Квадратные уравнения · урок 4 из 17 · новый материал

Теорема
Виета

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG8U-041

1 мин · теория
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения» (17 ч), урок 4/17, единица R03.4 «Теорема Виета». Тип Н (новый материал). До этого: ALG8U-039 «Формула корней», ALG8U-040 «Количество действительных корней». Следующий урок ALG8U-042 — «Уравнения, сводимые к линейным или квадратным».
Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Сумма 45 мин.
Хронометраж: титул и цели 2 мин (сл. 1–2, теория) · разминка, повторение, наблюдение 6 (сл. 3–5, практика) · теорема и доказательство 3 (сл. 6–7, теория) · «образец → сам» 2 (сл. 8) · разложение, обратная теорема, знаки 4 (сл. 9–11, теория) · подбор 2 (сл. 12) · применение 1 (сл. 13, теория) · по образцу 2 (сл. 14) · выражения от корней 1 (сл. 15, теория) · по образцу 2 (сл. 16) · знаки корней и параметр 2 (сл. 17–18, теория) · по образцу 2 (сл. 19) · ошибки 2 (сл. 20) · самопроверка 6 (сл. 21–22) · закрепление 2 (сл. 23) · ОГЭ 1 (сл. 24) · самостоятельная работа 4 (сл. 25) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 26).
Вся теория прежняя, без сокращений; практика добавлена: разминка, после каждого нового правила — образец и сразу похожие задания, самопроверка с ответами по клику, самостоятельная работа в двух вариантах.
Если не успеваете: задания 5–6 со сл. 23 перенести в ДЗ.

R03.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Формулировать и доказывать

теорему Виета и обратную ей теорему (ПР-19)

Находить корни подбором

и проверять корни, найденные по формуле (ПР-19)

Вычислять без решения

суммы квадратов, обратных величин и другие выражения от корней (ПР-19, ПР-13)

Исследовать

знаки корней и уравнения с параметром (ПР-22)

1 мин · теория
ПР-19 (ФРП): «Решать квадратные уравнения».
ПР-13: «Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики…».
ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
Виды деятельности ФРП: «Наблюдать и анализировать связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Формулировать теорему Виета, а также обратную теорему, применять эти теоремы для решения задач».

повторение: R03.1–R03.3

Разминка · устно

Ответьте быстро

1Корни

(x - 3) (x + 5) = 0

?

3; - 5

2

D

для

x^{2} + 2 x - 3 = 0

?

16

3Произведение

24

, сумма

10

?

4

и

6

4Произведение

- 12

, сумма

1

?

4

и

- 3

5К виду

\dots = 0

:

x^{2} = 5 x - 6

x^{2} - 5 x + 6 = 0

6Разделите на

3

:

3 x^{2} - 12 x + 9 = 0

x^{2} - 4 x + 3 = 0

7

(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + ?

2 ab

8Знак произведения двух отрицательных?«

+

»

повторение: R03.2, R03.3

Вспомним · устно

Дискриминант и формула корней

Найдите $D$ : $x^{2} - 6 x + 5 = 0$
Сколько корней: $x^{2} + 4 x + 4 = 0$ ?
Сколько корней: $x^{2} + x + 3 = 0$ ?
Решите: $x^{2} - 6 x + 5 = 0$

Дискриминант

D = b^{2} - 4 a c

$D > 0$ — два корня, $D = 0$ — один, $D < 0$ — нет

Формула корней

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

R03.4

Проблема · наблюдаем и выдвигаем гипотезу

Как корни связаны с коэффициентами?

Уравнение	Корни	$x_{1} + x_{2}$	$x_{1} \cdot x_{2}$
$x^{2} - 5 x + 6 = 0$	$2; 3$	$5$	$6$
$x^{2} + 2 x - 15 = 0$	$3; - 5$	$- 2$	$- 15$
$x^{2} + 6 x + 8 = 0$	$- 2; - 4$	$- 6$	$8$
$x^{2} - x - 12 = 0$	$4; - 3$	$1$	$- 12$
$2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$	$3; \frac{1}{2}$	$\frac{7}{2}$	$\frac{3}{2}$

Гипотеза: у

x^{2} + p x + q = 0

сумма корней равна

- p

, произведение равно

q

. А если

a \neq = 1

?

R03.4

Новое · теорема

Теорема Виета

Приведённое: $x^{2} + p x + q = 0$

x_{1} + x_{2} = - p, x_{1} x_{2} = q

Общее: $a x^{2} + b x + c = 0, a \neq = 0$

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

Условие: корни существуют, т. е.

D \geq 0

При

D = 0

считаем

x_{1} = x_{2}

R03.4

Доказательство · через формулу корней

Пусть $D \geq 0$ и $x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}$

x_{1} + x_{2} = \frac{- b + D}{2 a} + \frac{- b - D}{2 a} = \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a}

корни из

D

взаимно уничтожаются

x_{1} x_{2} = \frac{( - b + D ) ( - b - D )}{4 a ^{2}} = \frac{b ^{2} - D}{4 a ^{2}}

разность квадратов

\frac{b ^{2} - ( b ^{2} - 4 a c )}{4 a ^{2}} = \frac{4 a c}{4 a ^{2}} = \frac{c}{a}

подставили

D = b^{2} - 4 a c

R03.4

Образец → сам

Сумма и произведение корней — без решения

Образец: $3 x^{2} - 7 x - 6 = 0$

D = 49 + 72 = 121 > 0

корни есть

x_{1} + x_{2} = - \frac{- 7}{3} = \frac{7}{3}

это

- b / a

x_{1} x_{2} = \frac{- 6}{3} = - 2

это

c / a

Сами

$x^{2} - 8 x + 15 = 0$ $8; 15$
$x^{2} + 3 x - 10 = 0$ $- 3; - 10$
$2 x^{2} + 9 x + 4 = 0$ $- \frac{9}{2}; 2$
$x^{2} - 4 x + 7 = 0$ корней нет

R03.4

Другой взгляд · раскрываем скобки

$(x - x_{1}) (x - x_{2}) = x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2}$

(x + 2) (x + 3) = x^{2} + 5 x + 6

корни:

- 2

и

- 3

каждая скобка обращается в нуль

- 2 + (- 3) = - 5 = - p

(- 2) \cdot (- 3) = 6 = q

Если

x^{2} + p x + q = (x - x_{1}) (x - x_{2})

, то

p = - (x_{1} + x_{2})

,

q = x_{1} x_{2}

R03.4

Новое · теорема, обратная теореме Виета

Если $m + n = - p$ и $mn = q$ , то $m$ и $n$ — корни $x^{2} + p x + q = 0$

Доказательство

x^{2} + p x + q = x^{2} - (m + n) x + mn

= (x - m) (x - n)

группировка:

x (x - m) - n (x - m)

(x - m) (x - n) = 0 \Rightarrow x = m, x = n

R03.4

Приём · подбор корней по знакам

Знаки корней читаем по $p$ и $q$

$x^{2} - 9 x + 20 = 0$

$4$ и $5$

$x^{2} + 9 x + 20 = 0$

$- 4$ и $- 5$

$x^{2} - x - 20 = 0$

$5$ и $- 4$

$x^{2} + x - 20 = 0$

$- 5$ и $4$

q > 0

: корни одного знака — знака числа

- p

q < 0

: корни разных знаков; больший по модулю — со знаком числа

- p

R03.4

Образец → сам

Найдите корни подбором

Образец: $x^{2} - 2 x - 24 = 0$

q = - 24 < 0

корни разных знаков

- p = 2 > 0

больший по модулю — «

+

»

6 \cdot (- 4) = - 24, 6 - 4 = 2

$x_{1} = 6, x_{2} = - 4$

Сами

$x^{2} - 7 x + 12 = 0$ $3; 4$
$x^{2} + 11 x + 24 = 0$ $- 3; - 8$
$x^{2} + 5 x - 14 = 0$ $2; - 7$
$x^{2} - 4 x - 45 = 0$ $9; - 5$
$x^{2} - 15 x + 56 = 0$ $7; 8$
$x^{2} + x - 42 = 0$ $6; - 7$

R03.4

Применяем · два типа задач

Найти второй корень · составить уравнение

$x^{2} - 13 x + q = 0, x_{1} = 4$

x_{2} = 13 - 4 = 9

из суммы

x_{1} + x_{2} = 13

q = 4 \cdot 9 = 36

из произведения

Корни $- 3$ и $\frac{1}{2}$ , коэффициенты — целые

p = - (- 3 + \frac{1}{2}) = \frac{5}{2}, q = - \frac{3}{2}

x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{3}{2} = 0 \cdot 2

2 x^{2} + 5 x - 3 = 0

R03.4

По образцу · сами

Второй корень, коэффициент, уравнение

база $x^{2} - 9 x + q = 0, x_{1} = 2$ . Найдите $x_{2}$ и $q$ . $x_{2} = 7, q = 14$
база $x^{2} + p x - 18 = 0, x_{1} = - 3$ . Найдите $x_{2}$ и $p$ . $x_{2} = 6, p = - 3$
повыш. $3 x^{2} + b x + 10 = 0, x_{1} = 5$ . Найдите $x_{2}$ и $b$ . $x_{2} = \frac{2}{3}, b = - 17$

базаСоставьте приведённое уравнение с корнями $3$ и $- 7$ . $x^{2} + 4 x - 21 = 0$
повыш.С целыми коэффициентами, корни $\frac{1}{3}$ и $- 2$ . $3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

R03.4

Углублённый уровень · выражения от корней без решения

$x^{2} - 6 x + 4 = 0$ : $x_{1} + x_{2} = 6, x_{1} x_{2} = 4$

Найти	Выразить через сумму и произведение	Значение
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$	$(x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}$	$36 - 8 = 28$
$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$	$\frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}}$	$\frac{6}{4} = 1, 5$
$(x_{1} - x_{2})^{2}$	$(x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2}$	$36 - 16 = 20$
$x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$	$(x_{1} + x_{2})^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2})$	$216 - 72 = 144$

Сначала проверяем:

D = 36 - 16 = 20 > 0

— корни есть.

R03.4

По образцу · сами

$x^{2} - 5 x + 2 = 0$ . Найдите, не решая уравнение

Сначала:

D = 25 - 8 = 17 > 0

;

x_{1} + x_{2} = 5, x_{1} x_{2} = 2

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ $21$
$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$ $\frac{5}{2}$
$x_{1}^{2} x_{2} + x_{1} x_{2}^{2}$ $10$

$(x_{1} - x_{2})^{2}$ $17$
$\frac{x _{2}}{x _{1}} + \frac{x _{1}}{x _{2}}$ $\frac{21}{2}$
$x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$ $95$

R03.4

Исследование · знаки корней без их вычисления

Где лежат корни $x^{2} + p x + q = 0$ ?

R03.4

Углублённый уровень · задача с параметром

При каких $a$ у $x^{2} - 4 x + a = 0$ два различных положительных корня?

D = 16 - 4 a > 0 \Rightarrow a < 4

x_{1} x_{2} = a > 0

x_{1} + x_{2} = 4 > 0

выполнено при любом

a

Ответ:

0 < a < 4

R03.4

По образцу · сами

Знаки корней — без вычисления корней

$x^{2} - 9 x + 14 = 0$ оба положительны
$x^{2} + 10 x + 16 = 0$ оба отрицательны
$x^{2} + 3 x - 40 = 0$ разных знаков, больший по модулю « $-$ »
$x^{2} - 3 x + 5 = 0$ $D = - 11$ , корней нет

параметрПри каких $a$ у $x^{2} + 6 x + a = 0$ два различных отрицательных корня? $0 < a < 9$
параметрПри каких $a$ корни $x^{2} - 2 x + a = 0$ разных знаков? $a < 0$

2 мин · практика
1) D = 81 − 56 = 25 > 0, q = 14 > 0, −p = 9 > 0 — оба положительны (корни 2 и 7).
2) D = 100 − 64 = 36 > 0, q = 16 > 0, −p = −10 < 0 — оба отрицательны (−2 и −8).
3) q = −40 < 0 — разных знаков; −p = −3 < 0 — больший по модулю отрицателен (5 и −8).
4) D = 9 − 20 = −11 < 0 — корней нет, хотя «сумма 3 > 0 и произведение 5 > 0» (ловушка со сл. 17).
5) D = 36 − 4a > 0 ⇒ a < 9; x₁x₂ = a > 0; x₁ + x₂ = −6 < 0 — всегда. Ответ 0 < a < 9. Проверка: a = 5 ⇒ корни −1 и −5 ✓.
6) Достаточно x₁x₂ = a < 0 (тогда D = 4 − 4a > 0 автоматически). Ответ a < 0. Проверка: a = −3 ⇒ корни 3 и −1 ✓.

R03.4

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$x^{2} - 7 x + 12 = 0$ : $x_{1} + x_{2} = - 7$	сумма равна $- p$	$7$
$2 x^{2} - 8 x + 3 = 0$ : $x_{1} x_{2} = 3$	уравнение не приведённое	$\frac{3}{2}$
$x^{2} + 5 x = 6$ : $x_{1} x_{2} = 6$	сначала к виду $\dots = 0$	$- 6$ (корни $1; - 6$ )
$x^{2} - 3 x - 10 = 0$ : корни $- 5; 2$	сумма $- 3$ , а нужно $3$	$5; - 2$
$x^{2} + 2 x + 5 = 0$ : $x_{1} + x_{2} = - 2$	$D = - 16 < 0$ , корней нет	теорема неприменима

R03.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте себя

базаСумма и произведение корней $x^{2} + 7 x - 8 = 0$ $- 7; - 8$
базаПодбором: $x^{2} - 12 x + 35 = 0$ $5; 7$
базаПодбором: $x^{2} + 2 x - 48 = 0$ $6; - 8$
базаПодбором: $x^{2} - 100 x + 99 = 0$ $1; 99$

базаОдин корень $x^{2} - 6 x + q = 0$ равен $1$ . Найдите $q$ и второй корень. $q = 5, x_{2} = 5$
базаПриведённое уравнение с корнями $- 2$ и $- 9$ $x^{2} + 11 x + 18 = 0$
базаСумма и произведение корней $4 x^{2} - 12 x + 5 = 0$ $3; \frac{5}{4}$

3 мин · практика
1) D = 49 + 32 = 81 > 0; сумма −7, произведение −8 (корни 1 и −8).
2) 5 и 7 (5 + 7 = 12, 5·7 = 35). 3) 6 и −8 (6 − 8 = −2 = −p, 6·(−8) = −48). Проверка: 36 + 12 − 48 = 0 ✓.
4) 1 и 99 (1 + 99 = 100, 1·99 = 99). Наблюдение: 1 − 100 + 99 = 0, значит x = 1 — корень (сумма коэффициентов равна нулю).
5) x₂ = 6 − 1 = 5, q = 1·5 = 5. Проверка: 1 − 6 + 5 = 0 ✓.
6) Сумма −11, произведение 18: x² + 11x + 18 = 0. Проверка: 4 − 22 + 18 = 0 ✓.
7) D = 144 − 80 = 64 > 0; сумма 12/4 = 3, произведение 5/4 (корни 5/2 и 1/2).
Ученики решают в тетради, учитель открывает ответы по клику — самопроверка, «поднимите руку, у кого всё верно».

R03.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и проверьте себя

повыш. $x_{1}, x_{2}$ — корни $x^{2} + 4 x - 6 = 0$ . Найдите $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ . $28$
повыш.Приведённое уравнение с корнями $3 - 2$ и $3 + 2$ $x^{2} - 6 x + 7 = 0$

сложнееОдин корень $x^{2} + p x + 12 = 0$ втрое больше другого. Найдите $p$ . $p = - 8$ или $p = 8$
жизньУчасток-прямоугольник: площадь $60$ м², периметр $34$ м. Найдите стороны. $5$ м и $12$ м

R03.4

Закрепление

Решите задачи

базаНайдите сумму и произведение корней: $x^{2} - 11 x + 18 = 0$
базаПодбором: $x^{2} + x - 30 = 0$
повыш.Один корень $2 x^{2} + b x - 6 = 0$ равен $3$ . Найдите $b$ и второй корень.

повыш. $x_{1}, x_{2}$ — корни $x^{2} - 5 x - 3 = 0$ . Найдите $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ и $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$ .
повыш.Составьте приведённое уравнение с корнями $2 - 3$ и $2 + 3$ .
практикаПри каком $k$ разность корней $x^{2} - 6 x + k = 0$ равна $2$ ?

2 мин · практика
Если не успеваете — задания 5–6 перенести в ДЗ.
1) D = 121 − 72 = 49 > 0; сумма 11, произведение 18 (корни 2 и 9).
2) Произведение −30, сумма −1: корни 5 и −6 (проверка: 25 + 5 − 30 = 0 ✓; 36 − 6 − 30 = 0 ✓).
3) x₁x₂ = −6/2 = −3 ⇒ x₂ = −1; x₁ + x₂ = 2 = −b/2 ⇒ b = −4. Проверка: 2·9 − 12 − 6 = 0 ✓; 2 + 4 − 6 = 0 ✓.
4) D = 25 + 12 = 37 > 0; сумма 5, произведение −3; x₁² + x₂² = 25 + 6 = 31; 1/x₁ + 1/x₂ = 5/(−3) = −5/3.
5) Сумма 4, произведение 4 − 3 = 1: x² − 4x + 1 = 0 (проверка: D = 12, корни (4 ± 2√3)/2 = 2 ± √3 ✓).
6) x₁ + x₂ = 6, x₁ − x₂ = 2 ⇒ x₁ = 4, x₂ = 2, k = 8 (проверка: 16 − 24 + 8 = 0 ✓). Можно и через (x₁ − x₂)² = 36 − 4k = 4.

R03.4 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 9

Решите уравнение

x^{2} = 2 x + 48

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

План

перенести всё влево: $\dots = 0$
$q < 0$ — корни разных знаков
подобрать по Виету, проверить
выбрать меньший

В бланк — одно число

R03.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта

Вариант 1

Сумма и произведение корней $x^{2} - 9 x + 8 = 0$ $9; 8$
Подбором: $x^{2} + 3 x - 18 = 0$ $3; - 6$
Один корень $x^{2} + b x - 12 = 0$ равен $4$ . Найдите $b$ и $x_{2}$ . $b = - 1, x_{2} = - 3$
$x^{2} - 3 x - 5 = 0$ : найдите $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ $19$

Вариант 2

Сумма и произведение корней $x^{2} + 10 x + 21 = 0$ $- 10; 21$
Подбором: $x^{2} - 2 x - 35 = 0$ $7; - 5$
Один корень $x^{2} + b x + 15 = 0$ равен $- 3$ . Найдите $b$ и $x_{2}$ . $b = 8, x_{2} = - 5$
$x^{2} + 4 x - 7 = 0$ : найдите $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ $30$

4 мин · практика
Вариант 1: 1) D = 81 − 32 = 49 > 0; 9 и 8 (корни 1 и 8); 2) 3 и −6 (сумма −3, произведение −18); 3) x₂ = −12 : 4 = −3, сумма 1 = −b ⇒ b = −1 (проверка: 16 − 4 − 12 = 0 ✓); 4) D = 9 + 20 = 29 > 0; 9 + 10 = 19.
Вариант 2: 1) D = 100 − 84 = 16 > 0; −10 и 21 (корни −3 и −7); 2) 7 и −5 (сумма 2, произведение −35); 3) x₂ = 15 : (−3) = −5, сумма −8 = −b ⇒ b = 8 (проверка: 9 − 24 + 15 = 0 ✓); 4) D = 16 + 28 = 44 > 0; 16 + 14 = 30.
Ответы открывать после сдачи или для взаимопроверки в парах. Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чему равны сумма и произведение корней $a x^{2} + b x + c = 0$ ?
Когда теорему Виета применять нельзя?
Чем обратная теорема отличается от прямой?

Домашнее задание

Подбором: $x^{2} - 10 x + 21 = 0$ ;
$x^{2} + 4 x - 21 = 0$
$x^{2} + 8 x + 5 = 0$ : найдите $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$
При каких $a$ у $x^{2} + 2 x + a = 0$ два различных отрицательных корня?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_vieta.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-041 · Теорема Виета

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения», 17 ч · урок 4/17 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R03.4 «Теорема Виета» → 2, 5–26 (повторение R03.1–R03.3 → 3, 4)
Результаты	ПР-19 (решать квадратные уравнения) → 3–14, 20–26 · ПР-13 (преобразования выражений для решения задач) → 15, 16, 22, 23, 25 · ПР-22 (исследование уравнений, число и знаки решений) → 17–19, 23, 26 · кодификатора REQ у курса нет
Хронометраж	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %); теория без сокращений, добавлены разминка, «образец → сам», самопроверка, самостоятельная работа
Вне урока	уравнения, сводимые к квадратным (R03.5) — ALG8U-042; квадратные уравнения с параметром в общем виде (R03.6–R03.7) — ALG8U-043, ALG8U-044; уравнения с модулем (R03.8), текстовые задачи (R03.9–R03.10) — далее в строке; график квадратичной функции — только как иллюстрация
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

ТеоремаВиета

Сегодня вы научитесь

Формулировать и доказывать

Находить корни подбором

Вычислять без решения

Исследовать

Ответьте быстро

Дискриминант и формула корней

Дискриминант

Формула корней

Как корни связаны с коэффициентами?

Теорема Виета

Приведённое: x2+px+q=0

Общее: ax2+bx+c=0, a=0

Пусть D≥0 и x1,2​=2a−b±D​​

Сумма и произведение корней — без решения

Образец: 3x2−7x−6=0

Сами

(x−x1​)(x−x2​)=x2−(x1​+x2​)x+x1​x2​

Если m+n=−p и mn=q, то m и n — корни x2+px+q=0

Знаки корней читаем по p и q

x2−9x+20=0

x2+9x+20=0

x2−x−20=0

x2+x−20=0

Найдите корни подбором

Образец: x2−2x−24=0

Сами

Найти второй корень · составить уравнение

x2−13x+q=0, x1​=4

Корни −3 и 21​, коэффициенты — целые

Второй корень, коэффициент, уравнение

x2−6x+4=0: x1​+x2​=6, x1​x2​=4

x2−5x+2=0. Найдите, не решая уравнение

Где лежат корни x2+px+q=0?

При каких a у x2−4x+a=0 два различных положительных корня?

Знаки корней — без вычисления корней

Найдите ошибку

Решите и проверьте себя

Подумайте и проверьте себя

Решите задачи

Решите уравнение

План

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-041 · Теорема Виета

Теорема
Виета

Приведённое: $x^{2} + p x + q = 0$

Общее: $a x^{2} + b x + c = 0, a \neq = 0$

Пусть $D \geq 0$ и $x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}$

Образец: $3 x^{2} - 7 x - 6 = 0$

$(x - x_{1}) (x - x_{2}) = x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2}$

Если $m + n = - p$ и $mn = q$ , то $m$ и $n$ — корни $x^{2} + p x + q = 0$

Знаки корней читаем по $p$ и $q$

$x^{2} - 9 x + 20 = 0$

$x^{2} + 9 x + 20 = 0$

$x^{2} - x - 20 = 0$

$x^{2} + x - 20 = 0$

Образец: $x^{2} - 2 x - 24 = 0$

$x^{2} - 13 x + q = 0, x_{1} = 4$

Корни $- 3$ и $\frac{1}{2}$ , коэффициенты — целые

$x^{2} - 6 x + 4 = 0$ : $x_{1} + x_{2} = 6, x_{1} x_{2} = 4$

$x^{2} - 5 x + 2 = 0$ . Найдите, не решая уравнение

Где лежат корни $x^{2} + p x + q = 0$ ?

При каких $a$ у $x^{2} - 4 x + a = 0$ два различных положительных корня?