Квадратные уравнения · урок 13 из 17 · практикум

Практикум:
количество действительных
корней квадратного
уравнения

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG8U-050

Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения» (17 ч), урок 13/17, единица R03.3 «Количество действительных корней квадратного уравнения». Тип П (практикум). Новый материал по теме был на ALG8U-040; вчера (ALG8U-049) — практикум по формуле корней; завтра (ALG8U-051) — практикум по теореме Виета.
0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
План: цели 1 (сл. 2, т) · разминка 3 (сл. 3, п) · маршрут 1 (сл. 4, т) · тип 1: образец 3 (т) + сами 3 (п) (сл. 5–6) · тип 2: образец 3 (т) + сами 3 (п) (сл. 7–8) · тип 3: образец 3 (т) + сами 3 (п) (сл. 9–10) · тип 4: образец 3 (т) + сами 3 (п) (сл. 11–12) · самопроверка: база 3, повышенный 3 (сл. 13–14, п) · найди ошибку 2 (сл. 15, п) · ОГЭ 3 (сл. 16, п) · самостоятельная 4 (сл. 17, п) · итог и ДЗ 1 (сл. 18, п).
Теория (образцы и схемы) оставлена полностью; темп образцов — учитель показывает, класс только отвечает на вопросы по ходу.
Если не успеваете: в сл. 12 задание 3 и в сл. 14 задание 3 — в ДЗ.
Рисунок: дискриминант как функция параметра D = (a − 3)² — не опускается ниже нуля; внизу — ответ исследования на оси параметра (0, 1, 2 корня).

R03.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать

что корни есть (или нет) при любом значении параметра (ПР-22)

Исследовать

число корней при каждом значении параметра, не теряя особых случаев (ПР-22, ПР-19)

Считать корни

биквадратных и дробных уравнений через квадратное (ПР-19, ПР-20)

Интерпретировать

«корней нет» в прикладной задаче: такой фигуры не бывает (ПР-23)

1 мин · теория
ПР-19 (ФРП): «Решать квадратные уравнения». ПР-20: «Решать дробно-рациональные уравнения».
ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
ПР-23: «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели… интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат».
Виды деятельности ФРП: «Определять количество действительных корней квадратного уравнения», «Проводить простейшие исследования квадратных уравнений».

повторение: R03.3

Разминка · устно, за 10 секунд каждое

Сколько корней? Самый короткий путь

Уравнение	Признак	Корней
$x^{2} - 7 x - 30 = 0$	$a c < 0$	2
$4 x^{2} + 4 x + 1 = 0$	$\frac{D}{4} = 4 - 4 = 0$	1
$3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$	$\frac{D}{4} = 1 - 3 < 0$	0
$x^{2} + 2026 = 0$	$x^{2} = - 2026$	0
$5 x^{2} - 3 x = 0$	$x (5 x - 3) = 0$	2
$(x + 2)^{2} = 3$	квадрат $=$ число $> 0$	2

Памятка

$D > 0$ — два корня

$D = 0$ — один

$D < 0$ — нет

$a c < 0 \Rightarrow$ два

R03.3

Маршрут практикума

Четыре типа задач о числе корней

R03.3

Тип 1Образец · доказательство

Докажите: $x^{2} - (a + 3) x + 3 a = 0$ имеет корни при любом $a$

D = (a + 3)^{2} - 4 \cdot 3 a

шаг 1: дискриминант с параметром

= a^{2} + 6 a + 9 - 12 a = a^{2} - 6 a + 9

шаг 2: раскрыть, привести

D = (a - 3)^{2} \geq 0

шаг 3: увидеть полный квадрат

D \geq 0

— корни есть всегда; при

a = 3

корень один:

x = 3

3 мин · теория
Алгоритм типа 1: 1) записать D (или D/4) через параметр; 2) раскрыть скобки и привести подобные; 3) представить как (…)² (≥ 0) или (…)² + число (> 0), или −(…)² − число (< 0).
Проверка при a = 3: x² − 6x + 9 = 0, (x − 3)² = 0, x = 3. При a = 0: x² − 3x = 0, корни 0 и 3.
Вопрос сильным: найдите корни при любом a. (x − 3)(x − a) = 0 → x = 3 и x = a; поэтому при a = 3 корни «сливаются».
Рисунок: график D от a — подсказка, а не доказательство; доказательство — неравенство (a − 3)² ≥ 0.

R03.3

Тип 1Решите сами

Докажите при любом значении параметра

база $2 x^{2} + (m - 4) x - 2 m = 0$ имеет корни.
повыш. $x^{2} - 2 m x + 2 m^{2} + 1 = 0$ не имеет корней.
повыш. $x^{2} + (m + 1) x + m - 1 = 0$ имеет два корня.
повыш.При каком $m$ в задаче 1 корень один? Найдите его.

Три «формы» $D$

$(\dots)^{2} \geq 0$ — корни есть

$(\dots)^{2} + 4 > 0$ — два

$- (\dots)^{2} - 1 < 0$ — нет

Не хватает до квадрата? Выделите полный квадрат.

R03.3

Тип 2Образец · полное исследование

Сколько корней у $(a + 1) x^{2} - 2 a x + a - 2 = 0$ при каждом $a$ ?

a = - 1 : 2 x - 3 = 0, x = 1, 5

шаг 1: старший коэффициент

= 0

— линейное

a \neq = - 1 : \frac{D}{4} = a^{2} - (a + 1) (a - 2) = a + 2

шаг 2: знак

\frac{D}{4}

R03.3

Тип 2Решите сами

Исследуйте число корней

база $x^{2} - 4 x + a - 1 = 0$ — сколько корней при каждом $a$ ?
повыш. $(a - 3) x^{2} - 4 x + 1 = 0$ — сколько корней при каждом $a$ ?
повыш.При каких $a$ уравнение $a x^{2} - 2 (a + 1) x + a + 4 = 0$ имеет хотя бы один корень?

R03.3 · повторение R03.5

Тип 3Образец · биквадратное уравнение

Сколько корней у $x^{4} + b x^{2} + c = 0$ ?

Уравнение	$t = x^{2}$	$x$
$x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$	$1; 4$	4 корня
$x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0$	$1; - 4$	2 корня
$x^{4} - 3 x^{2} = 0$	$0; 3$	3 корня
$x^{4} + 5 x^{2} + 6 = 0$	$- 2; - 3$	нет

R03.3 · повторение R03.5

Тип 3Решите сами

Сколько корней останется?

база $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$
$x^{4} + x^{2} - 6 = 0$
$x^{4} + 7 x^{2} = 0$
повыш. $\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 3} = 0$
повыш.При каких $a$ уравнение $x^{4} - 6 x^{2} + a = 0$ имеет ровно три корня? ровно два корня?

Счёт корней

каждое $t > 0$ → 2 корня

$t = 0$ → 1 корень

$t < 0$ → 0

Дробь: корень, обнуляющий знаменатель, не считается.

3 мин · практика
1) t = 1, 9 → 4 корня (±1, ±3); t = 2, t = −3 → 2 корня (±√2); t(t + 7) = 0, t = 0 → 1 корень (x = 0).
2) Числитель: x = 2, x = 3; x = 3 обнуляет знаменатель → один корень x = 2 (ПР-20).
3) Три корня — нужно t = 0, т. е. a = 0: t = 0 и t = 6 → x = 0, ±√6. Два корня: либо корни t разных знаков (по теореме Виета t₁t₂ = a < 0), либо один корень t = 3 > 0 при D/4 = 9 − a = 0, a = 9 (x = ±√3). Ответ: три — a = 0; два — a < 0 или a = 9.
Для сильных: при 0 < a < 9 — 4 корня (t₁ + t₂ = 6 > 0, t₁t₂ > 0), при a > 9 — корней нет.

R03.3

Тип 4Образец · бывает ли такой прямоугольник?

Периметр 20 см. Может ли площадь быть 24? 25? 26?

x (10 - x) = S

стороны

x

и

10 - x

x^{2} - 10 x + S = 0, \frac{D}{4} = 25 - S

S = 24 : \frac{D}{4} = 1, x = 4; 6

S = 25 : \frac{D}{4} = 0, x = 5

S = 26 : \frac{D}{4} = - 1 < 0

R03.3

Тип 4Решите сами · практика

Составьте уравнение и посмотрите на $D$

практикаСумма двух чисел равна 14. Может ли их произведение быть равно 50? 49? 48?
практикаЗабором длиной 40 м огораживают с трёх сторон участок у стены дома. Можно ли получить площадь 200 м²? 210 м²?
повыш.Докажите: площадь прямоугольника с периметром $P$ не больше $\frac{P ^{2}}{16}$ .

R03.3 · повторение R03.5

Задания с самопроверкой · база

Решите в тетради — ответ откроется по клику

Сколько корней: $2 x^{2} - 5 x - 7 = 0$ ? 2
Сколько корней: $9 x^{2} - 12 x + 4 = 0$ ? 1
Сколько корней: $x^{2} + x + 1 = 0$ ? 0
При каких $b$ у $x^{2} + b x + 16 = 0$ один корень? $b = \pm 8$

При каких $c$ у $x^{2} - 6 x + c = 0$ два корня? $c < 9$
Сколько корней: $x^{4} - 17 x^{2} + 16 = 0$ ? 4
Сколько корней: $\frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = 0$ ? 1
Сколько корней у $x^{2} - 2 a x + a^{2} - 1 = 0$ при любом $a$ ? 2

3 мин · практика
2 мин решают, затем учитель открывает ответы по одному, класс сверяет и поднимает руку при ошибке.
1) a = 2, c = −7 — разных знаков (ac < 0) → 2 корня (−1 и 3,5). 2) D/4 = 36 − 36 = 0 → один корень x = 2/3. 3) D = 1 − 4 = −3 < 0 → нет.
4) D = b² − 64 = 0 → b = ±8 (корни −4 и 4 соответственно). 5) D/4 = 9 − c > 0 → c < 9.
6) t = x²: t² − 17t + 16 = 0, t = 1 и 16 → x = ±1, ±4 — 4 корня. 7) числитель: x = ±2; x = −2 обнуляет знаменатель → один корень x = 2.
8) D/4 = a² − (a² − 1) = 1 > 0 → всегда два корня: x = a − 1 и x = a + 1.

R03.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Параметр и смысл: ответ по клику

повыш.При каких $a$ у $a x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ровно один корень? $a = 0; a = 4$
повыш.При каких $a$ у $x^{2} - (a + 1) x + a = 0$ один корень? $a = 1$
повыш.При каких $a$ у $x^{4} - 2 x^{2} + a = 0$ нет корней? $a > 1$
практикаСумма двух чисел 12. Может ли их произведение быть 40? 35? нет; да: 5 и 7

Не забудьте

параметр при $x^{2}$ $= 0$ ?

$t = x^{2}$ — только $t \geq 0$

$D < 0$ — «так не бывает»

R03.3

Типичные ошибки

Найдите ошибку в решении

Запись ученика	Что не так	Верно
$D = (a - 3)^{2}$ — два корня при любом $a$	при $a = 3$ будет $D = 0$	при $a = 3$ один корень
$x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ : корни $1$ и $4$	это значения $t = x^{2}$	$\pm 1; \pm 2$ — 4 корня
$x^{4} + x^{2} - 6 = 0$ : $t = 2; - 3$ — 4 корня	$x^{2} = - 3$ корней не даёт	$\pm 2$ — 2 корня
$\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 3} = 0$ : два корня	$x = 3$ обнуляет знаменатель	один корень $x = 2$
$(a + 1) x^{2} - 2 a x + a - 2$ : корни есть при $a > - 2, a \neq = - 1$	$a = - 2$ : $D = 0$ ; $a = - 1$ : линейное	$a \geq - 2$

R03.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20 (часть 2)

Решите уравнение

(x^{2} - 9)^{2} + (x^{2} - 2 x - 15)^{2} = 0

Полное решение с обоснованием.

Подсказка

каждый квадрат $\geq 0$
сумма $= 0$ , когда оба $= 0$
общие корни двух уравнений

Сколько корней у системы? Не больше, чем у каждого.

R03.3 · повторение R03.5

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 минуты

Вариант 1

Сколько корней: $3 x^{2} - 4 x + 2 = 0$ ? 0
Докажите: $x^{2} + (a - 2) x - 2 a = 0$ имеет корни при любом $a$ . $D = (a + 2)^{2}$
Сколько корней: $x^{4} - 8 x^{2} - 9 = 0$ ? 2
При каких $a$ у $(a - 2) x^{2} + 2 x + 1 = 0$ два корня? $a < 3, a \neq = 2$

Вариант 2

Сколько корней: $2 x^{2} - 6 x + 5 = 0$ ? 0
Докажите: $x^{2} - (a + 4) x + 4 a = 0$ имеет корни при любом $a$ . $D = (a - 4)^{2}$
Сколько корней: $x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$ ? 2
При каких $a$ у $(a + 1) x^{2} - 4 x + 2 = 0$ два корня? $a < 1, a \neq = - 1$

4 мин · практика
3 мин на решение, 1 мин — взаимопроверка в парах по открытым ответам.
В-1: 1) D/4 = 4 − 6 = −2 < 0 → корней нет. 2) D = (a − 2)² + 8a = a² + 4a + 4 = (a + 2)² ≥ 0 (корни 2 и −a). 3) t = 9, t = −1 → x = ±3 — 2 корня. 4) a = 2 — линейное 2x + 1 = 0, один корень; a ≠ 2: D/4 = 1 − (a − 2) = 3 − a > 0 → a < 3, a ≠ 2.
В-2: 1) D/4 = 9 − 10 = −1 < 0 → нет. 2) D = (a + 4)² − 16a = a² − 8a + 16 = (a − 4)² ≥ 0 (корни 4 и a). 3) t = 4, t = −1 → x = ±2 — 2 корня. 4) a = −1 — линейное −4x + 2 = 0, один корень; a ≠ −1: D/4 = 4 − 2(a + 1) = 2 − 2a > 0 → a < 1, a ≠ −1.
Оценка: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как доказать, что корни есть при любом $a$ ?
Какие точки оси параметра нельзя пропустить?
Почему у биквадратного может быть 3 корня?

Домашнее задание

Докажите: $x^{2} - (2 a + 1) x + a^{2} + a = 0$ имеет два корня при любом $a$
Число корней $(a - 1) x^{2} + 2 x + 1 = 0$ при каждом $a$
Сколько корней: $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ ; $x^{4} + 2 x^{2} - 3 = 0$
* При каких $a$ у $x^{4} - 4 x^{2} + a = 0$ ровно 4 корня?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-050 · Практикум: Количество действительных корней квадратного уравнения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения», 17 ч · урок 13/17 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R03.3 «Количество действительных корней квадратного уравнения» → 2–18 (повторение R03.5 «Уравнения, сводимые к… квадратным» → 9–10, 13, 15–17)
Результаты	ПР-19 (решать квадратные уравнения) → 3, 7–10, 13–14, 16–17 · ПР-20 (дробно-рациональные уравнения) → 10, 13, 15 · ПР-22 (исследование уравнений: имеет ли решения и сколько) → 4–10, 13–15, 17 · ПР-23 (модель реальной ситуации, интерпретация) → 11–12, 14 · хронометраж: теория 14 мин, практика 31 мин (69 %) · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	практикум по теореме Виета — ALG8U-051 (здесь Виета только как подсказка в заданиях); систематические уравнения с параметром — ALG8U-053; квадратные неравенства и квадратичная функция — в своих разделах
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:количество действительныхкорней квадратногоуравнения

Сегодня вы научитесь

Доказывать

Исследовать

Считать корни

Интерпретировать

Сколько корней? Самый короткий путь

Памятка

Четыре типа задач о числе корней

Докажите: x2−(a+3)x+3a=0 имеет корни при любом a

Докажите при любом значении параметра

Три «формы» D

Сколько корней у (a+1)x2−2ax+a−2=0 при каждом a?

Исследуйте число корней

Сколько корней у x4+bx2+c=0?

Сколько корней останется?

Счёт корней

Периметр 20 см. Может ли площадь быть 24? 25? 26?

Составьте уравнение и посмотрите на D

Решите в тетради — ответ откроется по клику

Параметр и смысл: ответ по клику

Не забудьте

Найдите ошибку в решении

Решите уравнение

Подсказка

Два варианта · 4 минуты

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-050 · Практикум: Количество действительных корней квадратного уравнения

Практикум:
количество действительных
корней квадратного
уравнения

Докажите: $x^{2} - (a + 3) x + 3 a = 0$ имеет корни при любом $a$

Три «формы» $D$

Сколько корней у $(a + 1) x^{2} - 2 a x + a - 2 = 0$ при каждом $a$ ?

Сколько корней у $x^{4} + b x^{2} + c = 0$ ?

Составьте уравнение и посмотрите на $D$