Квадратные уравнения · урок 6 из 17 · новый материал

Квадратное
уравнение
с параметром

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG8U-043

1 мин · теория
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Сумма 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения» (17 ч), урок 6/17, единица R03.6 «Квадратное уравнение с параметром». Тип Н. Было: ALG8U-040 (число корней по D), ALG8U-042 (уравнения, сводимые к квадратным). Дальше: ALG8U-044 — решение задач с параметрами (условия на корни, теорема Виета).
Хронометраж (45 мин). Теория: титул 1 (сл. 1) · цели 1 (сл. 2) · понятие 2 (сл. 5) · алгоритм 1 (сл. 7) · образец 1 — 2 (сл. 8) · образец 2 — 2 (сл. 10) · ответ на прямой 1 (сл. 11) · графический способ 2 (сл. 13) · ловушка 1 (сл. 15) · итог 1 (сл. 21) = 14 мин. Практика: разминка 2 (сл. 3) · актуализация 2 (сл. 4) · подставляем a 2 (сл. 6) · по образцу 1 — 3 (сл. 9) · закрепление 5 (сл. 12) · по графику 3 (сл. 14) · нулевой коэффициент 3 (сл. 16) · найди ошибку 2 (сл. 17) · задача из жизни 2 (сл. 18) · ОГЭ 2 (сл. 19) · самостоятельная 5 (сл. 20) = 31 мин.
Если не успеваете: сл. 18 (задача из жизни) и № 4 сл. 9 — перенести в ДЗ; самостоятельную (сл. 20) не сокращать.
Рисунок: при разных a — разные уравнения x² − 2x + a = 0 и разное число корней: 2, 1, 0.

R03.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Понимать

что значит решить уравнение с параметром (ПР-19, ПР-21)

Находить

контрольные значения параметра: старший коэффициент $= 0$ , $D = 0$ (ПР-22)

Решать и записывать ответ

для всех значений параметра, ни одного не потеряв (ПР-19, ПР-22)

Исследовать

число корней графически и в прикладной задаче (ПР-22, ПР-23)

1 мин · теория
ПР-19 (ФРП): «Решать квадратные уравнения». ПР-21: «Решать линейные уравнения с параметрами, несложные системы линейных уравнений с параметрами» — линейный случай возникает при нулевом старшем коэффициенте.
ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
ПР-23: «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели… интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат».
Вид деятельности ФРП: «Проводить простейшие исследования квадратных уравнений».

повторение: R03.2–R03.3

Разминка · устно

Ответьте быстро

1

\frac{D}{4}

для

x^{2} - 6 x + 5 = 0

4

2Корни

(x - 3)^{2} = 0

3

3Корни

x (x - 5) = 0

0; 5

4

D

для

x^{2} + x + 1 = 0

- 3

5При каком

a

a - 2 = 0

?

a = 2

6Решите

0 \cdot x = 5

корней нет

7Решите

0 \cdot x = 0

x

любое

8Знак

(a - 1)^{2}

\geq 0

повторение: линейные уравнения с параметром, R03.3

Вспомним · ответ зависит от $a$

Решите при каждом значении $a$

Уравнение	Обычный случай	Особый случай
$a x = 6$	$a \neq = 0 : x = \frac{6}{a}$	$a = 0 : 0 \cdot x = 6$ — корней нет
$(a - 2) x = a - 2$	$a \neq = 2 : x = 1$	$a = 2 : 0 \cdot x = 0$ — $x$ любое
$x^{2} - 4 x + 5 = 0$	$\frac{D}{4} = 4 - 5 = - 1 < 0$ — корней нет

Делить на выражение с

a

можно, только если оно

\neq = 0

R03.6

Новое понятие · семейство уравнений

$x^{2} - 2 x + a = 0$ — это бесконечно много уравнений

x^{2} - 2 x - 3 = 0

корни

- 1

и

3

x^{2} - 2 x + 1 = 0

корень

1

x^{2} - 2 x + 2 = 0

корней нет

Решить уравнение с параметром — для каждого

a

найти все корни или доказать, что их нет

2 мин · теория
a — параметр: число, которое фиксируют, а потом ищут x. Каждому значению a соответствует своё уравнение — «семейство».
Рисунок: корни — абсциссы точек пересечения параболы y = x² − 2x + a с осью x; при увеличении a парабола поднимается (вершина (1; a − 1)). Графики квадратичной функции подробно — в своём разделе, здесь только иллюстрация.
Проверка: a = −3: D/4 = 1 + 3 = 4, x = 1 ± 2 → −1 и 3. a = 1: (x − 1)² = 0. a = 2: D/4 = 1 − 2 < 0.
Определение записать в тетрадь. Ключевое слово — «для каждого».

R03.6

Образец → сам · фиксируем значение $a$

$x^{2} + 2 x + a = 0$ : решите при данном $a$

Образец: $a = - 8$

x^{2} + 2 x - 8 = 0

\frac{D}{4} = 1 + 8 = 9

x = - 1 \pm 3

корни

2

и

- 4

Сами

$a = 0$ $0; - 2$
$a = 1$ $- 1$
$a = - 3$ $1; - 3$
$a = 5$ корней нет

Разные

a

— разные уравнения и разное число корней: два, один, ни одного

R03.6

Алгоритм · контрольные значения параметра

Как решать квадратное уравнение с параметром

R03.6

Образец 1 · параметр в свободном члене

Решите уравнение $x^{2} - 2 x + a = 0$

\frac{D}{4} = 1 - a

старший коэффициент

1 \neq = 0

— шаг 1 не нужен

a < 1 : x_{1, 2} = 1 \pm 1 - a

a = 1 : x = 1

a > 1

: корней нет

Ответ: при $a < 1$ $x = 1 \pm 1 - a$ ; при $a = 1$ $x = 1$ ; при $a > 1$ корней нет.

R03.6

Образец → сам · как в образце 1

Решите уравнение при каждом $a$

база $x^{2} + 2 x + a = 0$ $a < 1$ : $x = - 1 \pm 1 - a$ ; $a = 1$ : $x = - 1$ ; $a > 1$ : корней нет
база $x^{2} - 10 x + a = 0$ $a < 25$ : $x = 5 \pm 25 - a$ ; $a = 25$ : $x = 5$ ; $a > 25$ : корней нет
база $x^{2} + a = 0$ $a < 0$ : $x = \pm - a$ ; $a = 0$ : $x = 0$ ; $a > 0$ : корней нет
повыш. $x^{2} - 2 a x + a^{2} - 4 = 0$ при любом $a$ : $x = a - 2, x = a + 2$ $(\frac{D}{4} = 4)$

3 мин · практика
Самостоятельно по образцу 1 (сл. 8), ответы открываются кликом — класс проверяет сам.
1) D/4 = 1 − a. a < 1: x = −1 ± √(1 − a); a = 1: x = −1; a > 1: корней нет. Проверка a = −8: −1 ± 3 → 2 и −4 (как на сл. 6) ✓.
2) D/4 = 25 − a. a < 25: x = 5 ± √(25 − a); a = 25: x = 5; a > 25: корней нет. Проверка a = 16: 5 ± 3 → 2 и 8; 2 · 8 = 16 ✓.
3) x² = −a. a < 0: x = ±√(−a); a = 0: x = 0; a > 0: корней нет. Проверка a = −9: x = ±3 ✓.
4) D/4 = a² − (a² − 4) = 4 > 0 при любом a; x = a ± 2. Короче: (x − a)² = 4. Проверка a = 1: x² − 2x − 3 = 0 → −1 и 3 ✓. Контрольных значений нет — так тоже бывает.

R03.6

Образец 2 · параметр при $x^{2}$

Решите уравнение $a x^{2} - (a + 1) x + 1 = 0$

Шаг 1: $a = 0$

- x + 1 = 0

линейное: $x = 1$

a \neq = 0 : D = (a + 1)^{2} - 4 a

D = a^{2} - 2 a + 1 = (a - 1)^{2} \geq 0

полный квадрат — корни есть всегда

a = 1 : D = 0, x = \frac{a + 1}{2 a} = 1

x_{1, 2} = \frac{( a + 1 ) \pm ( a - 1 )}{2 a} : x_{1} = 1, x_{2} = \frac{1}{a}

R03.6

Образец 2 · ответ на прямой $a$

Контрольные значения: $a = 0$ и $a = 1$

Ответ: при

a = 0

и

a = 1

x = 1

;
при

a \neq = 0, a \neq = 1

x = 1, x = \frac{1}{a}

Проверка:

a = 2

:

2 x^{2} - 3 x + 1 = 0

, корни

1

и

\frac{1}{2}

✓

R03.6

Закрепление · решите сами

Решите уравнение при каждом $a$

база $x^{2} - 6 x + a = 0$
база $x^{2} - a x = 0$
повыш. $x^{2} - (a + 2) x + 2 a = 0$
повыш. $a x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Чек-лист

параметр при $x^{2}$ ?
$D (a)$ или $\frac{D}{4}$
контрольные точки на прямой $a$
ответ для всех $a$

В № 3

D

— полный квадрат

5 мин · практика
В парах; № 1–2 — все, № 3–4 — кто справился. Разбор у доски по одному ученику.
1) D/4 = 9 − a. a < 9: x = 3 ± √(9 − a); a = 9: x = 3; a > 9: корней нет.
2) x(x − a) = 0. a ≠ 0: x = 0, x = a; a = 0: x = 0. Ошибка — ответ «0 и a» без случая a = 0.
3) D = (a + 2)² − 8a = (a − 2)². a ≠ 2: x = 2, x = a; a = 2: x = 2. Проверка a = 5: x² − 7x + 10 = 0 → 2 и 5 ✓. Разложение: (x − 2)(x − a) = 0.
4) a = 0: 2x + 1 = 0, x = −0,5. a ≠ 0: D/4 = 1 − a. a < 1, a ≠ 0: x = (−1 ± √(1 − a))/a; a = 1: x = −1; a > 1: корней нет. Проверка a = −3: 3x² − 2x − 1 = 0 → 1 и −1/3; по формуле (−1 ± 2)/(−3) → −1/3 и 1 ✓.

R03.6

Исследование · параметр отдельно

Сколько корней у $x^{2} - 4 x + a = 0$ ?

a = 4 x - x^{2}

корни — общие точки с прямой

y = a

a < 4

: два корня

a = 4

: один,

x = 2

a > 4

: корней нет

Проверка:

\frac{D}{4} = 4 - a

2 мин · теория
Переносим параметр в одну часть: x² − 4x + a = 0 ⇔ a = 4x − x². Слева — горизонтальная прямая y = a, справа — парабола с вершиной (2; 4) и нулями 0 и 4. Двигаем прямую снизу вверх.
a = 3: x² − 4x + 3 = 0 → x = 1 и x = 3 (видно на рисунке). a = 4: (x − 2)² = 0.
Алгебраическая проверка: D/4 = 4 − a — тот же ответ. Графический способ особенно удобен, когда спрашивают «сколько корней на промежутке» — это следующие уроки.
Вопрос: при каких a оба корня положительны? (По рисунку: прямая выше оси, но ниже вершины: 0 < a < 4.) Можно оставить как задачу-вызов.

R03.6

Образец → сам · по графику

Сколько корней у $x^{2} - 2 x = a$ ?

$a$	$3$	$0$	$- 1$	$- 2$
корней	$2$	$2$	$1$	$0$

базаПри каких $a$ два корня? $a > - 1$
повыш.При каких $a$ оба корня положительны? $- 1 < a < 0$

3 мин · практика
По образцу сл. 13: корни уравнения — абсциссы общих точек параболы y = x² − 2x (вершина (1; −1), нули 0 и 2) и прямой y = a. Ученик у доски проводит прямую y = a линейкой, класс считает точки.
Таблица: a = 3: x² − 2x − 3 = 0 → −1 и 3 (2 корня). a = 0: x(x − 2) = 0 → 0 и 2 (2). a = −1: (x − 1)² = 0 → 1 (1). a = −2: x² − 2x + 2 = 0, D/4 = 1 − 2 < 0 (0).
1) Прямая выше вершины: a > −1. Алгебраически: D/4 = 1 + a > 0.
2) Обе точки правее оси y: прямая выше вершины и ниже оси x, −1 < a < 0. При a = 0 один из корней равен 0 — не положителен. Проверка a = −0,75: x² − 2x + 0,75 = 0 → 0,5 и 1,5 ✓.

R03.6

Ловушка · линейный случай без корней

При каких $a$ у $(a - 2) x^{2} + 2 (a - 2) x + 2 = 0$ есть корни?

a = 2 : 0 \cdot x^{2} + 0 \cdot x + 2 = 0

2 = 0

— корней нет

a \neq = 2 : \frac{D}{4} = (a - 2)^{2} - 2 (a - 2)

\frac{D}{4} = (a - 2) (a - 4) \geq 0

множители одного знака

R03.6

Образец → сам · параметр при $x^{2}$

Не забудьте случай «старший коэффициент $= 0$ »

базаПри каких $a$ уравнение $a x^{2} + 4 x + 2 = 0$ имеет ровно один корень? $a = 0$ $(x = - \frac{1}{2})$ или $a = 2$ $(x = - 1)$
повыш.При каких $a$ уравнение $(a + 3) x^{2} - 2 (a + 3) x + 4 = 0$ имеет корни? $a < - 3$ или $a \geq 1$ (при $a = - 3$ : $4 = 0$ )
повыш.При каких $m$ уравнение $(m - 1) x^{2} + (m - 1) x + 1 = 0$ не имеет корней? $1 \leq m < 5$ (при $m = 1$ : $1 = 0$ — корней нет)

3 мин · практика
По образцу сл. 15 (ловушка). Сначала выписать контрольное значение «старший коэффициент = 0», потом D.
1) a = 0: 4x + 2 = 0, x = −0,5 — ровно один корень, подходит. a ≠ 0: D/4 = 4 − 2a = 0 ⇔ a = 2; 2x² + 4x + 2 = 0 ⇔ (x + 1)² = 0, x = −1 ✓. Ответ: a = 0 или a = 2. Типичная ошибка — только a = 2.
2) a = −3: 0 · x² − 0 · x + 4 = 0 ⇔ 4 = 0 — корней нет. a ≠ −3: D/4 = (a + 3)² − 4(a + 3) = (a + 3)(a − 1) ≥ 0 ⇔ a ≤ −3 или a ≥ 1; с учётом a ≠ −3: a < −3 или a ≥ 1. Проверка a = 1: 4x² − 8x + 4 = 0 ⇔ (x − 1)² = 0 ✓; a = 0: 3x² − 6x + 4, D/4 = 9 − 12 < 0 ✓; a = −4: −x² + 2x + 4 = 0, D/4 = 1 + 4 > 0 ✓.
3) m = 1: 1 = 0 — корней нет, значит m = 1 входит в ответ (в отличие от № 2!). m ≠ 1: D = (m − 1)² − 4(m − 1) = (m − 1)(m − 5) < 0 ⇔ 1 < m < 5. Ответ: 1 ≤ m < 5. Проверка m = 3: 2x² + 2x + 1, D = 4 − 8 < 0 ✓; m = 5: 4x² + 4x + 1 = (2x + 1)² — корень есть, 5 не входит ✓.

R03.6

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$x^{2} - 6 x + a = 0$ : $x = 3 \pm 9 - a$	нет условий на $a$	$a < 9$ ; $a = 9$ : $x = 3$ ; $a > 9$ : нет
$a x^{2} - (a + 1) x + 1 = 0$ : $D = (a - 1)^{2}$ , два корня при всех $a$	потеряны $a = 0$ и $a = 1$	при $a = 0; 1$ корень один: $x = 1$
$x^{2} - (a + 2) x + 2 a = 0$ : $x = 2, x = a$	при $a = 2$ корни совпали	$a = 2$ : один корень $x = 2$
$(a - 2) x^{2} + 2 (a - 2) x + 2 = 0$ : при $a = 2$ один корень	получается $2 = 0$	при $a = 2$ корней нет

R03.6

Практика · параметр в задаче

Периметр участка 20 м, площадь $S$ . Какой может быть $S$ ?

x (10 - x) = S ⟺ x^{2} - 10 x + S = 0

\frac{D}{4} = 25 - S \geq 0 ⟺ S \leq 25

0 < S \leq 25

площадь положительна

Наибольшая площадь —

25

м² (квадрат

5 \times 5

)

R03.6 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 22 (часть 2)

Функция и прямая $y = m$

Постройте график функции

y = x^{2} - 4 x + 3

и определите, при каких значениях

m

прямая

y = m

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ключ

общие точки $⟺$ корни $x^{2} - 4 x + 3 = m$

2 мин · практика
Ответ: m = −1. Алгебраически: x² − 4x + 3 − m = 0 имеет ровно один корень ⇔ D/4 = 4 − 3 + m = 1 + m = 0 ⇔ m = −1. Графически: прямая проходит через вершину параболы (2; −1).
Линия 22 ОГЭ — функция и её график (часть 2, развёрнутое решение). В экзамене график нужно построить: парабола, вершина (2; −1), нули 1 и 3, пересечение с осью y в точке 3. Построение квадратичной функции — в своём разделе; сегодня отвечаем на вопрос про m через дискриминант.
Проверка m = −1: x² − 4x + 4 = 0, (x − 2)² = 0, x = 2 — одна точка ✓.

R03.6

Самостоятельная работа · 5 минут

Решите при каждом значении параметра

Вариант 1

$x^{2} - 8 x + a = 0$ $a < 16$ : $4 \pm 16 - a$ ; $a = 16$ : $4$ ; $a > 16$ : нет
$x^{2} - (a + 3) x + 3 a = 0$ $a \neq = 3$ : $3$ и $a$ ; $a = 3$ : $3$
При каких $a$ у $(a - 3) x^{2} + 4 x + 1 = 0$ ровно один корень? $a = 3$ или $a = 7$

Вариант 2

$x^{2} + 6 x + a = 0$ $a < 9$ : $- 3 \pm 9 - a$ ; $a = 9$ : $- 3$ ; $a > 9$ : нет
$x^{2} - (a + 4) x + 4 a = 0$ $a \neq = 4$ : $4$ и $a$ ; $a = 4$ : $4$
При каких $a$ у $(a + 2) x^{2} - 6 x + 1 = 0$ ровно один корень? $a = - 2$ или $a = 7$

5 мин · практика
Вариант по партам. 4 мин на решение, 1 мин — взаимопроверка по ответам, открытым кликом.
В1: 1) D/4 = 16 − a. a < 16: x = 4 ± √(16 − a); a = 16: x = 4; a > 16: корней нет. 2) D = (a + 3)² − 12a = (a − 3)²; (x − 3)(x − a) = 0: a ≠ 3 — корни 3 и a; a = 3 — корень 3. 3) a = 3: 4x + 1 = 0, x = −0,25 ✓. a ≠ 3: D/4 = 4 − (a − 3) = 7 − a = 0 ⇔ a = 7: 4x² + 4x + 1 = (2x + 1)², x = −0,5 ✓. Ответ: a = 3 или a = 7.
В2: 1) D/4 = 9 − a. a < 9: x = −3 ± √(9 − a); a = 9: x = −3; a > 9: корней нет. 2) D = (a + 4)² − 16a = (a − 4)²; (x − 4)(x − a) = 0: a ≠ 4 — корни 4 и a; a = 4 — корень 4. 3) a = −2: −6x + 1 = 0, x = 1/6 ✓. a ≠ −2: D/4 = 9 − (a + 2) = 7 − a = 0 ⇔ a = 7: 9x² − 6x + 1 = (3x − 1)², x = 1/3 ✓. Ответ: a = −2 или a = 7.
Критерий: «5» — 3 задания с полным ответом для всех значений параметра; «4» — 2 задания; потеря контрольного значения — недочёт.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что значит решить уравнение с параметром?
Какие значения $a$ — контрольные?
Чем опасен нулевой старший коэффициент?

Домашнее задание

Решите: $x^{2} + 4 x + a = 0$
Решите: $x^{2} - (a + 1) x + a = 0$
* Решите: $(a + 1) x^{2} - 2 x + 1 = 0$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-043 · Квадратное уравнение с параметром

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения», 17 ч · урок 6/17 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R03.6 «Квадратное уравнение с параметром» → 2, 5–21 (повторение: дискриминант и число корней, R03.2–R03.3 → 3; линейные уравнения с параметром, R03.3 → 4)
Результаты	ПР-19 (решать квадратные уравнения) → 3, 5, 6, 8–12, 20 · ПР-21 (линейные уравнения с параметрами) → 4, 10, 15, 16, 20 · ПР-22 (исследование уравнений, в т. ч. графическое) → 7, 8, 11, 13–16, 19, 20 · ПР-23 (модель реальной ситуации, интерпретация) → 18 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	условия на корни (знаки корней, расположение, теорема Виета в задачах с параметром) — ALG8U-044; уравнения с модулем — ALG8U-045; построение графика квадратичной функции — в своём разделе (здесь графики только иллюстрируют)
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 1, 2, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 15, 21) · практика 31 мин, 69 % (сл. 3, 4, 6, 9, 12, 14, 16–20)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Квадратноеуравнениес параметром

Сегодня вы научитесь

Понимать

Находить

Решать и записывать ответ

Исследовать

Ответьте быстро

Решите при каждом значении a

x2−2x+a=0 — это бесконечно много уравнений

x2+2x+a=0: решите при данном a

Образец: a=−8

Сами

Как решать квадратное уравнение с параметром

Решите уравнение x2−2x+a=0

Решите уравнение при каждом a

Решите уравнение ax2−(a+1)x+1=0

Шаг 1: a=0

Контрольные значения: a=0 и a=1

Решите уравнение при каждом a

Чек-лист

Сколько корней у x2−4x+a=0?

Сколько корней у x2−2x=a?

При каких a у (a−2)x2+2(a−2)x+2=0 есть корни?

Не забудьте случай «старший коэффициент =0»

Найдите ошибку

Периметр участка 20 м, площадь S. Какой может быть S?

Функция и прямая y=m

Ключ

Решите при каждом значении параметра

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-043 · Квадратное уравнение с параметром

Квадратное
уравнение
с параметром

Решите при каждом значении $a$

$x^{2} - 2 x + a = 0$ — это бесконечно много уравнений

$x^{2} + 2 x + a = 0$ : решите при данном $a$

Образец: $a = - 8$

Решите уравнение $x^{2} - 2 x + a = 0$

Решите уравнение при каждом $a$

Решите уравнение $a x^{2} - (a + 1) x + 1 = 0$

Шаг 1: $a = 0$

Контрольные значения: $a = 0$ и $a = 1$

Решите уравнение при каждом $a$

Сколько корней у $x^{2} - 4 x + a = 0$ ?

Сколько корней у $x^{2} - 2 x = a$ ?

При каких $a$ у $(a - 2) x^{2} + 2 (a - 2) x + 2 = 0$ есть корни?

Не забудьте случай «старший коэффициент $= 0$ »

Периметр участка 20 м, площадь $S$ . Какой может быть $S$ ?

Функция и прямая $y = m$