Квадратные уравнения · урок 14 из 17 · практикум
Практикум:
Алгебра · 8 класс · углублённый уровеньALG8U-051
x 1
x 2
x 1 + x 2 = − p x 1 ⋅ x 2 = q
Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %) , всего 45 мин.Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения» (17 ч), урок 14/17, единица R03.4 «Теорема Виета». Тип П (практикум). Теорема, доказательство, обратная теорема и знаки корней были на уроке ALG8U-041 — здесь не повторяем вывод, а отрабатываем типы задач. Вчера (ALG8U-050) — практикум «Количество действительных корней»; завтра (ALG8U-052) — практикум «Уравнения, сводимые к квадратным».
Теория (13 мин): цели 1 (сл. 2) · карта типов 1 (сл. 5) · образцы учителя: тип 1 — 4 (сл. 6–7), тип 2 — 3 (сл. 9–10), тип 3 — 2 (сл. 12), тип 4 — 2 (сл. 14–15).
Практика (32 мин): разминка 2 и актуализация 2 (сл. 3–4) · «образец → сам» по каждому типу 11 (сл. 8, 11, 13, 16) · найди ошибку 2 (сл. 17) · задания с самопроверкой 7 (сл. 18–19) · ОГЭ 2 (сл. 20) · самостоятельная работа 5 (сл. 21) · рефлексия 1 (сл. 22).
Если не успеваете: задание 5 со сл. 18 и задание 5 со сл. 19 перенести в ДЗ.
R03.4
Цели урока
Сегодня вы научитесь
Решать устно подбирать корни квадратного уравнения по теореме, обратной теореме Виета (ПР-19)
Преобразовывать выражать симметрические выражения от корней через их сумму и произведение (ПР-12)
Конструировать составлять квадратное уравнение по заданным свойствам корней (ПР-19)
Исследовать уравнения с параметром: условия на корни, наименьшее значение (ПР-22)
ПР-19 (ФРП): «Решать квадратные уравнения». ПР-12: «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений» — выражения от корней. ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
Виды деятельности ФРП по строке: «Формулировать теорему Виета, а также обратную теорему, применять эти теоремы для решения задач», «Проводить простейшие исследования квадратных уравнений».
повторение: R03.3, R03.4
Разминка · устно
Восемь вопросов за две минуты
Два числа: сумма 7 12
3 4 Сумма − 5 6
− 2 − 3 Сумма 1 − 20
5 − 4 x = 1 3 x 2 − 5 x + 2 = 0
да: 3 − 5 + 2 = 0 a + b = 6 , ab = 4 a 1 + b 1 = ?
2 3 x 2 + p x + 6 = 0 x 1 = 2 x 2 p
3 ; p = − 5
Устно, по одному вопросу; ответ — по клику после ответа ученика.
1) 3 + 4 = 7, 3 · 4 = 12. 2) −2 − 3 = −5, (−2)(−3) = 6. 3) 5 − 4 = 1, 5 · (−4) = −20. 4) a² + b² = (a + b)² − 2ab = 16 − 6 = 10 (числа 1 и 3: 1 + 9 = 10 ✓).
5) D = 16 − 20 = −4. 6) 3 · 1 − 5 + 2 = 0 — да. 7) (a + b)/(ab) = 6/4 = 3/2. 8) x₁x₂ = 6 ⇒ x₂ = 3; x₁ + x₂ = 5 = −p ⇒ p = −5 (проверка: 4 − 10 + 6 = 0 ✓).
повторение: R03.3, R03.4
Вспомним · устно
Сумма и произведение корней — не решая
Уравнение x 1 + x 2 x 1 x 2 x 2 − 7 x + 10 = 0 7 10 x 2 + 3 x − 18 = 0 − 3 − 18 3 x 2 − 4 x − 7 = 0 3 4 − 3 7 x 2 + 2 x + 5 = 0 корней нет: D < 0
x 1 + x 2 = − a b
x 1 x 2 = a c
Только если D ≥ 0
Устно, ответы открываются по шагам.
1) Корни 2 и 5. 2) Корни 3 и −6. 3) D = 16 + 84 = 100, корни −1 и 7/3: сумма 4/3, произведение −7/3 ✓ — заметьте: 3 − (−4) + (−7) = 0, к этому вернёмся на сл. 6.
4) Ловушка: D = 4 − 20 = −16 < 0. Ученики часто пишут «−2 и 5» — но действительных корней нет, говорить об их сумме бессмысленно.
Ошибка: в 3-й строке забывают делить на a и пишут «4 и −7».
R03.4
Практикум · план
Четыре типа задач на теорему Виета
s = x 1 + x 2 p = x 1 x 2
1 · Подбор корней
устно, в том числе при a = 1
сл. 6–8
2 · Выражения
от корней — без решения
сл. 9–11
3 · Новое уравнение
корни связаны со старыми
сл. 12–13
4 · Параметр
условие на корни, минимум
сл. 14–16
www.reknow.ru
Общая идея всех типов: работаем не с самими корнями, а с двумя числами s и p, которые читаются по коэффициентам.
Вопрос классу: в каком типе обязательно проверять D? (Во всех, где корни не найдены явно, — особенно в 2 и 4.)
R03.4
Тип 1 · подбор корней · образец
Сначала проверьте a + b + c a − b + c
a x 2 + b x + c = 0
a + b + c = 0
a − b + c = 0
x 1 = 1 , x 2 = a c
x 1 = − 1 , x 2 = − a c
второй корень — из произведения корней
www.reknow.ru
5 x 2 − 8 x + 3 = 0
5 − 8 + 3 = 0 ⇒ x 1 = 1 , x 2 = 5 3
4 x 2 + 11 x + 7 = 0
4 − 11 + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1 , x 2 = − 4 7
Ваша очередь: 2026 x 2 − 2025 x − 1 = 0 7 x 2 + 5 x − 2 = 0
Почему так: при x = 1 левая часть равна a + b + c, при x = −1 — a − b + c. Если это 0, корень найден; второй — из теоремы Виета: x₁x₂ = c/a.
Проверка образцов по сумме: 1 + 3/5 = 8/5 = −b/a ✓; −1 − 7/4 = −11/4 = −b/a ✓.
Задания «Ваша очередь» ученики решают на сл. 8 («Образец → сам»). Ответы: 2026 − 2025 − 1 = 0 ⇒ 1 и −1/2026. 7 − 5 − 2 = 0 (a − b + c) ⇒ −1 и 2/7 (проверка: −1 + 2/7 = −5/7 = −b/a ✓).
R03.4
Тип 1 · приём «переброски» · образец
Как подбирать корни, если a = 1
( a x ) 2 + b ( a x ) + a c = 0
y 2 + b y + a c = 0 , x = a y
коэффициент a c
www.reknow.ru
6 x 2 − 5 x − 6 = 0
y 2 − 5 y − 36 = 0 a c = − 36
y 1 = 9 , y 2 = − 4 9 ⋅ ( − 4 ) = − 36 , 9 + ( − 4 ) = 5
x 1 = 2 3 , x 2 = − 3 2
Ваша очередь: 4 x 2 + 4 x − 15 = 0
Обоснование: умножили обе части на a ≠ 0 (равносильно) и сделали замену y = ax. Корни нового уравнения в a раз больше корней исходного.
Образец: x = 9/6 = 3/2, x = −4/6 = −2/3. Проверка по Виета для исходного: произведение −1 = c/a = −6/6 ✓, сумма 3/2 − 2/3 = 5/6 = −b/a ✓.
Задание «Ваша очередь» — на сл. 8. Ответ: y² + 4y − 60 = 0, y = 6 и −10, x = 6/4 = 3/2 и −10/4 = −5/2. Проверка: 4 · 9/4 + 6 − 15 = 0 ✓, 4 · 25/4 − 10 − 15 = 0 ✓.
Ошибка: забыть разделить y на a в конце и выписать 6 и −10 как ответ.
R03.4
Образец → сам · тип 1 · подбор корней
Найдите корни устно: a ± b + c = 0
база 2026 x 2 − 2025 x − 1 = 0 1 ; − 2026 1 база 7 x 2 + 5 x − 2 = 0 − 1 ; 7 2 база x 2 − 11 x + 30 = 0 5 ; 6
база 11 x 2 + 9 x − 2 = 0 − 1 ; 11 2 повыш. 4 x 2 + 4 x − 15 = 0 2 3 ; − 2 5 повыш. 2 x 2 − 7 x + 3 = 0 3 ; 2 1
Задания 1, 2, 5 — «Ваша очередь» со сл. 6–7. Ученики решают в тетрадях, ответы — по клику.
1) a + b + c = 2026 − 2025 − 1 = 0 ⇒ 1 и c/a = −1/2026. 2) a − b + c = 7 − 5 − 2 = 0 ⇒ −1 и −c/a = 2/7. 3) Произведение 30, сумма 11: 5 и 6.
4) a − b + c = 11 − 9 − 2 = 0 ⇒ −1 и 2/11 (сумма −1 + 2/11 = −9/11 = −b/a ✓). 5) y² + 4y − 60 = 0, y = 6 и −10, x = y/4 = 3/2 и −5/2. 6) y² − 7y + 6 = 0, y = 1 и 6, x = y/2 = 1/2 и 3 (проверка: 18 − 21 + 3 = 0 ✓; 1/2 − 7/2 + 3 = 0 ✓).
Ошибка в 5–6: забыть разделить y на a.
R03.4
Тип 2 · выражения от корней · образец
x 2 − 5 x + 2 = 0
x 1 2
x 1 x 2
x 1 x 2
x 2 2
x 1
x 2
сторона s = x 1 + x 2
www.reknow.ru
D = 25 − 8 = 17 > 0 ; s = 5 , p = 2
x 1 2 + x 2 2 = s 2 − 2 p = 21
x 1 1 + x 2 1 = p s = 2 5
x 1 3 + x 2 3 = s 3 − 3 p s = 95
x 2 x 1 + x 1 x 2 = p s 2 − 2 p = 2 21
Рисунок: площадь квадрата со стороной s равна s² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂², отсюда x₁² + x₂² = s² − 2p. (Рисунок — для положительных корней; тождество верно всегда.)
Куб суммы: s³ = x₁³ + x₂³ + 3x₁x₂(x₁ + x₂) ⇒ x₁³ + x₂³ = s³ − 3ps = 125 − 30 = 95.
Сначала D: без неё ответ «21» был бы бессмыслен. Здесь D = 17 > 0, корни иррациональны (5 ± √17)/2 — решать и возводить в куб долго, по Виета — 20 секунд.
Вопрос: почему такие выражения называются симметрическими? (Не меняются при перестановке x₁ и x₂ — поэтому выражаются через s и p.)
R03.4
Тип 2 · разность корней · образец и задание
Расстояние между корнями: ∣ x 1 − x 2 ∣ = s 2 − 4 p
x y
0
1
x 1
x 2
y = x 2 − 5 x + 2
www.reknow.ru
( x 1 − x 2 ) 2 = s 2 − 4 p
= 25 − 8 = 17 совпало с D a = 1
Ваша очередь 2 x 2 − 6 x − 1 = 0 x 1 2 + x 2 2 x 2 x 1 + x 1 x 2 ∣ x 1 − x 2 ∣
(x₁ − x₂)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ = s² − 4p. В общем виде s² − 4p = (b² − 4ac)/a² = D/a², поэтому |x₁ − x₂| = √D/|a|. На графике это ширина «чаши» параболы на уровне оси Ox.
График построен точно: корни ≈ 0,44 и ≈ 4,56, вершина (2,5; −4,25).
Задание «Ваша очередь» — на сл. 11. Ответы: D = 36 + 8 = 44 > 0; s = 3, p = −1/2. x₁² + x₂² = 9 + 1 = 10; x₁/x₂ + x₂/x₁ = 10 : (−1/2) = −20; (x₁ − x₂)² = 9 + 2 = 11, |x₁ − x₂| = √11 (проверка: √44/2 = √11 ✓).
Ошибка: p = −1 (забыли поделить на a = 2).
R03.4
Образец → сам · тип 2 · выражения от корней
Найдите, не решая уравнение
2 x 2 − 6 x − 1 = 0
x 1 2 + x 2 2 10 x 2 x 1 + x 1 x 2 − 20 ∣ x 1 − x 2 ∣ 11 x 2 + 4 x − 1 = 0
x 1 2 + x 2 2 18 x 1 1 + x 2 1 4 повыш. x 1 3 + x 2 3 − 76
Левый столбец — «Ваша очередь» со сл. 10. Сначала D, затем s и p.
Левое: D = 36 + 8 = 44 > 0; s = 3, p = −1/2. 1) s² − 2p = 9 + 1 = 10. 2) 10 : (−1/2) = −20. 3) s² − 4p = 9 + 2 = 11 ⇒ √11 (= √44/2 ✓).
Правое: D = 16 + 4 = 20 > 0; s = −4, p = −1. 4) 16 + 2 = 18. 5) s/p = −4/(−1) = 4. 6) s³ − 3ps = −64 − 3 · (−1) · (−4) = −64 − 12 = −76. Проверка: корни −2 ± √5, (−2 ± √5)³ = −38 ± 17√5, сумма −76 ✓.
Ошибка: p = −1 вместо −1/2 в левом уравнении (не разделили на a = 2).
R03.4
Тип 3 · составить уравнение · образец
x 1 , x 2 x 2 − 3 x − 5 = 0 x 1 2 x 2 2
старые корни
s = 3 , p = − 5
новые корни
S = 19 , P = 25
y 2 − S y + P = 0
теорема, обратная теореме Виета
сами корни не нужны!
www.reknow.ru
D = 9 + 20 = 29 > 0
S = x 1 2 + x 2 2 = 9 + 10 = 19
P = x 1 2 x 2 2 = p 2 = 25
y 2 − 19 y + 25 = 0
Ваша очередь: корни x 1 1 x 2 1
Схема: (s, p) старого уравнения → (S, P) нового → y² − Sy + P = 0. Обратная теорема Виета гарантирует, что числа с суммой S и произведением P — корни этого уравнения.
Проверка: D нового = 361 − 100 = 261 > 0, корни положительны (S > 0, P > 0) — как и должно быть у квадратов.
Задание «Ваша очередь» — на сл. 13. Ответ: S = 1/x₁ + 1/x₂ = s/p = −3/5, P = 1/p = −1/5 ⇒ y² + (3/5)y − 1/5 = 0, то есть 5y² + 3y − 1 = 0. Замечание: у обратных корней коэффициенты идут в обратном порядке: −5y² − 3y + 1 = 0 — то же самое.
Ошибка: записать y² + Sy + P (знак при S).
R03.4
Образец → сам · тип 3 · новое уравнение
x 1 , x 2 x 2 − 3 x − 5 = 0
база x 1 1 x 2 1 5 y 2 + 3 y − 1 = 0 база − x 1 − x 2 y 2 + 3 y − 5 = 0 база 3 x 1 3 x 2 y 2 − 9 y − 45 = 0 повыш. x 1 + 1 x 2 + 1 y 2 − 5 y − 1 = 0
s = 3 , p = − 5
y 2 − S y + P = 0
D = 29 > 0
Задание 1 — «Ваша очередь» со сл. 12. Ответы по клику.
1) S = s/p = −3/5, P = 1/p = −1/5 ⇒ y² + (3/5)y − 1/5 = 0, т. е. 5y² + 3y − 1 = 0. 2) S = −3, P = p = −5 ⇒ y² + 3y − 5 = 0. 3) S = 3s = 9, P = 9p = −45 ⇒ y² − 9y − 45 = 0.
4) S = s + 2 = 5, P = p + s + 1 = −5 + 3 + 1 = −1 ⇒ y² − 5y − 1 = 0. Проверка заменой x = y − 1: (y − 1)² − 3(y − 1) − 5 = y² − 5y − 1 ✓.
R03.4
Тип 4 · параметр · образец
При каком a x 2 − a x + a − 2 = 0
D = a 2 − 4 a + 8 = ( a − 2 ) 2 + 4 > 0 корни есть при любом a
s = a , p = a − 2
x 1 2 + x 2 2 = a 2 − 2 a + 4
= ( a − 1 ) 2 + 3 ≥ 3
наименьшее 3 a = 1
a
0
1
3
9
x 1 2 + x 2 2
вершина (1; 3)
www.reknow.ru
Порядок обязателен: 1) D ≥ 0 — при каких a корни есть (здесь при всех); 2) выражение через s и p; 3) исследование получившейся функции от a (выделение полного квадрата).
Проверка: a = 1 ⇒ x² − x − 1 = 0, s = 1, p = −1, s² − 2p = 1 + 2 = 3 ✓. График f(a) = (a − 1)² + 3 построен точно (f(−2) = f(4) = 12).
Вопрос: что изменится, если D ≥ 0 выполнено не при всех a? (Минимум ищем только на допустимых a — частая ловушка, см. сл. 17.)
R03.4
Тип 4 · параметр · соотношение корней
При каком q x 2 − 6 x + q = 0
x 2 = 2 x 1
x 1
x 1
x 1
s = 6 ⇒ = 2
2
4
q = 2 ⋅ 4 = 8
www.reknow.ru
x 1 + 2 x 1 = 6 ⇒ x 1 = 2
q = x 1 ⋅ 2 x 1 = 8
D = 36 − 32 = 4 > 0 ✓
Ваша очередь а) x 2 − 9 x + q = 0 x 2 + p x + 12 = 0
Схема: условие на корни + две формулы Виета = система; находим корни и параметр, затем проверяем D (или подстановкой).
Образец: x² − 6x + 8 = 0 — корни 2 и 4 ✓.
Задания «Ваша очередь» — на сл. 16. Ответы: а) 3x₁ = 9, x₁ = 3, x₂ = 6, q = 18 (D = 81 − 72 = 9 > 0 ✓). б) (x₁ − x₂)² = s² − 4p = p² − 48 = 1 ⇒ p² = 49, p = ±7 (корни 3 и 4 или −3 и −4) — используем формулу со сл. 10.
Ошибка в б): найти только p = 7, потеряв p = −7.
R03.4
Образец → сам · тип 4 · параметр
Найдите параметр — и не забудьте про D
база x 2 − 9 x + q = 0 q = 18 база x 2 − 8 x + q = 0 x 1 2 + x 2 2 = 34 q q = 15 повыш. x 2 + p x + 12 = 0 1 p = ± 7 повыш. При каком m x 2 − m x + m − 3 = 0 m = 1 5
Задания 1 и 3 — «Ваша очередь» со сл. 15. Ответы по клику.
1) 3x₁ = 9, x₁ = 3, x₂ = 6, q = 18; D = 81 − 72 = 9 > 0 ✓. 2) s = 8, p = q: 64 − 2q = 34 ⇒ q = 15; D = 64 − 60 = 4 > 0 ✓ (корни 3 и 5: 9 + 25 = 34 ✓).
3) (x₁ − x₂)² = p² − 48 = 1 ⇒ p = ±7 (корни −3 и −4 или 3 и 4). 4) D = m² − 4m + 12 = (m − 2)² + 8 > 0 при всех m; s² − 2p = m² − 2m + 6 = (m − 1)² + 5 ⇒ m = 1, наименьшее значение 5.
Ошибка в 3: потерять p = −7.
R03.4
Типичные ошибки
Найдите ошибку
Запись ученика Что не так Верно 2 x 2 − 8 x + 3 = 0 x 1 x 2 = 3 забыли разделить на a 2 3 x 2 + 5 x + 6 = 0 x 1 + x 2 = 5 знак суммы − 5 x 2 + 2 x + 5 = 0 s = − 2 , p = 5 D = − 16 < 0 корней нет x 1 3 + x 2 3 = s 3 куб суммы ≠ сумма кубов s 3 − 3 p s x 2 + 4 x + a = 0 x 1 2 + x 2 2 = 6 16 − 2 a = 6 a = 5 не проверили D D = − 4 a
Ученики называют ошибку, учитель открывает столбцы по шагам.
Последняя строка — главная для углублённого уровня: при a = 5 уравнение x² + 4x + 5 = 0 имеет D = 16 − 20 = −4 < 0. Формулы Виета дали «ответ» для несуществующих корней. Вывод: в задачах с параметром условие D ≥ 0 — часть решения.
Строка 4: (x₁ + x₂)³ = x₁³ + x₂³ + 3x₁x₂(x₁ + x₂).
R03.4
Задания с самопроверкой · 1
Все четыре типа
база Найдите сумму и произведение корней 3 x 2 + 12 x − 5 = 0 − 4 ; − 3 5 база Найдите корни устно: 13 x 2 − 18 x + 5 = 0 1 ; 13 5 повыш. x 1 , x 2 x 2 + 6 x − 3 = 0 x 1 2 x 2 + x 1 x 2 2 x 1 2 + x 2 2 18 ; 42 повыш. При каком q x 2 − 10 x + q = 0 q = 16 практика Составьте уравнение, корни которого на 2 больше корней x 2 − 5 x + 3 = 0 y 2 − 9 y + 17 = 0
Шпаргалка
x 1 2 + x 2 2 = s 2 − 2 p
( x 1 − x 2 ) 2 = s 2 − 4 p
x 1 3 + x 2 3 = s 3 − 3 p s
Сначала D
Ученики решают в тетрадях, ответ к каждому заданию открывается кликом — проверка всем классом. Если не успели — задание 5 в ДЗ.
1) D = 144 + 60 = 204 > 0; s = −4, p = −5/3.
2) 13 − 18 + 5 = 0 ⇒ x₁ = 1, x₂ = 5/13.
3) D = 36 + 12 = 48 > 0; s = −6, p = −3. x₁x₂(x₁ + x₂) = (−3)(−6) = 18; s² − 2p = 36 + 6 = 42.
4) x₁ + 4x₁ = 10 ⇒ x₁ = 2, x₂ = 8, q = 16; D = 100 − 64 = 36 > 0 ✓.
5) D = 25 − 12 = 13 > 0; s = 5, p = 3. S = s + 4 = 9, P = (x₁ + 2)(x₂ + 2) = p + 2s + 4 = 17 ⇒ y² − 9y + 17 = 0. Проверка заменой x = y − 2: (y − 2)² − 5(y − 2) + 3 = y² − 9y + 17 ✓.
R03.4
Задания с самопроверкой · 2
База, повышенный уровень и задача из жизни
база Найдите корни подбором: x 2 + 7 x − 30 = 0 3 ; − 10 база Один корень x 2 + b x − 24 = 0 4 b − 6 ; b = 2 повыш. x 1 , x 2 x 2 − 7 x + 4 = 0 x 2 x 1 + x 1 x 2 4 41 из жизни Периметр прямоугольного участка 26 40 5 8 повыш. При каких q x 2 − 6 x + q = 0 0 < q ≤ 9
Ответы открываются по клику после того, как большинство решило.
1) Произведение −30, сумма −7: 3 и −10 (9 + 21 − 30 = 0 ✓). 2) 4x₂ = −24 ⇒ x₂ = −6; 4 + (−6) = −2 = −b ⇒ b = 2 (16 + 8 − 24 = 0 ✓). 3) D = 49 − 16 = 33 > 0; (s² − 2p)/p = (49 − 8)/4 = 41/4.
4) Полупериметр 13: стороны — корни x² − 13x + 40 = 0, это 5 и 8 (5 + 8 = 13, 5 · 8 = 40). 5) D = 36 − 4q ≥ 0 ⇒ q ≤ 9; s = 6 > 0 и p = q > 0 ⇒ 0 < q ≤ 9 (при q = 9 корень 3 — двукратный, положителен).
Ошибка в 5: забыть D ≥ 0 и ответить «q > 0».
R03.4 · формат ОГЭ
Формат ОГЭ · линия 9
Решите уравнение x 2 − 6 x − 16 = 0
Пара с произведением − 16 Сумма 1 − 16 − 15 − 1 16 15 2 − 8 − 6 − 2 8 6 4 − 4 0
Бланк ответа Только число, без «x =»
Знак суммы: x 1 + x 2 = 6 − 6
Подбор: произведение −16 (корни разных знаков), сумма 6 (больший по модулю — положительный). Пара −2 и 8. Проверка: 4 + 12 − 16 = 0 ✓; 64 − 48 − 16 = 0 ✓.
Ответ: −2.
Линия 9 ОГЭ — 1 балл, краткий ответ. Типичная ошибка — выбрать пару 2 и −8 (перепутан знак суммы) и записать −8.
R03.4
Самостоятельная работа · 5 минут
Теорема Виета: четыре задания
Вариант 1
Корни устно: x 2 − 9 x + 20 = 0 4 ; 5
Корни устно: 5 x 2 + 3 x − 2 = 0 − 1 ; 5 2
x 2 − 6 x + 2 = 0 x 1 2 + x 2 2 32 x 2 − 12 x + q = 0 q = ? 32 Вариант 2
Корни устно: x 2 + x − 42 = 0 6 ; − 7
Корни устно: 4 x 2 − 7 x + 3 = 0 1 ; 4 3
x 2 + 8 x + 3 = 0 x 1 2 + x 2 2 58 x 2 − 15 x + q = 0 q = ? 50
4 мин на решение, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (по клику). Критерий: «5» — 4 задания, «4» — 3, «3» — 2.
В1: 1) 4 + 5 = 9, 4 · 5 = 20. 2) a − b + c = 5 − 3 − 2 = 0 ⇒ −1 и 2/5. 3) D = 36 − 8 = 28 > 0; 36 − 4 = 32. 4) 3x₁ = 12, x₁ = 4, x₂ = 8, q = 32; D = 144 − 128 = 16 > 0 ✓.
В2: 1) 6 − 7 = −1, 6 · (−7) = −42. 2) a + b + c = 4 − 7 + 3 = 0 ⇒ 1 и 3/4. 3) D = 64 − 12 = 52 > 0; 64 − 6 = 58. 4) 3x₁ = 15, x₁ = 5, x₂ = 10, q = 50; D = 225 − 200 = 25 > 0 ✓.
рефлексия · ДЗ
Итог урока
Проверьте себя и потренируйтесь
Ответьте одной фразой
Когда x = 1 Почему x 1 2 + x 2 2 s p Что проверить первым в задаче с параметром?
Домашнее задание
Устно: 2 x 2 + 9 x + 7 = 0
x 2 − 4 x − 7 = 0 x 1 3 + x 2 3 Уравнение с корнями 2 x 1 , 2 x 2 x 1 , x 2 3 x 2 − 5 x − 2 = 0
* При каком a x 2 + ( a − 3 ) x − a = 0
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_vieta.htm
Ответы ДЗ: 1) 2 − 9 + 7 = 0 ⇒ −1 и −7/2.
2) D = 16 + 28 = 44 > 0; s = 4, p = −7: s³ − 3ps = 64 + 84 = 148.
3) s = 5/3, p = −2/3; S = 10/3, P = 4p = −8/3 ⇒ 3y² − 10y − 8 = 0. Проверка: корни исходного 2 и −1/3, удвоенные 4 и −2/3: 3 · 16 − 40 − 8 = 0 ✓.
4*) D = (a − 3)² + 4a = a² − 2a + 9 = (a − 1)² + 8 > 0 при всех a; s = 3 − a, p = −a; s² − 2p = a² − 4a + 9 = (a − 2)² + 5 ⇒ наименьшее 5 при a = 2.
Тренажёр «Теорема Виета» углублённого уровня — ближе всего к уроку; общий тренажёр строки — 8_algebra_adv_uravneniya.htm. Следующий урок ALG8U-052 — практикум «Уравнения, сводимые к линейным или квадратным».
Паспорт соответствия · скрытый слайд
ALG8U-051 · Практикум: Теорема Виета
Поле Значение ФРП «Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 Строка, урок R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения», 17 ч · урок 14/17 · тип П (практикум) Единицы → слайды R03.4 «Теорема Виета» → 2–22 (повторение R03.3 → 3, 4, 17) Результаты ПР-19 (решать квадратные уравнения) → 3, 4, 6–8, 12, 13, 18–21 · ПР-12 (тождественные преобразования рациональных выражений) → 9–11, 18, 19, 21 · ПР-22 (исследования уравнений) → 14–17, 19, 21 · теория 13 мин, практика 32 мин (71 %) · кодификатора REQ у курса нет Вне урока вывод и доказательство теоремы Виета и обратной теоремы — ALG8U-041; уравнения, сводимые к квадратным, — ALG8U-052; систематическое решение квадратных уравнений с параметром — ALG8U-043, 044, 053; теорема Виета для многочленов высших степеней — не изучается Проверки автопроверка: pending · методист: pending