Дробно-рациональные выражения · урок 8 из 17 · практикум

Практикум:
рациональные
выражения

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG8U-062

1 мин · теория
Паспорт: R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения» (17 ч), урок 8/17, единица R04.1 «Рациональные выражения». Тип П (практикум). Новый материал строки пройден в ALG8U-055…061; теперь практикумы по единицам. Завтра (ALG8U-063) — практикум по тождественным преобразованиям.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Сумма 45 мин.
Хронометраж: титул и цели 2 (сл. 1–2, теория) · разминка 3 (сл. 3) · тип 1: образец 3 (сл. 4, теория) + сами 4 (сл. 5–6) · тип 2: образец 3 (сл. 7, теория) + сами 4 (сл. 8–9) · тип 3: образец 3 (сл. 10, теория) + сами 4 (сл. 11–12) · тип 4: образец 3 (сл. 13, теория) + сами 2 (сл. 14) · ошибки 2 (сл. 15) · задания с самопроверкой 4 (сл. 16) · самостоятельная работа 5 (сл. 17) · ОГЭ 2 (сл. 18) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 19).
Рисунок: «многоэтажная» дробь $\frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$ и две выколотые точки — главная ловушка практикума.

R04.1

Цели практикума

Четыре типа заданий — четыре умения

1Вычислять

значение выражения: сначала упростить, потом подставить (ПР-10, ПР-12)

2Видеть запреты

в «многоэтажных» дробях — до упрощения (ПР-9)

3Находить без $x$

значение выражения по условию, не зная переменной (ПР-12)

4Моделировать

составлять выражение по условию и исследовать его (ПР-13)

1 мин · теория
ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях». ПР-10: «Применять основное свойство рациональной дроби». ПР-11: «Выполнять приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сложение, умножение, деление алгебраических дробей». ПР-12: «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений». ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач…».
Виды деятельности ФРП: «Выполнять числовые подстановки и вычислять значение дроби», «Применять преобразования выражений для решения задач».
Каждый тип: образец по шагам → задание того же типа. Тип 4 — короче, если не успеваем.

повторение: ALG8U-058…061

Разминка · инструменты строки R04

Пять действий — пять секунд на каждое

Задание	Ответ	Инструмент
$\frac{3 x ^{2}}{6 x}$	$\frac{x}{2}, x \neq = 0$	сокращение
$\frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1}$	$\frac{1}{a ( a + 1 )}$	общий знаменатель
$\frac{x}{y} : \frac{x ^{2}}{y}$	$\frac{1}{x}$	деление
$(\frac{2 a}{b})^{3}$	$\frac{8 a ^{3}}{b ^{3}}$	степень дроби
Где нет смысла: $\frac{5}{x ^{2} - x}$ ?	$x = 0; x = 1$	запреты

\frac{a c}{b c} = \frac{a}{b}

Сокращаем только множители, и только при

c \neq = 0

R04.1 · тип 1

Тип 1 · образец · значение выражения

Найдите значение $\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 2 x}$ при $x = - 0, 25$

3 мин · теория
Сначала спросить: «Как бы вы считали?» Большинство подставит сразу — показать, что числа громоздкие (слева).
Алгоритм: 1) разложить числитель и знаменатель на множители; 2) выписать запреты по исходной дроби; 3) проверить, что данное значение не запрещено; 4) сократить и подставить.
Проверка «в лоб»: −3,9375 : (−0,4375) = 9 ✓ — оба пути дают 9, но второй короче.
Ошибка: сокращают x² в числителе и знаменателе: « $\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 2 x} = \frac{- 4}{2 x}$ ». Сокращать можно только множители.

R04.1 · тип 1

Тип 1 · решите сами

Упростите, проверьте запреты, подставьте

а) $\frac{a ^{2} - 6 a + 9}{a ^{2} - 9}$ при $a = 3, 5$

\frac{( a - 3 ) ^{2}}{( a - 3 ) ( a + 3 )} = \frac{a - 3}{a + 3}

a \neq = \pm 3

\frac{0 , 5}{6 , 5} = \frac{1}{13}

б) $\frac{y ^{2} + 5 y}{y ^{2} - 25}$ при $y = 4, 5$

\frac{y ( y + 5 )}{( y - 5 ) ( y + 5 )} = \frac{y}{y - 5}

y \neq = \pm 5

\frac{4 , 5}{- 0 , 5} = - 9

Ловушка: в а) при

a = 3

упрощённая дробь даёт

0

, а исходная не имеет смысла

R04.1 · тип 1

Тип 1 · ещё четыре · самопроверка

Сначала упростить — потом подставить

база $\frac{m ^{2} - 1}{m ^{2} + m}$ при $m = 0, 2$ $\frac{m - 1}{m} = - 4$
база $\frac{x ^{2} + 4 x + 4}{x ^{2} - 4}$ при $x = 2, 5$ $\frac{x + 2}{x - 2} = 9$
база $\frac{4 a ^{2} - 1}{2 a ^{2} + a}$ при $a = 0, 25$ $\frac{2 a - 1}{a} = - 2$
повыш. $\frac{p ^{3} - 8}{p ^{2} - 4}$ при $p = - 1$ $\frac{p ^{2} + 2 p + 4}{p + 2} = 3$

Порядок

1) на множители

2) запреты по исходной

3) сократить, подставить

В 4) при

p = 2

выражение не имеет смысла

2 мин · практика
Каждый решает в тетради, ответы открываются по клику — класс сверяет.
1) (m − 1)(m + 1) / (m(m + 1)) = (m − 1)/m, m ≠ 0, m ≠ −1; при m = 0,2: −0,8 / 0,2 = −4. Проверка: 0,04 − 1 = −0,96; 0,04 + 0,2 = 0,24; −0,96 / 0,24 = −4 ✓.
2) (x + 2)² / ((x − 2)(x + 2)) = (x + 2)/(x − 2), x ≠ ±2; 4,5 / 0,5 = 9. Проверка: 6,25 + 10 + 4 = 20,25; 6,25 − 4 = 2,25; 20,25 / 2,25 = 9 ✓.
3) (2a − 1)(2a + 1) / (a(2a + 1)) = (2a − 1)/a, a ≠ 0, a ≠ −0,5; −0,5 / 0,25 = −2. Проверка: 0,25 − 1 = −0,75; 0,125 + 0,25 = 0,375; −0,75 / 0,375 = −2 ✓.
4) p³ − 8 = (p − 2)(p² + 2p + 4), p² − 4 = (p − 2)(p + 2); p ≠ ±2; (1 − 2 + 4)/1 = 3. Проверка: −9 / (−3) = 3 ✓. Ловушка: при p = 2 упрощённая дробь даёт 12/4 = 3, а исходная — 0/0.

R04.1 · R04.4 · тип 2

Тип 2 · образец · многоэтажная дробь

При каких $x$ имеет смысл $\frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$ ?

этаж 1:

x \neq = 0

знаменатель

\frac{1}{x}

этаж 2:

1 - \frac{1}{x} \neq = 0 \Rightarrow x \neq = 1

\frac{1}{\frac{x - 1}{x}} = \frac{x}{x - 1}

3 мин · теория
Правило: запреты выписываем по ИСХОДНОЙ записи, этаж за этажом, сверху вниз — каждый знаменатель на каждом этаже не равен нулю.
Ответ: выражение имеет смысл при всех x, кроме 0 и 1. Тождество $\frac{1}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{x}{x - 1}$ верно только при x ≠ 0, x ≠ 1.
Вопрос: чему равно упрощённое выражение при x = 0? (0.) А исходное? (Не имеет смысла: 1/0 на первом этаже.)
Ошибка: искать запреты только в «главном» знаменателе после упрощения — теряется x = 0.

R04.1 · R04.4 · тип 2

Тип 2 · решите сами

Запреты по этажам, затем упрощение

\frac{2}{1 + \frac{1}{x + 1}}

этаж 1:

x \neq = - 1

этаж 2:

\frac{x + 2}{x + 1} \neq = 0 \Rightarrow x \neq = - 2

= \frac{2 ( x + 1 )}{x + 2}

$x$	исходное	упрощённое
$2$	$1, 5$	$1, 5$
$- 1$	нет смысла	$0$
$- 2$	нет смысла	нет смысла

R04.1 · R04.4 · тип 2

Тип 2 · ещё три · самопроверка

Где не имеет смысла? Упростите

база

\frac{1}{x - \frac{1}{x}}

запрет:

x \neq = 0, x \neq = \pm 1

= \frac{x}{x ^{2} - 1}

база

\frac{x}{1 + \frac{2}{x - 3}}

запрет:

x \neq = 3, x \neq = 1

= \frac{x ( x - 3 )}{x - 1}

повыш.

\frac{1 + \frac{1}{a}}{1 - \frac{1}{a ^{2}}}

запрет:

a \neq = 0, a \neq = \pm 1

= \frac{a}{a - 1}

2 мин · практика
Сначала запреты по этажам (открыть первую строку ответа), затем упрощение (вторая строка).
1) Этаж 1: x ≠ 0. Этаж 2: x − 1/x = (x² − 1)/x ≠ 0 → x ≠ ±1. 1 : (x² − 1)/x = x/(x² − 1). Проверка x = 2: 1/(2 − 0,5) = 2/3; 2/3 ✓.
2) Этаж 1: x ≠ 3. Этаж 2: 1 + 2/(x − 3) = (x − 1)/(x − 3) ≠ 0 → x ≠ 1. Итог x(x − 3)/(x − 1). Проверка x = 5: 5/(1 + 1) = 2,5; 5 · 2 / 4 = 2,5 ✓.
3) Этаж 1: a ≠ 0. Знаменатель (a² − 1)/a² ≠ 0 → a ≠ ±1. (a + 1)/a · a²/((a − 1)(a + 1)) = a/(a − 1). Проверка a = 2: 1,5 / 0,75 = 2; 2/1 = 2 ✓. Ловушка: при a = −1 упрощённое даёт 0,5, исходное не имеет смысла.

R04.1 · тип 3

Тип 3 · образец · значение по условию

$x + \frac{1}{x} = 3$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$

(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x ^{2}}

2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2

— два жёлтых

9 = x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 2

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 7

x

искать не нужно — достаточно возвести условие в квадрат

R04.1 · тип 3

Тип 3 · решите сами

Значение выражения — без значения переменной

а) $\frac{a}{b} = 3$ . Найдите $\frac{2 a + b}{a - b}$ .

делим числитель и знаменатель на

b \neq = 0

\frac{2 \cdot \frac{a}{b} + 1}{\frac{a}{b} - 1} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3 - 1}

= \frac{7}{2} = 3, 5

б) $x - \frac{1}{x} = 2$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ и $x^{4} + \frac{1}{x ^{4}}$ .

4 = x^{2} - 2 + \frac{1}{x ^{2}} \Rightarrow 6

36 = x^{4} + 2 + \frac{1}{x ^{4}}

x^{4} + \frac{1}{x ^{4}} = 34

R04.1 · тип 3

Тип 3 · ещё три · самопроверка

Найдите значение, не находя переменную

база $a + \frac{1}{a} = 4$ . Найдите $a^{2} + \frac{1}{a ^{2}}$ . $14$
база $\frac{x}{y} = 4$ . Найдите $\frac{x + y}{x - y}$ . $\frac{5}{3}$
повыш. $x + \frac{1}{x} = 3$ . Найдите $\frac{x ^{2}}{x ^{4} + 1}$ . $\frac{1}{7}$

Приёмы

• возвести условие в квадрат

• разделить на $y \neq = 0$

• перевернуть дробь

3)

\frac{x ^{4} + 1}{x ^{2}} = x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 7

R04.1 · ПР-13 · тип 4

Тип 4 · образец · выражение по условию

Лодка: 24 км по течению и обратно, течение 3 км/ч

t (v) = \frac{24}{v + 3} + \frac{24}{v - 3}

v

— собственная скорость

смысл:

v \neq = \pm 3

; по условию

v > 3

v = 9 : 2 + 4 = 6

ч

Чем ближе

v

к 3, тем дольше обратный путь

3 мин · теория
Время = путь / скорость: по течению v + 3, против течения v − 3.
Математический смысл: v ≠ −3, v ≠ 3; по смыслу задачи лодка должна идти против течения, значит v > 3. Это разница между «выражение имеет смысл» и «условие задачи».
Проверка: v = 9 → 24/12 + 24/6 = 2 + 4 = 6 ч ✓; v = 5 → 24/8 + 24/2 = 3 + 12 = 15 ч ✓ (точки на графике).
Вопрос: может ли путь занять меньше 4 ч? По графику — да, при больших v (v = 15: 4/3 + 2 ≈ 3,3 ч). Уравнение t(v) = 6 решим в строке R05 (дробно-рациональные уравнения) — сегодня только читаем график.

R04.1 · ПР-13 · тип 4

Тип 4 · решите сами · задачи из жизни

Составьте выражение, укажите смысл, вычислите

а) Велосипедист: 36 км до дачи со скоростью $v$ км/ч, обратно — на 3 км/ч медленнее. Всё время? При $v = 12$ ?

t (v) = \frac{36}{v} + \frac{36}{v - 3}

по смыслу

v > 3

v = 12 : 3 + 4 = 7

ч

б) Первая труба наполняет бак за $x$ ч, вторая — на 2 ч дольше. Какую часть бака они наполнят вместе за 1 ч? При $x = 4$ ?

\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{2 ( x + 1 )}{x ( x + 2 )}

по смыслу

x > 0

x = 4 : \frac{10}{24} = \frac{5}{12}

R04.1

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 2 x} = \frac{- 4}{2 x}$	сокращены слагаемые	$\frac{x - 2}{x}$
« $\frac{a ^{2} - 9}{a - 3}$ при $a = 3$ равно 6»	запрет $a \neq = 3$	нет смысла
« $\frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$ : запрет только $x \neq = 1$ »	потерян верхний этаж	$x \neq = 0, x \neq = 1$
$x + \frac{1}{x} = 3 \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 9$	нет члена $2$	$7$
«время против течения $\frac{24}{3 - v}$ »	скорость $v - 3$	$\frac{24}{v - 3}$

R04.1

Задания с самопроверкой · все четыре типа

Шесть заданий от базы к исследованию

базаНайдите значение $\frac{b ^{2} - 2 b}{b ^{2} - 4}$ при $b = - 1, 5$ . $- 3$
базаПри каких $x$ не имеет смысла $\frac{3}{2 - \frac{4}{x}}$ ? $0; 2$
повыш. $a + \frac{1}{a} = 5$ . Найдите $a^{2} + \frac{1}{a ^{2}}$ . $23$
повыш. $\frac{x}{y} = - 2$ . Найдите $\frac{x ^{2} - x y}{x ^{2} + y ^{2}}$ . $1, 2$
практика30 км со скоростью $v$ км/ч и 20 км — на 5 км/ч быстрее. Запишите всё время; найдите его при $v = 10$ . $4 \frac{1}{3}$ ч
повыш.При каких натуральных $n$ число $\frac{n ^{2} + 3 n + 6}{n + 1}$ — целое? $1; 3$

Подсказки

2) два этажа

4) разделите на $y^{2}$

6) $n^{2} + 3 n + 6 =$
$(n + 1) (n + 2) + 4$

4 мин · практика
Решают в тетрадях, после каждого задания учитель открывает ответ по клику.
1) $\frac{b ( b - 2 )}{( b - 2 ) ( b + 2 )} = \frac{b}{b + 2}$ , b ≠ ±2; при b = −1,5: −1,5 / 0,5 = −3. Проверка: 2,25 + 3 = 5,25; 2,25 − 4 = −1,75; 5,25 / (−1,75) = −3 ✓.
2) x ≠ 0 и 2 − 4/x ≠ 0 → x ≠ 2. Ответ: x = 0 и x = 2.
3) 25 − 2 = 23.
4) Делим на y²: (4 − (−2))/(4 + 1) = 6/5 = 1,2. Проверка x = −2, y = 1: (4 + 2)/(4 + 1) = 1,2 ✓.
5) $t = \frac{30}{v} + \frac{20}{v + 5}$ ; при v = 10: 3 + 20/15 = 3 + 4/3 = 13/3 ч = 4 ч 20 мин.
6) $\frac{n ^{2} + 3 n + 6}{n + 1} = n + 2 + \frac{4}{n + 1}$ , n + 1 ∈ {2; 4} → n = 1 или n = 3. Проверка: 10/2 = 5 ✓; 24/4 = 6 ✓. Ошибка — взять n + 1 = 1 (n = 0 не натуральное).
Задание 6 — для тех, кто закончил раньше; при нехватке времени перенести в ДЗ.

R04.1

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта

Вариант 1

Значение $\frac{x ^{2} - 25}{x ^{2} + 5 x}$ при $x = - 0, 5$ . $11$
Где не имеет смысла $\frac{1}{1 + \frac{1}{x}}$ ? $0; - 1$
$a + \frac{1}{a} = 6$ . Найдите $a^{2} + \frac{1}{a ^{2}}$ . $34$
$\frac{a}{b} = 2$ . Найдите $\frac{a + 3 b}{a - b}$ . $5$

Вариант 2

Значение $\frac{y ^{2} - 16}{y ^{2} - 4 y}$ при $y = - 0, 5$ . $- 7$
Где не имеет смысла $\frac{1}{2 - \frac{1}{x}}$ ? $0; 0, 5$
$b - \frac{1}{b} = 3$ . Найдите $b^{2} + \frac{1}{b ^{2}}$ . $11$
$\frac{x}{y} = 3$ . Найдите $\frac{2 x - y}{x + y}$ . $1, 25$

5 мин · практика
Вариант 1: 1) (x − 5)(x + 5)/(x(x + 5)) = (x − 5)/x, x ≠ 0, x ≠ −5; −5,5 / (−0,5) = 11. Проверка: 0,25 − 25 = −24,75; 0,25 − 2,5 = −2,25; −24,75 / (−2,25) = 11 ✓. 2) x ≠ 0; 1 + 1/x = (x + 1)/x ≠ 0 → x ≠ −1. Ответ: x = 0 и x = −1. 3) 36 − 2 = 34. 4) Делим на b: (2 + 3)/(2 − 1) = 5; проверка a = 2, b = 1: 5/1 ✓.
Вариант 2: 1) (y − 4)(y + 4)/(y(y − 4)) = (y + 4)/y, y ≠ 0, y ≠ 4; 3,5 / (−0,5) = −7. Проверка: 0,25 − 16 = −15,75; 0,25 + 2 = 2,25; −15,75 / 2,25 = −7 ✓. 2) x ≠ 0; 2 − 1/x = (2x − 1)/x ≠ 0 → x ≠ 0,5. Ответ: x = 0 и x = 0,5. 3) 9 = b² − 2 + 1/b² → 11. 4) (6 − 1)/(3 + 1) = 5/4 = 1,25; проверка x = 3, y = 1 ✓.
Ответы открывать после сдачи или для взаимопроверки в парах. Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3».

R04.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20 (часть 2)

Докажите: значение не зависит от $a$ и $b$

(\frac{a}{a - b} - \frac{a}{a + b}) : \frac{ab}{a ^{2} - b ^{2}}

Запишите решение полностью: допустимые значения, преобразования, ответ.

2 мин · практика
Устно наметить план и запреты; полная запись решения — дома, если не успели.
Решение. Допустимые значения: a ≠ b, a ≠ −b (знаменатели a − b, a + b, a² − b²), a ≠ 0, b ≠ 0 (делитель ab/(a² − b²) ≠ 0).
Скобка: $\frac{a ( a + b ) - a ( a - b )}{( a - b ) ( a + b )} = \frac{2 ab}{a ^{2} - b ^{2}}$ . Деление: $\frac{2 ab}{a ^{2} - b ^{2}} \cdot \frac{a ^{2} - b ^{2}}{ab} = 2$ . Ответ: 2 при всех допустимых a, b.
Проверка: a = 2, b = 1: (2 − 2/3) : (2/3) = (4/3) : (2/3) = 2 ✓.
Критерий линии 20 (2 балла): верное обоснованное решение; 1 балл — верный ход, одна вычислительная ошибка. Частая потеря балла — не указаны допустимые значения или забыто a ≠ 0, b ≠ 0.

рефлексия · ДЗ

Итог практикума

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему запреты ищут до упрощения?
Как найти $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ , зная $x + \frac{1}{x}$ ?
Какой тип был самым трудным?

Домашнее задание

Значение $\frac{c ^{2} - 9}{c ^{2} + 3 c}$ при $c = - 0, 6$ .
$x + \frac{1}{x} = - 3$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ и $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}$ .
* Упростите $\frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}}$ ; где оно имеет смысл?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_drobi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-062 · Практикум: рациональные выражения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения», 17 ч · урок 8/17 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R04.1 «Рациональные выражения» → 2, 4–19 (повторение R04.3–R04.7 → 3; R04.4 в типе 2 → 7–9) · теория 14 мин (сл. 1, 2, 4, 7, 10, 13) · практика 31 мин (69 %)
Результаты	ПР-9 (допустимые значения) → 3, 5–9, 15–18 · ПР-10 (основное свойство дроби) → 3–6, 11, 12, 17 · ПР-11 (действия с дробями) → 3, 8, 9, 14, 18 · ПР-12 (тождественные преобразования) → 4–12, 16–18 · ПР-13 (применение к задачам) → 13, 14, 16 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	тождественные преобразования (практикум) — ALG8U-063; дробно-рациональные уравнения (решение t(v) = 6) — строка R05; степень с целым показателем — строка R07
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:рациональныевыражения

Четыре типа заданий — четыре умения

1Вычислять

2Видеть запреты

3Находить без x

4Моделировать

Пять действий — пять секунд на каждое

Найдите значение x2+2xx2−4​ при x=−0,25

Упростите, проверьте запреты, подставьте

Сначала упростить — потом подставить

Порядок

При каких x имеет смысл 1−x1​1​?

Запреты по этажам, затем упрощение

Где не имеет смысла? Упростите

x+x1​=3. Найдите x2+x21​

Значение выражения — без значения переменной

Найдите значение, не находя переменную

Приёмы

Лодка: 24 км по течению и обратно, течение 3 км/ч

Составьте выражение, укажите смысл, вычислите

Найдите ошибку

Шесть заданий от базы к исследованию

Подсказки

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Докажите: значение не зависит от a и b

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-062 · Практикум: рациональные выражения

Практикум:
рациональные
выражения

3Находить без $x$

Найдите значение $\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 2 x}$ при $x = - 0, 25$

При каких $x$ имеет смысл $\frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$ ?

$x + \frac{1}{x} = 3$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$

Докажите: значение не зависит от $a$ и $b$