Квадратные уравнения · урок 5 из 17 · новый материал

Уравнения, сводимые
к линейным
и квадратным

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG8U-042

1 мин · теория (орг. момент)
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения» (17 ч), урок 5/17, единица R03.5 «Уравнения, сводимые к линейным уравнениям или к квадратным уравнениям». Тип Н. Вчера (ALG8U-041) — теорема Виета; завтра (ALG8U-043) — квадратное уравнение с параметром.
Хронометраж (45 мин): титул и цели 2 (сл. 1–2, теория) · разминка и актуализация 4 (сл. 3–4, практика) · проблема 1 (сл. 5, теория) · четыре способа вперемежку с «образец → сам»: к линейному 1 + 2 (сл. 6–7), множители 1 + 2 (сл. 8–9), биквадратное 2 + 2 (сл. 10–11), замена 1 + 2 (сл. 12–13) · дробные: алгоритм 1, образец 2, посторонние корни 2 (сл. 14–16, теория), «образец → сам» 3 (сл. 17) · закрепление с самопроверкой 3 (сл. 18) · параметр 1 (сл. 19, теория) · самопроверка повышенного уровня 3 (сл. 20) · найди ошибку 2 (сл. 21) · задача из физики 2 (сл. 22) · ОГЭ 2 (сл. 23) · самостоятельная работа 3 (сл. 24) · итог и ДЗ 1 (сл. 25). Теоретические слайды — без сокращений, время на них сжато за счёт темпа подачи.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 20 и сл. 22 перенести в ДЗ.
Рисунок: график $y = x^{4} - 5 x^{2} + 4$ пересекает ось x в четырёх точках ±1, ±2 — уравнение 4-й степени, а решаем его как квадратное (сл. 10).

R03.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Сводить

уравнение к линейному или квадратному: скобки, множители, замена $t$ (ПР-12, ПР-19)

Решать дробные

дробно-рациональные уравнения с учётом допустимых значений (ПР-9, ПР-20)

Объяснять

откуда берутся посторонние корни и почему теряются корни (ПР-22)

Применять

к задаче из физики и к заданию ОГЭ части 2 (ПР-13, ПР-23)

1 мин · теория
ПР-9: «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях». ПР-12: «Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений». ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики».
ПР-19: «Решать квадратные уравнения». ПР-20: «Решать дробно-рациональные уравнения». ПР-22: «Проводить исследования уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение… решения, если имеет, то сколько, и прочее)». ПР-23: переход от словесной формулировки к модели.
Виды деятельности ФРП: «Определять равносильные уравнения. Применять свойства уравнений с одной переменной».

разминка

Разминка · устно

Разложите, раскройте, найдите корни

разложите

x^{2} - 9

(x - 3) (x + 3)

вынесите множитель

x^{3} - 5 x^{2}

x^{2} (x - 5)

раскройте

(x + 2)^{2}

x^{2} + 4 x + 4

корни по Виета

x^{2} - 5 x + 6 = 0

2; 3

корни по Виета

x^{2} + x - 2 = 0

- 2; 1

решите

x^{2} = 16

\pm 4

решите

x^{2} = - 9

корней нет

не имеет смысла при

\frac{5}{x - 4}

x = 4

повторение: R03.1–R03.4

Вспомним · что мы уже умеем

Три опоры сегодняшнего урока

Линейное

a x = b

$a \neq = 0$ : один корень
$0 \cdot x = 0$ : любое $x$
$0 \cdot x = b, b \neq = 0$ : нет

$3 x - 7 = 8 \Rightarrow x = 5$

Квадратное

a x^{2} + b x + c = 0

$D = b^{2} - 4 a c$
или теорема Виета

$x^{2} - 7 x + 12 = 0 \Rightarrow 3; 4$

Произведение и дробь

A B = 0 ⟺ [A = 0 B = 0

\frac{A}{B} = 0 ⟺ {A = 0 B \neq = 0

R03.5

Проблема · уравнения «страшного» вида

Как решать то, что не похоже на $a x^{2} + b x + c = 0$ ?

R03.5

Способ 1 · квадраты сокращаются

$(x + 3)^{2} - (x - 1)^{2} = 24$ — на самом деле линейное

(x + 3 - x + 1) (x + 3 + x - 1) = 24

разность квадратов

4 (2 x + 2) = 24 \Rightarrow 2 x + 2 = 6

x = 2

проверка:

25 - 1 = 24

(x + 1)^{2} - x (x + 2) = 1 \Rightarrow 0 \cdot x = 0

: любое

x

1 мин · теория
Рисунок: из квадрата со стороной x + 3 вырезали квадрат со стороной x − 1; осталось «уголок» шириной 4 — его площадь и есть разность (рисунок при x > 1).
Можно и раскрыть скобки: x² + 6x + 9 − x² + 2x − 1 = 8x + 8 = 24, x = 2. x² исчезает — уравнение линейное.
Углублённо: после упрощения может получиться 0·x = 0 (корень — любое число, это тождество) или 0·x = b, b ≠ 0 (корней нет). Пример: (x + 1)² − x(x + 2) = x² + 2x + 1 − x² − 2x = 1 — верно при любом x. Если справа было бы 2 — корней нет.

R03.5

Образец → сам · квадраты сокращаются

Решите по образцу

Образец

(x - 2)^{2} - x (x + 1) = 10

x^{2} - 4 x + 4 - x^{2} - x = 10

- 5 x + 4 = 10

x = - 1, 2

Сам

Решите уравнение:

1)

(x + 1)^{2} - (x - 1)^{2} = 8

2

2)

x (x + 3) - (x + 1)^{2} = 5

6

3)

(x - 3) (x + 3) - x^{2} = - 9

любое

x

4)

(x + 2)^{2} - x (x + 4) = 3

корней нет

R03.5

Способ 2 · произведение равно нулю

$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 = 0$ : группируем

x^{2} (x + 2) - 9 (x + 2) = 0

(x + 2) (x^{2} - 9) = 0

(x + 2) (x - 3) (x + 3) = 0

Делить обе части на выражение с

x

нельзя — теряем корни

R03.5

Образец → сам · произведение равно нулю

Решите по образцу

Образец

x^{3} - x^{2} - 4 x + 4 = 0

x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1) = 0

(x - 1) (x - 2) (x + 2) = 0

x = 1; \pm 2

Сам

Решите уравнение:

1)

x^{3} - 16 x = 0

0; \pm 4

2)

x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 = 0

- 3; \pm 1

3)

x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18 = 0

2; \pm 3

4)

x^{3} = x^{2}

0; 1

R03.5

Способ 3 · биквадратное уравнение

$a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ : замена $t = x^{2}$

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0

t = x^{2}, t \geq 0 : t^{2} - 5 t + 4 = 0

t_{1} = 1, t_{2} = 4

по теореме Виета

x^{2} = 1

или

x^{2} = 4

R03.5

Образец → сам · биквадратное уравнение

Решите по образцу

Образец

x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0

t = x^{2} \geq 0 : t^{2} - 13 t + 36 = 0

t = 4

или

t = 9

x = \pm 2; \pm 3

Сам

Решите уравнение:

1)

x^{4} - 17 x^{2} + 16 = 0

\pm 1; \pm 4

2)

x^{4} - 8 x^{2} - 9 = 0

\pm 3

3)

x^{4} - 9 x^{2} = 0

0; \pm 3

4)

x^{4} + 5 x^{2} + 4 = 0

корней нет

R03.5

Способ 3 · заменяем повторяющееся выражение

$(x^{2} + x)^{2} - 8 (x^{2} + x) + 12 = 0$

1 мин · теория
Раскрывать скобки — получим уравнение 4-й степени, которое не знаем как решать. Замечаем, что x² + x встречается дважды.
t² − 8t + 12 = 0: по Виета t = 2 и t = 6. x² + x − 2 = 0 → x = 1, x = −2; x² + x − 6 = 0 → x = 2, x = −3.
Проверка x = 1: t = 2, 4 − 16 + 12 = 0 ✓; x = 2: t = 6, 36 − 48 + 12 = 0 ✓. Ответ: −3; −2; 1; 2.
Типичная ошибка: в ответ пишут t = 2; 6. Вопрос: здесь нужно условие t ≥ 0? (Строго t ≥ −1/4, но в 8 классе достаточно решить оба уравнения — лишнее «отсеется» само через D < 0.)

R03.5

Образец → сам · замена выражения

Решите по образцу

Образец

(x + 2)^{2} - 5 (x + 2) + 6 = 0

t = x + 2 : t^{2} - 5 t + 6 = 0

t = 2

или

t = 3

x = 0

или

x = 1

Сам

Решите уравнение:

1)

(x - 1)^{2} - 3 (x - 1) - 4 = 0

0; 5

2)

(x^{2} + x)^{2} - 4 (x^{2} + x) - 12 = 0

- 3; 2

3)

(x^{2} - x)^{2} - 8 (x^{2} - x) + 12 = 0

- 2; - 1; 2; 3

R03.5

Способ 4 · дробно-рациональные уравнения

Алгоритм: ничего не забыть

R03.5

Образец · по алгоритму

$\frac{x + 2}{x - 1} + \frac{x}{x + 1} = \frac{6}{x ^{2} - 1}$

ОДЗ:

x \neq = 1, x \neq = - 1

(x + 2) (x + 1) + x (x - 1) = 6

умножили на

(x - 1) (x + 1)

2 x^{2} + 2 x - 4 = 0 ⟺ x^{2} + x - 2 = 0

x_{1} = 1, x_{2} = - 2

R03.5

Теория · равносильные и неравносильные переходы

Откуда берутся посторонние корни?

\frac{x ^{2}}{x - 3} = \frac{9}{x - 3}

x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3

умножили на

x - 3

, а оно может быть

0

\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x + 3, x \neq = 3

Умножение на выражение с

x

расширяет ОДЗ — новое уравнение не равносильно

2 мин · теория
Перенесём всё влево: (x² − 9)/(x − 3) = 0. Левая часть равна x + 3 при x ≠ 3: график — прямая с выколотой точкой (3; 6). С осью x она пересекается только в x = −3.
При умножении на x − 3 «запрет» x ≠ 3 пропадает, и появляется лишний корень x = 3 (красный крест).
Итог (виды деятельности ФРП «Определять равносильные уравнения»): равносильные — с одинаковыми множествами корней. Умножение на выражение с переменной может дать посторонние корни (нужен отбор), деление на него — потерять корни (сл. 8). Ответ к примеру: x = −3.
Масштаб: клетка = 1 по обеим осям.

R03.5

Образец → сам · дробно-рациональные уравнения

Решите по алгоритму · не забудьте отбор

Образец

\frac{x ^{2}}{x - 2} = \frac{3 x - 2}{x - 2}

ОДЗ:

x \neq = 2

x^{2} - 3 x + 2 = 0 : x = 1; 2

x = 2

вне ОДЗ · ответ:

1

Сам

Решите уравнение:

1)

\frac{x ^{2}}{x + 4} = \frac{16}{x + 4}

4

2)

\frac{6}{x} = x - 1

- 2; 3

3)

\frac{x}{x - 2} - \frac{4}{x + 2} = \frac{8}{x ^{2} - 4}

0

4)

\frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{4}{x ^{2} - 1}

корней нет

R03.5

Закрепление · задания с самопроверкой

Выберите способ и решите

база $x^{3} - 9 x = 0$ $0; \pm 3$
база $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ $\pm 1; \pm 3$
база $\frac{x ^{2} - 4}{x + 2} = 0$ $2$
повыш. $\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2} = \frac{4}{x ^{2} - 4}$ нет корней
повыш. $(x^{2} - 2 x)^{2} - 2 (x^{2} - 2 x) - 3 = 0$ $- 1; 1; 3$

Подсказка

общий множитель → вынести

только $x^{4}$ и $x^{2}$ → $t = x^{2}$

повтор выражения → $t$

дроби → ОДЗ первым

В № 4 ответ вас удивит

3 мин · практика
2 мин самостоятельно, затем ответы по клику, класс отмечает «+». 1) x(x − 3)(x + 3) = 0 → 0; ±3.
2) t² − 10t + 9 = 0, t = 1 и 9 → ±1; ±3. Проверка x = 3: 81 − 90 + 9 = 0 ✓.
3) ОДЗ x ≠ −2; x² − 4 = 0 → x = ±2; x = −2 посторонний. Ответ: 2.
4) ОДЗ x ≠ ±2. (x + 2) + (x − 2) = 4 → 2x = 4 → x = 2 — не входит в ОДЗ. Ответ: корней нет. (Уравнение свелось к линейному!)
5) t = x² − 2x: t² − 2t − 3 = 0 → t = 3, t = −1. x² − 2x − 3 = 0 → x = 3, x = −1; x² − 2x + 1 = 0 → x = 1. Ответ: −1; 1; 3. Проверка x = 1: t = −1, 1 + 2 − 3 = 0 ✓.

R03.5

Углублённый уровень · исследование

При каких $a$ у $\frac{x ^{2} - ( a + 2 ) x + 2 a}{x - 3} = 0$ ровно один корень?

Ответ: $a = 2$ или $a = 3$

R03.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Выберите способ, решите и обоснуйте

повыш. 1)

(x^{2} - 5)^{2} - 16 = 0

\pm 1; \pm 3

повыш. 2)

x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12 = 0

3; \pm 2

повыш. 3)

\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{4}{3}

- 1, 5; 1

повыш. 4)

(x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x - 2) = 8

- 4; - 2; - 1; 1

параметр 5) при каких

a

у

\frac{( x - 1 ) ( x - a )}{x + 2} = 0

ровно один корень?

a = 1

или

a = - 2

3 мин · практика
Самостоятельно 2 мин (сильным — все пять, остальным — 1–3), затем ответы по клику.
1) Разность квадратов: $(x^{2} - 5 - 4) (x^{2} - 5 + 4) = (x^{2} - 9) (x^{2} - 1) = 0$ → $\pm 1; \pm 3$ (проверка $x = 1$ : $(- 4)^{2} - 16 = 0$ ✓).
2) $x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3) = (x - 3) (x - 2) (x + 2) = 0$ → $3; \pm 2$ (проверка $x = - 2$ : $- 8 - 12 + 8 + 12 = 0$ ✓).
3) ОДЗ $x \neq = 0, x \neq = - 2$ ; $\cdot 3 x (x + 2)$ : $3 (x + 2) + 3 x = 4 x (x + 2)$ → $4 x^{2} + 2 x - 6 = 0$ → $2 x^{2} + x - 3 = 0$ , $D = 25$ → $x = 1; - 1, 5$ (оба в ОДЗ). Проверка $x = - 1, 5$ : $- \frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3}$ ✓.
4) $t = x^{2} + 3 x$ : $t (t - 2) = 8$ → $t^{2} - 2 t - 8 = 0$ → $t = 4; - 2$ ; $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ → $1; - 4$ ; $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ → $- 1; - 2$ . Проверка $x = - 2$ : $t = - 2$ , $(- 2) (- 4) = 8$ ✓.
5) Как на сл. 19: корни числителя $1$ и $a$ , $x \neq = - 2$ . Ровно один корень, если корни совпали ( $a = 1$ ) или корень $a$ выпал из ОДЗ ( $a = - 2$ ). Ответ: $a = 1$ или $a = - 2$ .

R03.5

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$x^{3} = 4 x \Rightarrow x^{2} = 4, x = \pm 2$	разделили на $x$ , а $x$ может быть $0$	$0; \pm 2$
$\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = 0 \Rightarrow x = \pm 3$	$x = 3$ обращает знаменатель в $0$	$x = - 3$
$x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$ : $x = \pm 2, x = \pm 1$	$t = - 1$ , а $x^{2} = - 1$ невозможно	$\pm 2$
$(x^{2} + x)^{2} - 8 (x^{2} + x) + 12 = 0$ : ответ $2; 6$	нашли $t$ , не вернулись к $x$	$- 3; - 2; 1; 2$

R03.5 · практика

Практика · физика, параллельное соединение

Найдите сопротивления $R_{1}$ и $R_{2}$

\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}} : \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{6}

6 (x + 5) + 6 x = x (x + 5)

ОДЗ:

x \neq = 0, x \neq = - 5

x^{2} - 7 x - 30 = 0 \Rightarrow x = 10, x = - 3

R_{1} = 10

Ом,

R_{2} = 15

Ом

x = - 3

: сопротивление не бывает отрицательным

2 мин · практика
Ученики составляют уравнение и решают в тетрадях, шаги решения открываются по клику для проверки. Два резистора соединены параллельно, один на 5 Ом больше другого, общее сопротивление 6 Ом. Формулу параллельного соединения ученики знают из физики 8 класса.
Раскрываем: 6x + 30 + 6x = x² + 5x → x² − 7x − 30 = 0; по Виета 10 и −3.
Проверка: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6 ✓. Корень −3 входит в ОДЗ, но не подходит по смыслу (ПР-23: интерпретация результата).

R03.5 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 20 (часть 2)

Решите уравнение

x^{4} = (x - 6)^{2}

Запишите полное решение и ответ.

Подсказка

$x^{4} = (x^{2})^{2}$
перенести влево
разность квадратов

2 балла — за верное решение с обоснованием

R03.5

Самостоятельная работа

Два варианта · по одному уравнению на каждый способ

Вариант 1

1)

(x + 1)^{2} - (x - 2)^{2} = 15

3

2)

x^{3} - 25 x = 0

0; \pm 5

3)

x^{4} - 26 x^{2} + 25 = 0

\pm 1; \pm 5

4)

\frac{x ^{2} - x}{x + 2} = \frac{6}{x + 2}

3

Вариант 2

1)

(x + 3)^{2} - (x - 1)^{2} = 32

3

2)

x^{3} - 36 x = 0

0; \pm 6

3)

x^{4} - 20 x^{2} + 64 = 0

\pm 2; \pm 4

4)

\frac{x ^{2} + x}{x - 3} = \frac{12}{x - 3}

- 4

3 мин · практика
Варианты по партам; 2,5 мин работы, затем взаимопроверка в парах по ответам на слайде (открыть по клику). Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».
Вариант 1: 1) $x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} + 4 x - 4 = 6 x - 3 = 15$ → $x = 3$ (проверка $16 - 1 = 15$ ✓); 2) $x (x - 5) (x + 5) = 0$ → $0; \pm 5$ ; 3) $t^{2} - 26 t + 25 = 0$ → $t = 1; 25$ → $\pm 1; \pm 5$ ( $625 - 650 + 25 = 0$ ✓); 4) ОДЗ $x \neq = - 2$ ; $x^{2} - x - 6 = 0$ → $3; - 2$ ; $- 2$ посторонний → $3$ (проверка $\frac{6}{5} = \frac{6}{5}$ ✓).
Вариант 2: 1) $x^{2} + 6 x + 9 - x^{2} + 2 x - 1 = 8 x + 8 = 32$ → $x = 3$ ( $36 - 4 = 32$ ✓); 2) $x (x - 6) (x + 6) = 0$ → $0; \pm 6$ ; 3) $t^{2} - 20 t + 64 = 0$ → $t = 4; 16$ → $\pm 2; \pm 4$ ( $256 - 320 + 64 = 0$ ✓); 4) ОДЗ $x \neq = 3$ ; $x^{2} + x - 12 = 0$ → $3; - 4$ ; $3$ посторонний → $- 4$ (проверка $\frac{12}{- 7} = \frac{12}{- 7}$ ✓).

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие четыре способа сведения вы знаете?
Почему нельзя делить на $x$ ?
Откуда берутся посторонние корни?

Домашнее задание

$x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12 = 0$
$4 x^{4} - 5 x^{2} + 1 = 0$
$\frac{x}{x + 3} = \frac{2}{x + 1}$
* При каких $a$ у $\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - a} = 0$ ровно один корень?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

1 мин · практика (рефлексия: отвечают ученики)
Ответы ДЗ: 1) x²(x + 3) − 4(x + 3) = (x + 3)(x − 2)(x + 2) → −3; ±2. 4t² − 5t + 1 = 0 → t = 1, t = 1/4 → ±1; ±0,5 (проверка x = 0,5: 4·0,0625 − 5·0,25 + 1 = 0,25 − 1,25 + 1 = 0 ✓).
2) ОДЗ x ≠ −3, x ≠ −1. x(x + 1) = 2(x + 3) → x² − x − 6 = 0 → x = 3, x = −2 (оба в ОДЗ). Проверка x = −2: −2/1 = −2, 2/(−1) = −2 ✓.
3*) Корни числителя 2 и 3; x = a исключается. Ровно один корень при a = 2 или a = 3. При остальных a — два корня.
Следующий урок ALG8U-043 — квадратное уравнение с параметром.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-042 · Уравнения, сводимые к линейным уравнениям или к квадратным уравнениям

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения», 17 ч · урок 5/17 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R03.5 «Уравнения, сводимые к линейным уравнениям или к квадратным уравнениям» → 2, 5–25 (повторение R03.1–R03.4 → 3–4)
Результаты	ПР-9 (допустимые значения в дробно-рациональных выражениях) → 3, 14–18, 20, 24 · ПР-12 (тождественные преобразования) → 3, 6–9, 12–13, 24 · ПР-13 (применение в смежных предметах) → 22 · ПР-19 (квадратные уравнения) → 3–4, 10–13, 15, 18, 20, 23 · ПР-20 (дробно-рациональные уравнения) → 14–20, 22, 24 · ПР-22 (исследование уравнений) → 6–7, 10–11, 16, 19, 20 · ПР-23 (модель, интерпретация) → 22 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	квадратное уравнение с параметром — ALG8U-043 и далее (здесь только один пример); уравнения с модулем — ALG8U-045; текстовые задачи на составление уравнений — R03.9–R03.10; возвратные уравнения и деление многочленов — не изучаются
Хронометраж	теория 14 мин · практика 31 мин (69 %); теоретические слайды сохранены полностью, практика добавлена: разминка, 5 слайдов «образец → сам», 2 слайда самопроверки, самостоятельная работа (2 варианта)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Уравнения, сводимыек линейными квадратным

Сегодня вы научитесь

Сводить

Решать дробные

Объяснять

Применять

Разложите, раскройте, найдите корни

Три опоры сегодняшнего урока

Линейное

Квадратное

Произведение и дробь

Как решать то, что не похоже на ax2+bx+c=0?

(x+3)2−(x−1)2=24 — на самом деле линейное

Решите по образцу

Образец

Сам

x3+2x2−9x−18=0: группируем

Решите по образцу

Образец

Сам

ax4+bx2+c=0: замена t=x2

Решите по образцу

Образец

Сам

(x2+x)2−8(x2+x)+12=0

Решите по образцу

Образец

Сам

Алгоритм: ничего не забыть

x−1x+2​+x+1x​=x2−16​

Откуда берутся посторонние корни?

Решите по алгоритму · не забудьте отбор

Образец

Сам

Выберите способ и решите

Подсказка

При каких a у x−3x2−(a+2)x+2a​=0 ровно один корень?

Выберите способ, решите и обоснуйте

Найдите ошибку

Найдите сопротивления R1​ и R2​

Решите уравнение

Подсказка

Два варианта · по одному уравнению на каждый способ

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-042 · Уравнения, сводимые к линейным уравнениям или к квадратным уравнениям

Уравнения, сводимые
к линейным
и квадратным

Как решать то, что не похоже на $a x^{2} + b x + c = 0$ ?

$(x + 3)^{2} - (x - 1)^{2} = 24$ — на самом деле линейное

$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 = 0$ : группируем

$a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ : замена $t = x^{2}$

$(x^{2} + x)^{2} - 8 (x^{2} + x) + 12 = 0$

$\frac{x + 2}{x - 1} + \frac{x}{x + 1} = \frac{6}{x ^{2} - 1}$

При каких $a$ у $\frac{x ^{2} - ( a + 2 ) x + 2 a}{x - 3} = 0$ ровно один корень?

Найдите сопротивления $R_{1}$ и $R_{2}$