Дробно-рациональные выражения · урок 4 из 17 · новый материал

Допустимые значения переменных

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG8U-058

0,5 мин · теория
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин. Теория — сл. 1, 2, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 15, 17 (все теоретические слайды сохранены полностью); практика — разминка (3), «вспомним» (4), «образец → сам» после каждого нового правила (8, 10, 12, 14, 16, 18), найдите ошибку (19), задания с самопроверкой (20, 21), формат ОГЭ (22), самостоятельная работа (23), рефлексия и ДЗ (24).
Паспорт: R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения» (17 ч), урок 4/17, единица R04.4 «Допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях». Тип Н. Вчера (ALG8U-057) — алгебраическая дробь; завтра (ALG8U-059) — основное свойство алгебраической дроби.
По слайдам (мин): цели 0,5 · разминка 2,5 · вспомним 1,5 · проблема 1,5 · определение и алгоритм 1,5 · образец 1,5 · сам 2,5 · многоэтажная дробь 1,5 · сам 2 · «сколько запретов» 1,5 · сам 2 · две переменные 1,5 · сам 1,5 · параметр 1,5 · сам 2 · зачем ОДЗ 1,5 · сам 1,5 · ошибки 2 · самопроверка 3,5 + 3 · ОГЭ 2 · самостоятельная 5 · итог и ДЗ 1.
При нехватке времени задания «параметр» на сл. 20–21 перенести в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить

допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях (ПР-9)

Записывать

ответ: на координатной прямой и промежутками (ПР-9)

Следить

за допустимыми значениями при тождественных преобразованиях (ПР-12)

Исследовать

выражения с параметром и с двумя переменными (ПР-13)

0,5 мин · теория
ПР-9 (ФРП): «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях» — главный результат урока.
ПР-12: «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений» — тождество верно только на допустимых значениях.
ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Вид деятельности ФРП: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях».

повторение: ALG8U-057

Разминка · устно

Найдите значение или скажите «не имеет смысла»

$\frac{6}{x}$ при $x = 3$ $2$
$\frac{6}{x}$ при $x = 0$ не имеет смысла
$\frac{x}{5}$ при $x = 0$ $0$
$\frac{x + 1}{x - 4}$ при $x = 4$ не имеет смысла

$\frac{x + 1}{x - 4}$ при $x = - 1$ $0$
$\frac{12}{x ^{2} - 1}$ при $x = 3$ $1, 5$
$\frac{1}{x ^{2} + 1}$ при $x = 0$ $1$
При каком $x$ не имеет смысла $\frac{3}{x + 8}$ ? $x = - 8$

повторение: R03, 7 класс

Вспомним · когда выражение равно нулю

Решите устно

Уравнение	Корни
$2 x + 7 = 0$	$x = - 3, 5$
$x (x - 4) = 0$	$x = 0$ или $x = 4$
$x^{2} - 9 = 0$	$x = \pm 3$
$x^{2} - 5 x + 6 = 0$	$x = 2$ или $x = 3$
$x^{2} + 4 = 0$	корней нет

ab = 0 ⟺ a = 0

или

b = 0

D = b^{2} - 4 a c

Сегодня эти корни станут «запретами»

R04.4

Проблема · одинаковые графики?

Чем отличаются $y = x + 2$ и $y = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ ?

R04.4

Определение · алгоритм

Допустимые значения — где выражение имеет смысл

\frac{A}{B}

имеет смысл

⟺ B \neq = 0

R04.4

Образец решения · несколько дробей

Найдите допустимые значения $x$

\frac{x + 1}{x ^{2} - 5 x + 6} + \frac{3}{x ^{2} - 3 x}

x^{2} - 5 x + 6 = 0 \Rightarrow x = 2; x = 3

x (x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0; x = 3

x \neq = 0, x \neq = 2, x \neq = 3

R04.4

Образец → сам · по алгоритму

Найдите допустимые значения $x$

Образец

\frac{5}{x ^{2} + 3 x}

$x^{2} + 3 x = 0$

$x (x + 3) = 0 \Rightarrow x = 0; x = - 3$

Ответ: $x \neq = 0, x \neq = - 3$

база $\frac{4}{x - 6}$ $x \neq = 6$
база $\frac{x + 2}{3 x + 12}$ $x \neq = - 4$
база $\frac{1}{x ^{2} - 25} + \frac{2}{x}$ $x \neq = 0, x \neq = \pm 5$
повыш. $\frac{x}{x ^{2} - 7 x + 12}$ $x \neq = 3, x \neq = 4$

R04.4

Углублённо · многоэтажная дробь

Проверяем каждый «этаж»

1 - \frac{1}{x} = 0 ⟺ \frac{1}{x} = 1 ⟺ x = 1

x \neq = 0, x \neq = 1

После упрощения

\frac{x}{x - 1}

запрет

x \neq = 0

не виден, но он есть

R04.4

Образец → сам · многоэтажные дроби

Проверьте каждый «этаж»

Образец

\frac{1}{2 - \frac{1}{x}}

этаж 1: $x \neq = 0$

этаж 2: $2 - \frac{1}{x} = 0 ⟺ x = \frac{1}{2}$

Ответ: $x \neq = 0, x \neq = 0, 5$

база $\frac{3}{1 + \frac{1}{x}}$ $x \neq = 0, x \neq = - 1$
база $\frac{x}{3 - \frac{6}{x}}$ $x \neq = 0, x \neq = 2$
повыш. $\frac{1}{\frac{1}{x - 1} - 1}$ $x \neq = 1, x \neq = 2$
повыш. $\frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}}$ $x \neq = 0, x \neq = 1$

R04.4

Графически · сколько запретов

Знаменатель — квадратный трёхчлен: 0, 1 или 2 запрета

R04.4

Образец → сам · сколько запретов

Дискриминант знаменателя — и ответ

Выражение	$D$ знаменателя	Недопустимые $x$
образец: $\frac{1}{x ^{2} - 6 x + 9}$	$36 - 36 = 0$	$x = 3$ (один запрет)
1) $\frac{2}{x ^{2} + x + 1}$	$1 - 4 = - 3$	нет — любое $x$
2) $\frac{x}{x ^{2} - 8 x + 15}$	$64 - 60 = 4$	$x = 3; x = 5$
3) $\frac{5}{4 x ^{2} + 4 x + 1}$	$16 - 16 = 0$	$x = - 0, 5$
4) $\frac{3}{2 x ^{2} - x - 1}$	$1 + 8 = 9$	$x = 1; x = - 0, 5$

R04.4

Углублённо · две переменные

Недопустимые пары $(a; b)$ — линии на плоскости

R04.4

Образец → сам · две переменные

Когда не имеет смысла? Допустима ли пара?

Образец

\frac{a}{a + b}

; пара

(3; - 3)

$a + b = 0 ⟺ b = - a$

$3 + (- 3) = 0$

недопустима

база $\frac{1}{a - 2 b}$ ; пара $(4; 2)$
$a = 2 b$ ; недопустима
база $\frac{a + 1}{b + 3}$ ; пара $(- 1; 3)$
$b = - 3$ ; допустима (значение $0$ )
повыш. $\frac{5}{x y - x}$ ; пара $(2; 1)$
$x = 0$ или $y = 1$ ; недопустима
повыш. $\frac{1}{a ^{2} + b ^{2}}$
только пара $(0; 0)$

R04.4 · ПР-13

Углублённо · выражение с параметром

Сколько недопустимых $x$ у $\frac{x}{x ^{2} - 6 x + a}$ ?

R04.4 · ПР-13

Образец → сам · параметр

Найдите все значения $a$

Образец

$\frac{1}{x ^{2} + 2 x + a}$ имеет смысл при всех $x$

нужно $D < 0$

$D = 4 - 4 a < 0$

Ответ: $a > 1$

базаУ $\frac{1}{x ^{2} - 4 x + a}$ ровно одно недопустимое $x$ $a = 4$
базаЧисло $x = 1$ недопустимо для $\frac{x}{x ^{2} + a x - 3}$ $a = 2$
повыш. $\frac{3}{x ^{2} + a x + 4}$ имеет смысл при всех $x$ $- 4 < a < 4$
повыш.У $\frac{1}{x ^{2} - 2 x + a}$ два недопустимых $x$ $a < 1$

R04.4 · ПР-12

Зачем знать допустимые значения

Тождество — только на допустимых значениях

Преобразование. Верно ли $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x + 2$ ?

\frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x + 2

верно при

x \neq = 2

Пишем:

\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x + 2, x \neq = 2

Смысл задачи. Время $t = \frac{120}{v}$ ч на 120 км

по алгебре:

v \neq = 0

по смыслу:

v > 0

Задача может сузить допустимые значения

1,5 мин · теория
Левая колонка: разложение x² − 4 = (x − 2)(x + 2) — формула разности квадратов. Сокращение законно только там, где x − 2 ≠ 0. Это связь с проблемой (сл. 5).
Тождественно равные выражения — равные при всех допустимых значениях переменных. Подробно сокращение — ALG8U-059.
Правая колонка: вид деятельности ФРП «Выражать переменные из формул… описывающих бытовые ситуации». Скорость отрицательной быть не может.
Задел на будущее: при решении дробных уравнений найденный корень проверяют по допустимым значениям.

R04.4 · ПР-12

Образец → сам · при каких $x$ верно равенство

Допишите условие к тождеству

Образец

\frac{x ^{2} - 9}{x + 3} = x - 3

делитель: $x + 3 = 0$

$x = - 3$

Верно при $x \neq = - 3$

база $\frac{x ^{2} - 1}{x + 1} = x - 1$ $x \neq = - 1$
база $\frac{x ( x - 5 )}{x} = x - 5$ $x \neq = 0$
повыш. $\frac{x ^{2} + 4 x + 4}{x + 2} = x + 2$ $x \neq = - 2$
практикаЦена тетради $\frac{300}{n}$ ₽ при покупке $n$ тетрадей на 300 ₽. Допустимые $n$ ?
по алгебре $n \neq = 0$ ; по смыслу $n$ — натуральное

R04.4

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$\frac{x - 3}{x + 5}$ : « $x \neq = 3$ »	смотрели на числитель	$x \neq = - 5$
$\frac{5}{x ^{2} - 4 x}$ : « $x \neq = 4$ »	потерян множитель $x$	$x \neq = 0, x \neq = 4$
$\frac{x}{x ^{2} + 1}$ : « $x \neq = - 1$ »	$x^{2} + 1 \geq 1$	любое $x$
$\frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$ : « $x \neq = 1$ »	забыт нижний этаж	$x \neq = 0, x \neq = 1$
$\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x + 1$ : «любое $x$ »	ОДЗ — по исходной записи	$x \neq = 1$

R04.4

Задания с самопроверкой · 1

Найдите допустимые значения переменной

база $\frac{3}{x + 7}$ ; $\frac{x}{x ^{2} - 16}$ ; $\frac{2 x}{x ^{2} + 9}$ $x \neq = - 7$ ; $x \neq = \pm 4$ ; любое $x$
база $\frac{1}{x} + \frac{x}{2 x - 5}$ $x \neq = 0, x \neq = 2, 5$
повыш. $\frac{x + 1}{x ^{2} + x - 12}$ $x \neq = - 4, x \neq = 3$
повыш. $\frac{2}{1 + \frac{1}{x + 1}}$ $x \neq = - 1, x \neq = - 2$
повыш.Найдите $a$ : у $\frac{1}{x ^{2} + 4 x + a}$ ровно одно недопустимое $x$ $a = 4$
практикаСредняя скорость $\frac{2 v _{1} v _{2}}{v _{1} + v _{2}}$ : допустимые значения по алгебре и по смыслу
$v_{1} + v_{2} \neq = 0$ ; по смыслу $v_{1} > 0, v_{2} > 0$

Подсказки

3) теорема Виета

4) два этажа

5) $D = 0$

3,5 мин · практика
Ответы открываются кликом после каждого задания — проверка всем классом.
1) x ≠ −7; x ≠ ±4; любое x (x² + 9 ≥ 9).
2) x ≠ 0; 2x − 5 = 0 → x ≠ 2,5. Ответ: x ≠ 0, x ≠ 2,5.
3) x² + x − 12 = (x + 4)(x − 3): −4 + 3 = −1, −4 · 3 = −12. Ответ: x ≠ −4, x ≠ 3.
4) x + 1 ≠ 0 → x ≠ −1; 1 + 1/(x + 1) = 0 → x + 1 = −1 → x = −2. Ответ: x ≠ −1, x ≠ −2. Проверка x = −2: 1 + 1/(−1) = 0 ✓ (запрет).
5) D = 16 − 4a = 0 → a = 4; знаменатель (x + 2)², запрет x = −2.
6) по алгебре v₁ ≠ −v₂ (v₁ + v₂ ≠ 0); по смыслу v₁ > 0, v₂ > 0. При нехватке времени — в ДЗ.

R04.4 · ПР-13

Задания с самопроверкой · 2

Решите и проверьте себя

база $\frac{x - 2}{x ( x + 6 )}$ $x \neq = 0, x \neq = - 6$
база $\frac{7}{5 - x} + \frac{x}{x + 5}$ $x \neq = \pm 5$
повыш. $\frac{x + 3}{x ^{3} - 4 x}$ $x \neq = 0, x \neq = \pm 2$

повыш. $\frac{1}{( x - 1 ) ^{2} + 1}$ любое $x$
практикаЛодка: 12 км по течению (течение 2 км/ч) за $\frac{12}{v + 2}$ ч. Допустимые $v$ ?
$v \neq = - 2$ ; по смыслу $v > 0$
параметрПри каких $a$ у $\frac{1}{( x - a ) ( x - 3 )}$ ровно одно недопустимое $x$ ? $a = 3$

R04.4 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22 (функция и её график)

Где график «прокалывается»?

Постройте график функции $y = \frac{( x ^{2} + 4 ) ( x - 1 )}{1 - x}$ и определите, при каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

x \neq = 1 : y = - (x^{2} + 4) = - x^{2} - 4

Сначала допустимые значения, потом упрощение

2 мин · практика
Идея решения, ученики отвечают по шагам; полное оформление — дома. Допустимые значения: 1 − x ≠ 0 → x ≠ 1. При x ≠ 1: (x − 1)/(1 − x) = −1, значит y = −x² − 4.
График — парабола ветвями вниз с вершиной (0; −4) без точки (1; −5): y(1) = −1 − 4 = −5.
Ровно одна общая точка: m = −4 (вершина) и m = −5 (вторая точка x = 1 выколота, остаётся x = −1). При m > −4 общих точек нет, при m < −4, m ≠ −5 — две. Ответ: m = −4; m = −5.
Типичная ошибка ОГЭ: забыть про выколотую точку и дать ответ только m = −4 (теряется балл).

R04.4

Самостоятельная работа · 5 минут

Найдите допустимые значения переменной

Вариант 1

$\frac{8}{x + 9}$ $x \neq = - 9$
$\frac{x}{x ^{2} - 36}$ $x \neq = \pm 6$
$\frac{x + 1}{x ^{2} - 3 x - 10}$ $x \neq = - 2, x \neq = 5$
$\frac{1}{3 - \frac{3}{x}}$ $x \neq = 0, x \neq = 1$

Вариант 2

$\frac{5}{x - 11}$ $x \neq = 11$
$\frac{x}{x ^{2} - 49}$ $x \neq = \pm 7$
$\frac{x - 1}{x ^{2} + 2 x - 15}$ $x \neq = - 5, x \neq = 3$
$\frac{1}{2 + \frac{4}{x}}$ $x \neq = 0, x \neq = - 2$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти допустимые значения переменной?
Нужно ли смотреть на числитель?
Почему ОДЗ ищут до упрощения?

Домашнее задание

$\frac{x + 2}{x ^{2} - 7 x + 10} + \frac{1}{x}$ ; $\frac{x}{2 - \frac{4}{x}}$
При каких $a$ выражение $\frac{3}{x ^{2} - 2 a x + 9}$ имеет смысл при всех $x$ ?
* Изобразите пары $(x; y)$ , при которых не имеет смысла $\frac{1}{x ^{2} - y ^{2}}$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_drobi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-058 · Допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения», 17 ч · урок 4/17 · тип Н (новый материал) · теория 13 мин / практика 32 мин (71 %)
Единицы → слайды	R04.4 «Допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях» → 2, 3, 5–24 (теория: 5–7, 9, 11, 13, 15, 17; практика: 3, 8, 10, 12, 14, 16, 18–24) · повторение: решение уравнений R03 → 4
Результаты	ПР-9 (допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях) → 3, 5–16, 19–24 · ПР-12 (тождественные преобразования рациональных выражений) → 5, 9, 17, 18, 22 · ПР-13 (применение к задачам) → 15–18, 20–22 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	основное свойство дроби и сокращение — ALG8U-059; действия с дробями — R04.6; возведение дроби в степень — R04.7; дробно-рациональные уравнения — далее по курсу; допустимые значения в выражениях с корнями — ПР-17
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Допустимые значения переменных

Сегодня вы научитесь

Находить

Записывать

Следить

Исследовать

Найдите значение или скажите «не имеет смысла»

Решите устно

Чем отличаются y=x+2 и y=x−2x2−4​?

Допустимые значения — где выражение имеет смысл

Найдите допустимые значения x

Найдите допустимые значения x

Образец

Проверяем каждый «этаж»

Проверьте каждый «этаж»

Образец

Знаменатель — квадратный трёхчлен: 0, 1 или 2 запрета

Дискриминант знаменателя — и ответ

Недопустимые пары (a;b) — линии на плоскости

Когда не имеет смысла? Допустима ли пара?

Образец

Сколько недопустимых x у x2−6x+ax​?

Найдите все значения a

Образец

Тождество — только на допустимых значениях

Допишите условие к тождеству

Образец

Найдите ошибку

Найдите допустимые значения переменной

Подсказки

Решите и проверьте себя

Где график «прокалывается»?

Найдите допустимые значения переменной

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-058 · Допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях

Чем отличаются $y = x + 2$ и $y = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ ?

Найдите допустимые значения $x$

Найдите допустимые значения $x$

Недопустимые пары $(a; b)$ — линии на плоскости

Сколько недопустимых $x$ у $\frac{x}{x ^{2} - 6 x + a}$ ?

Найдите все значения $a$