Квадратные уравнения · урок 11 из 17 · практикум

Практикум:
квадратное уравнение

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG8U-048

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Хронометраж: теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Итого 45 мин.
Теория (14 мин): титул и цели (сл. 1–2) 2 · образец типа 1 (сл. 5) 3 · образец типа 2 (сл. 7) 3 · образец типа 3 — площадь-модель (сл. 9) 3 · образец типа 4 — параметр (сл. 11) 3. Все образцы, схемы и выкладки показываются полностью.
Практика (31 мин): устные разминки (сл. 3–4) 4 · тип 1 «сами» (сл. 6) 3 · тип 2 «сами» (сл. 8) 3 · тип 3 «сами» (сл. 10) 3 · тип 4 «сами» (сл. 12) 3 · самопроверка, база (сл. 13) 3 · «найди ошибку» (сл. 14) 2 · самопроверка, повышенный уровень и задача из жизни (сл. 15) 3 · самостоятельная работа в 2 вариантах (сл. 16) 4 · ОГЭ, линия 20 (сл. 17) 2 · рефлексия и ДЗ (сл. 18) 1.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения» (17 ч), урок 11/17, единица R03.1 «Квадратное уравнение». Тип П (практикум). Новая теория — уроки ALG8U-038…047 уже пройдены; дальше практикумы ALG8U-049 (формула корней), 050 (число корней), 051 (теорема Виета).
Сегодня формулу корней сознательно не используем: всё решаем преобразованиями, разложением и выделением квадрата. Формулу отрабатываем на следующем практикуме.
Рисунок на титуле — площадь-модель (x + 3)² = x² + 6x + 9, к ней вернёмся на сл. 9.

R03.1

Цели практикума

Сегодня вы научитесь

1Приводить

любое уравнение к виду $a x^{2} + b x + c = 0$ и решать, квадратное ли оно (ПР-19)

2Решать неполные

квадратные уравнения, которые «спрятаны» за скобками и дробями (ПР-19)

3Выделять квадрат

и решать полное уравнение без формулы корней (ПР-19, ПР-12)

4Исследовать

уравнения с параметром: когда квадратное, какие корни (ПР-22)

1 мин · теория
ПР-19 (ФРП): «Решать квадратные уравнения».
ПР-12: «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений» — выделение полного квадрата.
ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
Виды деятельности ФРП: «Распознавать уравнения с одной переменной, квадратные уравнения. Определять равносильные уравнения. Применять свойства уравнений с одной переменной… решать квадратные уравнения – полные и неполные».

R03.1

Разминка · устно

Квадратное уравнение или нет?

5 - x^{2} = 0

да: $a = - 1, b = 0, c = 5$

x^{3} + 2 x^{2} = x^{3} - 1

да: $2 x^{2} + 1 = 0$

\frac{1}{x ^{2}} + x = 2

нет: $x$ в знаменателе

(x + 1)^{2} = (x - 1)^{2}

нет: $4 x = 0$ — линейное

2 x^{2} = 0

да: $a = 2, b = c = 0$

k x^{2} + 3 x = 0

да, если $k \neq = 0$

2 мин · практика
Ученики поднимают карточки «да/нет», учитель открывает вердикты по одному.
№ 2: x³ уничтожаются — уравнение квадратное. № 4: x² + 2x + 1 = x² − 2x + 1 ⇔ 4x = 0 — линейное (корень 0). Вывод: решать «квадратное или нет» можно только после приведения к стандартному виду.
№ 3: дробно-рациональное уравнение (к ним — в строке R04); квадратным не является. № 5: коэффициент может быть иррациональным.
№ 6: при k = 0 получаем 3x = 0 — линейное. Это мостик к типу 4 (параметр).

R03.1

Разминка · устно

Дополните до полного квадрата и решите

Что добавить, чтобы получился квадрат?

$x^{2} + 8 x + ?$ $16 = (x + 4)^{2}$
$x^{2} - 10 x + ?$ $25 = (x - 5)^{2}$
$x^{2} + 3 x + ?$ $\frac{9}{4} = (x + \frac{3}{2})^{2}$
$9 x^{2} - 12 x + ?$ $4 = (3 x - 2)^{2}$

Найдите корни устно

$x^{2} = 49$ $\pm 7$
$x (x - 6) = 0$ $0; 6$
$(x - 1)^{2} = 0$ $1$
$x^{2} + 4 = 0$ корней нет

R03.1

Тип 1Образец · стандартный вид

Приведите к виду $a x^{2} + b x + c = 0$

(2 x - 1) (x + 3) - (x - 2)^{2} = 3 x + 1

2 x^{2} + 5 x - 3 - (x^{2} - 4 x + 4) = 3 x + 1

шаг 1: раскрыли скобки

x^{2} + 9 x - 7 - 3 x - 1 = 0

шаги 2–3: перенесли, привели подобные

x^{2} + 6 x - 8 = 0

a = 1, b = 6, c = - 8

— приведённое, полное

3 мин · теория
Учитель ведёт образец, класс диктует шаги.
Ошибка шага 1: −(x − 2)² раскрывают как −x² − 4x + 4 — минус перед скобкой меняет знак у каждого слагаемого: −x² + 4x − 4.
Равносильность: перенос слагаемых с противоположным знаком и приведение подобных дают равносильное уравнение — корни не теряются и не появляются.
Если старший коэффициент отрицателен, удобно умножить обе части на −1; если все коэффициенты кратны числу — разделить на него.

R03.1

Тип 1Сами · в парах

Стандартный вид, коэффициенты, вид уравнения

Уравнение	Стандартный вид	$a; b; c$	Вид
$\frac{x ^{2}}{3} - \frac{x - 1}{2} = \frac{x}{6}$	$2 x^{2} - 4 x + 3 = 0$	$2; - 4; 3$	полное
$(x + 2)^{2} = 22 x + 5$	$x^{2} - 3 = 0$	$1; 0; - 3$	приведённое, неполное
$(x - 1)^{3} - x^{3} = 2$	$x^{2} - x + 1 = 0$	$1; - 1; 1$	приведённое, полное
$(2 x - 3) (2 x + 3) - 4 x (x - 1) = 0$	$4 x - 9 = 0$	—	не квадратное

Кубическое на вид уравнение может оказаться квадратным, а квадратное — линейным. Решает стандартный вид.

R03.1

Тип 2Образец · неполное уравнение «под маской»

Сначала упростить — потом узнать вид

\frac{x ^{2} - 4 x}{3} = \frac{x ^{2} + 2 x}{5}

5 x^{2} - 20 x = 3 x^{2} + 6 x

умножили обе части на 15

2 x^{2} - 26 x = 0 \Rightarrow 2 x (x - 13) = 0

c = 0: выносим x за скобки

3 (x^{2} - 2) = (x - 1) (x + 1) + 11

3 x^{2} - 6 = x^{2} + 10

раскрыли скобки

2 x^{2} = 16 \Rightarrow x^{2} = 8

b = 0: сводим к

x^{2} = m

R03.1

Тип 2Сами · решите

Найдите корни (или докажите, что их нет)

$(x - 3)^{2} = 9 - 6 x$ $0$
$(x + 2) (x - 5) + 3 x = 6$ $\pm 4$
$(x + 1)^{2} - 1 = 5 x$ $0; 3$
$(2 x - 1) (2 x + 1) + 5 = 0$ нет корней

R03.1

Тип 3Образец · выделение полного квадрата

$x^{2} + 6 x - 16 = 0$ — достроим квадрат

x^{2} + 6 x = 16

свободный член — вправо

x^{2} + 6 x + 9 = 16 + 9

+9 к обеим частям: «угол» квадрата

(x + 3)^{2} = 25

x + 3 = \pm 5 \Rightarrow x_{1} = 2, x_{2} = - 8

3 мин · теория
Площадь-модель (так решал аль-Хорезми): x² + 6x — это квадрат x × x и две полоски 3 × x. Не хватает угла 3 × 3 = 9.
Общее правило: прибавляем квадрат половины коэффициента при x: (6 : 2)² = 9.
Проверка: 4 + 12 − 16 = 0 ✓; 64 − 48 − 16 = 0 ✓.
Ошибка: прибавить 9 только слева. Вторая ошибка: x + 3 = 5 и «забыть» −5. Рисунок даёт только положительный корень (длина), алгебра — оба.
Это тот же приём, которым выводилась формула корней (ALG8U-039); сегодня отрабатываем его как самостоятельный способ.

R03.1

Тип 3Сами · без формулы корней

Решите выделением полного квадрата

$x^{2} - 10 x + 21 = 0$ $3; 7$
$x^{2} + 4 x - 1 = 0$ $- 2 \pm 5$
$4 x^{2} - 12 x + 5 = 0$ $0, 5; 2, 5$
повыш. $x^{2} - 23 x + 3 = 0$ $3$

Шаблон

x^{2} + p x = (x + \frac{p}{2})^{2} - \frac{p ^{2}}{4}

Если $a \neq = 1$

4 x^{2} - 12 x = (2 x)^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot 3

достроить до $(2 x - 3)^{2}$

R03.1

Тип 4Образец · углублённый уровень · параметр

При каких $a$ уравнение квадратное и имеет корень 2?

a x^{2} - (a^{2} + 1) x + 2 = 0

4 a - 2 (a^{2} + 1) + 2 = 0 \Rightarrow 2 a (2 - a) = 0

подставили

x = 2

a = 0 : - x + 2 = 0

линейное — не подходит

a = 2 : 2 x^{2} - 5 x + 2 = (x - 2) (2 x - 1) = 0

второй корень

x = \frac{1}{2}

3 мин · теория
Шаг 1: x = 2 — корень ⇔ при подстановке получается верное равенство: 4a − 2a² − 2 + 2 = 4a − 2a² = 2a(2 − a) = 0.
Шаг 2 — ловушка: при a = 0 уравнение −x + 2 = 0 имеет корень 2, но оно не квадратное. Условие «квадратное» отсекает a = 0.
Шаг 3: второй корень находим разложением: 2x² − 5x + 2 = 2x² − x − 4x + 2 = x(2x − 1) − 2(2x − 1) = (x − 2)(2x − 1). Проверка x = 0,5: 0,5 − 2,5 + 2 = 0 ✓.
Теорему Виета для второго корня можно упомянуть, но отрабатываем её на практикуме ALG8U-051.

R03.1

Тип 4Сами · параметр

Исследуйте уравнения

При каких $a$ уравнение $(a - 1) x^{2} + 2 x + a^{2} - 1 = 0$ — неполное квадратное? Решите его. $a = - 1$ ; корни $0; 1$
Число 3 — корень уравнения $(k + 1) x^{2} - 4 k x + 3 = 0$ . Найдите $k$ и второй корень. $k = 4$ ; $0, 2$
олимп.Докажите: $x^{2} + 2 a x + 2 a^{2} + 1 = 0$ не имеет корней ни при каком $a$ . $(x + a)^{2} + a^{2} + 1 > 0$

Алгоритм

старший коэффициент $\neq = 0$
условие → уравнение на параметр
найденные значения — проверить
корни — разложением или квадратом

R03.1

Задания с самопроверкой · база и повышенный

Решите в тетради — ответы на экране

Неполные уравнения

база $3 x^{2} - 12 = 0$ $\pm 2$
база $5 x^{2} + 15 x = 0$ $0; - 3$
база $(x - 3) (x + 3) = 2 x^{2} - 25$ $\pm 4$
база $x^{2} + 7 = 0$ корней нет

Выделите полный квадрат

база $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ $2; 4$
база $x^{2} + 2 x - 24 = 0$ $4; - 6$
повыш. $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ $2 \pm 3$
повыш. $9 x^{2} + 6 x - 8 = 0$ $\frac{2}{3}; - \frac{4}{3}$

R03.1

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$x^{2} = 2 x \Rightarrow x = 2$	разделили на $x$ : уравнения не равносильны	$0; 2$
$(x - 3) (x + 1) = 5 \Rightarrow x - 3 = 5$ или $x + 1 = 5$	правило «произведение = 0» — только для нуля	$x^{2} - 2 x - 8 = 0$ : $4; - 2$
$x^{2} + 6 x = 7 \Rightarrow (x + 3)^{2} = 7$	9 прибавили только слева	$(x + 3)^{2} = 16$ : $1; - 7$
$(a - 2) x^{2} + x = 0$ — квадратное при любом $a$	при $a = 2$ получится $x = 0$	при $a \neq = 2$

R03.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Решите и сверьте ответ

база $(x - 4) (x + 4) = 2 x^{2} - 25$ $\pm 3$
база $\frac{x ^{2} + x}{2} = \frac{2 x ^{2} - x}{3}$ $0; 5$
повыш. $x^{2} - 8 x + 7 = 0$ — выделением квадрата $1; 7$
повыш.При каком $c$ число 5 — корень $2 x^{2} - 7 x + c = 0$ ? Найдите второй корень. $c = - 15$ ; $- 1, 5$

практика 5. Картину 30 × 20 см вставили в рамку одинаковой ширины. Площадь с рамкой — 1200 см². Найдите ширину рамки. 5 см

3 мин · практика
Решают в тетради, ответы открываются по клику (взаимопроверка в парах). Задача 5 — из жизни, при нехватке времени перенести в ДЗ.
1) x² − 16 = 2x² − 25 → x² = 9 → x = ±3. Проверка x = 3: −7 = 18 − 25 ✓.
2) 3x² + 3x = 4x² − 2x → x² − 5x = 0 → x = 0 или x = 5. Проверка x = 5: 30/2 = 15; 45/3 = 15 ✓.
3) (x − 4)² = 9 → x − 4 = ±3 → x = 1 или x = 7.
4) 50 − 35 + c = 0 → c = −15; 2x² − 7x − 15 = (x − 5)(2x + 3), второй корень −1,5. Проверка: 4,5 + 10,5 − 15 = 0 ✓.
5) (30 + 2x)(20 + 2x) = 1200 → 4x² + 100x − 600 = 0 → x² + 25x − 150 = 0 → (x + 12,5)² = 306,25 = 17,5² → x = 5 (x = −30 не подходит по смыслу). Ответ: 5 см. Проверка: 40·30 = 1200 ✓. Можно разложением: (x − 5)(x + 30) = 0.

R03.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — по 4 задания

Вариант 1

$(x - 5) (x + 5) = 2 x^{2} - 41$ $\pm 4$
$2 x^{2} - 7 x = x^{2} + x$ $0; 8$
$x^{2} + 4 x - 12 = 0$ — квадратом $2; - 6$
Число 2 — корень $x^{2} + b x - 10 = 0$ . Найдите $b$ и второй корень. $b = 3$ ; $- 5$

Вариант 2

$(x - 6) (x + 6) = 2 x^{2} - 85$ $\pm 7$
$3 x^{2} + 5 x = 2 x^{2} - 4 x$ $0; - 9$
$x^{2} - 6 x - 16 = 0$ — квадратом $8; - 2$
Число 3 — корень $x^{2} + b x - 21 = 0$ . Найдите $b$ и второй корень. $b = 4$ ; $- 7$

4 мин · практика
3 минуты на решение, затем взаимопроверка в парах по ответам на экране (открывать по клику).
Вариант 1: 1) x² − 25 = 2x² − 41 → x² = 16 → ±4. 2) x² − 8x = 0 → 0; 8. 3) (x + 2)² = 16 → x + 2 = ±4 → 2; −6. 4) 4 + 2b − 10 = 0 → b = 3; x² + 3x − 10 = (x − 2)(x + 5) → второй корень −5. Проверка: 25 − 15 − 10 = 0 ✓.
Вариант 2: 1) x² − 36 = 2x² − 85 → x² = 49 → ±7. 2) x² + 9x = 0 → 0; −9. 3) (x − 3)² = 25 → x − 3 = ±5 → 8; −2. 4) 9 + 3b − 21 = 0 → b = 4; x² + 4x − 21 = (x − 3)(x + 7) → второй корень −7. Проверка: 49 − 28 − 21 = 0 ✓.

R03.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20 (часть 2)

Решите уравнение

(x^{2} - 25)^{2} + (x^{2} + 3 x - 10)^{2} = 0

Сумма квадратов равна 0 ⇔ оба квадрата равны 0 одновременно.

2 мин · практика
Ответ: −5. Решение: (x² − 25)² ≥ 0 и (x² + 3x − 10)² ≥ 0, сумма равна 0 только если оба выражения равны 0. x² = 25 ⇔ x = ±5; x² + 3x − 10 = 0 ⇔ x = −5 или x = 2. Общее решение: x = −5.
Проверка: 25 − 25 = 0; 25 − 15 − 10 = 0 ✓. При x = 5: 25 + 15 − 10 = 30 ≠ 0; при x = 2: 4 − 25 ≠ 0.
Линия 20 ОГЭ (часть 2): оформление с обоснованием «сумма неотрицательных слагаемых равна нулю». Типичная ошибка — раскрыть скобки и получить уравнение 4-й степени; или записать в ответ объединение {−5; 5; 2}.
На прямых масштаб: 36 px на единицу (точки −5, 2, 5).

рефлексия · ДЗ

Итог практикума

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

С чего начинать, если уравнение «не похоже» на квадратное?
Почему нельзя делить на $x$ ?
Что прибавить к $x^{2} + p x$ , чтобы получить квадрат?

Домашнее задание

$(x + 2)^{3} - x^{3} = 8$
$x^{2} + 2 x - 15 = 0$ — выделением квадрата
При каких $a$ число $- 1$ — корень $a x^{2} + (a^{2} + 1) x + 1 = 0$ , а уравнение квадратное?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

1 мин · практика (рефлексия, ДЗ)
Ответы на вопросы: привести к стандартному виду; можно потерять корень x = 0 (уравнения перестают быть равносильными); (p/2)².
ДЗ 1) x³ + 6x² + 12x + 8 − x³ = 8 → 6x² + 12x = 0 → 6x(x + 2) = 0 → 0 и −2. Проверка x = −2: 0 − (−8) = 8 ✓.
ДЗ 2) (x + 1)² = 16 → x = 3 или x = −5.
ДЗ 3) a − (a² + 1) + 1 = a − a² = a(1 − a) = 0 → a = 0 (линейное x + 1 = 0 — исключаем) или a = 1: x² + 2x + 1 = (x + 1)² = 0 — единственный корень −1. Ответ: a = 1.
Следующий урок ALG8U-049 — практикум «Формула корней квадратного уравнения».

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-048 · Практикум: Квадратное уравнение

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения», 17 ч · урок 11/17 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R03.1 «Квадратное уравнение» → 2–18
Результаты	ПР-19 (решать квадратные уравнения) → 3–10, 13–18 · ПР-12 (тождественные преобразования рациональных выражений) → 4–6, 9–10, 13 · ПР-22 (исследование уравнений: есть ли решения, сколько) → 8, 11–12, 17 · ПР-23 (модель задачи, интерпретация) → 15 · кодификатора REQ у курса нет
Соотношение	теория 14 мин (сл. 1–2, 5, 7, 9, 11) · практика 31 мин (69 %): сл. 3–4, 6, 8, 10, 12–18
Вне урока	формула корней (R03.2) — ALG8U-049; число корней по дискриминанту (R03.3) — ALG8U-050; теорема Виета (R03.4) — ALG8U-051; уравнения, сводимые к квадратным (R03.5) — ALG8U-052; параметр (R03.6–R03.7) — ALG8U-053
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:квадратное уравнение

Сегодня вы научитесь

1Приводить

2Решать неполные

3Выделять квадрат

4Исследовать

Квадратное уравнение или нет?

Дополните до полного квадрата и решите

Что добавить, чтобы получился квадрат?

Найдите корни устно

Приведите к виду ax2+bx+c=0

Стандартный вид, коэффициенты, вид уравнения

Сначала упростить — потом узнать вид

Найдите корни (или докажите, что их нет)

x2+6x−16=0 — достроим квадрат

Решите выделением полного квадрата

Шаблон

Если a=1

При каких a уравнение квадратное и имеет корень 2?

Исследуйте уравнения

Алгоритм

Решите в тетради — ответы на экране

Неполные уравнения

Выделите полный квадрат

Найдите ошибку

Решите и сверьте ответ

Два варианта — по 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Решите уравнение

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-048 · Практикум: Квадратное уравнение

Практикум:
квадратное уравнение

Приведите к виду $a x^{2} + b x + c = 0$

$x^{2} + 6 x - 16 = 0$ — достроим квадрат

Если $a \neq = 1$

При каких $a$ уравнение квадратное и имеет корень 2?