Дробно-рациональные выражения · урок 6 из 17 · новый материал

Сложение, вычитание,
умножение и деление
алгебраических дробей

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · строка R04 · ALG8U-060

1 мин · теория (орг. момент)
Паспорт: R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения» (17 ч), урок 6/17, единица R04.6. Тип урока — Н.
Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %) — всего 45 мин.
Хронометраж: орг. момент и цели 2 мин (сл. 1–2) · разминка и актуализация 4 (сл. 3–4) · сложение и вычитание: правило, образец → сам, алгоритм, многочлены, образец → сам, знаки, самопроверка 14 (сл. 5–11: теория 6 мин, практика 8) · умножение и деление: правила и образец → сам 5 (сл. 12–14: теория 2, практика 3) · тождество, самопроверка, телескопическая сумма 6 (сл. 15–17: теория 3, практика 3) · найди ошибку, физика, закрепление с ОГЭ 8 (сл. 18–20) · самостоятельная работа 4 (сл. 21) · итог и ДЗ 2 (сл. 22).
Теоретические слайды (5, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 17) показаны полностью; практика идёт сразу после каждого нового правила.

R04.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Четыре действия с дробями

приводить алгебраические дроби к общему знаменателю, складывать, умножать и делить их (ПР-11)

Тождественные преобразования

упрощать рациональные выражения и доказывать тождества (ПР-12)

Допустимые значения

следить, при каких значениях переменных выражение имеет смысл — особенно при делении (ПР-9)

Применение

преобразовывать формулы физики и выражать из них переменные (ПР-13)

1 мин · теория
ПР-11 (дословно ФРП): «Выполнять приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сложение, умножение, деление алгебраических дробей». ПР-12: «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений». ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях». ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».

разминка

Разминка · устно

Посчитайте в уме

НОК

(4; 6)

12

НОК

(9; 12)

36

\frac{1}{2} + \frac{1}{3}

\frac{5}{6}

\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4}

\frac{3}{2}

\frac{3}{5} : \frac{6}{5}

\frac{1}{2}

a^{5} : a^{2}

a^{3}

разложите

a^{2} - 1

(a - 1) (a + 1)

сократите

\frac{6 ab}{3 a}

2 b

повторение: R04.5, обыкновенные дроби

Вспомним

С числовыми дробями мы это уже умеем

Вычислите $\frac{5}{6} - \frac{3}{8}$ .
Разложите на множители: $x^{2} - 9$ ; $x^{2} + 3 x$ .
Сократите дробь $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 3 x}$ .

R04.6

Сложение и вычитание

Одинаковые знаменатели: складываем числители

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}, \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}

c \neq = 0

;

a, b, c

— многочлены

\frac{x ^{2}}{x - 3} - \frac{9}{x - 3} = \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x + 3

при

x \neq = 3

R04.6

Образец → сам

Одинаковые знаменатели

Образец

\frac{2 x + 1}{x + 3} + \frac{x + 8}{x + 3} = \frac{3 x + 9}{x + 3}

выносим общий множитель в числителе

= \frac{3 ( x + 3 )}{x + 3} = 3

при

x \neq = - 3

Сам

$\frac{5}{7 a} + \frac{9}{7 a}$ $\frac{2}{a}$
$\frac{x + 4}{2 x} - \frac{x - 6}{2 x}$ $\frac{5}{x}$
$\frac{y ^{2}}{y - 5} - \frac{25}{y - 5}$ $y + 5$
повыш. $\frac{3 c - 1}{c ^{2} - 1} + \frac{2 - 2 c}{c ^{2} - 1}$ $\frac{1}{c - 1}$

R04.6

Разные знаменатели · алгоритм

Приводим к наименьшему общему знаменателю

\frac{1}{4 a ^{2} b} + \frac{1}{6 a b ^{3}}

R04.6, R04.2

Знаменатели — многочлены

Сначала раскладываем, потом приводим

\frac{2}{x ^{2} - 4} - \frac{1}{x ^{2} - 2 x} =

= \frac{2 \cdot x}{( x - 2 ) ( x + 2 ) \cdot x} - \frac{1 \cdot ( x + 2 )}{x ( x - 2 ) \cdot ( x + 2 )} =

= \frac{2 x - ( x + 2 )}{x ( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x - 2}{x ( x - 2 ) ( x + 2 )} =

= \frac{1}{x ( x + 2 )}

при

x \neq = 0, x \neq = 2, x \neq = - 2

R04.6

Образец → сам

Разные знаменатели

Образец

\frac{1}{x - 3} - \frac{6}{x ^{2} - 9}

$x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ — общий знаменатель; доп. множитель $x + 3$

= \frac{x + 3 - 6}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{x - 3}{( x - 3 ) ( x + 3 )}

= \frac{1}{x + 3}

при

x \neq = 3, x \neq = - 3

Сам

$\frac{2}{3 a} + \frac{5}{6 a}$ $\frac{3}{2 a}$
$\frac{1}{a ^{2} b} - \frac{1}{a b ^{2}}$ $\frac{b - a}{a ^{2} b ^{2}}$
$\frac{3}{x + 2} - \frac{2}{x - 1}$ $\frac{x - 7}{( x + 2 ) ( x - 1 )}$
повыш. $\frac{2}{x ^{2} + x} + \frac{2}{x + 1}$ $\frac{2}{x}$

R04.6

Где теряют знаки

Противоположные знаменатели и минус перед дробью

$b - a = - (a - b)$

\frac{a}{a - b} + \frac{b}{b - a} = \frac{a}{a - b} - \frac{b}{a - b}

= \frac{a - b}{a - b} = 1

при

a \neq = b

Числитель вычитаемого — в скобки

\frac{3 x}{x - 1} - \frac{x + 2}{x - 1} = \frac{3 x - x + 2}{x - 1}

✗

= \frac{3 x - ( x + 2 )}{x - 1} = \frac{2 ( x - 1 )}{x - 1} = 2

✓при

x \neq = 1

R04.6

Задания с самопроверкой

Сложение и вычитание: следим за знаками

база $\frac{5}{m - n} + \frac{3}{n - m}$ $\frac{2}{m - n}$
база $\frac{2 a + 5}{a + 1} - \frac{a + 4}{a + 1}$ $1$
база $\frac{a}{b} - \frac{b}{a}$ $\frac{a ^{2} - b ^{2}}{ab}$
повыш. $\frac{x}{x - 4} + \frac{16}{4 x - x ^{2}}$ $\frac{x + 4}{x}$
повыш. $\frac{1}{2 a - 2} - \frac{1}{3 a - 3}$ $\frac{1}{6 ( a - 1 )}$

R04.6

Умножение

Числитель на числитель, знаменатель на знаменатель

\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{6}{12}

6 клеток из 12

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}

\frac{6 a ^{2}}{5 b} \cdot \frac{10 b ^{2}}{9 a ^{3}} = \frac{4 b}{3 a}

сокращаем до перемножения

R04.6, R04.4

Деление

Делим — значит умножаем на обратную дробь

\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + x} : \frac{x + 3}{x + 1} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x ( x + 1 )} \cdot \frac{x + 1}{x + 3} = \frac{x - 3}{x}

Условия:

x \neq = 0, x \neq = - 1

(знаменатели) и $x \neq = - 3$ — делитель

\frac{x + 3}{x + 1}

не равен нулю.

R04.6, R04.4

Образец → сам

Умножение и деление

Образец

\frac{a ^{2} - 4}{3 a} \cdot \frac{6 a ^{2}}{a + 2}

раскладываем и сокращаем до перемножения

= \frac{( a - 2 ) ( a + 2 ) \cdot 6 a ^{2}}{3 a \cdot ( a + 2 )}

= 2 a (a - 2)

при

a \neq = 0, a \neq = - 2

Сам

$\frac{4 x}{y ^{2}} \cdot \frac{y ^{3}}{8 x ^{2}}$ $\frac{y}{2 x}$
$\frac{c ^{2} - 9}{c} : (c + 3)$ $\frac{c - 3}{c}$
$\frac{a + b}{a} : \frac{( a + b ) ^{2}}{a ^{2}}$ $\frac{a}{a + b}$
повыш. $\frac{x ^{2} - 1}{x + 3} : \frac{x - 1}{x ^{2} + 3 x}$ $x (x + 1)$

R04.6, R04.2

Все действия вместе · тождество

Докажем: значение не зависит от a и b

(\frac{a}{a - b} - \frac{a}{a + b}) : \frac{ab}{a ^{2} - b ^{2}} = 2

R04.6, R04.2

Задания с самопроверкой

Все действия вместе

база $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \cdot \frac{ab}{a + b}$ $1$
база $(\frac{x}{x - 1} - 1) \cdot (x^{2} - 1)$ $x + 1$
повыш. $(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) : \frac{a + b}{ab}$ $a - b$
повыш.Докажите, что значение $(\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2}) \cdot \frac{x ^{2} - 4}{2}$ не зависит от $x$ . $2$

R04.6, R04.2

Нестандартный приём · углублённый уровень

Разбить дробь на разность — и всё сократится

\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 1 - n}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n ( n + 1 )}

R04.6

Закрепление · найди ошибку

Четыре частые ошибки

Ошибка	Верно	Правило
$\frac{a + 3}{a} = 3$ ✗	$\frac{a + 3}{a} = 1 + \frac{3}{a}$ ✓	сокращают только множители, не слагаемые
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{a + b}$ ✗	$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$ ✓	знаменатели не складывают
$\frac{x}{y} - \frac{x - 1}{y} = \frac{- 1}{y}$ ✗	$\frac{x - ( x - 1 )}{y} = \frac{1}{y}$ ✓	числитель вычитаемого — в скобки
$\frac{x}{x + 1} : \frac{x - 2}{x + 1} = \frac{x}{x - 2}$ , $x \neq = 2$ ✗	$\frac{x}{x - 2}$ при $x \neq = 2$ и $x \neq = - 1$ ✓	условия — из исходного выражения

R04.6, R04.2

Практика · физика

Параллельное соединение: выражаем R

\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}

\frac{1}{R} = \frac{R _{1} + R _{2}}{R _{1} R _{2}}

R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}

переворачиваем обе части

R = \frac{6 \cdot 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2 Ом

R04.6

Закрепление

Выполните действия

база $\frac{3}{2 x} + \frac{5}{3 x}$ $\frac{19}{6 x}$
база $\frac{x ^{2} - 1}{x} \cdot \frac{2 x}{x + 1}$ $2 (x - 1)$
повыш. $\frac{a}{a - 2} - \frac{4}{a ^{2} - 2 a}$ $\frac{a + 2}{a}$

повыш. $\frac{m ^{2} - n ^{2}}{mn} : \frac{m + n}{n ^{2}}$ $\frac{n ( m - n )}{m}$
практикаПри каких целых $n$ значение $\frac{n ^{2} + 3 n + 5}{n + 1}$ — целое число? $- 4; - 2; 0; 2$
ОГЭ, линия 20Упростите $\frac{a + 3}{a ^{2} - 3 a} - \frac{a - 3}{a ^{2} + 3 a}$ и найдите значение при $a = 1$ . $- 1, 5$

4 мин · практика
Ответы: 1) (9 + 10)/(6x) = 19/(6x); 2) (x − 1)(x + 1)/x · 2x/(x + 1) = 2(x − 1), x ≠ 0, x ≠ −1; 3) (a² − 4)/(a(a − 2)) = (a + 2)/a, a ≠ 0, a ≠ 2; 4) (m − n)(m + n)/(mn) · n²/(m + n) = n(m − n)/m, m ≠ 0, n ≠ 0, m ≠ −n.
5) n² + 3n + 5 = (n + 1)(n + 2) + 3, значит дробь = n + 2 + 3/(n + 1); n + 1 ∈ {±1; ±3} → n ∈ {−4; −2; 0; 2}. Проверка: n = 2 → 15/3 = 5; n = −4 → 9/(−3) = −3; n = −2 → 3/(−1) = −3; n = 0 → 5.
6) [(a + 3)² − (a − 3)²] / (a(a − 3)(a + 3)) = 12a/(a(a² − 9)) = 12/(a² − 9); при a = 1: 12/(−8) = −1,5. Оформление — как в части 2 ОГЭ, с условиями a ≠ 0, a ≠ ±3.
Задание 5 при нехватке времени — в ДЗ.

R04.6

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

$\frac{3}{4 x} + \frac{1}{6 x}$ $\frac{11}{12 x}$
$\frac{a ^{2} - 9}{2 a} \cdot \frac{4 a ^{2}}{a + 3}$ $2 a (a - 3)$
$\frac{x + 5}{x ^{2} - x} : \frac{x + 5}{x - 1}$ $\frac{1}{x}$
$\frac{2}{a - 2} - \frac{8}{a ^{2} - 4}$ $\frac{2}{a + 2}$

Вариант 2

$\frac{5}{6 y} + \frac{1}{4 y}$ $\frac{13}{12 y}$
$\frac{b ^{2} - 4}{3 b} \cdot \frac{6 b ^{2}}{b - 2}$ $2 b (b + 2)$
$\frac{y - 4}{y ^{2} + y} : \frac{y - 4}{y + 1}$ $\frac{1}{y}$
$\frac{3}{c - 3} - \frac{18}{c ^{2} - 9}$ $\frac{3}{c + 3}$

4 мин · практика
Варианты по партам: 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам на слайде (открыть по клику). В задании 3 записать условия допустимости.
Вариант 1: 1) общий знаменатель 12x: 9/(12x) + 2/(12x) = 11/(12x), x ≠ 0; 2) (a − 3)(a + 3)/(2a) · 4a²/(a + 3) = 2a(a − 3), a ≠ 0, a ≠ −3; 3) (x + 5)/(x(x − 1)) · (x − 1)/(x + 5) = 1/x, x ≠ 0, 1, −5; 4) (2(a + 2) − 8)/((a − 2)(a + 2)) = 2(a − 2)/((a − 2)(a + 2)) = 2/(a + 2), a ≠ ±2.
Вариант 2: 1) общий знаменатель 12y: 10/(12y) + 3/(12y) = 13/(12y), y ≠ 0; 2) (b − 2)(b + 2)/(3b) · 6b²/(b − 2) = 2b(b + 2), b ≠ 0, b ≠ 2; 3) (y − 4)/(y(y + 1)) · (y + 1)/(y − 4) = 1/y, y ≠ 0, −1, 4; 4) (3(c + 3) − 18)/((c − 3)(c + 3)) = 3(c − 3)/((c − 3)(c + 3)) = 3/(c + 3), c ≠ ±3.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти наименьший общий знаменатель?
Какое новое условие появляется при делении?
Почему условия берут из исходного выражения?

Домашнее задание

$\frac{4}{x ^{2} - 4} + \frac{1}{2 - x}$
$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{99 \cdot 100}$
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_drobi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-060 · Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения», 17 ч · урок 6/17 · тип Н
Единицы → слайды	R04.6 → 5–21 · опора: R04.5 (основное свойство) → 3, 4, 8, 12; R04.4 (допустимые значения) → 8, 13, 14, 15; R04.2 (тождественные преобразования) → 15–17, 19
Результаты	ПР-11 (общий знаменатель, сложение, умножение, деление дробей) → 5–14, 20, 21 · ПР-12 (тождественные преобразования) → 15–18 · ПР-9 (допустимые значения) → 8, 13, 14, 15 · ПР-13 (применение) → 19, 20 (зад. 5)
Время	теория 13 мин (сл. 1, 2, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 17) · практика 32 мин, 71 % (сл. 3, 4, 6, 9, 11, 14, 16, 18–22)
Вне урока	возведение дроби в степень — ALG8U-061; практикумы по рациональным выражениям — ALG8U-062 и далее; дробно-рациональные уравнения — строка уравнений
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Сложение, вычитание,умножение и делениеалгебраических дробей

Сегодня вы научитесь

Четыре действия с дробями

Тождественные преобразования

Допустимые значения

Применение

Посчитайте в уме

С числовыми дробями мы это уже умеем

Одинаковые знаменатели: складываем числители

Одинаковые знаменатели

Образец

Сам

Приводим к наименьшему общему знаменателю

Сначала раскладываем, потом приводим

Разные знаменатели

Образец

Сам

Противоположные знаменатели и минус перед дробью

b−a=−(a−b)

Числитель вычитаемого — в скобки

Сложение и вычитание: следим за знаками

Числитель на числитель, знаменатель на знаменатель

Делим — значит умножаем на обратную дробь

Умножение и деление

Образец

Сам

Докажем: значение не зависит от a и b

Все действия вместе

Разбить дробь на разность — и всё сократится

Четыре частые ошибки

Параллельное соединение: выражаем R

Выполните действия

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-060 · Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей

Сложение, вычитание,
умножение и деление
алгебраических дробей

$b - a = - (a - b)$