Квадратные уравнения · урок 9 из 17 · новый материал

Уравнение как
математическая модель
реальной ситуации

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG8U-046

0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения» (17 ч), урок 9/17, единица R03.9 «Уравнение как математическая модель реальной ситуации». Тип Н. До этого (ALG8U-042…045) — уравнения, сводимые к квадратным, параметры, модуль; следующий урок (ALG8U-047) — систематическое решение текстовых задач.
Хронометраж (45 мин): теория — цели 1 (сл. 2) · проблема 2 (сл. 5) · схема моделирования 2 (сл. 6) · ограничения 1 (сл. 7) · образец «дорожка» 2 (сл. 9) · турнир 2 (сл. 11) · выбор переменной 2 (сл. 13) · исследование модели 2 (сл. 15); практика — разминка 2 (сл. 3) · словарь 2 (сл. 4) · сам: ограничения 2 (сл. 8) · по образцу 3 (сл. 10) · сам: комбинаторика 2 (сл. 12) · сам: середина 2 (сл. 14) · соотнесите 3 (сл. 16) · найди ошибку 2 (сл. 17) · самопроверка 3 + 3 (сл. 18, 19) · ОГЭ 2 (сл. 20) · самостоятельная 4 (сл. 21) · итог 1 (сл. 22).
Рисунок: цикл моделирования — от задачи к уравнению, от корней к ответу и снова к условию (проверка по смыслу). Это идея урока.

R03.9

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Переводить

словесное условие на язык уравнения — строить модель (ПР-23)

Решать модель

сводить её к квадратному уравнению и решать (ПР-19, ПР-13)

Интерпретировать

отбирать корни по смыслу задачи и проверять ответ (ПР-23)

Исследовать

возможна ли ситуация вообще — по знаку $D$ (ПР-22)

1 мин · теория
ПР-23 (ФРП): «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели с помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат».
ПР-19: «Решать квадратные уравнения». ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
ПР-22: «Проводить исследования уравнений… устанавливать, имеет ли уравнение… решения, если имеет, то сколько».
Вид деятельности ФРП: «Решать текстовые задачи».

повторение: квадратные уравнения

Разминка · устно

Решаем в уме — ответ по клику

x^{2} = 49

корни

7; - 7

x^{2} - x - 12 = 0

по теореме Виета

4; - 3

x^{2} + 5 x - 6 = 0

по теореме Виета

1; - 6

(x - 6)^{2} = 0

корни

6

x^{2} + 4 = 0

корнинет корней

x^{2} - 20 x + 96

найдите

\frac{D}{4}

\frac{D}{4} = 4

20

минсколько часов?

\frac{1}{3}

ч

15 %

от

x

запишите

0, 15 x

повторение: перевод на язык алгебры

Вспомним · словарь «русский → алгебра»

Запишите выражением, если число — $x$

Словами	Алгебра
на 5 больше, чем $x$	$x + 5$
на 20 % больше, чем $x$	$1, 2 x$
следующее натуральное число	$x + 1$
произведение числа и следующего за ним равно $56$	$x (x + 1) = 56$
квадрат числа на $12$ больше самого числа	$x^{2} = x + 12$

R03.9

Проблема · участок под сад

Площадь $300$ м², длина на $5$ м больше ширины. Размеры?

x (x + 5) = 300

площадь = длина · ширина

x^{2} + 5 x - 300 = 0, D = 1225 = 3 5^{2}

x_{1} = 15, x_{2} = - 20

Что делать с корнем

- 20

? Уравнение «не знает», что

x

— длина!

R03.9

Новый материал · три этапа

Математическое моделирование

2 мин · теория
Записать схему в тетрадь. Этап 1 — самый трудный: выбрать неизвестное, выразить через него остальные величины, записать ограничения, составить равенство.
Этап 2 — «чистая математика»: здесь работают все приёмы уроков 1–8 (формула корней, D/4, Виета, замена).
Этап 3 — вернуться к ситуации: какие корни имеют смысл, что именно спрашивали, совпадают ли единицы измерения.
Вопрос: почему цикл замкнут? (Ответ проверяют по условию задачи, а не по уравнению: ошибка могла быть уже в модели.)

R03.9

Этап 1 · ограничения — часть модели

Какие значения может принимать неизвестное?

Величина	Ограничение
длина, площадь, скорость	$x > 0$
время после броска	$t \geq 0$
число людей, команд, страниц	$n \in N$
вырез $3$ см с каждого края листа $a$	$a > 6$
«задумали число»	любое $x$

R03.9

Сам · этап 3 · отбор корней

Модель уже решена. Какой ответ у задачи?

Ситуация	Корни модели	Ответ
$x$ — скорость катера, км/ч	$18; - 2$	$18$ км/ч
$n$ — число учеников в классе	$7, 5; - 8$	так не бывает
задумали число $x$	$3; - 5$	$3$ или $- 5$
из листа $a$ вырезали по углам квадраты $4 \times 4$	$10; 2$	$a = 10$
$t$ — когда мяч упадёт на землю, с	$0; 2$	$t = 2$ с

R03.9

Образец · все три этапа

Клумба $6 \times 4$ м и дорожка: площади равны. Ширина дорожки?

1

(6 + 2 x) (4 + 2 x) = 48, x > 0

участок = 24 + 24

2

x^{2} + 5 x - 6 = 0

x_{1} = 1, x_{2} = - 6

3

x = 1

м

- 6 < 0

— не подходит; проверка:

8 \cdot 6 = 48

R03.9

Образец → сам · рамки и дорожки

Решите по образцу «дорожки» — все три этапа

базаКартина $20 \times 30$ см в рамке одинаковой ширины; вместе с рамкой площадь $1200$ см². Ширина рамки? $5$ см
базаБассейн $10 \times 5$ м окружён дорожкой одинаковой ширины площадью $54$ м². Ширина дорожки? $1, 5$ м
повыш.Газон $12 \times 8$ м пересекают две дорожки одинаковой ширины (см. рисунок). Трава занимает $77$ м². Ширина дорожек? $1$ м

R03.9

Этап 3 · интерпретация · натуральное неизвестное

Турнир «каждый с каждым»: сыграно $45$ партий. Сколько участников?

\frac{n ( n - 1 )}{2} = 45, n \in N

n^{2} - n - 90 = 0, D = 361 = 1 9^{2}

n = 10

✓

n = - 9

✗

А если бы сыграно

40

партий?

D = 321

— не квадрат

R03.9

Образец → сам · натуральное неизвестное

Составьте модель и найдите $n$

Подсказки

«каждый с каждым» (партии, рукопожатия):

\frac{n ( n - 1 )}{2}

«каждый каждому» (фото, открытки):

n (n - 1)

диагонали

n

-угольника:

\frac{n ( n - 3 )}{2}

базаВ турнире в один круг сыграно $36$ партий. Сколько участников? $9$
базаКаждый участник группы отправил фото каждому, всего $132$ фото. Сколько человек? $12$
базаУ выпуклого многоугольника $20$ диагоналей. Сколько у него сторон? $8$
повыш.Бывает ли многоугольник с $30$ диагоналями? нет

R03.9

Углублённый уровень · удачный выбор неизвестного

Три последовательных натуральных числа, сумма квадратов $110$

Первое число — $x$

x^{2} + (x + 1)^{2} + (x + 2)^{2} = 110

3 x^{2} + 6 x - 105 = 0

x^{2} + 2 x - 35 = 0 \Rightarrow x = 5

Среднее число — $n$

(n - 1)^{2} + n^{2} + (n + 1)^{2} = 110

3 n^{2} + 2 = 110

n^{2} = 36 \Rightarrow n = 6

Одна ситуация — разные модели. Симметрия убирает

x

в первой степени:

5, 6, 7

R03.9

Образец → сам · обозначаем «середину»

Выберите неизвестное так, чтобы модель была проще

Образец

числа с разностью

4

:

n - 2

и

n + 2

их произведение

60

:

n^{2} - 4 = 60

n = 8 : 6

и

10

базаПроизведение двух последовательных нечётных натуральных чисел равно $143$ . Найдите их. $11$ и $13$
базаРазность двух натуральных чисел $6$ , произведение $112$ . Найдите их. $8$ и $14$
повыш.Сумма квадратов трёх последовательных чётных натуральных чисел равна $200$ . Найдите их. $6, 8, 10$

R03.9

Исследование · возможна ли ситуация?

Забор $40$ м. Какую площадь $S$ можно огородить прямоугольником?

x (20 - x) = S

стороны

x

и

20 - x

x^{2} - 20 x + S = 0, \frac{D}{4} = 100 - S

S = 96 : x = 8

или

12

два корня — один участок

8 \times 12

S = 120 : \frac{D}{4} < 0

так огородить нельзя

S \leq 100

; максимум — квадрат

10 \times 10

2 мин · теория
Полупериметр 20 м, стороны x и 20 − x (0 < x < 20). Модель: x² − 20x + S = 0.
S = 96: D/4 = 4, x = 10 ± 2 — это 8 и 12; оба корня дают один и тот же участок (ширина 8, длина 12 или наоборот). Интерпретация: два корня ≠ два ответа.
S = 120: D/4 = −20 < 0 — корней нет, такого участка не бывает. Вывод: участок существует при D/4 ≥ 0, т. е. S ≤ 100; наибольшая площадь — у квадрата 10 × 10 (связь с уроком ALG8U-040 о числе корней, ПР-22).
График S = x(20 − x) — только иллюстрация; квадратичную функцию изучаем позже.

R03.9

Закрепление · только этап 1

Соотнесите ситуацию и модель

Сторону квадрата увеличили на $2$ см, площадь стала $49$ см²
Квадрат числа на $12$ больше самого числа
В турнире «каждый с каждым» сыграно $28$ партий
Длина прямоугольника на $2$ больше ширины, площадь $48$

1)

x (x + 2) = 48

2)

(x + 2)^{2} = 49

3)

x^{2} - x = 12

4)

x (x - 1) = 56

5)

x^{2} + 2 = 49

Решите. Где подходят оба корня?

R03.9

Типичные ошибки

Найдите ошибку в ответе

Запись ученика	Что не так	Верно
участок: $x (x + 5) = 300$ , ответ $15$ и $- 20$	длина не бывает $< 0$	$15$ м и $20$ м
«найдите периметр»: ответ $15$	нашли $x$ , а не то, что спросили	$P = 2 (15 + 20) = 70$ м
$15$ км/ч, $20$ мин: $s = 15 \cdot 20 = 300$ км	разные единицы	$15 \cdot \frac{1}{3} = 5$ км
квадрат числа на $12$ больше числа: только $4$	число может быть $< 0$	$4$ или $- 3$
дорожка: $(6 + x) (4 + x) = 48$	дорожка с двух сторон	$(6 + 2 x) (4 + 2 x) = 48$

R03.9

Задания с самопроверкой 1 · все три этапа

Составьте модель, решите, интерпретируйте

базаОдна сторона прямоугольника на $3$ см больше другой, площадь $70$ см². Найдите стороны. $7$ и $10$ см
базаПроизведение двух последовательных натуральных чисел равно $156$ . Найдите их. $12$ и $13$
повыш.Каждый участник встречи пожал руку каждому, всего $66$ рукопожатий. Сколько участников? $12$
повыш.Из квадратного листа вырезали по углам квадраты $3 \times 3$ см и согнули коробку объёмом $300$ см³. Сторона листа? $16$ см
практикаВысота мяча $h = 2 + 9 t - 5 t^{2}$ (м, с). Когда он на высоте $6$ м? $0, 8$ с и $1$ с

1

x

, ограничение, уравнение

2корни

3отбор, проверка, ответ на вопрос

R03.9

Задания с самопроверкой 2 · исследование модели

Возможна ли ситуация? Ответы — по клику

базаМожно ли из проволоки $24$ см согнуть прямоугольник площадью $35$ см²? да, $5 \times 7$
базаА площадью $40$ см²? нет: $\frac{D}{4} < 0$
базаПрямоугольник: $S = 60$ , $P = 32$ . Стороны? $6$ и $10$

повыш.Какую наибольшую площадь можно огородить проволокой $24$ см? $36$ см²
повыш.Может ли в турнире «каждый с каждым» быть $50$ партий? нет
практикаВысота мяча $h = 20 t - 5 t^{2}$ (м, с). Поднимется ли он на $15$ м? На $25$ м? $15$ — да; $25$ — нет

3 мин · практика
1) Полупериметр 12: x(12 − x) = 35 → x² − 12x + 35 = 0, D/4 = 36 − 35 = 1, x = 5 или 7 → да, 5 × 7 см. 2) x² − 12x + 40 = 0, D/4 = 36 − 40 = −4 < 0 → нельзя. 3) x(16 − x) = 60 → x² − 16x + 60 = 0, D/4 = 64 − 60 = 4, x = 6 или 10 → стороны 6 и 10 (6 · 10 = 60, 2 · 16 = 32 ✓).
4) x² − 12x + S = 0 имеет корни при D/4 = 36 − S ≥ 0, т. е. S ≤ 36; наибольшая площадь 36 см² — квадрат 6 × 6. 5) n(n − 1)/2 = 50 → n² − n − 100 = 0, D = 401 — не квадрат, натурального n нет → не может.
6) 20t − 5t² = 15 → t² − 4t + 3 = 0 → t = 1 с и t = 3 с (на подъёме и на спуске) — да. 20t − 5t² = 25 → t² − 4t + 5 = 0, D = 16 − 20 = −4 < 0 → на 25 м мяч не поднимется (наибольшая высота 20 м при t = 2).

R03.9 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 12

Расчёт по формуле

Кинетическая энергия тела (в джоулях) вычисляется по формуле

E = \frac{m v ^{2}}{2}

где $m$ — масса тела (в кг), $v$ — скорость (в м/с). Найдите $v$ (в м/с), если $E = 100$ Дж, $m = 8$ кг.

План

подставить числа
решить $v^{2} = \dots$
отобрать корень: $v \geq 0$

Ответ: 5

R03.9

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта: модель → корни → ответ

Вариант 1

Площадь прямоугольника $40$ см², одна сторона на $3$ см больше другой. Стороны? $5$ и $8$ см
Произведение двух последовательных натуральных чисел $210$ . Числа? $14$ и $15$
В турнире «каждый с каждым» $55$ партий. Участников? $11$
* Проволока $20$ см: прямоугольник площадью $26$ см²? нельзя

Вариант 2

Площадь прямоугольника $54$ см², одна сторона на $3$ см больше другой. Стороны? $6$ и $9$ см
Произведение двух последовательных натуральных чисел $182$ . Числа? $13$ и $14$
Все участники пожали друг другу руки, всего $78$ рукопожатий. Участников? $13$
* Проволока $28$ см: прямоугольник площадью $48$ см²? да, $6 \times 8$

4 мин · практика (3 мин работа, 1 мин проверка по клику; задача * — для быстрых)
В-1: 1) x(x + 3) = 40 → x² + 3x − 40 = 0, D = 169, x = 5 (−8 ✗) → 5 и 8 см. 2) x(x + 1) = 210 → x² + x − 210 = 0, D = 841 = 29², x = 14 (−15 ✗) → 14 и 15. 3) n(n − 1)/2 = 55 → n² − n − 110 = 0, D = 441 = 21², n = 11 (−10 ✗). 4*) x(10 − x) = 26 → x² − 10x + 26 = 0, D/4 = 25 − 26 = −1 < 0 → нельзя (максимум 25 см²).
В-2: 1) x(x + 3) = 54 → x² + 3x − 54 = 0, D = 225, x = 6 (−9 ✗) → 6 и 9 см. 2) x(x + 1) = 182 → x² + x − 182 = 0, D = 729 = 27², x = 13 (−14 ✗) → 13 и 14. 3) n(n − 1)/2 = 78 → n² − n − 156 = 0, D = 625 = 25², n = 13 (−12 ✗). 4*) x(14 − x) = 48 → x² − 14x + 48 = 0, D/4 = 49 − 48 = 1, x = 6 или 8 → да, 6 × 8 см.
Критерий: 3 верных (с отбором корней и ответом на вопрос) — «5», 2 — «4», 1 — «3»; задача * — дополнительная оценка. Можно взаимопроверку соседей.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Назовите три этапа моделирования.
Откуда берутся ограничения на $x$ ?
Что значит $D < 0$ в задаче?

Домашнее задание

Прямоугольник: $S = 96$ м², $P = 40$ м. Стороны?
Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел $181$ . Найдите их.
* Можно ли из проволоки $30$ см согнуть прямоугольник площадью $60$ см²?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-046 · Уравнение как математическая модель реальной ситуации

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения», 17 ч · урок 9/17 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R03.9 «Уравнение как математическая модель реальной ситуации» → 2, 5–22 (повторение: квадратные уравнения → 3, перевод на язык алгебры → 4)
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 2, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 15) · практика 31 мин (сл. 3, 4, 8, 10, 12, 14, 16–22) · 69 % практики
Результаты	ПР-23 (словесная формулировка → модель, интерпретация результата) → 4–14, 16–22 · ПР-19 (решать квадратные уравнения) → 3, 5, 9–14, 18, 19, 21 · ПР-22 (исследование: имеет ли уравнение решения) → 11, 12, 15, 19, 21, 22 · ПР-13 (преобразования для задач из практики и смежных предметов) → 9, 10, 13, 14, 20 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	систематическое решение текстовых задач (движение, работа, проценты) — ALG8U-047; задачи, сводящиеся к дробно-рациональным уравнениям, — строка R05; квадратичная функция — в своём разделе (график на сл. 15 — иллюстрация)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Уравнение какматематическая модельреальной ситуации

Сегодня вы научитесь

Переводить

Решать модель

Интерпретировать

Исследовать

Решаем в уме — ответ по клику

Запишите выражением, если число — x

Площадь 300 м², длина на 5 м больше ширины. Размеры?

Математическое моделирование

Какие значения может принимать неизвестное?

Модель уже решена. Какой ответ у задачи?

Клумба 6×4 м и дорожка: площади равны. Ширина дорожки?

Решите по образцу «дорожки» — все три этапа

Турнир «каждый с каждым»: сыграно 45 партий. Сколько участников?

Составьте модель и найдите n

Подсказки

Три последовательных натуральных числа, сумма квадратов 110

Первое число — x

Среднее число — n

Выберите неизвестное так, чтобы модель была проще

Образец

Забор 40 м. Какую площадь S можно огородить прямоугольником?

Соотнесите ситуацию и модель

Найдите ошибку в ответе

Составьте модель, решите, интерпретируйте

Возможна ли ситуация? Ответы — по клику

Расчёт по формуле

План

Два варианта: модель → корни → ответ

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-046 · Уравнение как математическая модель реальной ситуации

Уравнение как
математическая модель
реальной ситуации

Запишите выражением, если число — $x$

Площадь $300$ м², длина на $5$ м больше ширины. Размеры?

Клумба $6 \times 4$ м и дорожка: площади равны. Ширина дорожки?

Турнир «каждый с каждым»: сыграно $45$ партий. Сколько участников?

Составьте модель и найдите $n$

Три последовательных натуральных числа, сумма квадратов $110$

Первое число — $x$

Среднее число — $n$

Забор $40$ м. Какую площадь $S$ можно огородить прямоугольником?