Квадратные уравнения · урок 17 из 17 · обобщение

Обобщение
и систематизация:
квадратные уравнения

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG8U-054

1 мин · теория (орг. момент)
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения» (17 ч), урок 17/17, тип О (обобщение) по всем единицам R03.1–R03.10. Вчера — практикум ALG8U-053 «Квадратное уравнение с параметром»; завтра начинается строка R04: ALG8U-055 «Рациональные выражения».
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин. Теория — сл. 1, 2, 4–6, 8, 10, 11, 13, 14, 16 (повторение блоков карты, учитель показывает); практика — все остальные.
Хронометраж: титул 1 · цели 1 · разминка 2 · карта 2 · схема 1 · число корней 1 · образец → сам 2 · Виета 1 · сам 2 · сводимые 1 · модуль 1 · сам 2 · параметр 1 · расположение корней 2 · сам 2 · модель 2 · задачи сам 2 · ошибки 2 · верно/неверно 2 · задания база 3 · задания повыш. 3 · углублённые 1 (или в ДЗ) · ОГЭ линия 9 · 1 · ОГЭ линия 20 · 2 · самостоятельная 4 · итог 1.
Если класс уверенно решает уравнения — сл. 7 и 9 пройти устно, время отдать параметрам (сл. 15) и самостоятельной работе (сл. 25).
Рисунок: три параболы — два корня, один корень, нет корней. Главная идея урока: всё решается через дискриминант, Виета и замену.

R03.1–R03.10

Цели урока

Сегодня собираем тему в одну систему

Решать квадратные уравнения

полные и неполные, формула корней, дискриминант, теорема Виета (ПР-19)

Сводить к квадратным

замена переменной, дробно-рациональные уравнения, уравнения с модулем (ПР-19, ПР-20)

Исследовать

число корней, уравнения с параметром, знаки корней, график (ПР-22)

Моделировать

составлять уравнение по условию задачи и отбирать корни по смыслу (ПР-23)

1 мин · теория
ПР-19: «Решать квадратные уравнения». ПР-20: «Решать дробно-рациональные уравнения».
ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
ПР-23: «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели с помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат».

R03.1–R03.4 · R03.8

Разминка · устно

Назовите корни или ответ — без записи

корни

x^{2} - 9 = 0

\pm 3

корни

x^{2} = 5 x

0; 5

корни

2 x^{2} - 8 = 0

\pm 2

D = ?

x^{2} - 6 x + 9 = 0

D = 0

корни по Виета

x^{2} - 5 x + 6 = 0

2; 3

корни по Виета

x^{2} + x - 2 = 0

1; - 2

сколько корней?

x^{2} + 4 = 0

нет корней

корни

∣ x ∣ = 3

\pm 3

R03.1–R03.10

Карта темы · 17 уроков на одной схеме

Пять блоков темы «Квадратные уравнения»

R03.1 · R03.2

Блок 1 · схема решения

Какой способ выбрать?

R03.3

Блок 1 · число действительных корней

Знак дискриминанта = число точек на оси $x$

R03.1 · R03.2

Образец → сам

Решите по формуле корней

Образец

3 x^{2} + 5 x - 2 = 0

D = 25 + 24 = 49

x = \frac{- 5 \pm 7}{6}

x = \frac{1}{3}; x = - 2

Сам

$x^{2} - 10 x + 21 = 0$ $3; 7$
$4 x^{2} + 12 x + 9 = 0$ $- 1, 5$
$2 x^{2} - 18 = 0$ $\pm 3$
$6 x^{2} + x = 0$ $0; - \frac{1}{6}$

R03.4

Блок 2 · теорема Виета

Корни и коэффициенты приведённого уравнения

x^{2} + p x + q = 0

x_{1} + x_{2} = - p, x_{1} x_{2} = q

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}

Сначала проверь

D \geq 0

: у

x^{2} + 3 x + 5 = 0

корней нет!

R03.4

Образец → сам

Теорема Виета: подбор корней и выражения

Образец

x^{2} - 3 x - 10 = 0

x_{1} + x_{2} = 3, x_{1} x_{2} = - 10

x_{1} = 5, x_{2} = - 2

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 9 + 20 = 29

Сам

Корни: $x^{2} + 2 x - 15 = 0$ $3; - 5$
Корни: $x^{2} - 9 x + 20 = 0$ $4; 5$
$x^{2} - 5 x + 3 = 0$ : $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ $19$
Знаки корней $x^{2} + 7 x + 10 = 0$ оба $< 0$

R03.5

Блок 3 · уравнения, сводимые к квадратным

Три приёма — один итог: квадратное уравнение

Биквадратное

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0

$t = x^{2} \geq 0$

$t^{2} - 5 t + 4 = 0$

$t = 1$ или $t = 4$

x = \pm 1; \pm 2

Замена выражения

(x^{2} + x)^{2} - 8 (x^{2} + x) + 12 = 0

$t = x^{2} + x$

$t^{2} - 8 t + 12 = 0$

$t = 2$ или $t = 6$

x = 1; - 2; 2; - 3

Дробное: ОДЗ!

\frac{x ^{2}}{x - 3} = \frac{9}{x - 3}

$x \neq = 3$

$x^{2} = 9$

$x = 3$ — посторонний

x = - 3

Схема: заметить повторяющееся выражение →

t

→ квадратное уравнение → вернуться к

x

→ отбор корней

R03.8 · R03.7

Блок 3 · уравнения со знаком модуля

$x^{2} = ∣ x ∣^{2}$ — значит, замена $t = ∣ x ∣$

x^{2} - 5∣ x ∣ + 6 = 0

t^{2} - 5 t + 6 = 0, t \geq 0

t = 2

или

t = 3

x = \pm 2; \pm 3

График симметричен: корни идут парами

\pm x

R03.5 · R03.8

Образец → сам

Замена переменной и отбор корней

Образец

x^{4} - 8 x^{2} - 9 = 0

t = x^{2} \geq 0 : t^{2} - 8 t - 9 = 0

t = 9

или

t = - 1

x = \pm 3

Сам

$x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ $\pm 2; \pm 3$
$x^{4} + x^{2} - 20 = 0$ $\pm 2$
$x^{2} - ∣ x ∣ - 6 = 0$ $\pm 3$
$\frac{x ^{2}}{x + 1} = \frac{2 x + 3}{x + 1}$ $3$

R03.6 · R03.7

Блок 4 · уравнение с параметром

При каких $a$ уравнение $a x^{2} - 4 x + 1 = 0$ имеет ровно один корень?

Ответ:

a = 0

или

a = 4

R03.7 · R03.4

Блок 4 · параметр и теорема Виета

При каких $a$ у $x^{2} - 2 a x + a + 6 = 0$ два различных положительных корня?

D_{1} = a^{2} - a - 6 > 0

x_{1} + x_{2} = 2 a > 0

x_{1} x_{2} = a + 6 > 0

a \in (3; + \infty)

R03.6 · R03.7 · R03.4

Образец → сам

Исследуйте уравнение с параметром

Образец

Ровно один корень у $x^{2} + m x + 9 = 0$ ?

$a = 1 \neq = 0$ — случай $a = 0$ не нужен

D = m^{2} - 36 = 0

m = \pm 6

Сам

Ровно один корень: $(a - 2) x^{2} + 2 x + 1 = 0$ $a = 2; 3$
Корни разных знаков: $x^{2} + 6 x + b = 0$ $b < 0$
Нет корней: $x^{2} - 4 x + c = 0$ $c > 4$
Два различных положительных корня: $x^{2} - 2 a x + a + 2 = 0$ $a > 2$

2 мин · практика
По образцам сл. 13 и 14: сначала коэффициент при x², затем D, затем Виета. Задание 4 — по желанию, сильным.
Ответы: 1) a = 2: 2x + 1 = 0, x = −1/2 — один корень; a ≠ 2: D₁ = 1 − (a − 2) = 3 − a = 0, a = 3 (x² + 2x + 1 = 0, x = −1). Ответ: a = 2 или a = 3. 2) произведение b < 0 (тогда D = 36 − 4b > 0 автоматически): b < 0. 3) D₁ = 4 − c < 0: c > 4. 4) D₁ = a² − a − 2 = (a − 2)(a + 1) > 0, сумма 2a > 0, произведение a + 2 > 0 ⇒ a > 2. Проверка: a = 3: x² − 6x + 5 = 0, корни 1 и 5 ✓; a = 2: x² − 4x + 4 = 0 — один корень, 2 не входит.

R03.9 · R03.10

Блок 5 · уравнение как модель

Второй на 10 км/ч быстрее и приезжает на 1 ч раньше

\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 10} = 1

x^{2} + 10 x - 1200 = 0

x = 30

или

x = - 40

30 и 40 км/ч

2 мин · теория (учитель разбирает образец)
Расстояние 120 км (условие задачи: из A в B выехали два автомобиля; скорость второго на 10 км/ч больше, приехал на 1 ч раньше; найти скорости).
Цепочка: умножаем на x(x + 10) ≠ 0: 120(x + 10) − 120x = x(x + 10), 1200 = x² + 10x. D = 100 + 4800 = 4900, √D = 70, x = (−10 ± 70)/2: 30 или −40.
Отбор по смыслу: скорость положительна, −40 отбрасываем. Проверка: 120 : 30 = 4 ч, 120 : 40 = 3 ч, разница 1 ч ✓.
Этапы модели: переменная → таблица → уравнение → решение → интерпретация.

R03.9 · R03.10

Сам по образцу · задачи из жизни

Составьте уравнение и отберите корни

Расстояние $100$ км. Мотоциклист едет на $30$ км/ч быстрее велосипедиста и приезжает на $3$ ч раньше. Найдите скорости. 20 и 50 км/ч
Одно натуральное число на $4$ больше другого, их произведение $96$ . Найдите числа. 8 и 12
Одна сторона прямоугольника на $3$ см больше другой, площадь $70 см^{2}$ . Найдите стороны. 7 и 10 см

Этапы

1) переменная $x$

2) таблица или схема

3) уравнение

4) решение

5) отбор по смыслу

R03.1–R03.10

Типичные ошибки по всей теме

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$x^{2} = 9 x \Rightarrow x = 9$	разделили на $x$ — потеряли корень	$x = 0; 9$
$x^{2} + 3 x + 5 = 0$ : $x_{1} + x_{2} = - 3$	$D = - 11 < 0$ , корней нет	нет корней
$x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$ : $x = \pm 2, \pm 1$	$x^{2} = - 1$ корней не имеет	$x = \pm 2$
$\frac{x ^{2} - x}{x - 1} = 0 \Rightarrow x = 0; 1$	$x = 1$ не входит в ОДЗ	$x = 0$
$a x^{2} + 2 x + 1 = 0$ : один корень только при $a = 1$	забыт случай $a = 0$	$a = 0; 1$

R03.1–R03.8

Самопроверка · верно или неверно

Поднимите карточку: «да» или «нет»

Утверждение	Ответ
1. Если $a c < 0$ , уравнение $a x^{2} + b x + c = 0$ имеет два корня	верно
2. Сумма корней уравнения $x^{2} + 5 x - 3 = 0$ равна $5$	неверно
3. Уравнение $x^{4} + 3 x^{2} + 2 = 0$ не имеет корней	верно
4. Уравнение $x^{2} - ∣ x ∣ - 2 = 0$ имеет четыре корня	неверно
5. Числа $3$ и $- 7$ — корни уравнения $x^{2} + 4 x - 21 = 0$	верно
6. При $a = 0$ уравнение $a x^{2} + x - 1 = 0$ не имеет корней	неверно

R03.1–R03.10

Задания с самопроверкой · база и повышенный

Решите и проверьте ответ

база $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ $3; 0, 5$
база $3 x^{2} - 48 = 0$ $\pm 4$
базаНе решая, найдите сумму и произведение корней $x^{2} - 11 x + 24 = 0$ $11; 24$

повыш. $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ $\pm 1; \pm 3$
повыш. $\frac{x + 2}{x - 1} = \frac{2 x + 2}{x + 1}$ $4$
повыш. $x^{2} - 4∣ x ∣ - 5 = 0$ $\pm 5$
практикаПлощадь прямоугольника $60 м^{2}$ , периметр $34$ м. Найдите стороны. 5 м и 12 м

3 мин · практика
2 мин работы, 1 мин — ответы по клику, класс отмечает «+». Ответы: 1) D = 49 − 24 = 25, x = (7 ± 5)/4: 3 и 0,5.
2) x² = 16, x = ±4.
3) D = 121 − 96 = 25 > 0; сумма 11, произведение 24 (корни 3 и 8).
4) t = x²: t² − 10t + 9 = 0, t = 1 или 9; x = ±1, ±3.
5) x ≠ 1, x ≠ −1. (x + 2)(x + 1) = (2x + 2)(x − 1): x² + 3x + 2 = 2x² − 2, x² − 3x − 4 = 0, x = 4 или x = −1 (не входит в ОДЗ). Ответ: 4. Проверка: 6/3 = 2, 10/5 = 2 ✓.
6) t = |x|: t² − 4t − 5 = 0, t = 5 (t = −1 отброшен), x = ±5.
7) x(17 − x) = 60, x² − 17x + 60 = 0, D = 289 − 240 = 49, x = 5 или 12: стороны 5 м и 12 м.

R03.4 · R03.5 · R03.8

Задания с самопроверкой · повышенный

Решите и проверьте ответ

повыш. $(x^{2} - 3 x)^{2} - 14 (x^{2} - 3 x) + 40 = 0$
$- 2; - 1; 4; 5$
повыш. $\frac{x}{x - 3} + \frac{6}{x + 3} = \frac{18}{x ^{2} - 9}$ $- 12$
повыш. $x^{2} + 5∣ x ∣ - 6 = 0$ $\pm 1$

ВиетаОдин корень уравнения $x^{2} + p x - 12 = 0$ равен $3$ . Найдите $p$ и второй корень. $p = 1; - 4$
Виета $x_{1}, x_{2}$ — корни $x^{2} - 4 x - 7 = 0$ . Найдите $(x_{1} - x_{2})^{2}$ . $44$

3 мин · практика
2 мин работы, 1 мин — ответы по клику и разбор одного задания по выбору класса.
1) t = x² − 3x: t² − 14t + 40 = 0, t = 4 или 10. x² − 3x − 4 = 0 → x = 4, −1; x² − 3x − 10 = 0 → x = 5, −2. Ответ: −2; −1; 4; 5. Проверка t: 16 − 56 + 40 = 0 ✓, 100 − 140 + 40 = 0 ✓.
2) x ≠ ±3. Умножаем на (x − 3)(x + 3): x(x + 3) + 6(x − 3) = 18, x² + 9x − 36 = 0, D = 81 + 144 = 225, x = (−9 ± 15)/2: 3 (не входит в ОДЗ) или −12. Ответ: −12. Проверка: −12/(−15) + 6/(−9) = 0,8 − 2/3 = 2/15; 18/135 = 2/15 ✓.
3) t = |x|: t² + 5t − 6 = 0, t = 1 (t = −6 отброшен): x = ±1.
4) 9 + 3p − 12 = 0, p = 1; произведение корней −12, второй корень −12 : 3 = −4. Проверка: x² + x − 12 = (x − 3)(x + 4) ✓.
5) D = 16 + 28 = 44 > 0; (x₁ − x₂)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ = 16 + 28 = 44.

R03.4 · R03.6 · R03.7 · R03.8

Углублённый уровень · задачи со звёздочкой

Доказать, вычислить, исследовать

доказатьПри любом $a \neq = 1$ уравнение
$(a - 1) x^{2} - 2 (a + 1) x + a + 3 = 0$
имеет два корня. Найдите их.
Виета $x_{1}, x_{2}$ — корни $x^{2} - 6 x + 4 = 0$ . Найдите $x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$ .
параметрСколько корней у $x^{2} - 4∣ x ∣ = a$ в зависимости от $a$ ?

Подсказка 1. Найдите

D_{1}

— от

a

он не зависит

Подсказка 2.

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = (x_{1} + x_{2})^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2})

Подсказка 3. Постройте

y = x^{2} - 4∣ x ∣

(как на слайде 11)

R03.1 · R03.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 9 (часть 1)

Решите уравнение. Если корней несколько, запишите больший

x^{2} - 3 x - 18 = 0

Ответ:

6

5 x^{2} + 20 x = 0

Ответ:

0

x^{2} = 2 x + 15

Ответ:

5

R03.5 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20 (часть 2)

Решите уравнение

x^{4} = (4 x - 5)^{2}

План

$A^{2} = B^{2} ⟺ A = B$ или $A = - B$
два квадратных уравнения
проверить дискриминанты

Полное решение с обоснованием — 2 балла

R03.1–R03.8

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

$3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$ $2; \frac{1}{3}$
$x^{4} - 17 x^{2} + 16 = 0$ $\pm 1; \pm 4$
$x^{2} - 6∣ x ∣ + 8 = 0$ $\pm 2; \pm 4$
При каких $a$ у $a x^{2} + 6 x + 3 = 0$ ровно один корень? $0; 3$

Вариант 2

$2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$ $\frac{1}{2}; - 3$
$x^{4} - 29 x^{2} + 100 = 0$ $\pm 2; \pm 5$
$x^{2} - 7∣ x ∣ + 12 = 0$ $\pm 3; \pm 4$
При каких $a$ у $a x^{2} - 8 x + 4 = 0$ ровно один корень? $0; 4$

4 мин · практика
Варианты по партам; 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам на слайде (открыть по клику).
Вариант 1: 1) D = 49 − 24 = 25, x = (7 ± 5)/6: 2 и 1/3; 2) t = x²: t² − 17t + 16 = 0, t = 1 или 16: x = ±1, ±4; 3) t = |x|: t² − 6t + 8 = 0, t = 2 или 4: x = ±2, ±4; 4) a = 0: 6x + 3 = 0, x = −1/2 — подходит; a ≠ 0: D₁ = 9 − 3a = 0, a = 3 (3x² + 6x + 3 = 3(x + 1)² = 0, x = −1). Ответ: a = 0 или 3.
Вариант 2: 1) D = 25 + 24 = 49, x = (−5 ± 7)/4: 1/2 и −3; 2) t² − 29t + 100 = 0, D = 841 − 400 = 441, t = (29 ± 21)/2: 4 или 25: x = ±2, ±5; 3) t² − 7t + 12 = 0, t = 3 или 4: x = ±3, ±4; 4) a = 0: −8x + 4 = 0, x = 1/2 — подходит; a ≠ 0: D₁ = 16 − 4a = 0, a = 4 (4x² − 8x + 4 = 4(x − 1)² = 0, x = 1). Ответ: a = 0 или 4.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3». Задание 4 проверяет главную ловушку параметра — случай a = 0.

рефлексия · ДЗ

Итог урока и темы

Проверьте себя перед контрольной

Ответьте одной фразой

Какой блок карты для меня самый трудный?
С чего начинать уравнение с параметром?
Когда корень приходится отбрасывать?

Домашнее задание

$(x^{2} - 2 x)^{2} - 2 (x^{2} - 2 x) - 3 = 0$
При каких $a$ у $x^{2} + a x + 4 = 0$ нет корней?
Произведение двух последовательных натуральных чисел равно $156$ . Найдите их.
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-054 · Обобщение и систематизация: квадратные уравнения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения», 17 ч · урок 17/17 · тип О (обобщение)
Единицы → слайды	R03.1 → 3, 4, 5, 7, 18, 20, 23, 25 · R03.2 → 3, 5, 7, 20, 23, 25 · R03.3 → 3, 6, 19 · R03.4 → 3, 8, 9, 14, 15, 18, 19, 21, 22 · R03.5 → 10, 12, 18, 20, 21, 24, 25 · R03.6 → 13, 15, 18, 25 · R03.7 → 13, 14, 15, 22 · R03.8 → 3, 11, 12, 19, 20, 21, 22, 25 · R03.9 → 16, 17 · R03.10 → 16, 17, 20
Результаты	ПР-19 (решать квадратные уравнения) → 2, 3, 5–10, 12, 20, 21, 23–25 · ПР-20 (дробно-рациональные уравнения) → 10, 12, 18, 20, 21 · ПР-22 (исследование уравнений, графические представления) → 6, 11, 13–15, 22, 25 · ПР-23 (алгебраическая модель задачи) → 16, 17, 20 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	рациональные выражения и алгебраическая дробь — ALG8U-055 и далее (R04); разложение квадратного трёхчлена и функция $y = a x^{2} + b x + c$ — в следующих строках курса (параболы на сл. 6, 11 — только иллюстрация)
Хронометраж	26 видимых слайдов · теория 14 мин (сл. 1, 2, 4–6, 8, 10, 11, 13, 14, 16) · практика 31 мин (69 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщениеи систематизация:квадратные уравнения

Сегодня собираем тему в одну систему

Решать квадратные уравнения

Сводить к квадратным

Исследовать

Моделировать

Назовите корни или ответ — без записи

Пять блоков темы «Квадратные уравнения»

Какой способ выбрать?

Знак дискриминанта = число точек на оси x

Решите по формуле корней

Образец

Сам

Корни и коэффициенты приведённого уравнения

Теорема Виета: подбор корней и выражения

Образец

Сам

Три приёма — один итог: квадратное уравнение

Биквадратное

Замена выражения

Дробное: ОДЗ!

x2=∣x∣2 — значит, замена t=∣x∣

Замена переменной и отбор корней

Образец

Сам

При каких a уравнение ax2−4x+1=0 имеет ровно один корень?

При каких a у x2−2ax+a+6=0 два различных положительных корня?

Исследуйте уравнение с параметром

Образец

Сам

Второй на 10 км/ч быстрее и приезжает на 1 ч раньше

Составьте уравнение и отберите корни

Этапы

Найдите ошибку

Поднимите карточку: «да» или «нет»

Решите и проверьте ответ

Решите и проверьте ответ

Доказать, вычислить, исследовать

Решите уравнение. Если корней несколько, запишите больший

Решите уравнение

План

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя перед контрольной

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-054 · Обобщение и систематизация: квадратные уравнения

Обобщение
и систематизация:
квадратные уравнения

Знак дискриминанта = число точек на оси $x$

$x^{2} = ∣ x ∣^{2}$ — значит, замена $t = ∣ x ∣$

При каких $a$ уравнение $a x^{2} - 4 x + 1 = 0$ имеет ровно один корень?

При каких $a$ у $x^{2} - 2 a x + a + 6 = 0$ два различных положительных корня?