Квадратные уравнения · урок 8 из 17 · новый материал

Квадратные уравнения,
содержащие
знак модуля

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG8U-045

0,5 мин · теория
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения» (17 ч), урок 8/17, единица R03.8 «Решение квадратных уравнений, содержащих знак модуля». Тип Н. Перед этим — уравнения с параметрами (ALG8U-043, 044), после — уравнение как модель реальной ситуации (ALG8U-046).
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин. Теория — сл. 1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 17 (все теоретические слайды сохранены полностью: определения, способы, схемы, графики); практика — разминка (3), «образец → сам» после каждого нового способа (7, 9, 11, 13, 18), задания с самопроверкой (15, 22), исследование в парах (19), найдите ошибку (20), формат ОГЭ (21), самостоятельная работа (23), рефлексия (24). Если не успеваете — сл. 19 и задание 6 сл. 22 задать на дом.
Рисунок: график y = |x² − 4| − 1 (часть параболы отражена вверх) и прямая — три общие точки. Идея урока: модуль «переламывает» параболу.

R03.8

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Заменять

$∣ x ∣ = t, t \geq 0$ — и сводить к квадратному уравнению (ПР-19)

Раскрывать модуль

на промежутках и проверять, подходит ли корень (ПР-19)

Решать

уравнения $∣ f (x) ∣ = a$ и $∣ f (x) ∣ = g (x)$ (ПР-19)

Исследовать по графику

число корней в зависимости от параметра (ПР-22, ПР-26)

0,5 мин · теория
ПР-19 (ФРП): «Решать квадратные уравнения».
ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
ПР-26: «Строить графики функций, описывать свойства числовой функции по её графику» — здесь только как инструмент исследования (график y = |f(x)|).
Виды деятельности ФРП: «Решать квадратные уравнения – полные и неполные», «Проводить простейшие исследования квадратных уравнений».

повторение: модуль, квадратные уравнения

Разминка · устно

Вспомним всё, что понадобится

$∣ - 7∣ + ∣3∣ = ?$ $10$
$∣ x ∣ = 4$ $x = \pm 4$
$x^{2} = 9$ $x = \pm 3$
Сколько корней у $x^{2} + 4 = 0$ ? ни одного

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$ $2; 3$
$x^{2} + x - 6 = 0$ $2; - 3$
При каких $x$
$∣ x - 3∣ = x - 3$ ? $x \geq 3$

повторение: модуль числа

Вспомним · модуль числа

Модуль — расстояние до нуля

∣ a ∣ = {a, - a, a \geq 0 a < 0

Уравнение	Корни
$∣ x ∣ = 5$	$x = \pm 5$
$∣ x ∣ = 0$	$x = 0$
$∣ x ∣ = - 2$	корней нет
$∣ x ∣^{2} = ?$	$x^{2}$

R03.8

Проблема · квадрат + модуль

Сколько корней у $x^{2} - 5∣ x ∣ + 6 = 0$ ?

x \to - x

:

(- x)^{2} - 5∣ - x ∣ + 6

то же самое выражениекорни парами:

x_{0}

и

- x_{0}

Как найти корни алгебраически, без графика?

1 мин · теория
Если подставить −x вместо x, выражение не меняется: (−x)² = x², |−x| = |x|. Значит, график симметричен относительно оси y, и вместе с корнем x₀ корнем будет −x₀.
Сначала спросить: «Подберите корень» — найдут 2 и 3, вопрос — нет ли ещё? График подсказывает: четыре корня ±2, ±3.
Проблема урока: построить точный график сложно; нужен алгебраический метод. Минимум функции здесь −0,25 при x = ±2,5 — на рисунке видно, что «ямки» неглубокие.

R03.8

Способ 1 · замена $t = ∣ x ∣$

$x^{2} = ∣ x ∣^{2}$ — значит, это квадратное уравнение относительно $∣ x ∣$

∣ x ∣^{2} - 5∣ x ∣ + 6 = 0

t = ∣ x ∣, t \geq 0 : t^{2} - 5 t + 6 = 0

t_{1} = 2, t_{2} = 3

оба

\geq 0

— подходят

∣ x ∣ = 2

или

∣ x ∣ = 3

x = \pm 2; \pm 3

— четыре корня

Ещё пример

x^{2} + 2∣ x ∣ - 8 = 0

t^{2} + 2 t - 8 = 0

$t = 2$ ✓, $t = - 4$ ✗ (ведь $t \geq 0$ )

Ответ: $x = \pm 2$

R03.8

Образец → сам · замена $t = ∣ x ∣$

Решите заменой $t = ∣ x ∣, t \geq 0$

Образец: $x^{2} - 3∣ x ∣ - 4 = 0$

t^{2} - 3 t - 4 = 0

t = 4

✓

, t = - 1

✗

∣ x ∣ = 4 : x = \pm 4

заменить → решить → отбросить $t < 0$ → $x = \pm t$

Сами:

$x^{2} - 6∣ x ∣ + 5 = 0$ $\pm 1; \pm 5$
$x^{2} + ∣ x ∣ - 6 = 0$ $\pm 2$
$x^{2} - 3∣ x ∣ = 0$ $0; \pm 3$
повыш. $2 x^{2} - 5∣ x ∣ + 2 = 0$
$\pm \frac{1}{2}; \pm 2$

R03.8

Способ 2 · раскрываем модуль по определению

$x^{2} - 3∣ x - 1∣ - 1 = 0$

x^{2} - 3 (1 - x) - 1 = 0

x^{2} + 3 x - 4 = 0

x = - 4

✓

, x = 1

✗

1 < 1

— неверно

x^{2} - 3 (x - 1) - 1 = 0

x^{2} - 3 x + 2 = 0

x = 1

✓

, x = 2

✓оба

\geq 1

Ответ: $- 4; 1; 2$

R03.8

Образец → сам · промежутки

Раскройте модуль на двух промежутках

Образец: $x^{2} + ∣ x - 2∣ - 4 = 0$

x \geq 2 : x^{2} + x - 6 = 0

x = 2

✓,

x = - 3

✗

x < 2 : x^{2} - x - 2 = 0

x = 2

✗,

x = - 1

✓

Ответ: $- 1; 2$

Сами:

$x^{2} - 4∣ x - 1∣ - 1 = 0$
$- 5; 1; 3$
$x^{2} - ∣ x + 2∣ - 4 = 0$
$- 2; 3$
повыш. $x^{2} + 2∣ x - 3∣ - 9 = 0$
$- 1; 3$

2,5 мин · практика
Образец: x ≥ 2: |x − 2| = x − 2, x² + x − 6 = 0 → 2 ✓ (2 ≥ 2), −3 ✗. x < 2: |x − 2| = 2 − x, x² − x − 2 = 0 → 2 ✗ (2 < 2 неверно), −1 ✓. Проверка: 1 + 3 − 4 = 0 ✓; 4 + 0 − 4 = 0 ✓.
1) x ≥ 1: x² − 4x + 3 = 0 → 1 ✓, 3 ✓. x < 1: x² + 4x − 5 = 0 → 1 ✗, −5 ✓. Ответ: −5; 1; 3. Проверка x = −5: 25 − 24 − 1 = 0 ✓.
2) x ≥ −2: x² − x − 6 = 0 → 3 ✓, −2 ✓. x < −2: x² + x − 2 = 0 → 1 ✗, −2 ✗. Ответ: −2; 3. Проверка: 9 − 5 − 4 = 0 ✓; 4 − 0 − 4 = 0 ✓.
3) x ≥ 3: x² + 2x − 15 = 0 → 3 ✓, −5 ✗. x < 3: x² − 2x − 3 = 0 → 3 ✗, −1 ✓. Ответ: −1; 3. Проверка x = −1: 1 + 8 − 9 = 0 ✓.

R03.8

Тип 1 · модуль равен числу

$∣ f (x) ∣ = a$ : смотрим на знак $a$

∣ x^{2} - 2 x ∣ = 3

3 > 0

— два уравнения

x^{2} - 2 x = 3 : x = 3; x = - 1

x^{2} - 2 x = - 3 : D < 0

корней нет

Ответ: $- 1; 3$

R03.8

Образец → сам · $∣ f (x) ∣ = a$

Модуль равен числу: сначала знак $a$

Образец: $∣ x^{2} - 5 x ∣ = 6$

6 > 0

:

x^{2} - 5 x = 6

или

x^{2} - 5 x = - 6

x^{2} - 5 x - 6 = 0 : 6; - 1

x^{2} - 5 x + 6 = 0 : 2; 3

Ответ: $- 1; 2; 3; 6$

Сами:

$∣ x^{2} - 10∣ = 6$ $\pm 2; \pm 4$
$∣ x^{2} + 4 x ∣ = - 5$ корней нет
$∣ x^{2} - 4 x ∣ = 0$ $0; 4$
повыш. $∣ x^{2} + 2 x - 3∣ = 5$
$- 4; 2$

R03.8

Тип 2 · модуль равен выражению

$∣ f (x) ∣ = g (x)$ : сначала условие $g (x) \geq 0$

∣ f ∣ = g ⟺ {g \geq 0, f = g или f = - g

∣ x^{2} - 4∣ = 3 x \Rightarrow x \geq 0

x^{2} - 3 x - 4 = 0 : 4

✓

, - 1

✗

x^{2} + 3 x - 4 = 0 : 1

✓

, - 4

✗

Ответ: $1; 4$

R03.8

Образец → сам · $∣ f ∣ = g$ и $∣ f ∣ = ∣ g ∣$

Не забудьте условие $g (x) \geq 0$

Образец: $∣ x^{2} - 2∣ = x$

условие:

x \geq 0

x^{2} - x - 2 = 0 : 2

✓

, - 1

✗

x^{2} + x - 2 = 0 : 1

✓

, - 2

✗

Ответ: $1; 2$

Сами:

$∣ x^{2} - 6∣ = x$ $2; 3$
$∣ x^{2} - 3 x ∣ = 2 x$ $0; 1; 5$
$∣ x^{2} - 4∣ = ∣ x + 2∣$ $- 2; 1; 3$
повыш. $∣ x^{2} + 1∣ = x - 1$
корней нет

2 мин · практика
Образец: x ≥ 0. x² − 2 = x → 2; −1 ✗. x² − 2 = −x → 1; −2 ✗. Проверка: |4 − 2| = 2 ✓; |1 − 2| = 1 ✓.
1) x ≥ 0. x² − x − 6 = 0 → 3; −2 ✗. x² + x − 6 = 0 → 2; −3 ✗. Ответ: 2; 3 (|4 − 6| = 2 ✓; |9 − 6| = 3 ✓).
2) x ≥ 0. x² − 5x = 0 → 0; 5. x² − x = 0 → 0; 1. Ответ: 0; 1; 5 (|1 − 3| = 2 ✓; |25 − 15| = 10 ✓).
3) Вид |f| = |g| (сл. 14), условие не нужно. x² − 4 = x + 2 → x² − x − 6 = 0 → 3; −2. x² − 4 = −x − 2 → x² + x − 2 = 0 → 1; −2. Ответ: −2; 1; 3 (x = 1: |−3| = |3| ✓; x = 3: 5 = 5 ✓).
4) x ≥ 1. x² + 1 = x − 1 → x² − x + 2 = 0, D = 1 − 8 < 0. x² + 1 = 1 − x → x² + x = 0 → 0; −1 — оба меньше 1 ✗. Корней нет. Короче: x² + 1 − (x − 1) = x² − x + 2 > 0 всегда.

R03.8

Итог · какой способ выбрать

Четыре вида уравнений с модулем

Вид	Пример	Способ
$x^{2}, ∣ x ∣$ и числа	$x^{2} - 5∣ x ∣ + 6 = 0$	$t = ∣ x ∣, t \geq 0$ ; $x = \pm t$
$∣ f (x) ∣ = a$	$∣ x^{2} - 2 x ∣ = 3$	$a > 0$ : $f = \pm a$ ; $a < 0$ : нет корней
$∣ f (x) ∣ = g (x)$	$∣ x^{2} - 4∣ = 3 x$	$g \geq 0$ , затем $f = \pm g$
$∣ f (x) ∣ = ∣ g (x) ∣$	$∣ x^{2} - 3 x ∣ = ∣ x - 3∣$	$f = g$ или $f = - g$
другой	$x^{2} - 3∣ x - 1∣ - 1 = 0$	промежутки, проверка корней

Промежутки — универсальный способ; остальные — короче

R03.8

Задания с самопроверкой · 1

Решите уравнения

база $x^{2} - 7∣ x ∣ + 10 = 0$
$\pm 2; \pm 5$
база $x^{2} + 3∣ x ∣ - 10 = 0$
$\pm 2$
база $∣ x^{2} - 5∣ = 4$
$\pm 1; \pm 3$

повыш. $x^{2} - 2∣ x - 2∣ - 4 = 0$
$- 4; 2$
повыш. $∣ x^{2} - x ∣ = 2 x$
$0; 3$
повыш. $∣ x^{2} - 3 x ∣ = ∣ x - 3∣$
$- 1; 1; 3$

Сначала определите вид по таблице, потом решайте

3,5 мин · практика
Слабым — 1–3, сильным — 4–6. Ответы открываются кликом по одному после того, как большинство решило.
1) t² − 7t + 10 = 0, t = 2; 5 → x = ±2; ±5.
2) t² + 3t − 10 = 0, t = 2; −5 ✗ → x = ±2. Проверка: 4 + 6 − 10 = 0 ✓.
3) x² − 5 = 4 → x = ±3; x² − 5 = −4 → x = ±1. Ответ: ±1; ±3.
4) x ≥ 2: x² − 2x + 4 − 4 = x² − 2x = 0 → 0 ✗, 2 ✓. x < 2: x² + 2x − 8 = 0 → 2 ✗, −4 ✓. Ответ: −4; 2. Проверка: 16 − 12 − 4 = 0 ✓.
5) x ≥ 0. x² − x = 2x → x = 0; 3. x² − x = −2x → x² + x = 0 → x = 0; −1 ✗. Ответ: 0; 3. Проверка: |9 − 3| = 6 ✓.
6) x² − 3x = x − 3 → x² − 4x + 3 = 0 → 1; 3. x² − 3x = 3 − x → x² − 2x − 3 = 0 → 3; −1. Ответ: −1; 1; 3. Проверка x = −1: |4| = |−4| ✓. Короче: |x|·|x − 3| = |x − 3| ⇒ x = 3 или |x| = 1.

R03.8

Графика · как выглядит $y = ∣ f (x) ∣$

Что ниже оси — отражаем вверх

f (x) \geq 0

:

∣ f (x) ∣ = f (x)

график не меняется

f (x) < 0

:

∣ f (x) ∣ = - f (x)

симметрия относительно оси

x

y = ∣ x^{2} - 4∣ \geq 0

: весь график не ниже оси

x

R03.8

Исследование · параметр $a$

Сколько корней у $∣ x^{2} - 4∣ = a$ ?

$a$	корней
$a < 0$	$0$
$a = 0$	$2$
$0 < a < 4$	$4$
$a = 4$	$3$
$a > 4$	$2$

R03.8

Образец → сам · число корней по графику

Сколько корней у $∣ x^{2} - 2 x ∣ = a$ ?

Образец: вершина $(1; - 1)$ отражается в $(1; 1)$ ; прямая $y = 1$ — три общие точки.

Сколько корней при $a = \frac{1}{2}$ ? при $a = 3$ ? $4; 2$
При каких $a$ у $∣ x^{2} - 9∣ = a$ ровно три корня? $a = 9$
При каких $a$ у $∣ x^{2} - 9∣ = a$ ровно четыре корня? $0 < a < 9$
повыш.При каких $a$ у $∣ x^{2} - 6 x + 5∣ = a$ ровно четыре корня? $0 < a < 4$

2 мин · практика
Образец: y = x² − 2x — нули 0 и 2, вершина (1; −1); часть между нулями отражаем вверх, вершина переходит в (1; 1). Прямая y = 1: x² − 2x = 1 → x = 1 ± √2; x² − 2x = −1 → x = 1. Три корня.
1) a = 1/2 (0 < a < 1): четыре корня — x = 1 ± √1,5 и x = 1 ± √0,5. a = 3: x² − 2x − 3 = 0 → 3; −1; x² − 2x + 3 = 0 — D < 0; два корня.
2) У y = |x² − 9| нули ±3, отражённая вершина (0; 9): три корня при a = 9 (x = 0; ±3√2). 3) Четыре — при 0 < a < 9 (прямая пересекает и «горб», и ветви).
4) x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 4: нули 1 и 5, вершина (3; −4) → после отражения (3; 4). Четыре корня при 0 < a < 4 (при a = 4 — три, при a > 4 и a = 0 — два).

R03.8

Исследование · углублённый уровень

Число корней $x^{2} + p ∣ x ∣ + q = 0$ — по корням $t$

Уравнение	корни $t^{2} + pt + q = 0$	корни $x$
$x^{2} - 5∣ x ∣ + 6 = 0$	$2; 3$	$4$ : $\pm 2; \pm 3$
$x^{2} - 4∣ x ∣ = 0$	$0; 4$	$3$ : $0; \pm 4$
$x^{2} + 2∣ x ∣ - 8 = 0$	$2; - 4$	$2$ : $\pm 2$
$x^{2} - 4∣ x ∣ + 4 = 0$	$2$ (один)	$2$ : $\pm 2$
$x^{2} + 3∣ x ∣ = 0$	$0; - 3$	$1$ : $0$
$x^{2} + ∣ x ∣ + 1 = 0$	$D < 0$	$0$

t > 0 \to

два

x

t = 0 \to

один

x

t < 0 \to

ни одного

Нечётное число корней

⟺

q = 0

2 мин · практика (исследование в парах: ученики находят корни t и x, учитель открывает клетки)
При нехватке времени — на дом. Корни уравнения чётны парами ±x₀, кроме x = 0. x = 0 — корень ровно тогда, когда q = 0 (подставьте x = 0).
Поэтому нечётное число корней (1 или 3) возможно только при q = 0: тогда t = 0 и t = −p; при p < 0 — три корня, при p ≥ 0 — один.
Возможное число корней: 0, 1, 2, 3, 4 — и больше четырёх не бывает (не больше двух t).
Это ключ к заданию ОГЭ на сл. 21 и к заданию 6 на сл. 22.

R03.8

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$x^{2} - 5∣ x ∣ + 6 = 0$ : $x = 2; 3$	потеряны отрицательные	$\pm 2; \pm 3$
$x^{2} + 2∣ x ∣ - 8 = 0$ : $t = - 4, x = \pm 4$	$∣ x ∣ = - 4$ невозможно	только $\pm 2$
$∣ x^{2} - 2 x ∣ = - 3$ : $x^{2} - 2 x = \pm 3$	модуль $\geq 0$	корней нет
$∣ x^{2} - 4∣ = 3 x$ : $- 4; - 1; 1; 4$	не проверили $3 x \geq 0$	$1; 4$
$x < 1$ : $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ , $x = 1$ — корень	$x = 1$ не из промежутка	только $x = - 4$

R03.8 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Постройте график $y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$

…и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

План

$x \geq 0$ : $y = x^{2} - 4 x + 3$
вершина $(2; - 1)$ , нули $1$ и $3$
отразить относительно оси $y$

2 мин · практика
Ответ: m = 3. Сначала дать 1 мин подумать без графика, затем открыть график.
Решение: при x ≥ 0 y = x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1: вершина (2; −1), нули 1 и 3, y(0) = 3. Функция чётная (|−x| = |x|), график симметричен относительно оси y.
Прямая y = m: m < −1 — 0 точек; m = −1 — 2; −1 < m < 3 — 4; m = 3 — 3 (через (0; 3) и (±4; 3)); m > 3 — 2. Проверка m = 3: x² − 4|x| = 0, |x|(|x| − 4) = 0, x = 0; ±4 ✓ (см. сл. 19: q = 0).
Линия 22 ОГЭ (часть 2, 2 балла): нужен верно построенный график и верный ответ. Типичная ошибка — строить только правую половину.

R03.8

Задания с самопроверкой · 2

Решите и проверьте себя

база $x^{2} - 8∣ x ∣ + 12 = 0$ $\pm 2; \pm 6$
база $∣ x^{2} - 8∣ = 1$ $\pm 3; \pm 7$
повыш. $x^{2} - 5∣ x - 2∣ - 4 = 0$ $- 7; 2; 3$
повыш. $∣ x^{2} - x - 2∣ = x + 1$ $- 1; 1; 3$

из жизниПлощадь квадратной клумбы отличается от $50$ м² на $14$ м². Какой может быть сторона клумбы?
$∣ x^{2} - 50∣ = 14$ : $6$ м или $8$ м
параметрПри каких $a$ уравнение $x^{2} - 4∣ x ∣ + a = 0$ имеет ровно четыре корня?
$0 < a < 4$

3 мин · практика
Ученики решают в тетради, учитель открывает ответы кликом по одному. При нехватке времени задание 6 — в ДЗ.
1) t² − 8t + 12 = 0 → t = 2; 6 → x = ±2; ±6.
2) x² − 8 = 1 → x² = 9 → ±3; x² − 8 = −1 → x² = 7 → ±√7.
3) x ≥ 2: x² − 5x + 6 = 0 → 2 ✓, 3 ✓. x < 2: x² + 5x − 14 = 0 → 2 ✗, −7 ✓. Ответ: −7; 2; 3. Проверка x = −7: 49 − 45 − 4 = 0 ✓.
4) x ≥ −1. x² − x − 2 = x + 1 → x² − 2x − 3 = 0 → 3; −1 (оба ≥ −1). x² − x − 2 = −x − 1 → x² = 1 → ±1. Ответ: −1; 1; 3. Проверка: x = 1: |1 − 1 − 2| = 2 = 1 + 1 ✓; x = 3: |9 − 3 − 2| = 4 ✓; x = −1: |1 + 1 − 2| = 0 = 0 ✓.
5) Сторона x > 0: |x² − 50| = 14 → x² = 64 или x² = 36 → x = 8 или x = 6 (отрицательные корни не подходят по смыслу).
6) t = |x|: t² − 4t + a = 0 должно иметь два различных положительных корня: D = 16 − 4a > 0 ⇒ a < 4; t₁t₂ = a > 0; t₁ + t₂ = 4 > 0. Ответ: 0 < a < 4. (При a = 0 — три корня, при a = 4 — два.)

R03.8

Самостоятельная работа · 5 минут

По вариантам

Вариант 1

$x^{2} - 4∣ x ∣ + 3 = 0$ $\pm 1; \pm 3$
$∣ x^{2} - 3∣ = 6$ $\pm 3$
$∣ x^{2} - 4 x ∣ = 3 x$ $0; 1; 7$
$x^{2} - 2∣ x + 1∣ - 1 = 0$ $- 1; 3$

Вариант 2

$x^{2} - 5∣ x ∣ + 4 = 0$ $\pm 1; \pm 4$
$∣ x^{2} - 7∣ = 2$ $\pm 3; \pm 5$
$∣ x^{2} - 2 x ∣ = 4 x$ $0; 6$
$x^{2} - 3∣ x + 1∣ - 1 = 0$ $- 2; - 1; 4$

4,5 мин · практика (3,5 мин работа, 1 мин — взаимопроверка соседа по ответам, открытым кликом)
Вариант 1: 1) t² − 4t + 3 = 0 → t = 1; 3 → ±1; ±3. 2) x² = 9 → ±3; x² = −3 — нет. 3) x ≥ 0: x² − 7x = 0 → 0; 7; x² − x = 0 → 0; 1. Ответ: 0; 1; 7 (|1 − 4| = 3 ✓; |49 − 28| = 21 ✓). 4) x ≥ −1: x² − 2x − 3 = 0 → 3 ✓, −1 ✓; x < −1: x² + 2x + 1 = 0 → −1 ✗. Ответ: −1; 3 (1 − 0 − 1 = 0 ✓; 9 − 8 − 1 = 0 ✓).
Вариант 2: 1) t² − 5t + 4 = 0 → t = 1; 4 → ±1; ±4. 2) x² = 9 → ±3; x² = 5 → ±√5. 3) x ≥ 0: x² − 6x = 0 → 0; 6; x² + 2x = 0 → 0; −2 ✗. Ответ: 0; 6 (|36 − 12| = 24 ✓). 4) x ≥ −1: x² − 3x − 4 = 0 → 4 ✓, −1 ✓; x < −1: x² + 3x + 2 = 0 → −1 ✗, −2 ✓. Ответ: −2; −1; 4 (x = −2: 4 − 3 − 1 = 0 ✓; x = 4: 16 − 15 − 1 = 0 ✓).
Критерий: «5» — 4 верных, «4» — 3, «3» — 2. Задания 1 — замена, 2 — |f| = a, 3 — |f| = g, 4 — промежутки.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему можно заменить $∣ x ∣ = t$ ?
Какие $t$ отбрасываем?
Что проверить в $∣ f (x) ∣ = g (x)$ ?

Домашнее задание

$x^{2} - 6∣ x ∣ + 8 = 0$ ; $∣ x^{2} + 2 x ∣ = 3$
$x^{2} - ∣ x + 1∣ - 1 = 0$
* При каких $a$ у $x^{2} - 6∣ x ∣ + a = 0$ ровно три корня?
Тренажёр:
reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

1 мин · практика (рефлексия — ответы учеников; ДЗ — запись)
Ответы ДЗ: 1) t² − 6t + 8 = 0, t = 2; 4 → x = ±2; ±4. 2) x² + 2x = 3 → x = 1; −3; x² + 2x = −3 → D/4 = 1 − 3 < 0. Ответ: −3; 1.
3) x ≥ −1: x² − x − 2 = 0 → x = 2; −1 (оба ≥ −1 ✓). x < −1: x² + x = 0 → x = 0; −1 — оба не меньше −1 ✗. Ответ: −1; 2. Проверка x = −1: 1 − 0 − 1 = 0 ✓; x = 2: 4 − 3 − 1 = 0 ✓.
4*) Три корня только при q = a = 0 (сл. 19): x² − 6|x| = 0 → x = 0; ±6. Ответ: a = 0.
Следующий урок ALG8U-046 — уравнение как математическая модель реальной ситуации.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-045 · Решение квадратных уравнений, содержащих знак модуля

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения», 17 ч · урок 8/17 · тип Н (новый материал) · теория 13,5 мин / практика 31,5 мин (70 %)
Единицы → слайды	R03.8 «Решение квадратных уравнений, содержащих знак модуля» → 2, 5–24 (повторение: модуль числа, квадратные уравнения → 3, 4)
Результаты	ПР-19 (решать квадратные уравнения) → 3, 5–15, 20, 22–24 · ПР-22 (исследование уравнений, в т. ч. графическое: имеет ли решения и сколько) → 5, 17–19, 21, 22 · ПР-26 (графики функций, свойства по графику) → 16–18, 21 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	неравенства с модулем; систематическое построение графиков функций с модулем и квадратичной функции — в своих разделах; уравнение как модель реальной ситуации — ALG8U-046; текстовые задачи — ALG8U-047
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Квадратные уравнения,содержащиезнак модуля

Сегодня вы научитесь

Заменять

Раскрывать модуль

Решать

Исследовать по графику

Вспомним всё, что понадобится

Модуль — расстояние до нуля

Сколько корней у x2−5∣x∣+6=0?

x2=∣x∣2 — значит, это квадратное уравнение относительно ∣x∣

Ещё пример

Решите заменой t=∣x∣, t≥0

Образец: x2−3∣x∣−4=0

Сами:

x2−3∣x−1∣−1=0

Раскройте модуль на двух промежутках

Образец: x2+∣x−2∣−4=0

Сами:

∣f(x)∣=a: смотрим на знак a

Модуль равен числу: сначала знак a

Образец: ∣x2−5x∣=6

Сами:

∣f(x)∣=g(x): сначала условие g(x)≥0

Не забудьте условие g(x)≥0

Образец: ∣x2−2∣=x

Сами:

Четыре вида уравнений с модулем

Решите уравнения

Что ниже оси — отражаем вверх

Сколько корней у ∣x2−4∣=a?

Сколько корней у ∣x2−2x∣=a?

Число корней x2+p∣x∣+q=0 — по корням t

Найдите ошибку

Постройте график y=x2−4∣x∣+3

План

Решите и проверьте себя

По вариантам

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-045 · Решение квадратных уравнений, содержащих знак модуля

Квадратные уравнения,
содержащие
знак модуля

Сколько корней у $x^{2} - 5∣ x ∣ + 6 = 0$ ?

$x^{2} = ∣ x ∣^{2}$ — значит, это квадратное уравнение относительно $∣ x ∣$

Решите заменой $t = ∣ x ∣, t \geq 0$

Образец: $x^{2} - 3∣ x ∣ - 4 = 0$

$x^{2} - 3∣ x - 1∣ - 1 = 0$

Образец: $x^{2} + ∣ x - 2∣ - 4 = 0$

$∣ f (x) ∣ = a$ : смотрим на знак $a$

Модуль равен числу: сначала знак $a$

Образец: $∣ x^{2} - 5 x ∣ = 6$

$∣ f (x) ∣ = g (x)$ : сначала условие $g (x) \geq 0$

Не забудьте условие $g (x) \geq 0$

Образец: $∣ x^{2} - 2∣ = x$

Сколько корней у $∣ x^{2} - 4∣ = a$ ?

Сколько корней у $∣ x^{2} - 2 x ∣ = a$ ?

Число корней $x^{2} + p ∣ x ∣ + q = 0$ — по корням $t$

Постройте график $y = x^{2} - 4∣ x ∣ + 3$