Квадратные уравнения · урок 7 из 17 · новый материал

Решение квадратных
уравнений
с параметрами

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG8U-044

1 мин · теория (орг. момент) · Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %)
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения» (17 ч), урок 7/17, единица R03.7 «Решение квадратных уравнений с параметрами». Тип Н. Вчера (ALG8U-043) — понятие квадратного уравнения с параметром, число корней; завтра (ALG8U-045) — квадратные уравнения со знаком модуля.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Хронометраж: титул и цели 2 мин (сл. 1–2) · разминка и актуализация — практика 4 (сл. 3–4) · новый материал — теория 12 мин (сл. 5–8, 10, 12–13), после каждого правила — «Образец → сам» 7 мин (сл. 9, 11, 14) · закрепление и контроль 19 мин (сл. 15–21) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 22).
Теоретические слайды сохранены полностью; практика добавлена отдельными слайдами, ответы открываются по клику.
Рисунок: плоскость (a; x) — корни уравнения как линии: x = 2 и x = a. Это картинка слайда 5.

R03.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Решать

квадратное уравнение с параметром при каждом его значении (ПР-19, ПР-21)

Находить контрольные точки

старший коэффициент $= 0$ , $D = 0$ — и записывать ответ по участкам (ПР-22)

Видеть на графике

число корней как число точек пересечения параболы и прямой $y = a$ (ПР-22)

Управлять знаками корней

по теореме Виета; применять к задаче о площади (ПР-22, ПР-23)

1 мин · теория
ПР-19 (ФРП): «Решать квадратные уравнения».
ПР-21: «Решать линейные уравнения с параметрами, несложные системы линейных уравнений с параметрами» — случай, когда старший коэффициент обращается в нуль.
ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
ПР-23: «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели… интерпретировать… полученный результат».
Виды деятельности ФРП: «Проводить простейшие исследования квадратных уравнений», «применять эти теоремы (Виета) для решения задач».

разминка · R03.4–R03.6

Разминка · устно

Отвечайте по цепочке

x^{2} - 5 x + 6 = 0

корни?

2; 3

x^{2} + 4 x + 4 = 0

корни?

- 2

x^{2} + x + 5 = 0

D = ?

- 19

, корней нет

x^{2} - 7 x + 10 = 0

x_{1} + x_{2}, x_{1} x_{2}

7; 10

a x^{2} + 3 x - 6 = 0

при

a = 0

x = 2

(a + 1)^{2} - 4 a

свернуть

(a - 1)^{2}

x (x - a) - 3 (x - a)

разложить

(x - a) (x - 3)

x_{1} x_{2} = - 5

знаки корней?

разные

2 мин · практика
Блиц по цепочке: ученик отвечает и объясняет одной фразой, ответ открывается по клику. Повторяем всё, что понадобится сегодня.
Ответы: 1) (x − 2)(x − 3) = 0 — корни 2 и 3; 2) (x + 2)² = 0 — x = −2; 3) D = 1 − 20 = −19 < 0 — корней нет; 4) по теореме Виета сумма 7, произведение 10 (корни 2 и 5).
5) 3x − 6 = 0, x = 2 — уравнение стало линейным; 6) a² + 2a + 1 − 4a = a² − 2a + 1 = (a − 1)²; 7) общий множитель (x − a): (x − a)(x − 3); 8) произведение отрицательно — корни разных знаков.
Карточки 5–7 — заготовки к сегодняшним приёмам: «старший коэффициент = 0», «D — полный квадрат», разложение на множители.

повторение: R03.6

Вспомним · уравнение с параметром

$x^{2} - 4 x + a = 0$ при разных $a$

$a$	Уравнение	$\frac{D}{4} = 4 - a$	Корни
$3$	$x^{2} - 4 x + 3 = 0$	$1$	$1; 3$
$4$	$x^{2} - 4 x + 4 = 0$	$0$	$2$
$5$	$x^{2} - 4 x + 5 = 0$	$- 1$	нет
$a$	$x^{2} - 4 x + a = 0$	$4 - a$	?

Решить уравнение с параметром

— для каждого значения параметра найти все корни или доказать, что их нет

R03.7

Проблема · корни зависят от $a$

Решите: $x^{2} - (a + 2) x + 2 a = 0$

D = (a + 2)^{2} - 8 a = (a - 2)^{2}

полный квадрат!

x = \frac{( a + 2 ) \pm ( a - 2 )}{2}

x_{1} = a, x_{2} = 2

a = 2

: корни совпали — один корень

Ответ: при $a = 2$ $x = 2$ ; при $a \neq = 2$ $x = 2, x = a$

2 мин · теория
Учитель разбирает пример сам. D = a² + 4a + 4 − 8a = a² − 4a + 4 = (a − 2)². Корень из D равен |a − 2|, но перед ним стоит «±», поэтому можно писать (a − 2): набор корней тот же.
Плоскость (a; x): по горизонтали — параметр, по вертикали — корни. Вертикальная прямая «a = число» пересекает линии корней ровно в стольких точках, сколько корней. При a = 2 линии пересекаются — корень один.
Второй способ: x² − ax − 2x + 2a = x(x − a) − 2(x − a) = (x − a)(x − 2). Вопрос классу: какой способ короче?

R03.7

Алгоритм · план решения

Как решить квадратное уравнение с параметром

R03.7

Образец · параметр при $x^{2}$

Решите: $a x^{2} - (a + 1) x + 1 = 0$

Проверка разложением: $a x^{2} - (a + 1) x + 1 = (a x - 1) (x - 1)$

R03.7

Образец · собираем ответ

Контрольные точки: $a = 0$ и $a = 1$

Ответ: при

a = 0

и

a = 1

x = 1

; при

a \neq = 0, a \neq = 1

x = 1, x = \frac{1}{a}

R03.7

Образец → сам

Решите при всех значениях $a$

Образец: $x^{2} - (a + 5) x + 5 a = 0$

$D = (a + 5)^{2} - 20 a = (a - 5)^{2}$

$x = \frac{( a + 5 ) \pm ( a - 5 )}{2}$

$x_{1} = a, x_{2} = 5$

Ответ: при $a = 5$ $x = 5$ ;
при $a \neq = 5$ $x = 5, x = a$

Сам

база $x^{2} - (a + 1) x + a = 0$
$a = 1$ : $x = 1$ ; иначе $x = 1, x = a$
база $x^{2} - (a - 3) x - 3 a = 0$
$a = - 3$ : $x = - 3$ ; иначе $x = - 3, x = a$
повыш. $a x^{2} - (a + 2) x + 2 = 0$
$a = 0$ или $a = 2$ : $x = 1$ ;
иначе $x = 1, x = \frac{2}{a}$
повыш. $x^{2} + 2 a x + a^{2} - 1 = 0$
$x = - a \pm 1$ при всех $a$

3 мин · практика
Образец слева учитель открывает за 30 секунд; задания 1–2 — все, 3–4 — кто успел. Ответы по клику.
1) D = (a + 1)² − 4a = (a − 1)², x = ((a + 1) ± (a − 1))/2: x = a, x = 1; при a = 1 корни совпадают — x = 1. 2) D = (a − 3)² + 12a = (a + 3)², x = ((a − 3) ± (a + 3))/2: x = a, x = −3; при a = −3 один корень −3. Проверка: (x − a)(x + 3) = x² − (a − 3)x − 3a ✓.
3) a = 0: −2x + 2 = 0, x = 1. a ≠ 0: D = (a + 2)² − 8a = (a − 2)², x = ((a + 2) ± (a − 2))/(2a): x = 1, x = 2/a; совпадают при a = 2. Проверка: (ax − 2)(x − 1) = ax² − (a + 2)x + 2 ✓.
4) D/4 = a² − (a² − 1) = 1 > 0, x = −a ± 1 — два корня при любом a (или (x + a)² = 1). Контрольных точек нет.

R03.7

Графический способ · параметр отдельно

$x^{2} + 2 x + a = 0 ⟺ a = - x^{2} - 2 x$

\frac{D}{4} = 1 - a

a < 1 : x = - 1 \pm 1 - a

a = 1 : x = - 1

a > 1

: корней нет

R03.7

Образец → сам · по графику

$x^{2} - 4 x - a = 0 ⟺ a = x^{2} - 4 x$

Сколько корней? Ответ — по рисунку

база $a = 5$ два: $x = - 1, x = 5$
база $a = - 4$ один: $x = 2$
база $a = - 5$ корней нет
повыш.При каких $a$ два корня?
$a > - 4$
повыш.При каких $a$ оба корня различны и положительны?
$- 4 < a < 0$

2 мин · практика
По образцу сл. 10: ученики сами двигают прямую «a = число» и считают точки пересечения с параболой a = x² − 4x (вершина (2; −4), нули 0 и 4). Учитель открывает прямые по одной после ответа класса.
Ответы с проверкой вычислением: 1) x² − 4x − 5 = 0 ⇔ (x + 1)(x − 5) = 0, x = −1 и x = 5. 2) x² − 4x + 4 = (x − 2)² = 0, x = 2 — касание в вершине. 3) x² − 4x + 5 = 0: D/4 = 4 − 5 = −1 < 0 — нет корней.
4) D/4 = 4 + a > 0 ⇔ a > −4 — прямая выше вершины. 5) Прямая между вершиной и осью x: −4 < a < 0. Проверка по Виета: x₁x₂ = −a > 0 ⇔ a < 0, x₁ + x₂ = 4 > 0, D/4 = 4 + a > 0. При a = 0 корни 0 и 4 — ноль не положителен.

R03.7 · опора: R03.4

Теорема Виета · знаки корней без вычисления

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$

Требование	Условия
корни разных знаков	$x_{1} x_{2} < 0$ тогда $D > 0$ сам собой
оба положительны	$D \geq 0, x_{1} x_{2} > 0, x_{1} + x_{2} > 0$
оба отрицательны	$D \geq 0, x_{1} x_{2} > 0, x_{1} + x_{2} < 0$
два различных корня	вместо $D \geq 0$ — $D > 0$

R03.7

Образец · всё про $x^{2} - 4 x + a = 0$

Знаки корней в зависимости от $a$

\frac{D}{4} = 4 - a, x_{1} + x_{2} = 4, x_{1} x_{2} = a

разных знаков:

a < 0

оба

> 0

, различные:

0 < a < 4

4 - a > 0

и

a > 0

; сумма

4 > 0

всегда

корень

x = 3

:

a = 3, x_{2} = 1

R03.7 · опора: R03.4

Образец → сам · теорема Виета

Найдите все значения $a$

база $x^{2} + 5 x + a = 0$ : корни разных знаков
$a < 0$
база $x^{2} - 7 x + a = 0$ : один корень равен $2$ . Найдите $a$ и второй корень
$a = 10, x_{2} = 5$

повыш. $x^{2} - 6 x + a = 0$ : два различных положительных корня
$0 < a < 9$
повыш. $x^{2} + 8 x + a = 0$ : два различных отрицательных корня
$0 < a < 16$

R03.7

Закрепление · решите сами

Уравнения с параметром

базаРешите при всех $a$ : $x^{2} - 6 x + a = 0$ .
базаПри каком $a$ число $2$ — корень $x^{2} + a x - 6 = 0$ ? Найдите второй корень.
повыш.Решите: $(a - 1) x^{2} - 2 a x + a + 1 = 0$ .
повыш.При каких $a$ у $x^{2} - 2 x + a = 0$ два различных положительных корня?
повыш.При каких $a$ число $3$ — корень $x^{2} - (2 a + 1) x + a^{2} + a = 0$ ?

Помни

коэффициент при $x^{2}$
$D$ — полный квадрат?
ответ для всех $a$

В 5: найдите

D

— корни станут «видны»

4 мин · практика
Самостоятельно, затем разбор у доски. При нехватке времени задание 5 — в ДЗ.
1) D/4 = 9 − a. a < 9: x = 3 ± √(9 − a); a = 9: x = 3; a > 9: корней нет.
2) 4 + 2a − 6 = 0 ⇒ a = 1; по Виета x₁x₂ = −6 ⇒ x₂ = −3. Проверка: x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2) ✓.
3) a = 1: −2x + 2 = 0, x = 1. a ≠ 1: D/4 = a² − (a − 1)(a + 1) = 1; x = (a ± 1)/(a − 1): x = 1 и x = (a + 1)/(a − 1). Совпадают? (a + 1)/(a − 1) = 1 невозможно. Ответ: a = 1 — x = 1; a ≠ 1 — x = 1, x = (a + 1)/(a − 1). Проверка a = 2: x² − 4x + 3 = 0, корни 1 и 3 ✓.
4) D/4 = 1 − a > 0 ⇒ a < 1; x₁x₂ = a > 0; x₁ + x₂ = 2 > 0. Ответ: 0 < a < 1.
5) D = (2a + 1)² − 4(a² + a) = 1, корни x = a и x = a + 1. Корень 3: a = 3 или a + 1 = 3 ⇒ a = 2. Ответ: a = 2 или a = 3. Проверка a = 2: x² − 5x + 6 = 0, корни 2 и 3 ✓; a = 3: x² − 7x + 12 = 0, корни 3 и 4 ✓. Ошибка: подставить x = 3 и решать 9 − 6a − 3 + a² + a = 0, т. е. a² − 5a + 6 = 0 — тоже верно (a = 2; 3), но дольше.

R03.7

Задания с самопроверкой · база

Решите и сверьте ответ

базаРешите при всех $a$ : $x^{2} + 8 x + a = 0$
$a < 16$ : $x = - 4 \pm 16 - a$ ;
$a = 16$ : $x = - 4$ ; $a > 16$ : корней нет
базаСколько корней у $x^{2} - 2 x + a = 0$ при $a = 1$ ? при $a = - 3$ ?
один ( $x = 1$ ); два ( $x = - 1, x = 3$ )

базаПри каких $a$ у $a x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ровно один корень?
$a = 0$ $(x = - \frac{1}{4})$ и $a = 4$ $(x = - \frac{1}{2})$
базаПри каком $a$ число $- 1$ — корень $x^{2} + a x + 4 = 0$ ? Второй корень?
$a = 5, x_{2} = - 4$

R03.7

Задания с самопроверкой · повышенный

Решите и сверьте ответ

повыш.Решите: $x^{2} - 2 a x + a^{2} - 4 = 0$
$x = a \pm 2$ при всех $a$
повыш.Решите: $a x^{2} - (2 a + 1) x + 2 = 0$
$a = 0$ или $a = \frac{1}{2}$ : $x = 2$ ;
иначе $x = 2, x = \frac{1}{a}$

повыш.При каких $a$ корни $x^{2} - 3 x + a - 2 = 0$ разных знаков?
$a < 2$
повыш.При каких $a$ у $x^{2} - 2 a x + 4 = 0$ два различных положительных корня?
$a > 2$

R03.7

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$a x^{2} = 3 x \Rightarrow a x = 3, x = \frac{3}{a}$	делили на $x$ и на $a$	$x = 0$ ; при $a \neq = 0$ ещё $x = \frac{3}{a}$
$a x^{2} + 2 x + 1 = 0$ : два корня $⟺ a < 1$	при $a = 0$ — линейное	$a < 1, a \neq = 0$
оба корня $> 0 ⟺ x_{1} x_{2} > 0$	оба могут быть $< 0$	ещё $x_{1} + x_{2} > 0$ и $D \geq 0$
$x^{2} - 6 x + a = 0$ : $x = 3 \pm 9 - a$	нет ответа при $a \geq 9$	$a = 9$ : $x = 3$ ; $a > 9$ : нет

R03.7 · практика

Практика · модель реальной ситуации

Забор $20$ м. Можно ли огородить участок площадью $S$ ?

x (10 - x) = S ⟺ x^{2} - 10 x + S = 0

\frac{D}{4} = 25 - S

S \leq 25

: можно

x = 5 \pm 25 - S

Наибольшая площадь —

25 м^{2}

у квадрата

2 мин · практика
Ученики составляют уравнение сами, учитель открывает шаги после ответов класса. Периметр 20 м ⇒ сумма соседних сторон 10 м, стороны x и 10 − x, параметр — площадь S > 0.
S = 21: x² − 10x + 21 = 0, x = 3 или 7 — это один и тот же прямоугольник 3 × 7 (интерпретация: два корня — две стороны). S = 25: (x − 5)² = 0, квадрат 5 × 5. S = 30: D/4 = −5 < 0 — нельзя.
Корни 5 ± √(25 − S) при 0 < S ≤ 25 оба положительны и меньше 10 (по Виета сумма 10, произведение S > 0) — значит, ответ имеет смысл (ПР-23).

R03.7 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22

Функция с параметром $m$

Постройте график функции

y = \frac{x ^{3} - x ^{2} - 2 x}{x}

и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

План

область определения: $x \neq = 0$
сократить дробь
парабола без одной точки
двигать прямую $y = m$

Выколотая точка тоже даёт ответ!

2 мин · практика
Ответ: m = −2,25; m = −2.
Решение: при x ≠ 0 y = x² − x − 2 — парабола, вершина x = 0,5, y = 0,25 − 0,5 − 2 = −2,25; точка (0; −2) выколота.
m = −2,25: касание в вершине (0,5; −2,25) — одна точка. m = −2: x² − x − 2 = −2 ⇔ x(x − 1) = 0, x = 0 исключён, остаётся x = 1 — одна точка. При остальных m > −2,25 — две точки, при m < −2,25 — ни одной.
Связь с уроком: это уравнение с параметром x² − x − 2 − m = 0 с условием x ≠ 0. Линия 22 ОГЭ (часть 2), 2 балла: нужен построенный график.

R03.7

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

1) решите при всех $a$ ; 2) решите; 3) при каких $a$ ровно один корень; 4) при каких $a$ два различных корня указанного знака

Вариант 1

$x^{2} - 2 x + a = 0$
$a < 1$ : $1 \pm 1 - a$ ;
$a = 1$ : $1$ ; $a > 1$ : нет
$x^{2} - (a + 4) x + 4 a = 0$
$a = 4$ : $x = 4$ ; иначе $x = 4, x = a$
$a x^{2} - 6 x + 1 = 0$
$a = 0$ или $a = 9$
$x^{2} - 4 x + a - 1 = 0$ , оба $> 0$
$1 < a < 5$

Вариант 2

$x^{2} + 10 x + a = 0$
$a < 25$ : $- 5 \pm 25 - a$ ;
$a = 25$ : $- 5$ ; $a > 25$ : нет
$x^{2} + (a - 3) x - 3 a = 0$
$a = - 3$ : $x = 3$ ; иначе $x = 3, x = - a$
$a x^{2} + 4 x - 2 = 0$
$a = 0$ или $a = - 2$
$x^{2} + 4 x + a + 1 = 0$ , оба $< 0$
$- 1 < a < 3$

4 мин · практика
Варианты по партам: 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам на слайде (открыть по клику).
Вариант 1: 1) D/4 = 1 − a; a < 1: x = 1 ± √(1 − a); a = 1: x = 1; a > 1: корней нет. 2) D = (a + 4)² − 16a = (a − 4)², корни 4 и a; a = 4 — один корень 4. 3) a = 0: −6x + 1 = 0, x = 1/6; a ≠ 0: D/4 = 9 − a = 0 ⇒ a = 9, x = 3/9 = 1/3. 4) D/4 = 4 − (a − 1) = 5 − a > 0 ⇒ a < 5; x₁x₂ = a − 1 > 0 ⇒ a > 1; x₁ + x₂ = 4 > 0. Ответ 1 < a < 5.
Вариант 2: 1) D/4 = 25 − a; a < 25: x = −5 ± √(25 − a); a = 25: x = −5; a > 25: нет. 2) D = (a − 3)² + 12a = (a + 3)², x = (−(a − 3) ± (a + 3))/2: x = 3, x = −a; a = −3 — один корень 3. Проверка: (x − 3)(x + a) = x² + (a − 3)x − 3a ✓. 3) a = 0: 4x − 2 = 0, x = 1/2; a ≠ 0: D/4 = 4 + 2a = 0 ⇒ a = −2, x = −4/(2·(−2)) = 1. 4) D/4 = 4 − (a + 1) = 3 − a > 0 ⇒ a < 3; x₁x₂ = a + 1 > 0 ⇒ a > −1; x₁ + x₂ = −4 < 0. Ответ −1 < a < 3.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что значит «решить уравнение с параметром»?
Какие точки на оси $a$ — контрольные?
Как узнать, что корни разных знаков?

Домашнее задание

Решите при всех $a$ : $x^{2} + 4 x + a = 0$ ; $x^{2} - (a + 3) x + 3 a = 0$
При каких $a$ у $x^{2} + 6 x + a = 0$ два различных отрицательных корня?
* Решите: $a x^{2} + (a - 1) x - 1 = 0$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

1 мин · практика (рефлексия: отвечают ученики; ДЗ — на слайде)
Ответы ДЗ: 1) D/4 = 4 − a: a < 4 — x = −2 ± √(4 − a); a = 4 — x = −2; a > 4 — корней нет. Второе: D = (a + 3)² − 12a = (a − 3)², корни 3 и a; a = 3 — x = 3; a ≠ 3 — x = 3, x = a.
2) D/4 = 9 − a > 0 ⇒ a < 9; x₁x₂ = a > 0; x₁ + x₂ = −6 < 0 ✓. Ответ: 0 < a < 9.
3*) (ax − 1)(x + 1) = 0. a = 0: −x − 1 = 0, x = −1. a ≠ 0: x = −1, x = 1/a; совпадают при a = −1. Ответ: a = 0 или a = −1 — x = −1; иначе x = −1, x = 1/a.
Следующий урок ALG8U-045 — квадратные уравнения, содержащие знак модуля.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-044 · Решение квадратных уравнений с параметрами

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения», 17 ч · урок 7/17 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R03.7 «Решение квадратных уравнений с параметрами» → 2, 5–22; практика — 9, 11, 14–21 (повторение R03.6 → 3–4; опора на R03.4 «Теорема Виета» → 12–14, 16–17, 21)
Результаты	ПР-19 (решать квадратные уравнения) → 3–5, 7–10, 15–16, 21 · ПР-21 (линейные уравнения с параметрами) → 6, 7, 9, 16–18, 21 · ПР-22 (исследование уравнений, в т. ч. графическое) → 5, 6, 8, 10–17, 20, 21 · ПР-23 (модель реальной ситуации, интерпретация) → 19 · хронометраж: теория 14 мин, практика 31 мин (69 %) · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	квадратные уравнения со знаком модуля — ALG8U-045; модели и текстовые задачи — ALG8U-046, 047; расположение корней относительно числа, отличного от 0, и квадратные неравенства — 9 класс
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Решение квадратныхуравненийс параметрами

Сегодня вы научитесь

Решать

Находить контрольные точки

Видеть на графике

Управлять знаками корней

Отвечайте по цепочке

x2−4x+a=0 при разных a

Решить уравнение с параметром

Решите: x2−(a+2)x+2a=0

Как решить квадратное уравнение с параметром

Решите: ax2−(a+1)x+1=0

Контрольные точки: a=0 и a=1

Решите при всех значениях a

Образец: x2−(a+5)x+5a=0

Сам

x2+2x+a=0 ⟺ a=−x2−2x

x2−4x−a=0 ⟺ a=x2−4x

Сколько корней? Ответ — по рисунку

x1​+x2​=−ab​,x1​x2​=ac​

Знаки корней в зависимости от a

Найдите все значения a

Уравнения с параметром

Помни

Решите и сверьте ответ

Решите и сверьте ответ

Найдите ошибку

Забор 20 м. Можно ли огородить участок площадью S?

Функция с параметром m

План

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-044 · Решение квадратных уравнений с параметрами

Решение квадратных
уравнений
с параметрами

$x^{2} - 4 x + a = 0$ при разных $a$

Решите: $x^{2} - (a + 2) x + 2 a = 0$

Решите: $a x^{2} - (a + 1) x + 1 = 0$

Контрольные точки: $a = 0$ и $a = 1$

Решите при всех значениях $a$

Образец: $x^{2} - (a + 5) x + 5 a = 0$

$x^{2} + 2 x + a = 0 ⟺ a = - x^{2} - 2 x$

$x^{2} - 4 x - a = 0 ⟺ a = x^{2} - 4 x$

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$

Знаки корней в зависимости от $a$

Найдите все значения $a$

Забор $20$ м. Можно ли огородить участок площадью $S$ ?

Функция с параметром $m$