Квадратные уравнения · урок 15 из 17 · практикум

Практикум: уравнения, сводимые к линейным и квадратным

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG8U-052

0,5 мин · теория
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения» (17 ч), урок 15/17, единица R03.5 «Уравнения, сводимые к линейным уравнениям или к квадратным уравнениям». Тип П (практикум). Новая теория — ALG8U-042; предыдущий практикум — ALG8U-051 (теорема Виета); следующий — ALG8U-053 (параметр).
Хронометраж (45 мин): теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Время и тип каждого слайда — первой строкой его заметок. Теоретические слайды (титул, цели, схема, четыре образца) сохранены полностью.
Ход: титул и цели 1 (сл. 1–2) · разминка 3 (сл. 3) · карта приёмов 2 (сл. 4) · тип 1: образец 3 → сами 3 (сл. 5–6) · тип 2: образец 3 → сами 3 (сл. 7–8) · тип 3: образец 3 → сами 3 (сл. 9–10) · тип 4: образец 2 → сами 2 (сл. 11–12) · найди ошибку 2 (сл. 13) · самопроверка 2 + 2,5 (сл. 14–15) · работа в парах 3,5 (сл. 16) · ОГЭ 2 (сл. 17) · самостоятельная по вариантам 4 (сл. 18) · итог и ДЗ 1 (сл. 19).
На уроке ALG8U-042 были образцы (x+3)² − (x−1)² = 24, x³ + 2x² − 9x − 18 = 0, (x² + x)² − 8(x² + x) + 12 = 0. Сегодня — новые примеры и более трудные случаи: произведение четырёх скобок, замена t + 1/t, уравнения без корней после ОДЗ.
Если время поджимает — работу в парах (сл. 16) перенести в ДЗ; самостоятельную (сл. 18) не сокращать.

R03.5

Цели практикума

Сегодня вы научитесь

1Распознавать

какой приём сводит уравнение к линейному или квадратному (ПР-19)

2Делать замену

$t = x^{2}$ и $t =$ «повторяющееся выражение», возвращаться к $x$ (ПР-19, ПР-12)

3Решать дробные

уравнения и отбрасывать посторонние корни (ПР-20, ПР-9)

4Исследовать

сколько корней даёт каждое значение $t$ (ПР-22)

0,5 мин · теория
ПР-19 (ФРП): «Решать квадратные уравнения». ПР-20: «Решать дробно-рациональные уравнения».
ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях». ПР-12: «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений».
ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
Виды деятельности ФРП: «Определять равносильные уравнения. Применять свойства уравнений с одной переменной».

R03.5

Разминка · устно

Какой приём? Назовите за 10 секунд

(x + 2)^{2} - x^{2} = 12

линейное: $4 x + 4 = 12, x = 2$

x^{4} - 17 x^{2} + 16 = 0

замена $t = x^{2}$

(x^{2} - 3 x)^{2} = 4

замена $t = x^{2} - 3 x$

x^{3} - x^{2} - x + 1 = 0

группировка: $(x - 1)^{2} (x + 1)$

\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = 0

дробь = 0: $x = - 2$

x (x^{2} - 9) = 0

произведение = 0: $0; \pm 3$

3 мин · практика
Учитель показывает уравнение, класс называет приём; вердикты открываются по одному.
№ 1: x² + 4x + 4 − x² = 12 → 4x = 8 → x = 2. Проверка: 16 − 4 = 12 ✓.
№ 2: t² − 17t + 16 = 0 → t = 1 или t = 16 → x = ±1, ±4 (четыре корня).
№ 3: t² = 4 → t = ±2 → x² − 3x − 2 = 0 (корни (3 ± √17)/2) или x² − 3x + 2 = 0 (1 и 2). Раскрывать скобку — путь к уравнению 4-й степени.
№ 4: x²(x − 1) − (x − 1) = (x − 1)(x² − 1) = (x − 1)²(x + 1) → корни 1 и −1.
№ 5: числитель 0 при x = ±2, но x = 2 обращает знаменатель в 0 — остаётся x = −2. Типичная ошибка — ответ «±2».

R03.5

Опорная схема

Четыре дороги к линейному или квадратному

2 мин · теория
Схема — опора на весь урок: каждый следующий «тип» — одна дорога. Ученики называют, по какой дороге шли в разминке.
Вопрос классу: на какой дороге могут появиться посторонние корни? (При умножении на выражение с x — дорога 3.) На какой можно потерять корни? (При делении на выражение с x — например, «сократить» на x − 1 в дороге 4.)
Последний шаг «проверка» — подстановка или сверка с ОДЗ. В заданиях с заменой проверяют, что для t нашлись x.

R03.5

Тип 1Образец · биквадратное уравнение

$x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$

t = x^{2}, t \geq 0

замена и условие на t

t^{2} - 5 t - 36 = 0

по Виета:

t_{1} + t_{2} = 5, t_{1} t_{2} = - 36

t_{1} = 9, t_{2} = - 4

x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3

x^{2} = - 4

— корней нет

R03.5

Тип 1Сами · сколько корней?

Решите биквадратные уравнения

$x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ $\pm 1; \pm 3$
$x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0$ $\pm 1$
$4 x^{4} - 17 x^{2} + 4 = 0$ $\pm 2; \pm 0, 5$
$x^{4} + 5 x^{2} + 6 = 0$ нет корней
повыш. $x^{4} - 9 x^{2} = 0$ $0; \pm 3$

корни $t$	корней $x$
$t_{1} > 0, t_{2} > 0$	4
$t_{1} > 0, t_{2} = 0$	3
$t_{1} > 0, t_{2} < 0$	2
$t_{1} = 0, t_{2} < 0$	1
оба $t < 0$ или нет $t$	0

3 мин · практика
2 мин работы, 1 мин сверки: ответы открываются кликом; таблицу справа заполняем вместе — это исследование числа корней (ПР-22).
1) t² − 10t + 9 = 0 → t = 1; 9 → x = ±1; ±3 (4 корня).
2) t² + 3t − 4 = 0 → t = 1; −4 → x = ±1 (2 корня).
3) 4t² − 17t + 4 = 0, D = 289 − 64 = 225, t = (17 ± 15)/8 = 4; 1/4 → x = ±2; ±0,5 (4 корня). Проверка x = 0,5: 4·0,0625 − 17·0,25 + 4 = 0,25 − 4,25 + 4 = 0 ✓.
4) t² + 5t + 6 = 0 → t = −2; −3 — оба отрицательны, корней нет. Быстрее: x⁴ + 5x² + 6 ≥ 6 > 0.
5) t = 0 или t = 9 → x = 0; ±3 (3 корня). Проще вынести x²: x²(x² − 9) = 0.

R03.5

Тип 2Образец · углублённый уровень · замена выражения

$x (x + 1) (x + 2) (x + 3) = 24$

(x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x + 2) = 24

t (t + 2) = 24 \Rightarrow t^{2} + 2 t - 24 = 0

t = x^{2} + 3 x

t_{1} = 4, t_{2} = - 6

x^{2} + 3 x - 4 = 0 \Rightarrow x = 1; - 4

x^{2} + 3 x + 6 = 0

:

D = 9 - 24 < 0

R03.5

Тип 2Сами · найдите удачную замену

Решите уравнения

$(x^{2} + x)^{2} - 14 (x^{2} + x) + 24 = 0$
$- 4; - 2; 1; 3$
$(x + 1) (x + 2) (x + 4) (x + 5) = 40$
$- 6; 0$
олимп. $\frac{x ^{2} + 1}{x} + \frac{x}{x ^{2} + 1} = \frac{5}{2}$ $1$

Подсказки

№ 2: пары с равной суммой:
$1 + 5 = 2 + 4$
№ 3: $t = \frac{x ^{2} + 1}{x}$ , тогда $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$

Новое t → решить → вернуться к x → проверить.

3 мин · практика
№ 3 — для сильных учеников. Ответы открываются кликом после сверки.
1) t = x² + x: t² − 14t + 24 = 0 → t = 2; 12. x² + x − 2 = 0 → 1; −2. x² + x − 12 = 0 → 3; −4. Ответ: −4; −2; 1; 3. Проверка x = 3: 144 − 168 + 24 = 0 ✓.
2) (x² + 6x + 5)(x² + 6x + 8) = 40, t = x² + 6x: (t + 5)(t + 8) = 40 → t² + 13t = 0 → t = 0 или t = −13. x² + 6x = 0 → 0; −6. x² + 6x + 13 = 0: D = 36 − 52 < 0. Ответ: −6; 0. Проверка x = 0: 1·2·4·5 = 40 ✓; x = −6: (−5)(−4)(−2)(−1) = 40 ✓.
3) ОДЗ x ≠ 0. 2t² − 5t + 2 = 0 → t = 2 или t = 1/2. (x² + 1)/x = 2 → x² − 2x + 1 = 0 → x = 1. (x² + 1)/x = 1/2 → 2x² − x + 2 = 0: D = 1 − 16 < 0. Ответ: 1. Проверка: 2 + 1/2 = 5/2 ✓.

R03.5

Тип 3Образец · дробно-рациональное уравнение

$\frac{x}{x - 2} + \frac{8}{4 - x ^{2}} = \frac{1}{x + 2}$

ОДЗ:

x \neq = 2, x \neq = - 2

4 - x^{2} = - (x - 2) (x + 2)

x (x + 2) - 8 = x - 2

умножили на

(x - 2) (x + 2)

x^{2} + x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2; - 3

x = 2 \in /

ОДЗ

\Rightarrow

ответ:

- 3

R03.5

Тип 3Сами · ОДЗ — первой строкой

Решите уравнения

$\frac{3}{x - 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{6}{x ^{2} - 1}$ нет корней
$\frac{x + 2}{x} + \frac{x}{x - 2} = \frac{8}{x ^{2} - 2 x}$ $\pm 6$
повыш. $\frac{x ^{2} - x - 6}{x - 3} = x + 2$
любое $x \neq = 3$

Алгоритм

разложить знаменатели
записать ОДЗ
умножить на общий знаменатель
решить, сверить с ОДЗ

3 мин · практика
Ответы открываются кликом. Задание показывает три исхода: нет корней, два корня, бесконечно много корней.
1) ОДЗ x ≠ ±1. 3(x + 1) + 2(x − 1) = 6 → 5x + 1 = 6 → x = 1 — не входит в ОДЗ. Ответ: корней нет. (Свелось к линейному!)
2) ОДЗ x ≠ 0, x ≠ 2; x² − 2x = x(x − 2). (x + 2)(x − 2) + x² = 8 → 2x² − 4 = 8 → x² = 6 → x = ±√6, оба входят в ОДЗ. Ответ: ±√6.
3) x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2), при x ≠ 3 левая часть равна x + 2. Ответ: любое x ≠ 3. Ошибка — ответ «любое число» или «x = −2».

R03.5

Тип 4Образец · разложение на множители

$x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12 = 0$

x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3) = 0

группируем по два слагаемых

(x - 3) (x^{2} - 4) = 0

(x - 3) (x - 2) (x + 2) = 0

разность квадратов

x = 3; 2; - 2

R03.5

Тип 4Сами · группировка

Разложите на множители и решите

$x^{3} + 2 x^{2} - x - 2 = 0$ $- 2; \pm 1$
$2 x^{3} - x^{2} - 8 x + 4 = 0$ $0, 5; \pm 2$
олимп. $x^{3} - 7 x + 6 = 0$ $- 3; 1; 2$

Приём для № 3

- 7 x = - x - 6 x

разбить слагаемое, чтобы появилась общая скобка

Произведение равно 0 ⇔ хотя бы один множитель равен 0.

R03.5

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$ : $t = 4; - 1$ , ответ $4; - 1$	нет обратной замены	$x = \pm 2$
$\frac{x ^{2} - 9}{x + 3} = 0 \Rightarrow x = \pm 3$	$x = - 3$ обнуляет знаменатель	$x = 3$
$x^{3} = 4 x \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$	разделили на $x$ : потерян корень	$0; \pm 2$
$(x^{2} - 1)^{2} = 9 \Rightarrow x^{2} - 1 = 3$	потеряна ветка $x^{2} - 1 = - 3$	$x = \pm 2$

После замены

вернуться к $x$

Дробь

сверить с ОДЗ

Не делить

на выражение с $x$

R03.5

Задания с самопроверкой · 1

Решите и проверьте себя

база $x^{4} - 8 x^{2} - 9 = 0$ $\pm 3$
база $x^{4} - 29 x^{2} + 100 = 0$
$\pm 2; \pm 5$
база $\frac{x ^{2} - 5 x}{x - 5} = 0$ $0$

база $\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 2} = 1$ $- 1; 4$
повыш. $x^{3} - 5 x^{2} - x + 5 = 0$
$- 1; 1; 5$
повыш. $(x^{2} + 2 x)^{2} - 2 (x^{2} + 2 x) - 3 = 0$
$- 3; - 1; 1$

2 мин · практика
Ученики решают в тетрадях, учитель открывает ответы по одному — класс поднимает руки «верно / неверно».
1) t = x² ≥ 0: t² − 8t − 9 = 0 → t = 9; −1 → x = ±3. Проверка: 81 − 72 − 9 = 0 ✓.
2) t² − 29t + 100 = 0 → t = 4; 25 (4 + 25 = 29, 4 · 25 = 100) → x = ±2; ±5. Проверка x = 5: 625 − 725 + 100 = 0 ✓.
3) ОДЗ x ≠ 5; x(x − 5) = 0 → x = 0 или x = 5; 5 — посторонний. Ответ: 0.
4) ОДЗ x ≠ 0, x ≠ −2. 2(x + 2) + 3x = x(x + 2) → x² − 3x − 4 = 0 → x = 4; −1, оба в ОДЗ. Проверка: 2/4 + 3/6 = 1 ✓; −2 + 3 = 1 ✓.
5) x²(x − 5) − (x − 5) = (x − 5)(x − 1)(x + 1) → −1; 1; 5. Проверка x = 5: 125 − 125 − 5 + 5 = 0 ✓.
6) t = x² + 2x: t² − 2t − 3 = 0 → t = 3; −1. x² + 2x − 3 = 0 → 1; −3. x² + 2x + 1 = 0 → −1. Ответ: −3; −1; 1. Проверка x = −1: t = −1, 1 + 2 − 3 = 0 ✓.

R03.5

Задания с самопроверкой · 2

Повышенный уровень и задача из жизни

повыш. $(x^{2} - 2 x)^{2} - 11 (x^{2} - 2 x) + 24 = 0$
$- 2; - 1; 3; 4$
повыш. $(x - 1) (x + 1) (x + 3) (x + 5) = 9$
$- 2; - 2 \pm 10$
повыш. $\frac{x + 3}{x - 3} - \frac{x - 3}{x + 3} = \frac{12}{x ^{2} - 9}$ $1$

практика 4. Две трубы вместе наполняют бассейн за 6 ч. Первая одна наполняет его на 5 ч быстрее второй. За сколько часов наполнит бассейн одна первая труба?

труба	время, ч	часть за 1 ч
первая	$x$	$\frac{1}{x}$
вторая	$x + 5$	$\frac{1}{x + 5}$

Ответ: 10 ч

2,5 мин · практика
1) t = x² − 2x: t² − 11t + 24 = 0 → t = 3; 8. x² − 2x − 3 = 0 → 3; −1. x² − 2x − 8 = 0 → 4; −2. Ответ: −2; −1; 3; 4. Проверка x = 4: t = 8, 64 − 88 + 24 = 0 ✓.
2) Пары с равной суммой: (−1) + 5 = 1 + 3. (x² + 4x − 5)(x² + 4x + 3) = 9, t = x² + 4x: t² − 2t − 15 = 9 → t² − 2t − 24 = 0 → t = 6; −4. x² + 4x − 6 = 0 → x = −2 ± √10. x² + 4x + 4 = 0 → x = −2. Проверка x = −2: (−3)(−1)·1·3 = 9 ✓; при x = −2 ± √10 имеем t = 6: (6 − 5)(6 + 3) = 9 ✓.
3) ОДЗ x ≠ ±3. (x + 3)² − (x − 3)² = 12 → 12x = 12 → x = 1 (свелось к линейному). Проверка: 4/(−2) − (−2)/4 = −2 + 0,5 = −1,5; 12/(1 − 9) = −1,5 ✓.
4) 1/x + 1/(x + 5) = 1/6, x > 0: 6(x + 5) + 6x = x(x + 5) → x² − 7x − 30 = 0 → x = 10 (x = −3 не подходит). Ответ: 10 ч (вторая — 15 ч). Проверка: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 1/6 ✓.

R03.5

Работа в парах · 3,5 минуты

Решите вдвоём, сверьте ход решения

база $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$
база $\frac{x ^{2}}{x + 3} = \frac{9}{x + 3}$
повыш. $(x^{2} - 4 x)^{2} + 7 (x^{2} - 4 x) + 12 = 0$
повыш. $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12 = 0$

практика 5. Катер прошёл 15 км по течению реки и 4 км по озеру за 1 ч. Скорость течения 4 км/ч. Найдите собственную скорость катера.

3,5 мин · практика
Пары решают по два задания каждый, затем объясняют друг другу; задача 5 — общая. Сверка по ответам учителя.
1) t² − 13t + 36 = 0 → t = 4; 9 → x = ±2; ±3.
2) ОДЗ x ≠ −3; x² = 9 → x = ±3, но −3 не входит в ОДЗ. Ответ: 3.
3) t = x² − 4x: t² + 7t + 12 = 0 → t = −3; −4. x² − 4x + 3 = 0 → 1; 3. x² − 4x + 4 = 0 → 2. Ответ: 1; 2; 3. Проверка x = 2: (−4)² + 7·(−4) + 12 = 16 − 28 + 12 = 0 ✓.
4) x²(x + 3) − 4(x + 3) = (x + 3)(x − 2)(x + 2) → −3; −2; 2.
5) 15/(v + 4) + 4/v = 1, v > 0: 15v + 4v + 16 = v² + 4v → v² − 15v − 16 = 0 → v = 16 (v = −1 не подходит). Ответ: 16 км/ч. Проверка: 15/20 + 4/16 = 0,75 + 0,25 = 1 ✓.

R03.5 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20 (часть 2)

Решите уравнение

x^{4} = (x - 20)^{2}

A^{2} = B^{2} ⟺ (A - B) (A + B) = 0

,
где

A = x^{2}

.

R03.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

По вариантам

Вариант 1

$x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ $\pm 1; \pm 2$
$\frac{x ^{2}}{x - 2} = \frac{4}{x - 2}$ $- 2$
$(x^{2} + 3 x)^{2} - 2 (x^{2} + 3 x) - 8 = 0$
$- 4; - 2; - 1; 1$
$x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18 = 0$ $2; \pm 3$

Вариант 2

$x^{4} - 26 x^{2} + 25 = 0$ $\pm 1; \pm 5$
$\frac{x ^{2}}{x + 5} = \frac{25}{x + 5}$ $5$
$(x^{2} - 3 x)^{2} - 2 (x^{2} - 3 x) - 8 = 0$
$- 1; 1; 2; 4$
$x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8 = 0$ $\pm 2$

4 мин · практика (3 мин работа, 1 мин — взаимопроверка по ответам, открытым кликом)
Вариант 1: 1) t² − 5t + 4 = 0 → t = 1; 4 → ±1; ±2. 2) ОДЗ x ≠ 2; x² = 4 → ±2, 2 — посторонний → −2. 3) t = x² + 3x: t² − 2t − 8 = 0 → t = 4; −2. x² + 3x − 4 = 0 → 1; −4. x² + 3x + 2 = 0 → −1; −2. Ответ: −4; −2; −1; 1. 4) x²(x − 2) − 9(x − 2) = (x − 2)(x − 3)(x + 3) → 2; ±3. Проверка x = −3: −27 − 18 + 27 + 18 = 0 ✓.
Вариант 2: 1) t² − 26t + 25 = 0 → t = 1; 25 → ±1; ±5. 2) ОДЗ x ≠ −5; x² = 25 → ±5, −5 — посторонний → 5. 3) t = x² − 3x: t² − 2t − 8 = 0 → t = 4; −2. x² − 3x − 4 = 0 → 4; −1. x² − 3x + 2 = 0 → 1; 2. Ответ: −1; 1; 2; 4. 4) x²(x + 2) − 4(x + 2) = (x + 2)²(x − 2) → −2; 2. Проверка x = 2: 8 + 8 − 8 − 8 = 0 ✓; x = −2: −8 + 8 + 8 − 8 = 0 ✓.
Критерий: «5» — 4 верных, «4» — 3, «3» — 2. В задании 4 варианта 2 корень −2 двойной — в ответ пишется один раз.

рефлексия · ДЗ

Итог практикума

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что обязательно сделать после замены $t$ ?
Откуда берутся посторонние корни?
Как сгруппировать четыре скобки?

Домашнее задание

$9 x^{4} - 10 x^{2} + 1 = 0$
$\frac{2}{x - 3} - \frac{3}{x + 3} = \frac{12}{x ^{2} - 9}$
$(x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4) = 24$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

1 мин · практика
Ответы на вопросы: обратная замена (вернуться к x, отбросить t, не дающие корней); при умножении на выражение с x расширяется ОДЗ; в пары с равной суммой свободных членов.
ДЗ 1) 9t² − 10t + 1 = 0 → t = 1; 1/9 → x = ±1; ±1/3.
ДЗ 2) ОДЗ x ≠ ±3. 2(x + 3) − 3(x − 3) = 12 → −x + 15 = 12 → x = 3 — не входит в ОДЗ. Ответ: корней нет.
ДЗ 3) (x² − 5x + 4)(x² − 5x + 6) = 24, t = x² − 5x: (t + 4)(t + 6) = 24 → t² + 10t = 0 → t = 0 или −10. x² − 5x = 0 → 0; 5. x² − 5x + 10 = 0: D = 25 − 40 < 0. Ответ: 0; 5. Проверка x = 5: 4·3·2·1 = 24 ✓; x = 0: (−1)(−2)(−3)(−4) = 24 ✓.
Следующий урок ALG8U-053 — практикум «Квадратное уравнение с параметром».

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-052 · Практикум: Уравнения, сводимые к линейным уравнениям или к квадратным уравнениям

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения», 17 ч · урок 15/17 · тип П (практикум) · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R03.5 «Уравнения, сводимые к линейным уравнениям или к квадратным уравнениям» → 2–19 (теория 2, 4, 5, 7, 9, 11; практика 3, 6, 8, 10, 12–19)
Результаты	ПР-19 (решать квадратные уравнения) → 3–8, 11–19 · ПР-20 (решать дробно-рациональные уравнения) → 3, 8–10, 13–16, 18–19 · ПР-9 (допустимые значения переменных) → 9–10, 13–16, 18 · ПР-12 (тождественные преобразования) → 7, 11–12, 14–15, 18 · ПР-22 (исследование: есть ли решения, сколько) → 5–6, 8, 10, 17 · ПР-23 (модель задачи, интерпретация) → 15–16 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	теорема Виета как тема (R03.4) — ALG8U-051 (здесь только как инструмент); параметр (R03.6–R03.7) — ALG8U-053; уравнения с модулем (R03.8) — ALG8U-045; обобщение строки — ALG8U-054; деление многочленов, теорема Безу — за рамками урока
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: уравнения, сводимые к линейным и квадратным

Сегодня вы научитесь

1Распознавать

2Делать замену

3Решать дробные

4Исследовать

Какой приём? Назовите за 10 секунд

Четыре дороги к линейному или квадратному

x4−5x2−36=0

Решите биквадратные уравнения

x(x+1)(x+2)(x+3)=24

Решите уравнения

Подсказки

x−2x​+4−x28​=x+21​

Решите уравнения

Алгоритм

x3−3x2−4x+12=0

Разложите на множители и решите

Приём для № 3

Найдите ошибку

После замены

Дробь

Не делить

Решите и проверьте себя

Повышенный уровень и задача из жизни

Решите вдвоём, сверьте ход решения

Решите уравнение

По вариантам

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-052 · Практикум: Уравнения, сводимые к линейным уравнениям или к квадратным уравнениям

$x^{4} - 5 x^{2} - 36 = 0$

$x (x + 1) (x + 2) (x + 3) = 24$

$\frac{x}{x - 2} + \frac{8}{4 - x ^{2}} = \frac{1}{x + 2}$

$x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12 = 0$