Квадратные уравнения · урок 3 из 17 · новый материал

Количество
действительных корней
квадратного уравнения

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG8U-040

1 мин · теория
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Сумма 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения» (17 ч), урок 3/17, единица R03.3 «Количество действительных корней квадратного уравнения». Тип Н. Вчера (ALG8U-039) — формула корней; завтра (ALG8U-041) — теорема Виета.
Хронометраж: титул и цели 2 мин (сл. 1–2, теория) · разминка и актуализация 4 (сл. 3–4, практика) · проблема 2 (сл. 5, теория) · «образец → сам» 2 (сл. 6) · вывод и схема 4 (сл. 7–8, теория) · образец 2 (сл. 9, теория) · «образец → сам» 2 (сл. 10) · теорема ac < 0 — 2 (сл. 11, теория) · устно 1 (сл. 12) · закрепление 3 (сл. 13) · исследование 2 (сл. 14, практика) · образец с параметром 2 (сл. 15, теория) · задачи с параметром 3 (сл. 16) · ошибки 2 (сл. 17) · самопроверка 4 (сл. 18–19) · мяч 2 (сл. 20) · ОГЭ 1 (сл. 21) · самостоятельная работа 4 (сл. 22) · итог и ДЗ 1 (сл. 23).
Вся теория прежняя, без сокращений; практика добавлена: разминка, «образец → сам» после каждого правила, две самопроверки и самостоятельная работа. Ответы появляются по клику.
Рисунок: парабола y = x² и прямые y = m: две общие точки, одна (касание) и ни одной. Это идея всего урока.

R03.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Объяснять

почему именно знак $D$ решает, сколько корней (ПР-19)

Определять без решения

число корней по $D$ , по $\frac{D}{4}$ и по знаку $a c$ (ПР-22)

Исследовать

число корней в зависимости от параметра (ПР-22)

Применять

к задаче о высоте полёта мяча и к заданию ОГЭ (ПР-19, ПР-23)

1 мин · теория
ПР-19 (ФРП): «Решать квадратные уравнения».
ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
ПР-23: «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели… интерпретировать… полученный результат».
Виды деятельности ФРП: «Определять количество действительных корней квадратного уравнения», «Проводить простейшие исследования квадратных уравнений».

повторение: R03.1–R03.2

Разминка · устно

Ответьте быстро

1

49

7

2

(- 3)^{2}

и

- 3^{2}

9

и

- 9

3

- 4 \cdot 2 \cdot (- 5)

40

4

b^{2} - 4 a c

при

a = 1, b = 4, c = 4

0

5Корни

x^{2} = 25

\pm 5

6Корни

(x - 2)^{2} = 0

2

7Есть ли

x

:

x^{2} = - 9

?нет

8

a, b, c

у

3 x - 7 - x^{2} = 0

- 1; 3; - 7

повторение: R03.2

Вспомним · формула корней

Вычислите $D$ — что замечаете?

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}, D = b^{2} - 4 a c

Уравнение	$D$	Корни
$x^{2} - 5 x + 6 = 0$	$1$	$2; 3$
$x^{2} - 6 x + 9 = 0$	$0$	$3$
$x^{2} + x + 1 = 0$	$- 3$	$- 3$ ?

R03.3

Проблема · самое простое уравнение

Сколько корней у $x^{2} = m$ ?

m > 0 : x = \pm m

два корня

m = 0 : x = 0

один корень

m < 0

: корней нет

x^{2} \geq 0

при любом

x

R03.3

Образец → сам · «квадрат = число»

Сколько корней? Найдите их

Образец

(x - 1)^{2} = 9

9 > 0

справа положительное число

x - 1 = 3

или

x - 1 = - 3

x = 4

или

x = - 2

два корня

Сами

база $x^{2} = 7$ два: $\pm 7$
база $(x + 2)^{2} = 0$ один: $- 2$
база $(x - 5)^{2} = - 4$ нет
повыш. $2 x^{2} - 18 = 0$ два: $\pm 3$

R03.3

Вывод · выделяем полный квадрат

$a x^{2} + b x + c = 0$ — это тоже «квадрат = число»

x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0

разделили на

a \neq = 0

(x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} + \frac{c}{a} = 0

добавили и вычли квадрат

(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}} = \frac{D}{4 a ^{2}}

4 a^{2} > 0

, значит знак правой части — это знак

D

R03.3

Итог вывода · схема

Знак дискриминанта решает всё

R03.3

Образец · не решая уравнения

Сколько корней? Считаем только $D$

Уравнение	Дискриминант	Вывод
$3 x^{2} - 7 x + 5 = 0$	$49 - 60 = - 11$	нет корней
$4 x^{2} - 12 x + 9 = 0$	$\frac{D}{4} = 36 - 36 = 0$	один корень
$5 x^{2} - 12 x + 7 = 0$	$\frac{D}{4} = 36 - 35 = 1$	два корня

Чётный $b = 2 k$

\frac{D}{4} = k^{2} - a c

знак тот же, числа меньше

Для числа корней хватает знака

D

R03.3

Образец → сам · по знаку $D$

Сколько корней? Не решайте уравнение

Образец

2 x^{2} + 5 x + 4 = 0

a = 2, b = 5, c = 4

со знаками

D = 25 - 32 = - 7

D < 0

корней нет

Сами

база $x^{2} + 3 x + 3 = 0$ нет
база $25 x^{2} - 10 x + 1 = 0$ один
база $3 x^{2} + 8 x + 4 = 0$ два
повыш. $x^{2} - 14 x + 50 = 0$ нет

R03.3

Теорема · углублённый уровень

Если $a c < 0$ , то корней два

a c < 0 \Rightarrow - 4 a c > 0

b^{2} \geq 0

при любом

b

D = b^{2} + (- 4 a c) > 0

2026 x^{2} + 17 x - 3 = 0

:

a > 0, c < 0

— два корня

R03.3

Сами · устно

Где корней точно два — без вычисления $D$ ?

1

5 x^{2} + 3 x - 1 = 0

a c < 0

: два

2

- x^{2} + 7 x + 2 = 0

a c < 0

: два

3

x^{2} + 10 x + 1 = 0

\frac{D}{4} = 24

: два

4

x^{2} - x + 1 = 0

D = - 3

: нет

5

- 3 x^{2} + x - 8 = 0

D = - 95

: нет

6

x^{2} - 2026 = 0

a c < 0

: два

R03.3

Закрепление · решите сами

Определите число корней, не решая

база $x^{2} + 4 x + 5 = 0$
база $9 x^{2} + 6 x + 1 = 0$
база $- 2 x^{2} + 3 x + 11 = 0$
повыш. $x^{2} - 23 x + 3 = 0$
повыш. $(x - 1) (x - 3) = - 1$

R03.3

Исследование · число корней зависит от $a$

$x^{2} - 6 x + a = 0$ : сколько корней?

\frac{D}{4} = 9 - a

(x - 3)^{2} = 9 - a

тот же «квадрат = число»

Корни при

a = 9

и при

a = 5

?

R03.3

Образец · ловушка старшего коэффициента

При каких $a$ у $(a - 2) x^{2} + 2 x + 1 = 0$ ровно один корень?

Ответ: $a = 2$ или $a = 3$

R03.3

Исследуйте сами

Задачи с параметром

базаПри каких $b$ уравнение $x^{2} + b x + 4 = 0$ имеет один корень?
повыш.При каких $c$ уравнение $2 x^{2} - 4 x + c = 0$ не имеет корней?
повыш.При каких $k$ уравнение $k x^{2} - 6 x + 3 = 0$ имеет два корня?
повыш.Докажите: $x^{2} + m x - 5 = 0$ имеет два корня при любом $m$ .

Перевод

два корня ⇔ $D > 0$

один ⇔ $D = 0$

нет ⇔ $D < 0$

Параметр при

x^{2}

? Проверьте, когда он равен нулю!

R03.3

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$x^{2} + 4 = 0, x = \pm 2$	$x^{2} = - 4$ , квадрат $\geq 0$	корней нет
$x^{2} - 6 x + 9 = 0$ : $D = 0$ , корней нет	$D = 0$ — это один корень	$x = 3$
$2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$ : $D = 9 - 40 < 0$	$- 4 \cdot 2 \cdot (- 5) = + 40$	$D = 49$ , два корня
$x^{2} - 6 x + 10$ : $\frac{D}{4} = 36 - 10$	в $\frac{D}{4}$ берут $k^{2}$ , $k = - 3$	$9 - 10 = - 1$ , нет
$k x^{2} - 6 x + 3$ : два корня $⟺ k < 3$	при $k = 0$ уравнение линейное	$k < 3, k \neq = 0$

R03.3

Задания с самопроверкой · база

Сколько корней у уравнения?

база $x^{2} - 8 x + 16 = 0$ один
база $2 x^{2} + x + 3 = 0$ нет
база $- 4 x^{2} + x + 9 = 0$ два
база $x^{2} + 12 x + 35 = 0$ два

база $(x + 3)^{2} = - 1$ нет
база $x (x - 4) = - 4$ один
повыш. $x^{2} - 0, 6 x + 0, 09 = 0$ один

R03.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Найдите значения параметра

повыш.При каких $p$ у $x^{2} + p x + 9 = 0$ один корень? $p = \pm 6$
повыш.При каких $c$ у $x^{2} - 10 x + c = 0$ два корня? $c < 25$

сложнееПри каких $m$ у $m x^{2} + 4 x + 1 = 0$ нет корней? $m > 4$
сложнееДокажите: $x^{2} + 2 x + a^{2} + 2 = 0$ не имеет корней при любом $a$ . $\frac{D}{4} = - 1 - a^{2} < 0$

R03.3

Практика · модель реальной ситуации

Мяч: $h = 20 t - 5 t^{2}$ . Достигнет ли он высоты $h_{0}$ ?

5 t^{2} - 20 t + h_{0} = 0, \frac{D}{4} = 100 - 5 h_{0}

h_{0} = 15 : \frac{D}{4} = 25 > 0

дважды: вверх и вниз

h_{0} = 20 : \frac{D}{4} = 0

один раз — наивысшая точка

h_{0} = 25 : \frac{D}{4} = - 25 < 0

не достигнет

R03.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 9

Найдите корни уравнения

4 x^{2} - 20 x + 25 = 0

Если корней несколько, запишите в ответ больший из них.

План

посчитать $\frac{D}{4}$
сколько корней?
найти корень

Ответ — десятичная дробь, без лишних знаков

R03.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта

Вариант 1

Сколько корней: $3 x^{2} - 5 x + 4 = 0$ ? нет
Сколько корней: $9 x^{2} - 12 x + 4 = 0$ ? один
Не вычисляя $D$ : $7 x^{2} + x - 11 = 0$ два
При каких $a$ у $x^{2} - 8 x + a = 0$ нет корней? $a > 16$

Вариант 2

Сколько корней: $2 x^{2} + 7 x + 3 = 0$ ? два
Сколько корней: $x^{2} + 5 x + 7 = 0$ ? нет
Не вычисляя $D$ : $- 5 x^{2} + 2 x + 13 = 0$ два
При каких $b$ у $x^{2} + b x + 16 = 0$ один корень? $b = \pm 8$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему при $D < 0$ корней нет?
Когда можно не считать $D$ ?
Что проверить, если параметр стоит при $x^{2}$ ?

Домашнее задание

Сколько корней: $7 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ ; $16 x^{2} - 8 x + 1 = 0$ ; $- x^{2} + 5 x + 100 = 0$
При каких $a$ у $x^{2} + 4 x + a = 0$ два корня?
* При каких $a$ у $(a + 1) x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ровно один корень?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-040 · Количество действительных корней квадратного уравнения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения», 17 ч · урок 3/17 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R03.3 «Количество действительных корней квадратного уравнения» → 2, 5–23 (повторение R03.1–R03.2 → 3–4)
Результаты	ПР-19 (решать квадратные уравнения) → 3–4, 6–7, 9–10, 21 · ПР-22 (исследование уравнений, в т. ч. графическое: имеет ли решения и сколько) → 5, 8–19, 22 · ПР-23 (модель реальной ситуации, интерпретация) → 20 · кодификатора REQ у курса нет
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 1–2, 5, 7–9, 11, 15) · практика 31 мин (69 %): разминка 3, актуализация 4, «образец → сам» 6, 10, 12, закрепление 13, исследование 14, задачи 16, ошибки 17, самопроверка 18–19, задача из жизни 20, ОГЭ 21, самостоятельная 22, итог 23
Вне урока	теорема Виета — ALG8U-041; уравнения, сводимые к квадратным, — ALG8U-042; систематическое решение уравнений с параметром — ALG8U-043 и далее (здесь только число корней); квадратичная функция и её график — в своём разделе
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Количестводействительных корнейквадратного уравнения

Сегодня вы научитесь

Объяснять

Определять без решения

Исследовать

Применять

Ответьте быстро

Вычислите D — что замечаете?

Сколько корней у x2=m?

Сколько корней? Найдите их

Образец

Сами

ax2+bx+c=0 — это тоже «квадрат = число»

Знак дискриминанта решает всё

Сколько корней? Считаем только D

Чётный b=2k

Сколько корней? Не решайте уравнение

Образец

Сами

Если ac<0, то корней два

Где корней точно два — без вычисления D?

Определите число корней, не решая

x2−6x+a=0: сколько корней?

При каких a у (a−2)x2+2x+1=0 ровно один корень?

Задачи с параметром

Перевод

Найдите ошибку

Сколько корней у уравнения?

Найдите значения параметра

Мяч: h=20t−5t2. Достигнет ли он высоты h0​?

Найдите корни уравнения

План

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-040 · Количество действительных корней квадратного уравнения

Количество
действительных корней
квадратного уравнения

Вычислите $D$ — что замечаете?

Сколько корней у $x^{2} = m$ ?

$a x^{2} + b x + c = 0$ — это тоже «квадрат = число»

Сколько корней? Считаем только $D$

Чётный $b = 2 k$

Если $a c < 0$ , то корней два

Где корней точно два — без вычисления $D$ ?

$x^{2} - 6 x + a = 0$ : сколько корней?

При каких $a$ у $(a - 2) x^{2} + 2 x + 1 = 0$ ровно один корень?

Мяч: $h = 20 t - 5 t^{2}$ . Достигнет ли он высоты $h_{0}$ ?