Квадратные уравнения · урок 12 из 17 · практикум

Практикум:
формула корней
квадратного уравнения

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG8U-049

1 мин · теория
Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Сумма 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения» (17 ч), урок 12/17, единица R03.2 «Формула корней квадратного уравнения». Тип П (практикум). Формулу вывели на уроке ALG8U-039; вчера (ALG8U-048) — практикум «Квадратное уравнение»; завтра (ALG8U-050) — практикум «Количество действительных корней».
Хронометраж (45 мин): титул и цели 2 (сл. 1–2, теория) · блиц и разминка 4 (сл. 3–4, практика) · карта выбора способа 3 (сл. 5, теория) · образцы четырёх типов 8 (сл. 6, 8, 10, 12 — теория, по 2 мин) · «решите сами» 9 (сл. 7, 9, 11, 13: 2 + 2 + 3 + 2) · найди ошибку 2 (сл. 14) · задания с самопроверкой 6 (сл. 15–16) · смешанная тренировка 3 (сл. 17) · ОГЭ 2 (сл. 18) · самостоятельная работа 5 (сл. 19) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 20).
Вся теория прежняя, без сокращений (карта и все образцы по шагам); практика добавлена: устный блиц, задания с самопроверкой (ответы по клику), самостоятельная работа в двух вариантах.
Рисунок: корни симметричны относительно $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ и отстоят от него на $\frac{D}{2 a}$ — этот взгляд на формулу пригодится в типах 2 и 4.
Если время поджимает: смешанную тренировку (сл. 17) задать на дом, на слайде 16 оставить задания 1, 3, 5.

R03.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать без сбоев

доводить любое квадратное уравнение до ответа по формуле корней (ПР-19)

Готовить уравнение

приводить к виду $a x^{2} + b x + c = 0$ тождественными преобразованиями (ПР-12)

Работать с буквами

решать уравнения с буквенными и иррациональными коэффициентами (ПР-18, ПР-22)

Выбирать способ

видеть короткий путь: $D_{1}$ , $a + b + c = 0$ , известный корень (ПР-22)

1 мин · теория
ПР-19 (ФРП): «Решать квадратные уравнения». ПР-12: «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений». ПР-18: «Выполнять преобразования иррациональных выражений, используя свойства корней». ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений…».
Вид деятельности ФРП: «Записывать формулу корней квадратного уравнения; решать квадратные уравнения – полные и неполные».
Формат практикума: 4 типа заданий, в каждом — образец по шагам, затем задания того же типа.

повторение: R03.1–R03.2

Разминка · устно

Блиц: ответьте за 10 секунд

1

D

для

x^{2} + 4 x + 3 = 0

4

2

D_{1}

для

x^{2} - 6 x + 8 = 0

1

3

D

, если

D = 169

13

4Сколько корней, если

D = - 7

?нет

5

x = 1

— корень

3 x^{2} - 5 x + 2 = 0

?да

6Упростите

12

23

7Вычислите

\frac{6 \pm 4}{2}

5; 1

8Корни

x^{2} - 5 x + 6 = 0

2; 3

повторение: R03.2

Разминка · устно

Назовите $a, b, c$ и найдите $D$

$x^{2} - 5 x + 4 = 0$
$2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$
$x^{2} - 8 x + 16 = 0$
$4 x - x^{2} + 12 = 0$

R03.2

Карта практикума

Какой путь выбрать?

R03.2

тип 1Образец · сначала стандартный вид

$\frac{x}{3} - \frac{x ^{2}}{2} = - \frac{4}{3}$

2 x - 3 x^{2} = - 8

умножили обе части на 6

3 x^{2} - 2 x - 8 = 0

всё вправо, чтобы

a > 0

k = - 1, D_{1} = 1 + 24 = 25

x_{1, 2} = \frac{1 \pm 5}{3}

x_{1} = 2, x_{2} = - \frac{4}{3}

R03.2

тип 1Решите сами

Приведите к виду $a x^{2} + b x + c = 0$ и решите

база $(x - 3) (x + 4) = 8$
база $\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x + 2}{6} = 0$
база $0, 2 x^{2} - 1, 3 x + 2 = 0$
повыш. $(2 x + 1)^{2} - 3 (x - 1) (x + 1) = 2 (x + 5)$

R03.2

тип 2Образец · иррациональный коэффициент

$x^{2} - 22 x - 6 = 0$

b = - 22 \Rightarrow k = - 2

D_{1} = (- 2)^{2} + 6 = 8

x_{1, 2} = 2 \pm 8 = 2 \pm 22

x_{1} = 32, x_{2} = - 2

R03.2

тип 2Решите сами

Большие и иррациональные коэффициенты

база $x^{2} - 34 x + 288 = 0$
база $x^{2} + 23 x - 9 = 0$
повыш. $2 x^{2} - 3 x + 2 = 0$
повыш. $x^{2} - (5 + 2) x + 25 = 0$

R03.2

тип 3Образец · буквенные коэффициенты

$x^{2} - (2 a + 1) x + a^{2} + a = 0$

D = (2 a + 1)^{2} - 4 (a^{2} + a)

D = 4 a^{2} + 4 a + 1 - 4 a^{2} - 4 a = 1

x_{1, 2} = \frac{2 a + 1 \pm 1}{2}

x_{1} = a + 1, x_{2} = a

2 мин · теория
Буква a здесь — число, просто не заданное заранее. Действуем по тому же алгоритму, коэффициенты: b = −(2a + 1), c = a² + a.
Главная удача: D = 1 не зависит от a, значит, при любом a два различных корня. Это мостик к урокам о параметре (ALG8U-043/044), но сегодня параметр не исследуем.
Проверка: a(a + 1) = a² + a — произведение корней равно c; a + (a + 1) = 2a + 1 — сумма равна −b (заметить молча — теорема Виета на ALG8U-051).
Ошибка: −4(a² + a) раскрывают как −4a² + 4a.

R03.2

тип 3Решите сами · ищите полный квадрат в $D$

Решите уравнение относительно $x$

база $x^{2} - 6 a x + 5 a^{2} = 0$
база $x^{2} - 2 x + 1 - a^{2} = 0$
повыш. $a x^{2} - (a + 1) x + 1 = 0, a \neq = 0$
повыш. $x^{2} - 2 (m - 1) x + m^{2} - 2 m - 3 = 0$

3 мин · практика
1) k = −3a; D₁ = 9a² − 5a² = 4a²; x = 3a ± 2a → 5a и a (при a = 0 один корень 0). Рисунок справа — к этому заданию.
2) k = −1; D₁ = 1 − (1 − a²) = a²; x = 1 ± a → 1 + a и 1 − a (при a = 0 один корень 1). Можно и так: (x − 1)² = a².
3) D = (a + 1)² − 4a = (a − 1)²; x = ((a + 1) ± (a − 1))/(2a) → 1 и 1/a (при a = 1 один корень 1). Проверка x = 1: a − a − 1 + 1 = 0 ✓.
4) k = −(m − 1); D₁ = (m − 1)² − (m² − 2m − 3) = 4; x = m − 1 ± 2 → m + 1 и m − 3.
Ошибка: писать √(a²) = a — теряем случай a < 0; здесь спасает «±», но в других задачах (ALG8U-044) модуль важен.

R03.2

тип 4Образец · один корень известен

$- 2$ — корень $3 x^{2} + b x - 10 = 0$ . Найдите $b$ и $x_{2}$

3 \cdot (- 2)^{2} + b \cdot (- 2) - 10 = 0

12 - 2 b - 10 = 0 \Rightarrow b = 1

3 x^{2} + x - 10 = 0, D = 1 + 120 = 121

x_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 11}{6}

x_{1} = - 2, x_{2} = \frac{5}{3}

R03.2

тип 4Решите сами

Найдите коэффициент и второй корень

база $4$ — корень $x^{2} - 7 x + c = 0$
база $1, 5$ — корень $2 x^{2} + x + c = 0$
повыш.При каких $a$ число $2$ — корень уравнения
$x^{2} + a x + a^{2} - 7 = 0$ ?
Найдите второй корень.

2 мин · практика
1) 16 − 28 + c = 0 → c = 12; x² − 7x + 12 = 0, D = 49 − 48 = 1, x = (7 ± 1)/2 → 4 и 3. График: корни симметричны относительно x₀ = −b/(2a) = 3,5, поэтому второй корень 3,5 − 0,5 = 3.
2) 2 · 2,25 + 1,5 + c = 0 → c = −6; 2x² + x − 6 = 0, D = 1 + 48 = 49, x = (−1 ± 7)/4 → 1,5 и −2.
3) 4 + 2a + a² − 7 = 0 → a² + 2a − 3 = 0 — снова квадратное! D₁ = 1 + 3 = 4, a = −1 ± 2 → a = 1 или a = −3. При a = 1: x² + x − 6 = 0, корни 2 и −3. При a = −3: x² − 3x + 2 = 0, корни 2 и 1. Ответ: a = 1, второй корень −3; a = −3, второй корень 1.
Ошибка в 3: найти только одно значение a или забыть найти второй корень для каждого.

R03.2

Типичные ошибки практикума

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$- x^{2} + 4 x + 5 = 0 : a = 1$	потерян знак $a$	$a = - 1$ : корни $- 1; 5$
$x^{2} - 6 x + 5 = 0 : D_{1} = 4, x = \frac{3 \pm 2}{2}$	с $D_{1}$ делят на $a$ , не на $2 a$	$x = 3 \pm 2$ : $1; 5$
$x = \frac{2 \pm 2 2}{2} = 1 \pm 22$	сократили одно слагаемое	$1 \pm 2$
$\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x}{3} = 1 \Rightarrow 3 x^{2} - 2 x = 1$	не умножили правую часть	$3 x^{2} - 2 x - 6 = 0$

R03.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте ответ

база $x^{2} - 10 x + 21 = 0$ $3; 7$
база $3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$ $- 2; \frac{1}{3}$
база $x^{2} + x + 1 = 0$ корней нет

база $7 x^{2} - 9 x + 2 = 0$ $1; \frac{2}{7}$
база $(x + 2)^{2} = 3 x + 8$ $\frac{- 1 \pm 17}{2}$
база $x^{2} - 25 x + 1 = 0$ $5 \pm 2$

R03.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Выберите путь и решите

повыш. $\frac{x ^{2} - 1}{3} - \frac{x + 1}{2} = x$ $5; - \frac{1}{2}$
повыш. $x^{2} - (3 + 1) x + 3 = 0$ $3; 1$
повыш. $x^{2} - 2 a x + a^{2} - 4 = 0$ $a - 2; a + 2$

повыш. $- 3$ — корень $x^{2} + b x - 12 = 0$ . Найдите $b$ и $x_{2}$ . $b = - 1, x_{2} = 4$
жизньПлощадь прямоугольника $60 см^{2}$ , одна сторона на 7 см длиннее другой. Найдите стороны.5 см и 12 см

R03.2

Смешанная тренировка · все типы

Выберите короткий путь и решите

база $x^{2} + 12 x + 32 = 0$
база $5 x^{2} - 7 x + 2 = 0$
повыш. $\frac{x ^{2} + x}{2} = \frac{3 x + 6}{4}$
повыш. $x^{2} - 43 x + 9 = 0$

практика5. Мяч брошен вверх: $h = 20 t - 5 t^{2}$ (м, с). Когда мяч на высоте 15 м?

3 мин · практика
Работа в парах: каждый решает два задания на выбор, затем объясняет соседу выбранный путь. Задание 5 — сначала без графика, график открыть при проверке.
1) k = 6; D₁ = 36 − 32 = 4; x = −6 ± 2 → −4 и −8.
2) a + b + c = 5 − 7 + 2 = 0 → корни 1 и 2/5 = 0,4.
3) × 4: 2x² + 2x = 3x + 6 → 2x² − x − 6 = 0; D = 1 + 48 = 49; x = (1 ± 7)/4 → 2 и −1,5. Проверка x = 2: 6/2 = 12/4 ✓.
4) k = −2√3; D₁ = 12 − 9 = 3; x = 2√3 ± √3 → 3√3 и √3.
5) 20t − 5t² = 15 → 5t² − 20t + 15 = 0 → t² − 4t + 3 = 0; D₁ = 4 − 3 = 1; t = 2 ± 1 → через 1 с (на подъёме) и через 3 с (при падении). Оба корня подходят по смыслу.

R03.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20 (часть 2)

Решите уравнение

x^{2} - 3 x + 5 - x = 5 - x + 18

Корень существует при $5 - x \geq 0$ , т. е. $x \leq 5$

2 мин · практика
Ответ: −3. Решение: при x ≤ 5 слагаемые √(5 − x) взаимно уничтожаются: x² − 3x = 18 → x² − 3x − 18 = 0; D = 9 + 72 = 81; x = (3 ± 9)/2 → 6 и −3. Число 6 > 5 не входит в область определения.
Линия 20 ОГЭ — алгебраическое уравнение с развёрнутым решением, 2 балла. Критерий: обоснованно получен верный ответ — 2 балла; ответ «6; −3» (не отброшен посторонний корень) верным не считается.
Ошибка: «сократить» √(5 − x), не записав условие x ≤ 5, и включить 6 в ответ.

R03.2

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта

Вариант 1

$x^{2} - 8 x + 15 = 0$ $3; 5$
$2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ $3; \frac{1}{2}$
$\frac{x ^{2}}{4} - \frac{x}{2} = 2$ $4; - 2$
$5$ — корень $x^{2} + b x + 10 = 0$ .
Найдите $b$ и $x_{2}$ . $b = - 7, x_{2} = 2$

Вариант 2

$x^{2} + 10 x + 21 = 0$ $- 3; - 7$
$3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$ $2; \frac{1}{3}$
$\frac{x ^{2}}{3} + \frac{x}{6} = 1$ $\frac{3}{2}; - 2$
$- 2$ — корень $x^{2} + b x - 6 = 0$ .
Найдите $b$ и $x_{2}$ . $b = - 1, x_{2} = 3$

5 мин · практика
Вариант 1: 1) k = −4; D₁ = 16 − 15 = 1; x = 4 ± 1 → 3 и 5. 2) D = 49 − 24 = 25; x = (7 ± 5)/4 → 3 и 1/2. 3) × 4: x² − 2x = 8 → x² − 2x − 8 = 0; D₁ = 1 + 8 = 9; x = 1 ± 3 → 4 и −2. 4) 25 + 5b + 10 = 0 → b = −7; x² − 7x + 10 = 0; D = 49 − 40 = 9; x = (7 ± 3)/2 → 5 и 2, второй корень 2.
Вариант 2: 1) k = 5; D₁ = 25 − 21 = 4; x = −5 ± 2 → −3 и −7. 2) D = 49 − 24 = 25; x = (7 ± 5)/6 → 2 и 1/3. 3) × 6: 2x² + x = 6 → 2x² + x − 6 = 0; D = 1 + 48 = 49; x = (−1 ± 7)/4 → 3/2 и −2. 4) 4 − 2b − 6 = 0 → b = −1; x² − x − 6 = 0; D = 1 + 24 = 25; x = (1 ± 5)/2 → 3 и −2, второй корень 3.
Ответы открывать после сдачи или для взаимопроверки в парах. Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что сделать до формулы корней?
Когда выгоден $D_{1}$ ?
Как найти второй корень, если первый известен?

Домашнее задание

$\frac{x ^{2}}{3} - \frac{x}{2} = \frac{3}{2}$ ; $x^{2} - 25 x - 4 = 0$
$x^{2} - 4 a x + 3 a^{2} = 0$
$3$ — корень $2 x^{2} - 5 x + c = 0$ ; второй корень?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-049 · Практикум: Формула корней квадратного уравнения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения», 17 ч · урок 12/17 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R03.2 «Формула корней квадратного уравнения» → 2–20
Результаты	ПР-19 (решать квадратные уравнения) → 2–20 · ПР-12 (тождественные преобразования рациональных выражений) → 6–7, 14–17, 19 · ПР-18 (преобразования иррациональных выражений) → 3, 8–9, 15–17 · ПР-22 (исследования уравнений) → 5, 10–13, 16, 19 · ПР-23 (алгебраическая модель задачи) → 16–17 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	вывод формулы — ALG8U-039; количество корней (R03.3) — ALG8U-050; теорема Виета (R03.4) — ALG8U-051; исследование уравнений с параметром (R03.6–R03.7) — ALG8U-043/044 и позже
Хронометраж	теория 13 мин (сл. 1–2, 5, 6, 8, 10, 12) · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:формула корнейквадратного уравнения

Сегодня вы научитесь

Решать без сбоев

Готовить уравнение

Работать с буквами

Выбирать способ

Блиц: ответьте за 10 секунд

Назовите a, b, c и найдите D

Какой путь выбрать?

3x​−2x2​=−34​

Приведите к виду ax2+bx+c=0 и решите

x2−22​x−6=0

Большие и иррациональные коэффициенты

x2−(2a+1)x+a2+a=0

Решите уравнение относительно x

−2 — корень 3x2+bx−10=0. Найдите b и x2​

Найдите коэффициент и второй корень

Найдите ошибку

Решите и сверьте ответ

Выберите путь и решите

Выберите короткий путь и решите

Решите уравнение

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-049 · Практикум: Формула корней квадратного уравнения

Практикум:
формула корней
квадратного уравнения

Назовите $a, b, c$ и найдите $D$

$\frac{x}{3} - \frac{x ^{2}}{2} = - \frac{4}{3}$

Приведите к виду $a x^{2} + b x + c = 0$ и решите

$x^{2} - 22 x - 6 = 0$

$x^{2} - (2 a + 1) x + a^{2} + a = 0$

Решите уравнение относительно $x$

$- 2$ — корень $3 x^{2} + b x - 10 = 0$ . Найдите $b$ и $x_{2}$