Дробно-рациональные выражения · урок 2 из 17

Тождественные преобразования рациональных выражений

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG8U-056

0,5 мин · теория
Паспорт: R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения» (17 ч), урок 2/17, единица R04.2 «Тождественные преобразования рациональных выражений». Тип Н (новый материал). На прошлом уроке (ALG8U-055) — рациональные выражения: целые и дробные. Следующий (ALG8U-057) — алгебраическая дробь.
Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), итого 45 мин. Теория — сл. 1, 2, 5, 6, 8, 10, 11, 14, 16 (все теоретические слайды сохранены полностью; образцы на сл. 11, 14, 16 разбирает учитель); практика — разминка (3), актуализация (4), «образец → сам» после каждого нового правила (7, 9, 12, 15, 17), «докажите или опровергните» (13), задания с самопроверкой (18, 19), найдите ошибку (20), формат ОГЭ (21), самостоятельная работа (22), рефлексия и ДЗ (23). Если не успеваете — № 5–6 сл. 18 и № 6 сл. 19 перенести в ДЗ.
Рисунок на титуле: квадрат со стороной a без уголка b × b — площадь a² − b². Вопрос классу: как переложить оставшуюся фигуру в прямоугольник (a − b) × (a + b)? Отрезать полоску справа и приложить снизу.

R04.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

1Различать

тождественно равные выражения и тождества, учитывать допустимые значения (ПР-12, ПР-9)

2Доказывать

тождества тремя способами, опровергать контрпримером (ПР-12)

3Преобразовывать

целые рациональные выражения: формулы сокращённого умножения, полный квадрат (ПР-12)

4Применять

преобразования к вычислениям, делимости, оценкам и задачам (ПР-13)

0,5 мин · теория
ПР-12 (ФРП): «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений».
ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях» — здесь только как условие тождества (подробно — ALG8U-058).
ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Виды деятельности ФРП: «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений… Применять преобразования выражений для решения задач».

R04.2

Разминка · устно

Раскройте, разложите, посчитайте

(x + 5)^{2}

$x^{2} + 10 x + 25$

(3 a - 1)^{2}

$9 a^{2} - 6 a + 1$

(2 x - y) (2 x + y)

$4 x^{2} - y^{2}$

51 \cdot 49

$2500 - 1 = 2499$

2 1^{2}

$400 + 40 + 1 = 441$

9 8^{2}

$10000 - 400 + 4 = 9604$

x^{2} + 6 x + 9

$(x + 3)^{2}$

a^{3} - 8

$(a - 2) (a^{2} + 2 a + 4)$

R04.2

Актуализация · устно

Равны ли выражения при всех значениях переменных?

(a - b)^{2}

и

(b - a)^{2}

да: $(- x)^{2} = x^{2}$

(a + b)^{2}

и

a^{2} + b^{2}

нет: $a = b = 1$ : $4 \neq = 2$

(b - a)^{3}

и

- (a - b)^{3}

да: $(- x)^{3} = - x^{3}$

2 (x + 3) - x

и

x + 6

да: раскрыли скобки

x^{2} + 1

и

(x + 1)^{2}

нет: $x = 1$ : $2 \neq = 4$

\frac{x ^{2}}{x}

и

x

? при $x = 0$ слева нет значения

2 мин · практика
Карточки «да/нет», учитель открывает вердикты по одному. Повторяем термины прошлого урока: целое и дробное рациональное выражение (последняя карточка — дробное).
Чтобы сказать «нет», достаточно одного набора значений (контрпример). Чтобы сказать «да», нужно рассуждение для всех значений — проверка на примерах ничего не доказывает.
Последняя карточка — мостик к проблеме урока: значения совпадают везде, кроме x = 0, где левое выражение не имеет смысла.

R04.2

Проблема

Одно и то же ли $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ и $x + 2$ ?

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$\frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$	$1$	$2$	$3$	—	$5$
$x + 2$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$

Значения равны при всех допустимых

x

, то есть при

x \neq = 2

.

R04.2

Новый материал · определения

Тождество и тождественное преобразование

Тождественно равные выражения

принимают равные значения при всех допустимых значениях переменных

Тождество

равенство, верное при всех допустимых значениях переменных

Тождественное преобразование

замена выражения тождественно равным ему

R04.2

Образец → сам · цепочка преобразований

Упростите и проверьте подстановкой

Образец: $(a + 2)^{2} - (a - 2)^{2}$

$= a^{2} + 4 a + 4 - (a^{2} - 4 a + 4)$

$= a^{2} + 4 a + 4 - a^{2} + 4 a - 4$

$= 8 a$

проверка $a = 1$ : $9 - 1 = 8 = 8 \cdot 1$ ✓

Сами:

база $(x - 4) (x + 4) - (x - 3)^{2}$
$6 x - 25$
база $(y - 2) (y + 5) - (y + 1)^{2}$
$y - 11$
повыш. $3 (a + 1)^{2} - 3 a (a + 2)$
$3$ — не зависит от $a$
повыш. $(2 b + 1)^{2} - 4 b (b + 1)$
$1$ — не зависит от $b$

2 мин · практика
Образец учитель открывает по шагам (30 с), задания 1–4 ученики делают в тетради и проверяют подстановкой; ответы открываются кликом.
1) x² − 16 − (x² − 6x + 9) = 6x − 25. Проверка x = 1: −15 − 4 = −19 = 6 − 25 ✓.
2) y² + 3y − 10 − (y² + 2y + 1) = y − 11. Проверка y = 0: −10 − 1 = −11 ✓.
3) 3a² + 6a + 3 − 3a² − 6a = 3. Проверка a = 1: 12 − 9 = 3 ✓.
4) 4b² + 4b + 1 − 4b² − 4b = 1. Проверка b = 2: 25 − 24 = 1 ✓. Вопрос: что значит «значение не зависит от переменной»? Выражение тождественно равно числу.

R04.2

Новый материал · инструменты

Чем преобразуем целые выражения

Правило	Формула
распределительный закон	$a (b + c) = ab + a c$
квадрат суммы / разности	$(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$
разность квадратов	$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
куб суммы / разности	$(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}$
сумма / разность кубов	$a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})$

(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 a c + 2 b c

2,5 мин · теория
Формулы сокращённого умножения знакомы с 7 класса; на углублённом уровне добавляем куб суммы/разности и сумму/разность кубов — проверить, что класс их помнит.
Площадь-модель справа: квадрат со стороной a + b + c разбит на 9 частей — три квадрата и по два одинаковых прямоугольника ab, ac, bc.
Вопрос: чему равно (a − b + c)²? Ответ: a² + b² + c² − 2ab + 2ac − 2bc (знак у удвоенного произведения — по знакам множителей).
Тождественными преобразованиями являются и вынесение общего множителя, приведение подобных, перестановка слагаемых и множителей.

R04.2

Образец → сам · формулы сокращённого умножения

Раскройте скобки или разложите на множители

Образец: $(2 x - 1)^{3}$

$a = 2 x, b = 1$ : $a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

$= 8 x^{3} - 3 \cdot 4 x^{2} + 3 \cdot 2 x - 1$

$= 8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1$

проверка $x = 1$ : $1 = 8 - 12 + 6 - 1$ ✓

Сами:

база $(a + 3)^{3}$
$a^{3} + 9 a^{2} + 27 a + 27$
база $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$
$x^{3} - 8$
повыш.Разложите: $27 b^{3} - 1$
$(3 b - 1) (9 b^{2} + 3 b + 1)$
повыш. $(a + b - 2)^{2}$
$a^{2} + b^{2} + 4 + 2 ab - 4 a - 4 b$

R04.2

Новый материал · метод

Как доказать тождество $A = B$

1,5 мин · теория
Способ 1 удобен, когда одна часть явно «сложнее». Способ 2 — когда обе сложные. Способ 3 — универсальный (так же доказывают и неравенства: знак разности).
Нельзя «доказывать» тождество, преобразуя равенство как уравнение (переносить, делить обе части): так легко получить верное равенство из неверного (например, умножив на 0).
Вопрос: сколько примеров нужно, чтобы доказать тождество? Ни одного не хватит — нужно рассуждение. А чтобы опровергнуть — один.

R04.2

Образецуглублённый уровень · способ 2

Докажите: $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = (a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2}$

Л:

a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2}

перемножили многочлены

П:

a^{2} c^{2} - 2 ab c d + b^{2} d^{2} + a^{2} d^{2} + 2 ab c d + b^{2} c^{2}

квадрат разности и квадрат суммы

П:

a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2}

удвоенные произведения взаимно уничтожились · Л = П

2 мин · теория (образец разбирает учитель)
Тождество Брахмагупты — Фибоначчи: произведение двух сумм двух квадратов — снова сумма двух квадратов.
Левая часть: (a² + b²)(c² + d²) = a²c² + a²d² + b²c² + b²d². Правая: (ac − bd)² = a²c² − 2abcd + b²d²; (ad + bc)² = a²d² + 2abcd + b²c². Сумма совпадает с левой частью.
Проверка: 5 = 2² + 1², 13 = 3² + 2²; ac − bd = 6 − 2 = 4, ad + bc = 4 + 3 = 7; 16 + 49 = 65 = 5 · 13 ✓. Квадраты 4 × 4 и 7 × 7 клеток справа.
Вопрос сильным: представьте 65 суммой квадратов иначе (65 = 1² + 8²: возьмите (ac + bd)² + (ad − bc)² — тоже тождество).

R04.2

Образец → сам · доказательство тождеств

Докажите тождество и назовите способ

Образец: $(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4 ab$

способ 1 (левую часть — в правую):

$a^{2} + 2 ab + b^{2} - a^{2} + 2 ab - b^{2}$

$= 4 ab$ — получили правую часть ✓

Сами:

база $(m + n) (m - n) + n^{2} = m^{2}$
способ 1: $m^{2} - n^{2} + n^{2} = m^{2}$
база $(x + 2)^{2} - 4 (x + 1) = x^{2}$
способ 1: $x^{2} + 4 x + 4 - 4 x - 4 = x^{2}$
повыш. $(a + b)^{3} - (a - b)^{3} = 2 b (3 a^{2} + b^{2})$
способ 2: обе части равны $6 a^{2} b + 2 b^{3}$
повыш. $(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) = (ab - 1)^{2} + (a + b)^{2}$
способ 2: обе части $a^{2} b^{2} + a^{2} + b^{2} + 1$

2 мин · практика
Образец открыть по шагам; задания 1–2 — все, 3–4 — по образцу Брахмагупты (предыдущий слайд). Ответ открывается после того, как класс назвал способ.
1) (m + n)(m − n) = m² − n²; + n² = m² ✓. Проверка m = 3, n = 1: 4 · 2 + 1 = 9 ✓.
2) x² + 4x + 4 − 4x − 4 = x² ✓. Проверка x = 1: 9 − 8 = 1 ✓.
3) Л: a³ + 3a²b + 3ab² + b³ − (a³ − 3a²b + 3ab² − b³) = 6a²b + 2b³; П: 2b · 3a² + 2b · b² = 6a²b + 2b³ ✓. Проверка a = b = 1: 8 − 0 = 8 = 2 · 4 ✓.
4) Л: a²b² + a² + b² + 1; П: a²b² − 2ab + 1 + a² + 2ab + b² = a²b² + a² + b² + 1 ✓. Проверка a = 1, b = 2: 2 · 5 = 10 = 1² + 3² ✓. Можно и способом 3: разность равна 0.

R04.2

Закрепление · тождество или нет?

Докажите или опровергните

Равенство	Вердикт	Почему
$(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3}$	нет	$a = b = 1$ : $8 \neq = 2$
$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$	да	разность кубов
$a^{2} + ab + b^{2} = (a + b)^{2} - ab$	да	$a^{2} + 2 ab + b^{2} - ab$
$\frac{x ^{3} - x}{x} = x^{2} - 1$	да, при $x \neq = 0$	$x^{3} - x = x (x^{2} - 1)$ ; при $x = 0$ левая часть не определена
$x^{4} - 1 = (x - 1)^{4}$	нет	$x = 0$ : $- 1 \neq = 1$

«Да» — доказываем преобразованием и указываем допустимые значения. «Нет» — хватает одного контрпримера.

R04.2

Закрепление · применение

Преобразования считают и доказывают

100 1^{2} - 99 9^{2} = (1001 - 999) (1001 + 999)

= 2 \cdot 2000 = 4000

разность квадратов вместо столбика

n^{3} - n = n (n^{2} - 1) = (n - 1) n (n + 1)

три последовательных целых числа

\Rightarrow n^{3} - n ⋮ 6

при любом целом

n

1,5 мин · теория (демонстрационный пример учителя)
Первый пример — устный счёт: 1001² − 999² = 2 · 2000 = 4000. Проверка: 1 002 001 − 998 001 = 4000 ✓.
Второй — связь с темой «Делимость» (ПР-6, ПР-7): n³ − n раскладываем на множители; произведение трёх последовательных целых делится на 2 и на 3, а значит на 6.
Проверка: n = 5: 125 − 5 = 120 = 6 · 20 ✓; n = −2: −8 + 2 = −6 ✓.
Вопрос: делится ли n³ − n на 24 при нечётном n? Да: (n − 1)(n + 1) — произведение двух соседних чётных, одно из них кратно 4, итого ⋮ 8, и ещё ⋮ 3.

R04.2

Образец → сам · вычисления и делимость

Вычислите удобно, докажите делимость

Образец: $498 \cdot 502$

$= (500 - 2) (500 + 2)$

$= 50 0^{2} - 2^{2} = 250000 - 4$

$= 249996$

Сами:

база $7 3^{2} - 2 7^{2}$ $46 \cdot 100 = 4600$
база $199 \cdot 201$ $40000 - 1 = 39999$
база $3 7^{2} + 2 \cdot 37 \cdot 63 + 6 3^{2}$ $10 0^{2} = 10000$
повыш.Докажите: $(2 n + 1)^{2} - 1$ делится на 8 при любом целом $n$ .
$4 n^{2} + 4 n = 4 \cdot n (n + 1)$ , $n (n + 1)$ чётно

2 мин · практика
Образец — разность квадратов «вокруг круглого числа». Задания 1–3 устно или в тетради, 4 — письменно.
1) (73 − 27)(73 + 27) = 46 · 100 = 4600. Проверка: 5329 − 729 = 4600 ✓.
2) (200 − 1)(200 + 1) = 40000 − 1 = 39999 ✓.
3) Квадрат суммы: (37 + 63)² = 100² = 10000. Проверка: 1369 + 4662 + 3969 = 10000 ✓.
4) (2n + 1)² − 1 = 4n² + 4n = 4n(n + 1); из двух соседних целых одно чётно, значит n(n + 1) = 2k и всё выражение равно 8k. Проверка n = 2: 25 − 1 = 24 = 8 · 3 ✓. Вывод: квадрат нечётного числа при делении на 8 даёт остаток 1.

R04.2

Закрепление · выделение полного квадрата

Докажите: $x^{2} - 6 x + 10 > 0$ при всех $x$

x^{2} - 6 x + 10 = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 9 + 1

10 = 9 + 1

, где

9 = 3^{2}

= (x - 3)^{2} + 1

(x - 3)^{2} \geq 0 \Rightarrow (x - 3)^{2} + 1 \geq 1 > 0

Наименьшее значение равно

1

, при

x = 3

.

R04.2

Образец → сам · выделение полного квадрата

Выделите полный квадрат и сделайте вывод

Образец: $x^{2} + 4 x + 9$

$= x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 4 + 5$

$= (x + 2)^{2} + 5 \geq 5$

наименьшее значение $5$ при $x = - 2$

Сами:

базаНаименьшее значение $x^{2} - 10 x + 27$ .
$(x - 5)^{2} + 2$ ; $2$ при $x = 5$
базаДокажите: $a^{2} + 2 a + 3 > 0$ .
$(a + 1)^{2} + 2 \geq 2 > 0$
повыш.Наибольшее значение $6 x - x^{2} - 5$ .
$4 - (x - 3)^{2}$ ; $4$ при $x = 3$
повыш.Докажите: $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 13 \geq 0$ .
$(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} \geq 0$

R04.2

Задания с самопроверкой · 1

Решите

базаУпростите $(2 a - 3)^{2} - (2 a + 3) (2 a - 3)$ . $18 - 12 a$
базаДокажите: $(x - 2) (x + 2) (x^{2} + 4) = x^{4} - 16$ . дважды $a^{2} - b^{2}$
повыш.Докажите: $(n + 3)^{2} - (n - 3)^{2}$ делится на 12 при любом целом $n$ . $= 12 n$
повыш.Докажите: $a^{2} + b^{2} + 2 a - 6 b + 11 > 0$ .
$(a + 1)^{2} + (b - 3)^{2} + 1 \geq 1$
олимп. $a + b = 5, ab = 3$ . Найдите $a^{2} + b^{2}$ и $a^{3} + b^{3}$ . $19; 80$

практика 6. Сторону квадратного участка увеличили на 3 м, площадь выросла на 81 м². Найдите исходную сторону. $12$ м

3,5 мин · практика
№ 5 — для сильных.
1) 4a² − 12a + 9 − (4a² − 9) = −12a + 18. Проверка a = 1: 1 − 5·(−1) = 6 = −12 + 18 ✓.
2) (x − 2)(x + 2) = x² − 4; (x² − 4)(x² + 4) = x⁴ − 16 ✓ (дважды разность квадратов).
3) (n + 3)² − (n − 3)² = (n + 3 − n + 3)(n + 3 + n − 3) = 6 · 2n = 12n ⋮ 12.
4) (a + 1)² + (b − 3)² + 1 ≥ 1 > 0 (11 = 1 + 9 + 1).
5) a² + b² = (a + b)² − 2ab = 25 − 6 = 19; a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b) = 125 − 45 = 80 (или (a + b)(a² − ab + b²) = 5 · 16 = 80 ✓).
6) (a + 3)² − a² = 6a + 9 = 81 → a = 12 м. Проверка: 15² − 12² = 225 − 144 = 81 ✓. На рисунке прирост — три жёлтые части 3a + 3a + 9.

R04.2

Задания с самопроверкой · 2

Решите и проверьте себя

базаУпростите $(x + 2) (x - 2) - (x - 1)^{2}$ . $2 x - 5$
базаНайдите значение $(b + 4)^{2} - b (b + 8)$ при $b = - 17, 3$ . $16$
повыш.Докажите: $n^{3} + 5 n$ делится на 6 при любом целом $n$ .
$(n - 1) n (n + 1) + 6 n$

повыш. $x + \frac{1}{x} = 3$ . Найдите $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ . $9 - 2 = 7$
практикаУчасток-квадрат со стороной $a$ м заменили прямоугольником $(a + 5) \times (a - 5)$ м. Как изменилась площадь?
уменьшилась на $25$ м²
олимп.Разложите на множители $x^{4} + 4$ .
$(x^{2} - 2 x + 2) (x^{2} + 2 x + 2)$

3 мин · практика
1) x² − 4 − (x² − 2x + 1) = 2x − 5. Проверка x = 0: −4 − 1 = −5 ✓.
2) b² + 8b + 16 − b² − 8b = 16 — значение не зависит от b, подставлять −17,3 не нужно. Ответ 16.
3) n³ + 5n = (n³ − n) + 6n = (n − 1)n(n + 1) + 6n; первое слагаемое делится на 6 (сл. 14), второе тоже. Проверка n = 2: 8 + 10 = 18 = 6 · 3 ✓.
4) (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x², значит x² + 1/x² = 9 − 2 = 7 (x ≠ 0 — допустимые значения).
5) (a + 5)(a − 5) = a² − 25: площадь уменьшилась на 25 м² (при a > 5). Проверка a = 10: 15 · 5 = 75 = 100 − 25 ✓.
6) x⁴ + 4 = x⁴ + 4x² + 4 − 4x² = (x² + 2)² − (2x)² = (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2) (приём Софи Жермен). Проверка x = 1: 5 = 1 · 5 ✓.

R04.2

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}$	потеряно удвоенное произведение	$a^{2} - 2 ab + b^{2}$
$- (x - 3)^{2} = - x^{2} - 6 x + 9$	минус — только у первого слагаемого	$- x^{2} + 6 x - 9$
Проверил $x = 0, 1, 2$ — значит, тождество	примеры не доказывают	нужно преобразование
$\frac{x ^{2}}{x} = x$ при всех $x$	при $x = 0$ левая часть не определена	при $x \neq = 0$

R04.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8

Найдите значение выражения

(a - 3)^{2} - a (a + 6)

при

a = - \frac{1}{12}

Сначала упростить, потом подставлять: дроби исчезнут.

R04.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

По вариантам

Вариант 1

Упростите $(a - 5)^{2} - a (a - 10)$ .
$25$
Тождество ли $(x - 3)^{2} = x^{2} - 9$ ?
нет: $9 \neq = - 9$ при $x = 0$
Вычислите $8 5^{2} - 1 5^{2}$ . $7000$
Наименьшее значение $x^{2} - 8 x + 19$ .
$3$ при $x = 4$

Вариант 2

Упростите $(b + 6)^{2} - b (b + 12)$ .
$36$
Тождество ли $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4$ ?
нет: $9 \neq = 5$ при $x = 1$
Вычислите $6 4^{2} - 3 6^{2}$ . $2800$
Наименьшее значение $x^{2} + 12 x + 40$ .
$4$ при $x = - 6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем тождество отличается от уравнения?
Три способа доказать тождество?
Почему $\frac{x ^{2}}{x} = x$ — тождество не при всех $x$ ?

Домашнее задание

Докажите: $(a + b)^{2} + (a - b)^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$
Докажите: $n^{2} + n$ чётно при любом целом $n$
Найдите наименьшее значение $x^{2} + 8 x + 20$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_drobi.htm

1 мин · практика
Ответы на вопросы: тождество верно при всех допустимых значениях, уравнение — при некоторых (корнях); слева направо, обе части к одному, разность = 0; при x = 0 левая часть не определена.
ДЗ 1) a² + 2ab + b² + a² − 2ab + b² = 2a² + 2b² ✓.
ДЗ 2) n² + n = n(n + 1) — произведение двух последовательных целых, одно из них чётно.
ДЗ 3) x² + 8x + 20 = (x + 4)² + 4 ≥ 4; наименьшее значение 4 при x = −4. Проверка: 16 − 32 + 20 = 4 ✓.
Следующий урок ALG8U-057 — «Алгебраическая дробь».

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-056 · Тождественные преобразования рациональных выражений

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения», 17 ч · урок 2/17 · тип Н · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R04.2 «Тождественные преобразования рациональных выражений» → 2–23
Результаты	ПР-12 (тождественные преобразования рациональных выражений) → 3, 4, 6–13, 16–22 · ПР-9 (допустимые значения, как условие тождества) → 5, 13, 19, 20 · ПР-13 (применение преобразований к задачам) → 14, 15, 17–19, 21, 22 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	алгебраическая дробь (R04.3) — ALG8U-057; допустимые значения подробно (R04.4) — ALG8U-058; основное свойство и сокращение дробей (R04.5) — ALG8U-059; действия с дробями (R04.6–R04.7) — далее по строке
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Тождественные преобразования рациональных выражений

Сегодня вы научитесь

1Различать

2Доказывать

3Преобразовывать

4Применять

Раскройте, разложите, посчитайте

Равны ли выражения при всех значениях переменных?

Одно и то же ли x−2x2−4​ и x+2?

Тождество и тождественное преобразование

Тождественно равные выражения

Тождество

Тождественное преобразование

Упростите и проверьте подстановкой

Образец: (a+2)2−(a−2)2

Сами:

Чем преобразуем целые выражения

Раскройте скобки или разложите на множители

Образец: (2x−1)3

Сами:

Как доказать тождество A=B

Докажите: (a2+b2)(c2+d2)=(ac−bd)2+(ad+bc)2

Докажите тождество и назовите способ

Образец: (a+b)2−(a−b)2=4ab

Сами:

Докажите или опровергните

Преобразования считают и доказывают

Вычислите удобно, докажите делимость

Образец: 498⋅502

Сами:

Докажите: x2−6x+10>0 при всех x

Выделите полный квадрат и сделайте вывод

Образец: x2+4x+9

Сами:

Решите

Решите и проверьте себя

Найдите ошибку

Найдите значение выражения

По вариантам

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-056 · Тождественные преобразования рациональных выражений

Одно и то же ли $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ и $x + 2$ ?

Образец: $(a + 2)^{2} - (a - 2)^{2}$

Образец: $(2 x - 1)^{3}$

Как доказать тождество $A = B$

Докажите: $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = (a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2}$

Образец: $(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4 ab$

Образец: $498 \cdot 502$

Докажите: $x^{2} - 6 x + 10 > 0$ при всех $x$

Образец: $x^{2} + 4 x + 9$