Дробно-рациональные выражения · урок 3 из 17 · новый материал

Алгебраическая
дробь

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG8U-057

1 мин · теория (орг. момент)
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Паспорт: R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения» (17 ч), урок 3/17, единица R04.3 «Алгебраическая дробь». Тип Н. Вчера (ALG8U-056) — тождественные преобразования рациональных выражений; завтра (ALG8U-058) — допустимые значения переменных.
Хронометраж (45 мин): титул и цели 2 (сл. 1–2, теория) · разминка и актуализация 4 (сл. 3–4, практика) · проблема и определение 4 (сл. 5–6, теория) · «дробь или нет» 2 (сл. 7, практика) · схема и значение дроби 2 (сл. 8–9, теория) · образец → сам 2 (сл. 10) · дробь равна нулю 2 + образец → сам 3 (сл. 11–12) · знаки дроби 2 + образец → сам 2 (сл. 13–14) · дроби в формулах 2 (сл. 15, практика) · углублённые задачи 2 (сл. 16, теория) · найди ошибку 2 (сл. 17) · закрепление 3 (сл. 18) · самопроверка 4 (сл. 19–20) · ОГЭ 2 (сл. 21) · самостоятельная работа 4 (сл. 22) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 23).
Теоретические слайды (определение, схема, правила, знаки, исследовательские задачи) сохранены полностью; время на теорию — 14 мин, остальное время ученики работают сами.
Рисунок: дробь из двух многочленов и запрет на нулевой знаменатель — две главные идеи урока.

R04.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать

алгебраическую дробь среди рациональных выражений и обосновывать ответ (ПР-12)

Вычислять

значение дроби, в том числе с калькулятором (ПР-12)

Находить

при каких значениях переменной дробь равна нулю и не имеет смысла (ПР-9)

Применять

дроби в формулах и задачах, выражать переменные (ПР-13)

1 мин · теория
ПР-12 (ФРП): «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений» — сегодня главный объект этих преобразований: алгебраическая дробь.
ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях» — сегодня через условие «знаменатель ≠ 0», подробно в ALG8U-058.
ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Виды деятельности ФРП: «Выполнять числовые подстановки и вычислять значение дроби, в том числе с помощью калькулятора», «Выражать переменные из формул».

разминка

Разминка · устно

Вычислите, разложите, решите

\frac{12}{0 , 4}

30

\frac{0}{- 7}

0

\frac{- 15}{- 5}

3

\frac{- 6}{0}

нет смысла

x^{2} - 9

при

x = - 3

0

3 a - b

при

a = - 1, b = 2

- 5

x^{2} - 16 = ?

(x - 4) (x + 4)

x^{2} - 5 x = 0

x = 0; 5

повторение: 5–6 класс

Вспомним · обыкновенная дробь

Что мы знаем о дроби $\frac{a}{b}$ ?

Свойство	Пример
черта дроби — деление	$\frac{3}{4} = 3 : 4 = 0, 75$
нуль в числителе	$\frac{0}{5} = 0$
нуль в знаменателе	$\frac{5}{0}$ — не имеет смысла
знак «минус»	$- \frac{3}{4} = \frac{- 3}{4} = \frac{3}{- 4}$

Части дроби

$\frac{a}{b} \leftarrow числитель \leftarrow знаменатель$

А если вместо чисел

a

и

b

— многочлены?

R04.3

Проблема · площадь и сторона

Площадь $x^{2} + 3 x$ , ширина $x$ . Чему равна длина?

длина = \frac{S}{ширина}

\frac{x ^{2} + 3 x}{x}

многочлен делим на многочлен

x = 2 : \frac{10}{2} = 5

Числитель и знаменатель — многочлены. Это новый вид дроби

R04.3

Определение

Алгебраическая дробь $\frac{P}{Q}$

2 мин · теория
Определение в тетрадь: алгебраической (рациональной) дробью называют выражение вида P/Q, где P и Q — многочлены, Q — не нулевой многочлен. P — числитель, Q — знаменатель.
Одночлен и число — частные случаи многочлена, поэтому 5/x и x/3 — алгебраические дроби.
Дробь имеет смысл только при тех значениях переменных, при которых значение знаменателя не равно 0.
Вопрос: при каких a, b не имеет смысла дробь на рисунке? При 3ab = −1, например a = 1, b = −1/3.

R04.3

Углублённо · по определению

Алгебраическая дробь или нет?

Выражение	Ответ	Почему
$\frac{a + b}{a - b}$	да	многочлен / многочлен
$\frac{x}{3}$	да	и одновременно целое выражение
$\frac{2 : x}{x + 1}$	нет	числитель не многочлен; рациональное
$\frac{x}{x + 1}$	нет	корень из переменной
$\frac{x + 1}{x - x}$	нет	знаменатель — нулевой многочлен

3 x^{2} - 1 = \frac{3 x ^{2} - 1}{1}

Любой многочлен можно записать дробью со знаменателем 1

R04.1 · R04.3

Схема · место дроби среди выражений

Многочлены ⊂ дроби ⊂ рациональные выражения

1 мин · теория
Схема по форме записи: многочлен — дробь со знаменателем 1; дробь — частный случай рационального выражения; по краям — рациональные выражения, записанные не в виде одной дроби.
Важный факт углублённого уровня: любое рациональное выражение тождественными преобразованиями приводится к виду P/Q (докажем, когда изучим действия с дробями, R04.6). Поэтому дробь — «стандартный вид» рационального выражения, как стандартный вид многочлена.
Вопрос: куда отнести 1/x + x? Это сумма, а не дробь; при x ≠ 0 она равна (x² + 1)/x.

R04.3

Значение дроби · подстановка

Таблица значений $\frac{x ^{2} - 4}{x + 1}$

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$0, 5$	$2$	$3$
$x^{2} - 4$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3, 75$	$0$	$5$
$x + 1$	$- 1$	$0$	$1$	$1, 5$	$3$	$4$
дробь	$0$	—	$- 4$	$- 2, 5$	$0$	$1, 25$

Дробь с двумя переменными:
$a = 3, b = - 1$

\frac{a ^{2} - b ^{2}}{ab} = \frac{9 - 1}{- 3}

= - \frac{8}{3} = - 2 \frac{2}{3}

R04.3

Образец → сам · значение дроби

Найдите значение дроби

Образец

$\frac{2 a - b}{a ^{2} + b}$ при $a = - 2, b = 3$

числитель:

2 \cdot (- 2) - 3 = - 7

знаменатель:

(- 2)^{2} + 3 = 7

\frac{- 7}{7} = - 1

Сам

$\frac{x ^{2} + 1}{x - 3}$ при $x = - 1$ $- 0, 5$
$\frac{3 x}{x ^{2} - 4}$ при $x = 2$ нет смысла
$\frac{a - b}{ab}$ при $a = 0, 5, b = - 2$ $- 2, 5$
$\frac{x ^{3} - 1}{x + 1}$ при $x = - 2$ $9$

R04.3 · R04.4 (подготовка)

Правило · когда дробь равна нулю

Дробь равна 0 ⇔ числитель 0, знаменатель не 0

\frac{P}{Q} = 0 ⟺ {P = 0, Q \neq = 0

R04.3

Образец → сам · дробь равна нулю

При каких $x$ дробь равна нулю?

Образец

$\frac{x ^{2} + 2 x}{x ^{2} - 4} = 0$

P = 0 : x (x + 2) = 0, x = 0; - 2

Q \neq = 0 : x \neq = 2, x \neq = - 2

Ответ:

x = 0

Сам

$\frac{x - 5}{x + 2}$ $x = 5$
$\frac{x ^{2} - 1}{x + 1}$ $x = 1$
$\frac{x ^{2} - 3 x}{x - 3}$ $x = 0$
$\frac{x + 4}{x ^{2} - 16}$ таких $x$ нет

R04.3

Знаки дроби · три места для минуса

Минус перед дробью, в числителе, в знаменателе

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

два минуса «сокращаются»

\frac{5}{2 - x} = - \frac{5}{x - 2}

2 - x = - (x - 2)

\frac{- x - 1}{3 - x} = \frac{x + 1}{x - 3}

R04.3

Образец → сам · знаки дроби

Запишите без минуса в знаменателе

Образец

$\frac{- a}{3 - b}$

3 - b = - (b - 3)

\frac{- a}{- ( b - 3 )}

два минуса

= \frac{a}{b - 3}

Сам

$\frac{4}{- x}$ $- \frac{4}{x}$
$- \frac{x}{1 - x}$ $\frac{x}{x - 1}$
$\frac{- 2 a}{- b}$ $\frac{2 a}{b}$
$\frac{y + 1}{5 - y}$ $- \frac{y + 1}{y - 5}$

R04.3 · ПР-13

Практика · дроби в формулах

Выразите величину — получится дробь

Формула / ситуация	Найти	Дробь
$S = \frac{( a + b ) h}{2}$ — площадь трапеции	$h$	$h = \frac{2 S}{a + b}$
$Q = c m (t_{2} - t_{1})$ — теплота	$m$	$m = \frac{Q}{c ( t _{2} - t _{1} )}$
$a$ кг по 80 р. и $b$ кг по 120 р.	средняя цена	$\frac{80 a + 120 b}{a + b}$
20 км против течения: скорость $v$ , течение 2 км/ч	время	$\frac{20}{v - 2}$

a = 1, b = 3 : \frac{80 + 360}{4} = 110 р .

Средняя цена — не среднее арифметическое

\frac{80 + 120}{2} = 100

2 мин · практика
Ученики выражают величины сами, ответы открываются по шагам. Вид деятельности ФРП: «Выражать переменные из формул (физических, геометрических, описывающих бытовые ситуации)».
Строка 1: 2S = (a + b)h → h = 2S/(a + b). Строка 2: делим обе части на c(t₂ − t₁).
Строка 3: при a = 1, b = 3: (80 + 360)/4 = 110 р. — средняя цена не равна (80 + 120)/2 = 100. Вопрос: почему?
Строка 4: смысл только при v ≠ 2, а по условию задачи нужно v > 2 — иначе лодка не плывёт против течения.

R04.3 · ПР-13

Углублённо · параметр и целочисленность

Две исследовательские задачи

При каких $a$ дробь $\frac{x - a}{x ^{2} - 5 x + 6}$ не обращается в нуль ни при каком $x$ ?

x - a = 0 \Rightarrow x = a

единственный кандидат

x^{2} - 5 x + 6 = 0 : x = 2; 3

нуль «съеден», если

x = a

— корень знаменателя

a = 2

или

a = 3

При каких целых $n$ значение $\frac{n ^{2} + 3}{n + 1}$ — целое число?

n^{2} + 3 = (n + 1) (n - 1) + 4

\frac{n ^{2} + 3}{n + 1} = n - 1 + \frac{4}{n + 1}

n + 1 \in {\pm 1; \pm 2; \pm 4}

делители числа 4

n \in {- 5; - 3; - 2; 0; 1; 3}

2 мин · теория (учитель разбирает образцы; такие задачи ученики решат на сл. 20)
Задача 1: дробь равна 0 только при x = a, и то если знаменатель при x = a не 0. Нуля нет, когда a — корень знаменателя: a = 2 или a = 3. Проверка a = 2: (x − 2)/((x − 2)(x − 3)) — при x = 2 знаменатель 0, других нулей числителя нет ✓.
Задача 2: (n + 1)(n − 1) = n² − 1, плюс 4. n + 1 — делитель 4: n ∈ {0; −2; 1; −3; 3; −5}. Проверка: n = 0 → 3; n = −2 → 7/(−1) = −7; n = 1 → 4/2 = 2; n = −3 → 12/(−2) = −6; n = 3 → 12/4 = 3; n = −5 → 28/(−4) = −7 ✓.
Ошибка в задаче 2 — забыть отрицательные делители (получают только 3 значения).

R04.3

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = 0$ при $x = \pm 3$	при $x = 3$ знаменатель 0	$x = - 3$
« $\frac{x}{7}$ — не дробь, а целое»	многочлен / многочлен	дробь
$- \frac{x - 2}{5} = \frac{- x - 2}{5}$	минус — ко всему числителю	$\frac{2 - x}{5}$
$\frac{x ^{2} + 3 x}{x} = x + 3$ при всех $x$	при $x = 0$ дроби нет	при $x \neq = 0$
$\frac{5}{x + 1}$ при $x = - 1$ : « $= 5$ »	на 0 делить нельзя	не имеет смысла

R04.3

Закрепление · решите сами

Пять заданий от базы к исследованию

базаКакие выражения — алгебраические дроби: $\frac{x ^{2} - 1}{3 x}$ ; $\frac{x}{2}$ ; $\frac{a}{b} + 1$ ; $\frac{7}{( a - 1 ) ^{2}}$ ?
базаНайдите значение $\frac{x ^{2} - 2 x}{x + 4}$ при $x = - 2; 1; 2; - 4$ .
повыш.При каких $x$ дробь $\frac{x ^{2} - 4 x}{x ^{2} - 16}$ равна нулю?
повыш.Запишите без минуса в знаменателе и перед дробью: $- \frac{3}{2 - a}$ ; $\frac{- x - 1}{2 - x}$ .
практикаУчасток площадью $x^{2} + 5 x + 6$ м² имеет длину $x + 3$ м. Запишите ширину; найдите её при $x = 4$ .

Подсказки

3) $P = 0$ и $Q \neq = 0$

4) $2 - a = - (a - 2)$

5) ширина $= \frac{S}{длина}$

3 мин · практика
1) Дроби: первая и четвёртая; √x/2 — не рациональное; a/b + 1 — сумма (рациональное выражение, но не дробь по записи).
2) x = −2: (4 + 4)/2 = 4; x = 1: (1 − 2)/5 = −0,2; x = 2: 0/6 = 0; x = −4: знаменатель 0 — не имеет смысла.
3) x² − 4x = x(x − 4) = 0 → x = 0 или x = 4; x² − 16 ≠ 0 → x ≠ ±4. Ответ: x = 0. Проверка: 0/(−16) = 0 ✓.
4) −3/(2 − a) = 3/(a − 2); (−x − 1)/(2 − x) = (x + 1)/(x − 2) (две смены знака).
5) (x² + 5x + 6)/(x + 3); при x = 4: (16 + 20 + 6)/7 = 42/7 = 6 м. Сильным: заметить x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3), ширина x + 2 = 6 ✓.
При нехватке времени задачу 5 перенести в ДЗ.

R04.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте ответ

Значение $\frac{x ^{2} - x}{2 x + 1}$ и $\frac{a + b}{a - b}$

базапри $x = 3$ $\frac{6}{7}$
базапри $x = - 0, 5$ нет смысла
базапри $a = 5, b = - 3$ $0, 25$

При каких $x$ дробь равна нулю?

база $\frac{2 x - 6}{x + 1}$ $x = 3$
база $\frac{x ^{2} - 25}{x + 5}$ $x = 5$
база $\frac{x}{x ^{2} + x}$ таких $x$ нет

R04.3 · ПР-13

Задания с самопроверкой · повышенный

Решите и обоснуйте

повыш.При каких $x$ дробь $\frac{x ^{2} - x - 6}{x ^{2} + 4 x + 4}$ равна нулю? $x = 3$
повыш.Найдите наибольшее значение дроби $\frac{6}{x ^{2} + 2}$ . $3$ при $x = 0$
повыш.При каких целых $n$ значение $\frac{2 n + 7}{n + 1}$ — целое? $n \in {- 6; - 2; 0; 4}$
повыш.При каких $a$ дробь $\frac{x - a}{x ^{2} - 1}$ не обращается в нуль? $a = \pm 1$

2 мин · практика
По образцам сл. 16; сильные решают все, остальные — 1 и 2. Ответы по клику.
1) x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2) ⇒ x = 3 или −2; x² + 4x + 4 = (x + 2)² ≠ 0 ⇒ x ≠ −2. Ответ: x = 3 (проверка: 0/25 = 0 ✓).
2) x² + 2 ≥ 2, наименьший знаменатель 2 при x = 0 ⇒ наибольшее значение 6/2 = 3.
3) 2n + 7 = 2(n + 1) + 5 ⇒ n + 1 ∈ {±1; ±5} ⇒ n ∈ {0; −2; 4; −6}. Проверка: n = 0 → 7; n = −2 → 3/(−1) = −3; n = 4 → 15/5 = 3; n = −6 → −5/(−5) = 1 ✓.
4) Нуль возможен только при x = a; его нет, если a — корень знаменателя x² − 1: a = 1 или a = −1.

R04.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 12 (расчёт по формуле)

Удельная теплоёмкость вещества

c = \frac{Q}{m ( t _{2} - t _{1} )}

Найдите $c$ (в Дж/(кг·°C)), если $Q = 42000$ Дж, $m = 2$ кг, $t_{1} = 20$ °C, $t_{2} = 25$ °C.

Ответ: 4200

R04.3

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Значение $\frac{x ^{2} - 3}{x + 2}$ при $x = - 3$ $- 6$
$\frac{x ^{2} - 9 x}{x - 9} = 0$ при $x = ?$ $x = 0$
Вынесите минус: $\frac{7}{4 - a}$ $- \frac{7}{a - 4}$
Выразите $h$ из $V = \frac{S h}{3}$ $h = \frac{3 V}{S}$

Вариант 2

Значение $\frac{x ^{2} - 5}{x - 1}$ при $x = - 1$ $2$
$\frac{x ^{2} + 4 x}{x + 4} = 0$ при $x = ?$ $x = 0$
Вынесите минус: $\frac{5}{2 - b}$ $- \frac{5}{b - 2}$
Выразите $a$ из $S = \frac{ah}{2}$ $a = \frac{2 S}{h}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое алгебраическая дробь?
Когда дробь равна нулю?
Является ли многочлен дробью?

Домашнее задание

При каких $x$ дробь $\frac{x ^{2} - x - 6}{x ^{2} - 9}$ равна нулю?
Выразите $b$ из $S = \frac{( a + b ) h}{2}$ .
* Целые $n$ , при которых $\frac{n ^{2} + 5}{n - 1}$ — целое.
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_drobi.htm

1 мин · практика (рефлексия: отвечают ученики)
Ответы ДЗ: 1) x² − x − 6 = 0 → x = 3 или x = −2; x² − 9 ≠ 0 → x ≠ ±3. Ответ: x = −2. Проверка: (4 + 2 − 6)/(4 − 9) = 0/(−5) = 0 ✓.
2) b = 2S/h − a, или b = (2S − ah)/h.
3*) n² + 5 = (n − 1)(n + 1) + 6 → n − 1 ∈ {±1; ±2; ±3; ±6} → n ∈ {2; 0; 3; −1; 4; −2; 7; −5}. Проверка: n = 7 → 54/6 = 9; n = −5 → 30/(−6) = −5; n = 4 → 21/3 = 7; n = −2 → 9/(−3) = −3 ✓.
Тренажёр «Алгебраические дроби» углублённого уровня — общий для строки R04. Следующий урок ALG8U-058 — допустимые значения переменных.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-057 · Алгебраическая дробь

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения», 17 ч · урок 3/17 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R04.3 «Алгебраическая дробь» → 2, 5–23 (разминка → 3; повторение обыкновенных дробей → 4; связь с R04.1 → 8; подготовка к R04.4 → 11, 12)
Результаты	ПР-12 (тождественные преобразования рациональных выражений: дробь, её значение, знаки) → 4–10, 13, 14, 17–19, 22 · ПР-9 (допустимые значения переменных) → 6, 9–12, 16, 18–20, 22 · ПР-13 (применение к задачам) → 5, 15, 16, 18, 20–22 · кодификатора REQ у курса нет
Время	теория 14 мин (сл. 1, 2, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 16) · практика 31 мин (69 %): разминка, образец → сам ×3, самопроверка ×2, найди ошибку, ОГЭ, самостоятельная работа
Вне урока	допустимые значения подробно — ALG8U-058; основное свойство дроби, сокращение — ALG8U-059 (R04.5); действия с дробями и приведение рационального выражения к дроби — R04.6; возведение дроби в степень — R04.7; дробно-рациональные уравнения — ПР-20
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Алгебраическаядробь

Сегодня вы научитесь

Узнавать

Вычислять

Находить

Применять

Вычислите, разложите, решите

Что мы знаем о дроби ba​?

Части дроби

Площадь x2+3x, ширина x. Чему равна длина?

Алгебраическая дробь QP​

Алгебраическая дробь или нет?

Многочлены ⊂ дроби ⊂ рациональные выражения

Таблица значений x+1x2−4​

Найдите значение дроби

Образец

Сам

Дробь равна 0 ⇔ числитель 0, знаменатель не 0

При каких x дробь равна нулю?

Образец

Сам

Минус перед дробью, в числителе, в знаменателе

Запишите без минуса в знаменателе

Образец

Сам

Выразите величину — получится дробь

Две исследовательские задачи

Найдите ошибку

Пять заданий от базы к исследованию

Подсказки

Решите и проверьте ответ

Решите и обоснуйте

Удельная теплоёмкость вещества

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-057 · Алгебраическая дробь

Алгебраическая
дробь

Что мы знаем о дроби $\frac{a}{b}$ ?

Площадь $x^{2} + 3 x$ , ширина $x$ . Чему равна длина?

Алгебраическая дробь $\frac{P}{Q}$

Таблица значений $\frac{x ^{2} - 4}{x + 1}$

При каких $x$ дробь равна нулю?