Квадратные уравнения · урок 16 из 17 · практикум

Практикум:
квадратное
уравнение
с параметром

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG8U-053

1 мин · теория (орг. момент)
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения» (17 ч), урок 16/17, единица R03.6 «Квадратное уравнение с параметром». Тип П (практикум). Было: ALG8U-043 (новый материал по R03.6: алгоритм, контрольные значения), ALG8U-044 (условия на корни), ALG8U-052 (практикум: уравнения, сводимые к квадратным). Дальше: ALG8U-054 — обобщение по всей строке R03.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Хронометраж: орг. момент 1 (сл. 1) · цели 1 (сл. 2) · разминка 2 + 2 (сл. 3–4) · карта типов 1 (сл. 5) · тип 1: образец 3 + задания 3 (сл. 6–7) · тип 2: образец 3 + задания 2 (сл. 8–9) · тип 3: образец 2 + задания 3 (сл. 10–11) · тип 4: образец 3 + задания 2 (сл. 12–13) · самопроверка 2 + 2 (сл. 14–15) · ошибки 2 (сл. 16) · закрепление в парах 3 (сл. 17) · самостоятельная 4 (сл. 18) · ОГЭ 3 (сл. 19) · итог и ДЗ 1 (сл. 20).
Теория — сл. 1, 2, 5, 6, 8, 10, 12 (учитель объясняет и разбирает образцы); остальное — работа учеников.
Если не успеваете: сл. 17 — в ДЗ, сл. 15 разобрать фронтально.
Рисунок: параболы y = (x − 1)(ax − 2) при a = 1, 2, 4. Все проходят через точку (1; 0): x = 1 — корень уравнения ax² − (a + 2)x + 2 = 0 при любом a (это задание сл. 11).

R03.6

Цели практикума

Сегодня вы научитесь

Решать при всех $a$

с параметром при $x^{2}$ , ни одного значения не потеряв (ПР-19, ПР-21)

Исследовать число корней

«ровно один», «нет корней», «два корня» (ПР-22)

Находить параметр по корню

подстановкой и по теореме Виета (ПР-19, ПР-22)

Учитывать ОДЗ и смысл

в дробных уравнениях и в задаче (ПР-20, ПР-23)

1 мин · теория
ПР-19 (ФРП): «Решать квадратные уравнения». ПР-20: «Решать дробно-рациональные уравнения». ПР-21: «Решать линейные уравнения с параметрами, несложные системы линейных уравнений с параметрами» — линейный случай при нулевом старшем коэффициенте.
ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
ПР-23: «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели… интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат».
Вид деятельности ФРП: «Проводить простейшие исследования квадратных уравнений».

повторение: R03.3, R03.4, R03.6

Разминка · устно

Ответьте за 10 секунд

Вопрос	Ответ
Сколько корней у $x^{2} + 6 x + a = 0$ при $a = 9$ ?	$9 - a = 0$ — один корень
При каком $a$ уравнение $(a - 3) x^{2} + x - 1 = 0$ не квадратное?	$a = 3$ : $x - 1 = 0$
Найдите $\frac{D}{4}$ для $x^{2} - 2 a x + 3 = 0$	$a^{2} - 3$
$2$ — корень $x^{2} - 3 x + c = 0$ . Найдите $c$	$4 - 6 + c = 0, c = 2$

Контрольные значения

a

: старший коэффициент

= 0

и

D = 0

повторение: R03.3, R03.4, R03.5

Разминка · устно

Ещё четыре вопроса

При каких

a

у

x^{2} + 4 x + a = 0

нет корней?

a > 4

Корень

a x^{2} + 5 x - 1 = 0

при

a = 0

?

x = \frac{1}{5}

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - \dots)

(x - 3)

Сумма коэффициентов

3 x^{2} - 7 x + 4

равна

0

. Назовите корень.

x = 1

(и

x = \frac{4}{3}

)

R03.6

Карта практикума

Четыре типа задач с параметром

R03.6

Тип 1 · образец · параметр при $x^{2}$

Решите $(a - 1) x^{2} - 2 a x + a + 2 = 0$

a = 1 : - 2 x + 3 = 0, x = \frac{3}{2}

a \neq = 1 : \frac{D}{4} = a^{2} - (a - 1) (a + 2) = 2 - a

x_{1, 2} = \frac{a \pm 2 - a}{a - 1}

при

a < 2, a \neq = 1

a = 2 : x = \frac{a}{a - 1} = 2

Ответ: $a = 1$ : $x = 1, 5$ ; $a < 2, a \neq = 1$ : $x = \frac{a \pm 2 - a}{a - 1}$ ; $a = 2$ : $x = 2$ ; $a > 2$ : корней нет.

3 мин · теория (учитель разбирает образец)
Учитель у доски, класс ведёт запись. Вопрос до решения: какие значения a «подозрительны»? (a = 1 — старший коэффициент 0.)
D/4 = a² − (a − 1)(a + 2) = a² − (a² + a − 2) = 2 − a. Контрольные значения: 1 и 2 — три промежутка и две точки на прямой a.
Проверка a = 0: −x² + 2 = 0 ⇒ x = ±√2; по формуле (0 ± √2)/(−1) = ∓√2 ✓. Проверка a = 2: x² − 4x + 4 = 0 ⇒ x = 2 ✓.
Ошибка: при a = 2 подставить в «a ± √…» и написать «два одинаковых корня» — пишем один корень.

R03.6

Тип 1 · решите сами

Решите уравнение при каждом $a$

база $x^{2} - 2 a x + a^{2} - 1 = 0$
повыш. $a x^{2} - 2 (a + 1) x + a + 4 = 0$

В № 1 выделите полный квадрат:

(x - a)^{2} = \dots

План

старший коэффициент $= 0$ ?
$\frac{D}{4}$ как выражение с $a$
точки на прямой $a$
ответ по всем промежуткам

R03.6

Тип 2 · образец · «ровно один корень»

При каких $a$ у $(a + 2) x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ровно один корень?

Ответ: $a = - 2$ или $a = 2$ .

R03.6

Тип 2 · решите сами

Исследуйте число корней

базаПри каких $a$ у $(a - 1) x^{2} + 2 x - 3 = 0$ ровно один корень?
повыш.При каких $a$ у $x^{2} - 2 (a - 1) x + 2 a + 1 = 0$ нет корней?

2 мин · практика
Самостоятельно, проверка по ответам.
1) a = 1: 2x − 3 = 0, x = 3/2 — один корень ✓. a ≠ 1: D/4 = 1 + 3(a − 1) = 3a − 2 = 0 ⇒ a = 2/3: −(1/3)x² + 2x − 3 = 0 ⇔ x² − 6x + 9 = 0 ⇒ x = 3 ✓. Ответ: a = 2/3 или a = 1. Типичная ошибка — только a = 2/3.
2) Старший коэффициент 1 — линейного случая нет. D/4 = (a − 1)² − (2a + 1) = a² − 4a = a(a − 4) < 0 ⇔ 0 < a < 4. Проверка a = 2: x² − 2x + 5 = 0, D/4 = 1 − 5 < 0 ✓; a = 0: x² + 2x + 1 = 0 — корень есть, граница не входит ✓.
Неравенство a(a − 4) < 0: множители разных знаков (метод из ALG8U-043, сл. «Ловушка»).

R03.6 · R03.4

Тип 3 · образец · известен корень

$3$ — корень $x^{2} + a x - 12 = 0$ . Найдите $a$ и второй корень

Ответ: $a = 1$ , второй корень $- 4$ .

R03.6 · R03.4

Тип 3 · решите сами

Параметр по корню

база $3$ — корень $2 x^{2} - 7 x + a = 0$ . Найдите $a$ и второй корень.
повыш.Докажите: $x = 1$ — корень $a x^{2} - (a + 2) x + 2 = 0$ при любом $a$ . Найдите второй корень.

№ 2: сумма коэффициентов

a - (a + 2) + 2 = ?

Если

x_{1} = 1

, то

a x^{2} + b x + c = (x - 1) (\dots)

3 мин · практика
Подсказки открывать, только если класс застрял.
1) 18 − 21 + a = 0 ⇒ a = 3. По Виета x₁ + x₂ = 7/2 ⇒ x₂ = 1/2; проверка x₁x₂ = 3/2 = a/2 ✓.
2) Подстановка x = 1: a − a − 2 + 2 = 0 — верно при любом a (сумма коэффициентов равна 0). Разложение: ax² − (a + 2)x + 2 = (x − 1)(ax − 2). a ≠ 0: второй корень 2/a (при a = 2 он совпадает с 1 — корень один); a = 0: −2x + 2 = 0, корень только x = 1. Это и есть рисунок на титуле.
Углублённое обобщение: если a + b + c = 0, то x = 1 — корень; если a − b + c = 0, то x = −1 — корень.

R03.6 · R03.5

Тип 4 · дробное уравнение с параметром

Сколько корней у $\frac{x ^{2} - ( a + 2 ) x + 2 a}{x - 3} = 0$ ?

x^{2} - (a + 2) x + 2 a = (x - 2) (x - a)

ОДЗ:

x \neq = 3

кандидаты:

x = 2, x = a

Ответ: при $a = 2$ и $a = 3$ — один корень $x = 2$ ; при остальных $a$ — два корня $2$ и $a$ .

R03.6 · R03.5

Тип 4 · решите сами

Дробные уравнения с параметром

базаПри каких $a$ у $\frac{( x - 1 ) ( x - a )}{x + 2} = 0$ ровно один корень? $a = 1$ или $a = - 2$
повыш.Решите: $\frac{x ^{2} - ( a + 4 ) x + 4 a}{x - a} = 0$ $a \neq = 4$ : $x = 4$ ; $a = 4$ : нет корней
повыш.При каких $a$ у $\frac{x ^{2} - a x}{x - 5} = 0$ два корня? $a \neq = 0, a \neq = 5$

Помните

разложить числитель
ОДЗ: знаменатель $\neq = 0$
корни совпали?
корень выпал?

2 мин · практика
Самостоятельно по образцу сл. 12, ответы по клику.
1) Кандидаты 1 и a, x ≠ −2. a = 1 — корни совпали, корень 1; a = −2 — корень x = a выпадает, остаётся 1. Ответ: a = 1 или a = −2. Проверка a = 3: корни 1 и 3 — два ✓.
2) Числитель: сумма корней a + 4, произведение 4a ⇒ (x − 4)(x − a). ОДЗ x ≠ a, значит x = a не корень никогда. x = 4 — корень, если 4 ≠ a. Ответ: a ≠ 4 — x = 4; a = 4 — корней нет. Проверка a = 4: (x − 4)²/(x − 4) = 0 — x = 4 вне ОДЗ ✓.
3) x(x − a) = 0, x ≠ 5: кандидаты 0 и a. Два корня, если a ≠ 0 (не совпали) и a ≠ 5 (не выпал). Проверка a = 5: (x² − 5x)/(x − 5) = x = 0 — один корень ✓.

R03.6

Задания с самопроверкой · база

Типы 1–2: решите и проверьте себя

Задание	Ответ
1) При каких $a$ у $x^{2} - 6 x + a = 0$ два корня?	$a < 9$
2) При каких $a$ у $x^{2} + a x + 9 = 0$ один корень?	$a = \pm 6$
3) При каких $a$ у $x^{2} + 2 x + a = 0$ нет корней?	$a > 1$
4) При каких $a$ у $2 x^{2} + 4 x + a = 0$ два корня?	$a < 2$
5) При каких $a$ у $a x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ровно один корень?	$a = 0$ или $a = 4$
6) Решите: $x^{2} - (a + 3) x + 3 a = 0$	$x = 3, x = a$

R03.6 · R03.4 · R03.5

Задания с самопроверкой · повышенный

Типы 3–4: решите и проверьте себя

Задание	Ответ
1) $- 2$ — корень $x^{2} + a x + 6 = 0$ . Найдите $a$ и второй корень.	$a = 5, x_{2} = - 3$
2) Корни $x^{2} - 7 x + a = 0$ отличаются на $1$ . Найдите $a$ .	$a = 12$
3) $x = - 1$ — корень $a x^{2} + (a + 3) x + 3 = 0$ при любом $a$ . Второй корень при $a \neq = 0$ ?	$x_{2} = - \frac{3}{a}$
4) При каких $a$ у $\frac{x ^{2} - ( a + 3 ) x + 3 a}{x - 1} = 0$ ровно один корень?	$a = 1$ или $a = 3$

2 мин · практика
Сильным — все четыре, остальным — № 1 и № 4; ответы по клику.
1) 4 − 2a + 6 = 0 ⇒ a = 5; x₁x₂ = 6 ⇒ x₂ = −3. Проверка: x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) ✓.
2) x₁ + x₂ = 7, x₁ − x₂ = 1 ⇒ x₁ = 4, x₂ = 3, a = x₁x₂ = 12. Проверка: x² − 7x + 12 = 0 ⇒ 3 и 4 ✓.
3) Подстановка x = −1: a − (a + 3) + 3 = 0 — верно при любом a. По Виета x₁x₂ = 3/a ⇒ x₂ = −3/a. Проверка a = 1: x² + 4x + 3 = 0 ⇒ −1 и −3 ✓. (При a = 0: 3x + 3 = 0 — только x = −1; при a = 3 корни совпадают.)
4) Числитель (x − 3)(x − a), x ≠ 1: a = 3 — корни совпали (корень 3); a = 1 — корень x = a выпадает (остаётся 3). Ответ: a = 1 или a = 3.

R03.6

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$(a + 2) x^{2} + 4 x + 1 = 0$ : один корень $⟺ D = 0$ , $a = 2$	потерян линейный случай	$a = - 2$ или $a = 2$
$x^{2} + a x - 12 = 0$ , корень $3$ : $3 - 4 = a$ , $a = - 1$	$x_{1} + x_{2} = - a$	$a = 1$
$\frac{( x - 2 ) ( x - a )}{x - 3} = 0$ : два корня при $a \neq = 2$	забыта ОДЗ $x \neq = 3$	при $a = 3$ корень один
$a x^{2} - 2 (a + 1) x + a + 4 = 0$ : $\frac{D}{4} = 1 - 2 a \geq 0$ — два корня	потеряны $a = 0$ и $a = \frac{1}{2}$	там корень один

R03.6

Закрепление · решаем в парах

Смешанные задания

базаПри каких $a$ у $x^{2} + 8 x + a = 0$ два корня?
повыш.Решите: $x^{2} - (2 a + 1) x + a^{2} + a = 0$
повыш.Корень $x^{2} - 5 x + a = 0$ в 4 раза больше другого. Найдите $a$ .
практикаМяч: $h = 20 t - 5 t^{2}$ (м). На какой высоте $H$ он бывает?

3 мин · практика
В парах: каждый решает, сверяются; проверка по ответам.
1) D/4 = 16 − a > 0 ⇔ a < 16.
2) D = (2a + 1)² − 4(a² + a) = 1. x = (2a + 1 ± 1)/2 ⇒ x = a, x = a + 1 при любом a (корни различны всегда). Проверка a = 2: x² − 5x + 6 = 0 ⇒ 2 и 3 ✓.
3) x₂ = 4x₁, x₁ + x₂ = 5x₁ = 5 ⇒ x₁ = 1, x₂ = 4, a = x₁x₂ = 4. Проверка: x² − 5x + 4 = 0 ⇒ 1 и 4 ✓.
4) 5t² − 20t + H = 0, D/4 = 100 − 5H ≥ 0 ⇔ H ≤ 20; высота над землёй H > 0 ⇒ 0 < H ≤ 20. При H = 20 — один момент t = 2 с (верхняя точка), при 0 < H < 20 — два момента (вверх и вниз). Рисунок: прямая h = 20 касается графика в вершине (2; 20).

R03.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта · найдите все $a$

1) нет корней · 2) и 4) ровно один корень · 3) $x_{1}$ — корень: найдите $a$ и $x_{2}$

Вариант 1

1)

x^{2} - 10 x + a = 0

a > 25

2)

(a - 2) x^{2} + 2 x + 1 = 0

a = 2; a = 3

3)

x_{1} = 2

:

x^{2} + a x - 10 = 0

a = 3, x_{2} = - 5

4)

\frac{( x - 4 ) ( x - a )}{x - 1} = 0

a = 1; a = 4

Вариант 2

1)

x^{2} + 6 x + a = 0

a > 9

2)

(a + 1) x^{2} - 4 x + 2 = 0

a = - 1; a = 1

3)

x_{1} = - 3

:

x^{2} + a x - 12 = 0

a = - 1, x_{2} = 4

4)

\frac{( x - 2 ) ( x - a )}{x + 3} = 0

a = - 3; a = 2

4 мин · практика
Варианты по партам; 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику). Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».
Вариант 1: 1) D/4 = 25 − a < 0 ⇔ a > 25. 2) a = 2: 2x + 1 = 0, x = −1/2; a ≠ 2: D/4 = 1 − (a − 2) = 3 − a = 0 ⇒ a = 3: x² + 2x + 1 = 0, x = −1 ✓. 3) 4 + 2a − 10 = 0 ⇒ a = 3; x₁x₂ = −10 ⇒ x₂ = −5; x² + 3x − 10 = (x − 2)(x + 5) ✓. 4) x ≠ 1: a = 4 — совпали (корень 4), a = 1 — выпал (корень 4).
Вариант 2: 1) D/4 = 9 − a < 0 ⇔ a > 9. 2) a = −1: −4x + 2 = 0, x = 1/2; a ≠ −1: D/4 = 4 − 2(a + 1) = 2 − 2a = 0 ⇒ a = 1: 2x² − 4x + 2 = 0, x = 1 ✓. 3) 9 − 3a − 12 = 0 ⇒ a = −1; x₁x₂ = −12 ⇒ x₂ = 4; x² − x − 12 = (x − 4)(x + 3) ✓. 4) x ≠ −3: a = 2 — совпали (корень 2), a = −3 — выпал (корень 2).

R03.6 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22 (часть 2)

Касание параболы и прямой $y = k x$

Постройте график функции

y = x^{2} + 4

и определите, при каких значениях

k

прямая

y = k x

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ключ

$x^{2} + 4 = k x ⟺ x^{2} - k x + 4 = 0$ — ровно один корень

рефлексия · ДЗ

Итог практикума

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Откуда берутся контрольные значения $a$ ?
Почему «ровно один корень» — два случая?
Как найти $a$ , если известен корень?

Домашнее задание

Решите: $(a + 1) x^{2} - 2 a x + a - 1 = 0$
Ровно один корень: $(a - 5) x^{2} + 4 x + 1 = 0$
* Ровно один корень: $\frac{x ^{2} - ( a + 1 ) x + a}{x - 2} = 0$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

1 мин · практика (рефлексия: отвечают ученики)
Ответы ДЗ: 1) a = −1: 2x − 2 = 0, x = 1. a ≠ −1: D/4 = a² − (a + 1)(a − 1) = 1; x = (a ± 1)/(a + 1) ⇒ x = 1, x = (a − 1)/(a + 1) (эти корни не совпадают ни при каком a). Проверка a = 0: x² − 1 = 0 ⇒ ±1 ✓.
2) a = 5: 4x + 1 = 0 — один корень. a ≠ 5: D/4 = 4 − (a − 5) = 9 − a = 0 ⇒ a = 9: 4x² + 4x + 1 = 0, x = −1/2. Ответ: a = 5 или a = 9.
3*) Числитель (x − 1)(x − a), x ≠ 2. a = 1: корень 1 (совпали); a = 2: корень x = a = 2 выпадает, остаётся 1. Ответ: a = 1 или a = 2.
Следующий урок ALG8U-054 — обобщение по строке R03: карта темы «Квадратные уравнения».

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-053 · Практикум: квадратное уравнение с параметром

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения», 17 ч · урок 16/17 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R03.6 «Квадратное уравнение с параметром» → 2, 5–20 (повторение: R03.3, R03.4, R03.5 → 3–4; опора на R03.4 → 10–11, 15; R03.5 → 12–13, 15). Теория — сл. 1, 2, 5, 6, 8, 10, 12 (14 мин); практика — сл. 3, 4, 7, 9, 11, 13–20 (31 мин, 69 %)
Результаты	ПР-19 (решать квадратные уравнения) → 3, 4, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 17, 18 · ПР-20 (дробно-рациональные уравнения) → 12, 13, 15, 18, 20 · ПР-21 (линейные уравнения с параметрами) → 4, 6, 8, 9, 14, 18 · ПР-22 (исследование уравнений: есть ли решения, сколько) → 8, 9, 12–19 · ПР-23 (модель реальной ситуации, интерпретация) → 17 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	расположение корней относительно числа, знаки корней (R03.7, ALG8U-044); уравнения с модулем (R03.8); построение графика квадратичной функции — в своём разделе (здесь графики только иллюстрируют)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:квадратноеуравнениес параметром

Сегодня вы научитесь

Решать при всех a

Исследовать число корней

Находить параметр по корню

Учитывать ОДЗ и смысл

Ответьте за 10 секунд

Ещё четыре вопроса

Четыре типа задач с параметром

Решите (a−1)x2−2ax+a+2=0

Решите уравнение при каждом a

План

При каких a у (a+2)x2+4x+1=0 ровно один корень?

Исследуйте число корней

3 — корень x2+ax−12=0. Найдите a и второй корень

Параметр по корню

Сколько корней у x−3x2−(a+2)x+2a​=0?

Дробные уравнения с параметром

Помните

Типы 1–2: решите и проверьте себя

Типы 3–4: решите и проверьте себя

Найдите ошибку

Смешанные задания

Два варианта · найдите все a

Вариант 1

Вариант 2

Касание параболы и прямой y=kx

Ключ

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-053 · Практикум: квадратное уравнение с параметром

Практикум:
квадратное
уравнение
с параметром

Решать при всех $a$

Решите $(a - 1) x^{2} - 2 a x + a + 2 = 0$

Решите уравнение при каждом $a$

При каких $a$ у $(a + 2) x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ровно один корень?

$3$ — корень $x^{2} + a x - 12 = 0$ . Найдите $a$ и второй корень

Сколько корней у $\frac{x ^{2} - ( a + 2 ) x + 2 a}{x - 3} = 0$ ?

Два варианта · найдите все $a$

Касание параболы и прямой $y = k x$