Дробно-рациональные выражения · урок 7 из 17 · новый материал

Возведение
алгебраической дроби
в степень

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG8U-061

0,5 мин · теория
Паспорт: R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения» (17 ч), урок 7/17, единица R04.7 «Возведение алгебраической дроби в степень». Тип Н. Вчера (ALG8U-060) — сложение, вычитание, умножение и деление дробей; завтра (ALG8U-062) — практикум «Рациональные выражения».
Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), итого 45 мин. Теория — сл. 1, 2, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 16, 17 (все теоретические слайды сохранены полностью); практика — разминка (3), «вспомним» (4), «образец → сам» после каждого правила (8, 10, 12, 14), найдите ошибку (15), задания с самопроверкой (18, 20), закрепление (19), формат ОГЭ (21), самостоятельная работа (22), рефлексия и ДЗ (23).
По слайдам (мин): титул 0,5 · цели 0,5 · разминка 2 · вспомним 2 · проблема 2 · правило 2 · знак 2 · сам 2 · образец 1,5 · сам 2,5 · совместные действия 1,5 · сам 3 · справа налево 1,5 · сам 2,5 · ошибки 2 · исследование 1 · углублённо 1,5 · самопроверка 3 · закрепление 2,5 · самопроверка 3 · ОГЭ 1,5 · самостоятельная 4 · итог и ДЗ 1.
При нехватке времени задания 3–5 со сл. 20 перенести в ДЗ; теорию не сокращать.
Рисунок: квадрат со стороной 2/3 занимает 4 клетки из 9 — наглядный смысл правила.

R04.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Возводить

алгебраическую дробь в натуральную степень и доказывать правило (ПР-11)

Определять знак

степени дроби со знаком «−» по чётности показателя (ПР-12)

Сочетать

возведение в степень с умножением, делением и сокращением дробей (ПР-11, ПР-10)

Применять

правило справа налево: вычисления, сравнение, задачи (ПР-13)

0,5 мин · теория
ПР-11 (ФРП): «Выполнять приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сложение, умножение, деление алгебраических дробей» — возведение в степень есть многократное умножение.
ПР-12: «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений». ПР-10: «Применять основное свойство рациональной дроби» (сокращение результата).
ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Виды деятельности ФРП: «Выполнять действия с алгебраическими дробями», «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений».

повторение: 7 класс · R04.5

Разминка · устно

Степени и сокращение — за 2 минуты

$2^{5}$ $32$
$(- 3)^{3}$ $- 27$
$(- 1)^{10}$ $1$
$0, 5^{2}$ $0, 25$

$(x^{4})^{3}$ $x^{12}$
$(- 2 a^{3})^{2}$ $4 a^{6}$
$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}$ $\frac{9}{16}$
Сократите $\frac{12 x ^{3}}{18 x}$ $\frac{2 x ^{2}}{3}$

повторение: 7 класс · R04.6

Вспомним · степени и умножение дробей

Выполните устно

Пример	Ответ	Свойство
$(a^{3})^{2}$	$a^{6}$	$(a^{m})^{n} = a^{mn}$
$(2 x)^{3}$	$8 x^{3}$	$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$
$a^{7} : a^{4}$	$a^{3}$	$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$
$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$

Как короче записать

\frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} ?

R04.7

Проблема · площадь-модель

Площадь квадрата со стороной $\frac{2}{3}$ м?

S = (\frac{2}{3})^{2}

формула площади квадрата

S = \frac{4}{9} = \frac{2 ^{2}}{3 ^{2}}

4 клетки по

\frac{1}{9} м^{2}

Гипотеза: числитель и знаменатель возводятся в степень отдельно

R04.7

Правило · доказательство

Числитель и знаменатель — в ту же степень

(\frac{a}{b})^{n} = n множителей \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \dots \cdot \frac{a}{b}

определение степени

= \frac{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}

правило умножения дробей

= \frac{a ^{n}}{b ^{n}}, b \neq = 0, n \in N

2 мин · теория
Правило: чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель, первый результат записать в числитель, второй — в знаменатель.
Строгость (углублённый уровень): равенство верно при всех допустимых значениях, то есть при b ≠ 0; n — натуральное. Обе части имеют смысл одновременно: $b^{n} \neq = 0 ⟺ b \neq = 0$ .
Сравнить с $(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$ : доказательство то же — переставляем и группируем множители.
Степень с целым показателем ( $n \leq 0$ ) — строка R07, сегодня не трогаем.

R04.7

Знак результата · чётность показателя

Минус «съедает» чётная степень

Выражение	Показатель	Результат
$(- \frac{2}{3})^{2}$	чётный	$\frac{4}{9}$
$(- \frac{2}{3})^{3}$	нечётный	$- \frac{8}{27}$
$(- \frac{x}{y})^{4}$	чётный	$\frac{x ^{4}}{y ^{4}}$
$- (\frac{x}{y})^{4}$	минус вне скобок	$- \frac{x ^{4}}{y ^{4}}$

(- \frac{a}{b})^{2 k} = \frac{a ^{2 k}}{b ^{2 k}}

(- \frac{a}{b})^{2 k + 1} = - \frac{a ^{2 k + 1}}{b ^{2 k + 1}}

R04.7

Образец → сам · правило и знак

Возведите дробь в степень

Образец

(- \frac{3}{y})^{3}

нечётный показатель ⇒ «−»

$= - \frac{3 ^{3}}{y ^{3}}$

Ответ: $- \frac{27}{y ^{3}}$

база $(\frac{3}{5})^{2}$ $\frac{9}{25}$
база $(- \frac{1}{2})^{5}$ $- \frac{1}{32}$
база $(\frac{x}{4})^{3}$ $\frac{x ^{3}}{64}$
повыш. $(- \frac{a}{b})^{6}$ и $- (\frac{a}{b})^{6}$ $\frac{a ^{6}}{b ^{6}}$ ; $- \frac{a ^{6}}{b ^{6}}$

R04.7

Образец решения · одночлены в дроби

Каждый множитель — в степень

(\frac{2 x ^{2}}{3 y})^{3}

= \frac{( 2 x ^{2} ) ^{3}}{( 3 y ) ^{3}}

правило для дроби

= \frac{2 ^{3} \cdot ( x ^{2} ) ^{3}}{3 ^{3} \cdot y ^{3}}

степень произведения

= \frac{8 x ^{6}}{27 y ^{3}}

множитель	$(\dots)^{3}$	итог
$2$	$2 \cdot 2 \cdot 2$	$8$
$x^{2}$	$x^{2 \cdot 3}$	$x^{6}$
$3$	$3 \cdot 3 \cdot 3$	$27$
$y$	$y^{1 \cdot 3}$	$y^{3}$

(- \frac{3 a ^{3}}{b ^{2} c})^{2} = \frac{9 a ^{6}}{b ^{4} c ^{2}}

R04.7

Образец → сам · одночлены в дроби

Каждый множитель — в степень: решите сами

Алгоритм

знак — по чётности показателя;
числа возводим в степень;
показатели переменных умножаем на $n$ .

(x^{m})^{n} = x^{mn}

база $(\frac{3 a ^{2}}{b})^{2}$ $\frac{9 a ^{4}}{b ^{2}}$
база $(\frac{2 x}{y ^{3}})^{4}$ $\frac{16 x ^{4}}{y ^{12}}$
база $(- \frac{x ^{3}}{2 y ^{2}})^{3}$ $- \frac{x ^{9}}{8 y ^{6}}$
повыш. $(- \frac{5 a ^{2} b}{3 c ^{4}})^{2}$ $\frac{25 a ^{4} b ^{2}}{9 c ^{8}}$
повыш. $(- \frac{2 m ^{3}}{n ^{2} k})^{5}$ $- \frac{32 m ^{15}}{n ^{10} k ^{5}}$

R04.7 · R04.6

Совместные действия · порядок

Сначала степень, потом умножение и деление

(\frac{a ^{2}}{b})^{3} \cdot (\frac{b ^{2}}{a})^{2}

= \frac{a ^{6}}{b ^{3}} \cdot \frac{b ^{4}}{a ^{2}}

= a^{4} b

(- \frac{x}{y ^{2}})^{3} : (\frac{x ^{2}}{y ^{3}})^{2}

= - \frac{x ^{3}}{y ^{6}} \cdot \frac{y ^{6}}{x ^{4}}

= - \frac{1}{x}

R04.7 · R04.6

Образец → сам · совместные действия

Упростите выражение

Порядок

возвести каждую дробь в степень;
деление заменить умножением на обратную;
перемножить и сократить.

Знаменатели $\neq = 0$ .

база $(\frac{x}{y})^{2} \cdot \frac{y ^{3}}{x}$ $x y$
база $(\frac{a ^{3}}{b ^{2}})^{2} \cdot (\frac{b}{a ^{2}})^{3}$ $\frac{1}{b}$
база $(\frac{2 x ^{2}}{y})^{3} : \frac{4 x ^{5}}{y ^{2}}$ $\frac{2 x}{y}$
повыш. $(- \frac{a ^{2}}{3 b})^{3} : (\frac{a ^{3}}{9 b ^{2}})^{2}$ $- 3 b$

R04.7

Правило справа налево

$\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}$ — экономит вычисления

Вычислите

\frac{1 2 ^{4}}{4 ^{4}} = (\frac{12}{4})^{4} = 3^{4} = 81

\frac{0 , 6 ^{3}}{0 , 2 ^{3}} = 3^{3} = 27

\frac{1 5 ^{5}}{4 5 ^{5}} = (\frac{1}{3})^{5} = \frac{1}{243}

Запишите как степень дроби

\frac{9 x ^{4}}{25 y ^{2}} = (\frac{3 x ^{2}}{5 y})^{2}

- \frac{8 a ^{6}}{b ^{9}} = (- \frac{2 a ^{2}}{b ^{3}})^{3}

\frac{x ^{2} - 2 x + 1}{4 y ^{2}} = (\frac{x - 1}{2 y})^{2}

R04.7

Образец → сам · правило справа налево

Считайте устно и записывайте степенью

Вычислите

$\frac{1 8 ^{3}}{6 ^{3}}$ $27$
$\frac{0 , 8 ^{4}}{0 , 4 ^{4}}$ $16$
$\frac{1 4 ^{2}}{4 2 ^{2}}$ $\frac{1}{9}$

Запишите как степень дроби

$\frac{a ^{6}}{64 b ^{3}}$ $= (\frac{a ^{2}}{4 b})^{3}$
$\frac{49 x ^{2}}{y ^{8}}$ $= (\frac{7 x}{y ^{4}})^{2}$
повыш. $\frac{x ^{2} + 4 x + 4}{9 y ^{2}}$ $= (\frac{x + 2}{3 y})^{2}$

R04.7

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$(\frac{x}{y})^{3} = \frac{x ^{3}}{y}$	знаменатель забыт	$\frac{x ^{3}}{y ^{3}}$
$(\frac{a + b}{c})^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{c ^{2}}$	квадрат суммы	$\frac{( a + b ) ^{2}}{c ^{2}}$
$(- \frac{a}{b})^{4} = - \frac{a ^{4}}{b ^{4}}$	чётная степень	$\frac{a ^{4}}{b ^{4}}$
$(\frac{x ^{3}}{2})^{2} = \frac{x ^{5}}{4}$	показатели умножают	$\frac{x ^{6}}{4}$
$- (\frac{2}{x})^{2} = \frac{4}{x ^{2}}$	минус вне скобок	$- \frac{4}{x ^{2}}$

R04.7 · исследование

Исследование · рост и убывание степеней

Что происходит с $(\frac{a}{b})^{n}$ при росте $n$ ?

0 < \frac{a}{b} < 1 : (\frac{a}{b})^{n + 1} = (\frac{a}{b})^{n} \cdot \frac{a}{b} < (\frac{a}{b})^{n}

Дробь

> 1

— наоборот, степени растут

R04.7 · ПР-12 · ПР-13

Углублённо · нестандартные приёмы

Упростить и сравнить

Упростите $(\frac{a ^{2} - 9}{2 a})^{2} : (\frac{a + 3}{4 a})^{2}$

= (\frac{a ^{2} - 9}{2 a} : \frac{a + 3}{4 a})^{2}

A^{n} : B^{n} = (A : B)^{n}

= (\frac{( a - 3 ) ( a + 3 ) \cdot 4 a}{2 a ( a + 3 )})^{2}

= 4 (a - 3)^{2}, a \neq = 0, a \neq = - 3

Что больше: $(\frac{2}{3})^{20}$ или $(\frac{3}{5})^{15}$ ?

(\frac{2}{3})^{20} = (\frac{16}{81})^{5}, (\frac{3}{5})^{15} = (\frac{27}{125})^{5}

\frac{16}{81} < \frac{27}{125}

16 \cdot 125 = 2000 < 27 \cdot 81 = 2187

(\frac{2}{3})^{20} < (\frac{3}{5})^{15}

1,5 мин · теория
Учитель разбирает сам. Задача 1: приём «сначала разделить, потом возвести» экономит работу. Деление: $\frac{( a - 3 ) ( a + 3 )}{2 a} \cdot \frac{4 a}{a + 3} = 2 (a - 3)$ , квадрат — $4 (a - 3)^{2}$ . Условия: a ≠ 0 (знаменатели), a ≠ −3 (делим на дробь с числителем a + 3). Проверка при a = 1: (−8/2)² : (4/4)² = 16 : 1 = 16; 4 · (−2)² = 16 ✓.
Задача 2: приводим к одному показателю 5 (НОД 20 и 15), затем сравниваем основания крест-накрест. Для положительных оснований: большее основание → большая степень.
Ошибка во 2-й задаче: «показатель 20 больше, значит первое больше» — для дробей меньше 1 всё наоборот (слайд 16), но и это не довод при разных основаниях.

R04.7 · R04.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте по ответам

$(\frac{2 a}{5})^{3}$ $\frac{8 a ^{3}}{125}$
$(- \frac{x ^{2}}{3 y})^{4}$ $\frac{x ^{8}}{81 y ^{4}}$
$- (\frac{3}{c})^{2}$ $- \frac{9}{c ^{2}}$

$(\frac{3}{4})^{2} \cdot (\frac{2}{3})^{3}$ $\frac{1}{6}$
$(- \frac{1}{2})^{3} \cdot 4^{2}$ $- 2$
$(\frac{a}{b ^{2}})^{3} \cdot \frac{b ^{5}}{a ^{2}}$ $\frac{a}{b}$

R04.7

Закрепление · решите сами

Пять заданий от базы к практике

базаВозведите в степень: $(\frac{x}{3})^{4}$ ; $(- \frac{2 a}{b ^{3}})^{3}$ ; $(\frac{5 m ^{2}}{n ^{4}})^{2}$ .
базаВычислите $(\frac{2}{3})^{3} \cdot (\frac{9}{4})^{2}$ .
повыш.Упростите $(\frac{3 x ^{2}}{y ^{3}})^{3} : (\frac{9 x ^{3}}{y ^{4}})^{2}$ .
повыш.Запишите как квадрат дроби: $\frac{x ^{2} + 6 x + 9}{16 x ^{4}}$ .
практикаРебро куба $\frac{a}{2}$ см стало $\frac{3 a}{4}$ см. Во сколько раз увеличился объём?

Подсказки

2) $(\frac{9}{4})^{2} = \frac{81}{16}$

3) деление → умножение на обратную

5) $\frac{V _{2}}{V _{1}} = (\frac{3 a}{4} : \frac{a}{2})^{3}$

R04.7 · ПР-12 · ПР-13

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Приёмы углублённого уровня

повыш.Упростите $(\frac{x ^{2} - 4}{3 x})^{2} : (\frac{x - 2}{6 x})^{2}$ $4 (x + 2)^{2}$
повыш.Вычислите $\frac{6 ^{5} \cdot 4 ^{2}}{1 2 ^{5} \cdot 2 ^{2}}$ $\frac{1}{8}$
повыш.Что больше: $(\frac{5}{6})^{10}$ или $(\frac{3}{4})^{15}$ ? первое
повыш.Найдите все $x$ : $(\frac{x}{2})^{2} = \frac{9}{4}$ $x = \pm 3$
практикаСторону квадратного фото увеличили с $\frac{2 a}{3}$ см до $a$ см. Во сколько раз выросла площадь? в $2, 25$ раза

R04.7 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8 (степени)

Сначала упростить, потом подставить

Найдите значение выражения

(\frac{a ^{3}}{b})^{2} \cdot \frac{b ^{3}}{a ^{5}}

при $a = 12, b = 0, 25$ .

R04.7

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

$(- \frac{2 x}{y ^{2}})^{3}$ $- \frac{8 x ^{3}}{y ^{6}}$
$\frac{2 4 ^{3}}{8 ^{3}}$ $27$
$(\frac{a ^{2}}{b})^{3} \cdot \frac{b ^{4}}{a ^{5}}$ $ab$
$(\frac{x ^{2} - 1}{2 x})^{2} : (\frac{x + 1}{4 x})^{2}$
$4 (x - 1)^{2}$

Вариант 2

$(- \frac{3 a}{b ^{3}})^{2}$ $\frac{9 a ^{2}}{b ^{6}}$
$\frac{3 5 ^{2}}{7 ^{2}}$ $25$
$(\frac{x}{y ^{3}})^{2} \cdot \frac{y ^{7}}{x ^{3}}$ $\frac{y}{x}$
$(\frac{a ^{2} - 9}{3 a})^{2} : (\frac{a - 3}{6 a})^{2}$
$4 (a + 3)^{2}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как возвести дробь в степень?
Когда $(- \frac{a}{b})^{n}$ отрицательно?
Почему $(\frac{a + b}{c})^{2} \neq = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{c ^{2}}$ ?

Домашнее задание

$(- \frac{4 x ^{3}}{5 y})^{2}$ ; $(- \frac{a ^{2}}{2 b})^{5}$
Упростите $(\frac{x ^{2} - 1}{3 x})^{2} \cdot (\frac{3 x}{x + 1})^{3}$
* Что больше: $(\frac{3}{4})^{30}$ или $(\frac{2}{3})^{20}$ ?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_drobi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-061 · Возведение алгебраической дроби в степень

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения», 17 ч · урок 7/17 · тип Н (новый материал) · 23 слайда
Единицы → слайды	R04.7 «Возведение алгебраической дроби в степень» → 2, 5–23 (повторение 7 кл., R04.5–R04.6 → 3, 4, 11, 12, 18)
Результаты	ПР-11 (действия с алгебраическими дробями) → 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 18, 19, 21, 22 · ПР-12 (тождественные преобразования рациональных выражений) → 7, 8, 13, 14, 15, 17, 18, 20, 23 · ПР-10 (основное свойство дроби, сокращение) → 3, 11, 12, 17, 19, 20, 22 · ПР-13 (применение к задачам) → 5, 16, 17, 19, 20, 21 · кодификатора REQ у курса нет
Время	теория 14 мин (сл. 1, 2, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 16, 17 — без сокращений) · практика 31 мин (69 %)
Вне урока	степень с целым (отрицательным, нулевым) показателем — строка R07; практикумы по рациональным выражениям — ALG8U-062 и далее
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Возведениеалгебраической дробив степень

Сегодня вы научитесь

Возводить

Определять знак

Сочетать

Применять

Степени и сокращение — за 2 минуты

Выполните устно

Площадь квадрата со стороной 32​ м?

Числитель и знаменатель — в ту же степень

Минус «съедает» чётная степень

Возведите дробь в степень

Образец

Каждый множитель — в степень

Каждый множитель — в степень: решите сами

Алгоритм

Сначала степень, потом умножение и деление

Упростите выражение

Порядок

bnan​=(ba​)n — экономит вычисления

Считайте устно и записывайте степенью

Найдите ошибку

Что происходит с (ba​)n при росте n?

Упростить и сравнить

Решите и проверьте по ответам

Пять заданий от базы к практике

Подсказки

Приёмы углублённого уровня

Сначала упростить, потом подставить

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-061 · Возведение алгебраической дроби в степень

Возведение
алгебраической дроби
в степень

Площадь квадрата со стороной $\frac{2}{3}$ м?

$\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}$ — экономит вычисления

Что происходит с $(\frac{a}{b})^{n}$ при росте $n$ ?