
Образец разбирает учитель; «Ваша очередь» решают на следующем слайде. Тождество, доказанное в общем виде, позволяет считать без общего знаменателя (он был бы огромным). Такие суммы называют телескопическими.
Проверка на малом числе слагаемых: 1/2 + 1/6 = 2/3 = 1 − 1/3 ✓.
Ответ «ваша очередь»: $\frac{1}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k + 1})$ (проверить: разность скобок равна $\frac{2}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )}$ ). Сумма $= \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{21}) = \frac{10}{21}$ . Проверка двух слагаемых: 1/3 + 1/15 = 6/15 = 2/5 = ½(1 − 1/5) ✓.
Типичная ошибка: потерять множитель ½ во втором задании.

R04.2

Тип 2образец → сам · телескопические суммы

Разложите каждое слагаемое на разность и найдите сумму

база $\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{99 \cdot 100}$ $\frac{1}{2} - \frac{1}{100} = \frac{49}{100}$
база $\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{19 \cdot 21}$ $\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{21}) = \frac{10}{21}$

повыш. $\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{28 \cdot 31}$ $\frac{1}{3} (1 - \frac{1}{31}) = \frac{10}{31}$

повыш.Упростите $\frac{1}{x ( x + 1 )} + \frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} + \frac{1}{( x + 2 ) ( x + 3 )}$ $\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 3} = \frac{3}{x ( x + 3 )}$

R04.2

Тип 3значение по условию · образец

$x + \frac{1}{x} = 3$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ , $x^{4} + \frac{1}{x ^{4}}$ , $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}$

(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x ^{2}}

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 9 - 2 = 7

x^{4} + \frac{1}{x ^{4}} = 7^{2} - 2 = 47

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = 3^{3} - 3 \cdot 3 = 18

(x + \frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} + 3 (x + \frac{1}{x})

Ваша очередь:

a - \frac{1}{a} = 2

. Найдите

a^{2} + \frac{1}{a ^{2}}

a^{4} + \frac{1}{a ^{4}}

2 мин · теория
Образец разбирает учитель; «Ваша очередь» решают на следующем слайде. Идея: сам x искать не нужно (он иррационален: x² − 3x + 1 = 0 — решать такие уравнения будем позже). Работаем с выражением целиком.
Ключ: произведение x · (1/x) = 1, поэтому удвоенное произведение — просто 2. Условие x ≠ 0 следует из записи.
Куб: (x + 1/x)³ = x³ + 3x + 3/x + 1/x³; 27 = (x³ + 1/x³) + 3 · 3 → 18.
Ответ «ваша очередь»: (a − 1/a)² = a² − 2 + 1/a² = 4 → a² + 1/a² = 6; a⁴ + 1/a⁴ = 36 − 2 = 34. Ошибка: знак при 2 (здесь +2, а не −2).

R04.2

Тип 3образец → сам

Найдите значение, не находя саму переменную

база $a - \frac{1}{a} = 2$ . Найдите $a^{2} + \frac{1}{a ^{2}}$ и $a^{4} + \frac{1}{a ^{4}}$ . $4 + 2 = 6$ ; $6^{2} - 2 = 34$
база $x + \frac{1}{x} = 4$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ и $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}$ . $16 - 2 = 14$ ; $4^{3} - 3 \cdot 4 = 52$
повыш. $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 14$ , $x > 0$ . Найдите $x + \frac{1}{x}$ . $(x + \frac{1}{x})^{2} = 14 + 2 = 16$ , при $x > 0$ сумма положительна: $4$

R04.2

Тип 4выделение целой части · образец

При каких целых $n$ значение $\frac{n ^{2} + 3 n + 5}{n + 1}$ — целое число?

n^{2} + 3 n + 5 = (n + 1) (n + 2) + 3

(n + 1) (n + 2) = n^{2} + 3 n + 2

\frac{n ^{2} + 3 n + 5}{n + 1} = n + 2 + \frac{3}{n + 1}

n + 1 \in {- 3; - 1; 1; 3}

делители числа 3

Ответ:

n \in {- 4; - 2; 0; 2}

Ваша очередь: при каких целых

n

дробь

\frac{2 n + 7}{n + 2}

— целое число?

2 мин · теория
Образец разбирает учитель; «Ваша очередь» решают на следующем слайде. Приём «выделение целой части»: делим многочлен на многочлен как числа с остатком, остаток — число.
n + 2 — целое при целом n, значит всё выражение целое ⇔ 3/(n + 1) целое ⇔ n + 1 — делитель 3 (не забыть отрицательные делители!).
Проверка всех: n = 0: 5/1 = 5; n = −2: (4 − 6 + 5)/(−1) = −3; n = 2: 15/3 = 5; n = −4: (16 − 12 + 5)/(−3) = −3 ✓.
Ответ «ваша очередь»: 2n + 7 = 2(n + 2) + 3 → 2 + 3/(n + 2); n + 2 ∈ {±1; ±3} → n ∈ {−5; −3; −1; 1}. Проверка n = 1: 9/3 = 3; n = −5: −3/−3 = 1 ✓.

R04.2

Тип 4образец → сам

При каких целых $n$ значение дроби — целое число?

база $\frac{2 n + 7}{n + 2}$ $2 + \frac{3}{n + 2}$ ; $n \in {- 5; - 3; - 1; 1}$
база $\frac{3 n - 1}{n - 1}$ $3 + \frac{2}{n - 1}$ ; $n \in {- 1; 0; 2; 3}$
повыш. $\frac{n ^{2} - n + 5}{n - 2}$ $n + 1 + \frac{7}{n - 2}$ ; $n \in {- 5; 1; 3; 9}$

R04.2

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$\frac{x + 3}{x + 5} = \frac{3}{5}$	сократили слагаемые	сокращать можно только множители
$\frac{a}{b} - \frac{a - c}{b} = \frac{a - a - c}{b}$	минус перед дробью — ко всему числителю	$\frac{a - a + c}{b} = \frac{c}{b}$
$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{b}{a} \cdot \frac{c}{d}$	перевернули делимое	$\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$
ОДЗ нашли по упрощённому ответу	ограничения «потерялись»	ОДЗ — по исходному выражению

R04.2

Задача из жизни · решите сами

Туда — 60 км/ч, обратно — 40 км/ч. Средняя скорость?

v_{ср} = \frac{2 s}{\frac{s}{v _{1}} + \frac{s}{v _{2}}}

весь путь : всё время

= \frac{2 s}{\frac{s ( v _{1} + v _{2} )}{v _{1} v _{2}}} = \frac{2 v _{1} v _{2}}{v _{1} + v _{2}}

s

сократилось — от пути не зависит

\frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60 + 40} = 48

км/ч

2 мин · практика
Вопрос до решения: «Средняя скорость 50 км/ч?» Большинство скажет «да». Ученики 1 мин считают сами (подсказка: возьмите s = 120 км), затем учитель открывает шаги.
Медленный участок занимает больше времени, поэтому среднее ближе к 40. Результат $\frac{2 v _{1} v _{2}}{v _{1} + v _{2}}$ — среднее гармоническое.
Числовая проверка (s = 120): 120/60 = 2 ч, 120/40 = 3 ч, 240/5 = 48 ✓.
Сильным: с какой скоростью ехать обратно, чтобы при v₁ = 40 средняя была 50? 50 = 80v₂/(40 + v₂) → 30v₂ = 2000 → v₂ = 200/3 ≈ 66,7 км/ч. (Виды деятельности ФРП: «Выражать переменные из формул».)

R04.2

Задания с самопроверкой · база

Упростите и найдите значение

база $\frac{x ^{2} - 4 x}{x ^{2} - 16}$ $\frac{x}{x + 4}$ , $x \neq = \pm 4$
база $\frac{2}{a - 3} - \frac{6}{a ^{2} - 3 a}$ $\frac{2 a - 6}{a ( a - 3 )} = \frac{2}{a}$ , $a \neq = 0; 3$
база $\frac{5 x}{x + y} \cdot \frac{x ^{2} - y ^{2}}{10 x ^{2}}$ $\frac{x - y}{2 x}$

база $\frac{c ^{2} - 9}{4 c} : \frac{c + 3}{8 c ^{2}}$ $2 c (c - 3)$ , $c \neq = 0; - 3$
база $\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x ^{2} - 1}$ $\frac{1}{x + 1}$ , $x \neq = \pm 1$
база $\frac{a ^{2} - b ^{2}}{a ^{2} + ab}$ при $a = 0, 5$ , $b = - 0, 3$ $\frac{a - b}{a} = \frac{0 , 8}{0 , 5} = 1, 6$

3 мин · практика
Ученики решают в тетрадях, учитель открывает ответы по клику — самопроверка, «сколько верно».
1) x(x − 4)/((x − 4)(x + 4)) = x/(x + 4). Проверка x = 1: −3/−15 = 1/5 ✓.
2) Общий знаменатель a(a − 3): (2a − 6)/(a(a − 3)) = 2/a. Проверка a = 1: 2/(−2) − 6/(−2) = 2 = 2/1 ✓.
3) 5x(x − y)(x + y)/((x + y) · 10x²) = (x − y)/(2x), x ≠ 0, x ≠ −y. Проверка x = 1, y = 0: 5 · 1/10 = 1/2 ✓.
4) (c − 3)(c + 3)/(4c) · 8c²/(c + 3) = 2c(c − 3). Проверка c = 1: (−8/4) : (4/8) = −4 = 2 · 1 · (−2) ✓.
5) (x + 1 − 2)/(x² − 1) = 1/(x + 1). Проверка x = 2: 1 − 2/3 = 1/3 ✓.
6) (a − b)(a + b)/(a(a + b)) = (a − b)/a = 1,6. Проверка «в лоб»: (0,25 − 0,09)/(0,25 − 0,15) = 0,16/0,1 = 1,6 ✓.

R04.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Решите

базаУпростите $\frac{a}{a - b} + \frac{b}{b - a}$ . $\frac{a - b}{a - b} = 1$ , $a \neq = b$
базаУпростите $\frac{x ^{2} - y ^{2}}{x y} : \frac{x + y}{y}$ . $\frac{x - y}{x}$

повыш. $x + \frac{1}{x} = 5$ . Найдите
$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ и $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}$ . $23$ ; $110$

повыш.Докажите: $\frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 1} - \frac{2}{a ^{2} + 1} = \frac{4}{a ^{4} - 1}$ . $\frac{2}{a ^{2} - 1} - \frac{2}{a ^{2} + 1} = \frac{4}{a ^{4} - 1}$
олимп. $a + b + c = 0$ , $ab c \neq = 0$ . Найдите $\frac{a ^{2}}{b c} + \frac{b ^{2}}{a c} + \frac{c ^{2}}{ab}$ . $\frac{a ^{3} + b ^{3} + c ^{3}}{ab c} = 3$

3 мин · практика
№ 5 — для сильных. Ответы открывать по одному, после каждого — «у кого так же?».
1) $\frac{a}{a - b} - \frac{b}{a - b} = 1$ при a ≠ b. Проверка a = 3, b = 1: 3/2 + 1/(−2) = 1 ✓.
2) $\frac{( x - y ) ( x + y )}{x y} \cdot \frac{y}{x + y} = \frac{x - y}{x}$ при x ≠ 0, y ≠ 0, x ≠ −y. Проверка x = 2, y = 1: 3/2 : 3 = 1/2 = (2 − 1)/2 ✓.
3) 25 − 2 = 23; 125 − 3 · 5 = 110.
4) $\frac{1}{a - 1} - \frac{1}{a + 1} = \frac{2}{a ^{2} - 1}$ ; $\frac{2}{a ^{2} - 1} - \frac{2}{a ^{2} + 1} = \frac{2 ( a ^{2} + 1 - a ^{2} + 1 )}{a ^{4} - 1} = \frac{4}{a ^{4} - 1}$ при a ≠ ±1. Проверка a = 2: 1 − 1/3 − 2/5 = 4/15 = 4/(16 − 1) ✓.
5) Сумма $= \frac{a ^{3} + b ^{3} + c ^{3}}{ab c}$ . Из c = −(a + b): a³ + b³ + c³ = a³ + b³ − (a + b)³ = −3ab(a + b) = 3abc. Ответ 3. Проверка a = b = 1, c = −2: −1/2 − 1/2 + 4 = 3 ✓.

R04.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8

Найдите значение выражения

(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \cdot \frac{ab}{a + b}

при

a = 6 \frac{1}{3}, b = 2 \frac{1}{3}

Сначала упростить: смешанные числа не понадобятся до последнего шага.

R04.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта: упростите, найдите значение

Вариант 1

Упростите $\frac{a ^{2} - 25}{a ^{2} + 5 a}$ . $\frac{a - 5}{a}$
Упростите $\frac{x}{x - 2} - \frac{4}{x ^{2} - 2 x}$ . $\frac{x + 2}{x}$
$(\frac{3}{b - 3} - \frac{18}{b ^{2} - 9}) \cdot \frac{b + 3}{3} = ?$ $1$
$x + \frac{1}{x} = 6$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ . $34$

Вариант 2

Упростите $\frac{b ^{2} - 36}{b ^{2} - 6 b}$ . $\frac{b + 6}{b}$
Упростите $\frac{y}{y + 3} - \frac{9}{y ^{2} + 3 y}$ . $\frac{y - 3}{y}$
$(\frac{5}{c + 5} + \frac{50}{c ^{2} - 25}) \cdot \frac{c - 5}{5} = ?$ $1$
$x - \frac{1}{x} = 4$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ . $18$

4 мин · практика
Вариант 1: 1) (a − 5)(a + 5)/(a(a + 5)) = (a − 5)/a, a ≠ 0, −5; проверка a = 1: −24/6 = −4 ✓. 2) (x² − 4)/(x(x − 2)) = (x + 2)/x, x ≠ 0, 2; проверка x = 1: −1 + 4 = 3 ✓. 3) при b ≠ ±3: 3(b + 3) − 18 = 3(b − 3) → $\frac{3}{b + 3} \cdot \frac{b + 3}{3} = 1$ ; проверка b = 0: (−1 + 2) · 1 = 1 ✓. 4) 36 − 2 = 34.
Вариант 2: 1) (b − 6)(b + 6)/(b(b − 6)) = (b + 6)/b, b ≠ 0, 6; проверка b = 1: −35/(−5) = 7 ✓. 2) (y² − 9)/(y(y + 3)) = (y − 3)/y, y ≠ 0, −3; проверка y = 1: 1/4 − 9/4 = −2 ✓. 3) при c ≠ ±5: 5(c − 5) + 50 = 5(c + 5) → $\frac{5}{c - 5} \cdot \frac{c - 5}{5} = 1$ ; проверка c = 0: (1 − 2) · (−1) = 1 ✓. 4) 16 + 2 = 18.
Ответы открывать после сдачи / для взаимопроверки в парах. Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

По какому выражению ищут ОДЗ?
Как из $x + \frac{1}{x}$ получить $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ ?
Зачем выделять целую часть дроби?

Домашнее задание

Докажите, что не зависит от $x$ : $(\frac{3}{x - 3} - \frac{x + 15}{x ^{2} - 9}) \cdot \frac{x + 3}{2}$
$x - \frac{1}{x} = 3$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$
При каких целых $n$ дробь $\frac{n ^{2} + 5}{n - 1}$ — целое число?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_drobi.htm

1 мин · практика
Ответы: по исходному (все знаменатели и делители); возвести в квадрат и вычесть 2; чтобы свести вопрос о целых значениях к делителям числа.
ДЗ 1) 3(x + 3) − (x + 15) = 2x − 6 = 2(x − 3); $\frac{2 ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} \cdot \frac{x + 3}{2} = 1$ при x ≠ ±3. Проверка x = 0: (−1 + 15/9) · 3/2 = (2/3)(3/2) = 1 ✓.
ДЗ 2) x² − 2 + 1/x² = 9 → 11.
ДЗ 3) n² + 5 = (n − 1)(n + 1) + 6 → n + 1 + 6/(n − 1); n − 1 ∈ {±1; ±2; ±3; ±6} → n ∈ {−5; −2; −1; 0; 2; 3; 4; 7}. Проверка n = 7: 54/6 = 9; n = −5: 30/(−6) = −5 ✓.
Следующий урок ALG8U-064 — практикум «Алгебраическая дробь».

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-063 · Практикум: тождественные преобразования рациональных выражений

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения», 17 ч · урок 9/17 · тип П (практикум) · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R04.2 «Тождественные преобразования рациональных выражений» → 2–21
Результаты	ПР-12 (тождественные преобразования рациональных выражений) → 4–15, 17–20 · ПР-11 (действия с алгебраическими дробями) → 3, 5–10, 17–18, 20 · ПР-10 (основное свойство дроби) → 3, 7, 15, 17 · ПР-9 (допустимые значения) → 4–8, 15, 17 · ПР-13 (применение к задачам) → 13–14, 16, 19 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	алгебраическая дробь (R04.3) — ALG8U-064; допустимые значения (R04.4) — ALG8U-065; основное свойство дроби (R04.5) — ALG8U-066; квадратные уравнения (решение x² − 3x + 1 = 0) — строка R03
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: тождественные преобразования рациональных выражений

Сегодня вы научитесь

1Упрощать

2Доказывать

3Вычислять

4Исследовать

Упростите за 10 секунд

Алгоритм упрощения рационального выражения

Упростите: a2+4a+4a2−4​:3a+6a−2​−a+1a​

Упростите по алгоритму: ОДЗ → разложить → порядок

Докажите, что значение не зависит от x

Докажите, что значение не зависит от переменной

Тождество n(n+1)1​=n1​−n+11​ и сумма

Разложите каждое слагаемое на разность и найдите сумму

x+x1​=3. Найдите x2+x21​, x4+x41​, x3+x31​

Найдите значение, не находя саму переменную

При каких целых n значение n+1n2+3n+5​ — целое число?

При каких целых n значение дроби — целое число?

Найдите ошибку

Туда — 60 км/ч, обратно — 40 км/ч. Средняя скорость?

Упростите и найдите значение

Решите

Найдите значение выражения

Два варианта: упростите, найдите значение

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-063 · Практикум: тождественные преобразования рациональных выражений

Упростите: $\frac{a ^{2} - 4}{a ^{2} + 4 a + 4} : \frac{a - 2}{3 a + 6} - \frac{a}{a + 1}$

Докажите, что значение не зависит от $x$

Тождество $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ и сумма

$x + \frac{1}{x} = 3$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ , $x^{4} + \frac{1}{x ^{4}}$ , $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}$

При каких целых $n$ значение $\frac{n ^{2} + 3 n + 5}{n + 1}$ — целое число?

При каких целых $n$ значение дроби — целое число?