Дробно-рациональные выражения · урок 1 из 17 · новый материал

Рациональные
выражения

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R04 · ALG8U-055

1 мин · теория (орг. момент)
Общий хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), всего 45 мин.
Паспорт: R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения» (17 ч), урок 1/17, единица R04.1 «Рациональные выражения». Тип Н. Вчера (ALG8U-054) — обобщение по квадратным уравнениям; завтра (ALG8U-056) — тождественные преобразования рациональных выражений.
Теория (13 мин): титул 1 · цели 1 (сл. 2) · проблема 2 (сл. 5) · классификация 2 (сл. 6) · алгоритм 1 (сл. 7) · тонкие случаи 1 (сл. 8) · значение 1 (сл. 10) · «имеет смысл» 1 (сл. 11) · структура 1 (сл. 14) · углублённые задачи 2 (сл. 15).
Практика (32 мин): разминка 2 (сл. 3) · актуализация 2 (сл. 4) · образец → сам: вид 3 (сл. 9) · образец → сам: значение и запреты 3 (сл. 12) · составление выражений 2 (сл. 13) · образец → сам: целочисленность 2 (сл. 16) · найди ошибку 2 (сл. 17) · самопроверка 3 (сл. 18) · закрепление 3 (сл. 19) · ОГЭ 2 (сл. 20) · формулы и жизнь 2 (сл. 21) · самостоятельная 4 (сл. 22) · рефлексия и ДЗ 2 (сл. 23).
Рисунок: «дерево» рациональных выражений и выколотая точка — две главные идеи урока.

R04.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Различать

целые, дробные и нерациональные выражения — и обосновывать ответ (ПР-12)

Вычислять

значение рационального выражения, в том числе с калькулятором (ПР-12)

Видеть запреты

при каких значениях переменной выражение не имеет смысла (ПР-9)

Составлять

рациональные выражения по условию задачи (ПР-13)

1 мин · теория
ПР-12 (ФРП): «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений» — сегодня фундамент: что такое рациональное выражение и его значение.
ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях» — сегодня первое знакомство, подробно в ALG8U-058.
ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
Виды деятельности ФРП: «Записывать алгебраические выражения», «Выполнять числовые подстановки и вычислять значение дроби, в том числе с помощью калькулятора».

разминка

Разминка · устно

Вычислите или решите устно

(- 3)^{2}

9

- 3^{2}

- 9

\frac{0}{5}

0

\frac{5}{0}

нет смысла

2 x - 6 = 0

x = 3

x (x + 4) = 0

0; - 4

x^{2} = 9

\pm 3

делители числа 4

\pm 1; \pm 2; \pm 4

повторение: 7 класс

Вспомним · выражения 7 класса

Найдите значение при $x = - 2$

Выражение	Подстановка	Значение
$3 x^{2} - 5 x$	$3 \cdot 4 + 10$	22
$(x - 1) (x + 4)$	$(- 3) \cdot 2$	−6
$\frac{x ^{3}}{4} + 1$	$\frac{- 8}{4} + 1$	−1
$\frac{4}{x + 2}$	$\frac{4}{0}$	не имеет смысла

Действия

$+ - \cdot : a^{n}$

Почему последнее выражение «сломалось» именно при

x = - 2

?

R04.1

Проблема · средняя скорость

Туда 60 км/ч, обратно 40 км/ч. Средняя скорость 50?

t = \frac{s}{60} + \frac{s}{40}

всё время в пути

v_{ср} = \frac{2 s}{\frac{s}{60} + \frac{s}{40}}

s = 120 : v_{ср} = \frac{240}{5} = 48

Делим на выражение с переменной — такого в 7 классе не было

R04.1

Определения · классификация

Рациональные выражения = целые + дробные

2 мин · теория
Записать определения в тетрадь. Целое выражение составлено из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения, деления на число, отличное от нуля, и возведения в натуральную степень. Дробное — кроме этих действий содержит деление на выражение с переменной. Целые и дробные вместе — рациональные выражения.
Вопрос: почему $\frac{x}{2}$ — целое? Это деление на число 2, то есть умножение на $\frac{1}{2}$ .
Многочлены и одночлены 7 класса — частный случай целых выражений.

R04.1

Алгоритм · как определить вид

Два вопроса — и вид выражения известен

R04.1

Углублённо · тонкие случаи

Целое, дробное или не рациональное?

Выражение	Вид	Почему
$\frac{x}{3} + 1$	целое	делитель — число
$\frac{x + 1}{x ^{2} + 1}$	дробное	хотя знаменатель $\neq = 0$ всегда
$\frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$	дробное	при $x = 1$ нет значения
$x + 2$	не рацион.	корень из переменной
$(\frac{a}{2} - b)^{2}$	целое	натуральная степень

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} \neq = x + 1

При

x = 1

справа 2, а слева — деление на 0

1 мин · теория
Ученики голосуют карточками «Ц / Д / Н», затем открываем по шагам.
Строка 2: дробное выражение может иметь смысл при всех x — вид определяется наличием деления на выражение с переменной, а не «опасностью» знаменателя.
Строка 3: при x ≠ 1 значения совпадают с x + 1, но выражения не тождественны на всей числовой прямой. Тождественным преобразованиям — следующий урок (ALG8U-056).
Ошибка: « $\frac{x}{3}$ — дробное, ведь есть корень». Корень из числа — число.

R04.1

Образец → сам · вид выражения

Целое, дробное или не рациональное?

Образец

\frac{2 x}{3} - \frac{3}{x}

$\frac{2 x}{3}$ : делим на число 3 — можно

$\frac{3}{x}$ : делим на выражение с $x$

вид: дробное

Сам

$\frac{a ^{2} - 4}{5}$ целое
$\frac{5}{a ^{2} - 4}$ дробное
$(x + 1)^{3} : 7$ целое
$\frac{x}{y} + 2$ дробное
$x - 1$ не рациональное

3 мин · практика
Образец разбирает учитель по шагам (по алгоритму сл. 7), затем ученики решают 5 заданий в тетради; ответы открываются по одному.
Ответы: 1) деление на число 5 — целое; 2) деление на выражение a² − 4 — дробное; 3) делитель √7 — число, значит целое; 4) деление на переменную y — дробное (√2 — просто число); 5) корень из переменной — выражение не рациональное.
Ошибка в 3–4: «есть корень — значит дробное/не рациональное». Смотрим, что стоит под корнем: число или переменная.

R04.1

Значение выражения · подстановка

Таблица значений $\frac{x + 2}{x - 1}$

$x$	$- 2$	$0$	$0, 5$	$1$	$3$
$x + 2$	$0$	$2$	$2, 5$	$3$	$5$
$x - 1$	$- 3$	$- 1$	$- 0, 5$	$0$	$2$
значение	$0$	$- 2$	$- 5$	—	$2, 5$

Нуль числителя

$x = - 2$ → значение $0$

Нуль знаменателя

$x = 1$ → значения нет

R04.1 · R04.4 (первое знакомство)

Когда выражение имеет смысл

Целое — при любом $x$ , дробное — не всегда

1 мин · теория
Целое выражение имеет смысл (имеет значение) при любых значениях переменных. Дробное — при всех значениях, кроме тех, где хотя бы один делитель обращается в 0.
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: x = 0 или x + 3 = 0.
Выколотые точки — «дыры» на прямой. Подробно допустимые значения — урок ALG8U-058, сегодня только идея.
Вопрос: а $\frac{x + 1}{x ^{2} + 1}$ ? Знаменатель ≥ 1 — смысл при всех x, прямая без дыр (связь со сл. 8).

R04.1 · R04.4

Образец → сам · значение и запреты

Найдите значение и при каком $x$ смысла нет

Образец

\frac{x ^{2} - 4}{x + 5}, x = - 3

числитель: $9 - 4 = 5$

знаменатель: $- 3 + 5 = 2$

значение: $\frac{5}{2} = 2, 5$

x + 5 = 0 \Rightarrow x \neq = - 5

Сам

$\frac{3 x - 1}{x + 2}$ , $x = 2$ $1, 25; x \neq = - 2$
$\frac{x ^{2} + 1}{x - 3}$ , $x = - 1$ $- 0, 5; x \neq = 3$
$\frac{7}{x ( x - 6 )}$ , $x = - 1$ $1; x \neq = 0, 6$
$\frac{2}{x ^{2} - 16}$ , $x = 2$ $- 1/6; x \neq = \pm 4$

R04.1

Язык алгебры · составляем выражения

Запишите выражением и определите вид

Ситуация	Выражение	Вид
среднее арифметическое чисел $a$ и $b$	$\frac{a + b}{2}$	целое
цена 1 кг, если $m$ кг стоят 300 р.	$\frac{300}{m}$	дробное
сумма числа и обратного ему	$x + \frac{1}{x}$	дробное
время на 20 км по течению: скорость $v$ , течение 2 км/ч	$\frac{20}{v + 2}$	дробное
площадь квадрата с периметром $P$	$(\frac{P}{4})^{2}$	целое

R04.1

Структура · дерево выражения

Последнее действие называет выражение

\frac{a + 1}{a - 1} - \frac{2}{a}

a = 2 : \frac{3}{1} - \frac{2}{2} = 2

Корень дерева «−» → это разность двух дробей

R04.1 · ПР-13

Углублённо · целочисленность и параметр

Две задачи исследовательского типа

При каких натуральных $n$ значение $\frac{n + 5}{n + 1}$ — целое число?

\frac{n + 5}{n + 1} = 1 + \frac{4}{n + 1}

выделили целую часть

n + 1

— делитель 4,

n + 1 \geq 2

n + 1 \in {2; 4} \Rightarrow n \in {1; 3}

При каких $a$ выражение $\frac{1}{x ^{2} - 2 x + a}$ имеет смысл при любом $x$ ?

x^{2} - 2 x + a \neq = 0

ни при каком

x

D = 4 - 4 a < 0

нет корней

a > 1

2 мин · теория (учитель разбирает образцы)
Задача 1: n + 5 = (n + 1) + 4. Проверка: n = 1 → 6/2 = 3 ✓; n = 3 → 8/4 = 2 ✓; n = 0 не натуральное (а дало бы 5). Ошибка — забыть, что n + 1 ≥ 2, и взять n + 1 = 1.
Задача 2 связывает тему с квадратными уравнениями (R03): знаменатель не должен обращаться в 0 ни при каком x, значит у квадратного трёхчлена нет корней, D < 0. Проверка: a = 2 → x² − 2x + 2 = (x − 1)² + 1 ≥ 1 ✓; a = 1 → (x − 1)², при x = 1 знаменатель 0 — не подходит.
Сильным ученикам: при каких a выражение не имеет смысла ровно при одном x? (D = 0, a = 1.)

R04.1 · ПР-13

Образец → сам · целочисленность

При каких натуральных $n$ значение — целое число?

Образец

\frac{n + 7}{n + 2} = 1 + \frac{5}{n + 2}

$n + 2$ — делитель 5, причём $n + 2 \geq 3$

делители 5: $1; 5$ → $n + 2 = 5$

n = 3

:

\frac{10}{5} = 2

Сам

$\frac{n + 4}{n + 1}$ $n = 2$
$\frac{n + 9}{n + 3}$ $n = 3$
$\frac{2 n + 5}{n + 1}$ $n = 2$

R04.1

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
« $\frac{x}{5}$ — дробное»	делим на число	целое
« $\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x + 1$ , значит целое»	вид — по исходной записи	дробное
« $\frac{1}{x ^{2} + 1}$ — целое: знаменатель $\neq = 0$ »	деление на выражение с $x$	дробное
$\frac{x + 2}{x - 1}$ при $x = 1$ : « $\frac{3}{0} = 0$ »	на 0 делить нельзя	не имеет смысла
$x^{2}$ при $x = - 3$ : « $- 3^{2} = - 9$ »	потеряны скобки	$(- 3)^{2} = 9$

R04.1 · R04.4

Задания с самопроверкой

От базы к повышенному уровню

базаЦелое или дробное: $\frac{x ^{2}}{3} - 2 x$ ? целое
базаЗначение $\frac{2 a - 1}{a + 1}$ при $a = - 0, 5$ . $- 4$
базаПри каких $y$ не имеет смысла $\frac{y}{y ^{2} + 4 y}$ ? $y = 0; - 4$
повыш.При каких $x$ не имеет смысла $\frac{1}{x ^{2} - x - 12}$ ? $x = - 3; 4$
повыш.При каких $a$ выражение $\frac{3}{x ^{2} + 4 x + a}$ имеет смысл при любом $x$ ? $a > 4$

R04.1

Закрепление · решите сами

Пять заданий от базы к исследованию

базаЦелое или дробное: $\frac{m}{4} - m^{2}$ ; $\frac{4}{m} - m^{2}$ ; $\frac{7}{m ^{2} + 1}$ ; $\frac{5}{2} m$ ?
базаНайдите значение $\frac{a ^{2} - 1}{a + 3}$ при $a = - 1; 0; 2; - 3$ .
повыш.При каких $x$ не имеет смысла $\frac{x + 1}{x ^{2} - 5 x + 6}$ ?
повыш.Найдите все целые $n$ , при которых $\frac{2 n + 7}{n + 2}$ — целое число.
практикаТрубы наполняют бассейн за $a$ ч и за $b$ ч. Запишите время совместной работы; найдите его при $a = 3, b = 6$ .

Подсказки

3) нули знаменателя

4) $2 n + 7 = 2 (n + 2) + 3$

5) за 1 ч: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

3 мин · практика
1) целое; дробное; дробное; целое (√5/2 — число).
2) a = −1: 0/2 = 0; a = 0: −1/3; a = 2: 3/5 = 0,6; a = −3: знаменатель 0 — не имеет смысла.
3) x² − 5x + 6 = 0 → x = 2, x = 3 (по Виета: 2 + 3 = 5, 2 · 3 = 6). Ответ: при x = 2 и x = 3.
4) 3/(n + 2) — целое → n + 2 ∈ {−3; −1; 1; 3} → n ∈ {−5; −3; −1; 1}. Проверка: n = 1 → 9/3 = 3; n = −1 → 5/1 = 5; n = −3 → 1/(−1) = −1; n = −5 → −3/(−3) = 1 ✓. Ошибка — забыть отрицательные делители.
5) $\frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ — дробное; при a = 3, b = 6: 1/(1/3 + 1/6) = 1/(1/2) = 2 ч.
При нехватке времени задачу 5 перенести в ДЗ.

R04.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 12 (расчёт по формуле)

Параллельное соединение резисторов

R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}

Общее сопротивление $R = 4$ Ом, $R_{2} = 12$ Ом. Найдите $R_{1}$ (в омах).

R04.1 · ПР-13

Задания с самопроверкой · формулы и жизнь

Считаем по формулам — дробным выражениям

ОГЭ 12Средняя скорость $v = \frac{2 v _{1} v _{2}}{v _{1} + v _{2}}$ . Найдите $v$ при $v_{1} = 60$ , $v_{2} = 40$ . $48$
ОГЭ 12Линза: $f = \frac{d _{1} d _{2}}{d _{1} + d _{2}}$ . Найдите $f$ при $d_{1} = 30$ , $d_{2} = 60$ . $20$
жизньПицца за 600 р. — поровну на $n$ друзей, плюс 50 р. каждый за доставку. Запишите, сколько платит каждый, и найдите при $n = 4$ . $\frac{600}{n} + 50; 200$
повыш. $R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$ , $R = 6$ , $R_{1} = 10$ . Найдите $R_{2}$ . $15$

R04.1 · R04.4

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вид: $\frac{x}{7} + \frac{7}{x}$ дробное
$\frac{x ^{2} - 1}{x + 2}$ при $x = 3$ $1, 6$
Нет смысла: $\frac{5}{x ^{2} - 25} + \frac{1}{x}$ $0; \pm 5$
Натуральные $n$ : $\frac{n + 6}{n + 1} \in Z$ $n = 4$

Вариант 2

Вид: $\frac{x ^{2} + 7}{2}$ целое
$\frac{x ^{2} + 1}{x - 2}$ при $x = 4$ $8, 5$
Нет смысла: $\frac{2}{x ^{2} - 36} - \frac{3}{x + 1}$ $- 1; \pm 6$
Натуральные $n$ : $\frac{n + 10}{n + 3} \in Z$ $n = 4$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем дробное выражение отличается от целого?
Почему $\frac{x}{2}$ — целое?
Может ли дробное выражение иметь смысл при всех $x$ ?

Домашнее задание

Время на 20 км по течению и 20 км против: скорость $v$ , течение 2 км/ч. Найдите при $v = 8$ .
При каких $x$ не имеет смысла $\frac{3}{x ^{2} - 9} + \frac{x}{x + 4}$ ?
* Наибольшее значение $\frac{6}{x ^{2} + 2 x + 4}$ .
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_drobi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-055 · Рациональные выражения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R04 «Алгебраические выражения: дробно-рациональные выражения», 17 ч · урок 1/17 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R04.1 «Рациональные выражения» → 2, 5–23 (разминка и повторение 7 кл. → 3–4; первое знакомство с R04.4 → 11, 12, 18, 22)
Результаты	ПР-12 (вид и значение рационального выражения) → 4, 6–10, 12, 14, 17–19, 22 · ПР-9 (допустимые значения переменных) → 10–12, 15, 18, 19, 22 · ПР-13 (применение к задачам) → 5, 13, 15, 16, 20, 21 · хронометраж: теория 13 мин, практика 32 мин (71 %) · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	тождественные преобразования — ALG8U-056; алгебраическая дробь — ALG8U-057; допустимые значения подробно — ALG8U-058; основное свойство дроби и действия с дробями — R04.5–R04.7; степень с целым показателем — строка R07
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Рациональныевыражения

Сегодня вы научитесь

Различать

Вычислять

Видеть запреты

Составлять

Вычислите или решите устно

Найдите значение при x=−2

Действия

Туда 60 км/ч, обратно 40 км/ч. Средняя скорость 50?

Рациональные выражения = целые + дробные

Два вопроса — и вид выражения известен

Целое, дробное или не рациональное?

Целое, дробное или не рациональное?

Образец

Сам

Таблица значений x−1x+2​

Нуль числителя

Нуль знаменателя

Целое — при любом x, дробное — не всегда

Найдите значение и при каком x смысла нет

Образец

Сам

Запишите выражением и определите вид

Последнее действие называет выражение

Две задачи исследовательского типа

При каких натуральных n значение — целое число?

Образец

Сам

Найдите ошибку

От базы к повышенному уровню

Пять заданий от базы к исследованию

Подсказки

Параллельное соединение резисторов

Считаем по формулам — дробным выражениям

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-055 · Рациональные выражения

Рациональные
выражения

Найдите значение при $x = - 2$

Таблица значений $\frac{x + 2}{x - 1}$

Целое — при любом $x$ , дробное — не всегда

Найдите значение и при каком $x$ смысла нет

При каких натуральных $n$ значение — целое число?