Квадратные уравнения · урок 2 из 17 · новый материал

Формула корней
квадратного
уравнения

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG8U-039

1 мин · теория (орг. момент)
Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %) — всего 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения» (17 ч), урок 2/17, единица R03.2 «Формула корней квадратного уравнения». Тип Н. Вчера (ALG8U-038) — понятие квадратного уравнения, неполные уравнения; завтра (ALG8U-040) — количество действительных корней.
Хронометраж (45 мин): орг. момент и цели 2 (сл. 1–2, теория) · актуализация и разминка 5 (сл. 3–4, практика) · выделение квадрата 2 + «образец → сам» 2 (сл. 5–6) · вывод, формула, алгоритм 4 (сл. 7–9, теория) · находим D 2 (сл. 10) · образец 1 (сл. 11) · решите сами 4 (сл. 12) · чётный коэффициент 1 + «сам» 2 (сл. 13–14) · приёмы 2 + «без дискриминанта» 2 (сл. 15–16) · найди ошибку 2 (сл. 17) · закрепление 3 (сл. 18) · самопроверка 3 + 2 (сл. 19–20) · ОГЭ 1 (сл. 21) · самостоятельная работа 4 (сл. 22) · итог и ДЗ 1 (сл. 23).
Все теоретические слайды сохранены полностью; теория — 13 мин, отработка идёт сразу после каждого правила на слайдах «образец → сам».
Если не хватает времени — задания 4–6 сл. 18 и задачу сл. 20 перенести в ДЗ.
Рисунок: к квадрату x² приложены два прямоугольника 3x; чтобы получить квадрат со стороной x + 3, не хватает уголка 9. Это и есть идея урока — «дополнить до квадрата».

R03.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выводить формулу

получать формулу корней выделением полного квадрата (ПР-12)

Решать по формуле

находить дискриминант и корни любого квадратного уравнения (ПР-19)

Считать короче

применять формулу для чётного второго коэффициента (ПР-19)

Видеть приёмы

узнавать корни при $a + b + c = 0$ и $a - b + c = 0$ и доказывать это (ПР-22)

повторение: R03.1

Вспомним · вчерашний урок

Решите устно

$x^{2} - 9 = 0$
$3 x^{2} - 5 x = 0$
$(x - 2)^{2} = 25$
$x^{2} + 6 x + 9 = 0$

разминка

Разминка · устно

Вычислите или назовите

(- 5)^{2}

25

- 5^{2}

- 25

4 \cdot 2 \cdot (- 3)

- 24

169

13

0, 25

0, 5

(x - 4)^{2}

x^{2} - 8 x + 16

x^{2} + 10 x + ?

до полного квадрата

25

3 + 2 x - x^{2} = 0

назовите

a, b, c

a = - 1, b = 2, c = 3

2 мин · практика
Блиц по цепочке: ученик отвечает с места, ответ открывается по клику. Каждая плитка — заготовка к сегодняшней формуле: квадрат отрицательного числа, произведение 4ac, корень, полный квадрат, коэффициенты.
Ответы: (−5)² = 25; −5² = −(5²) = −25; 4·2·(−3) = −24; √169 = 13 (13² = 169); √0,25 = 0,5 (0,5² = 0,25); (x − 4)² = x² − 8x + 16; x² + 10x + 25 = (x + 5)², добавить 25 = (10/2)²; −x² + 2x + 3 = 0: a = −1, b = 2, c = 3.
Плитки 1 и 2 сравнить вслух: от скобок зависит знак — это ошибка № 1 при подсчёте D (сл. 17).

R03.2

Проблема · а если квадрата не видно?

$x^{2} + 6 x - 7 = 0$ : дополним до квадрата

x^{2} + 6 x = 7

свободный член — вправо

x^{2} + 2 \cdot 3 \cdot x + 9 = 7 + 9

добавили уголок 9 к обеим частям

(x + 3)^{2} = 16

x + 3 = \pm 4

x_{1} = 1, x_{2} = - 7

2 мин · теория
Рисунок: x² + 6x — это квадрат x² и два прямоугольника 3 × x. До большого квадрата (x + 3)² не хватает уголка 3² = 9. Прибавляем 9 к обеим частям — равенство сохраняется.
Проверка: 1 + 6 − 7 = 0 ✓; 49 − 42 − 7 = 0 ✓.
История (вид деятельности ФРП): так — геометрически, достраивая квадрат, — решал уравнения ал-Хорезми (IX в.). Отрицательный корень −7 он не признавал; рисунок показывает только случай x > 0, алгебра работает при любом x.
Вопрос: как найти «уголок», если коэффициент при x равен p? ((p/2)² — квадрат половины коэффициента.)

R03.2

Образец → сам

Решите выделением полного квадрата

Образец: $x^{2} - 8 x + 12 = 0$

x^{2} - 8 x = - 12

x^{2} - 8 x + 16 = - 12 + 16

(x - 4)^{2} = 4, x - 4 = \pm 2

x_{1} = 6, x_{2} = 2

Сам

$x^{2} + 4 x - 5 = 0$ $1; - 5$
$x^{2} - 10 x + 21 = 0$ $7; 3$
$x^{2} + 2 x - 8 = 0$ $2; - 4$
$x^{2} - 6 x + 10 = 0$ корней нет

R03.2

Новый материал · вывод

Тот же приём для $a x^{2} + b x + c = 0, a \neq = 0$

x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}

разделили на

a \neq = 0

, перенесли

x^{2} + 2 \cdot \frac{b}{2 a} \cdot x + (\frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b ^{2}}{4 a ^{2}} - \frac{c}{a}

добавили «уголок»

(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a ^{2}}

Знаменатель

$4 a^{2} > 0$ — знак правой части решает числитель

Числитель

D = b^{2} - 4 a c

дискриминант — «различитель»

2 мин · теория
Шаги: 1) делим на a (можно, так как a ≠ 0) — получаем приведённое уравнение; 2) половина коэффициента при x равна b/(2a), её квадрат добавляем к обеим частям; 3) сворачиваем полный квадрат, справа приводим к общему знаменателю 4a².
Проверка шага 3: b²/(4a²) − c/a = b²/(4a²) − 4ac/(4a²) = (b² − 4ac)/(4a²).
Вопрос: почему правая часть может быть отрицательной, а левая — нет? (Левая — квадрат.) Отсюда: при D < 0 корней нет.
Слово «дискриминант» — от лат. discriminare, «различать»: он различает случаи.

R03.2

Новый материал · формула

Формула корней квадратного уравнения

x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{D}{2 a}

при

D \geq 0

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}

D < 0

— корней нет; разбор всех случаев — на следующем уроке

1 мин · теория
Строгость (углублённый уровень): из (x + b/(2a))² = D/(4a²) при D ≥ 0 получаем x + b/(2a) = ±√D / (2|a|). Так как перед дробью стоит «±», модуль можно не писать: ±√D/(2|a|) и ±√D/(2a) — одна и та же пара чисел.
Формула работает для любого квадратного уравнения, в том числе неполного: например, 3x² − 5x = 0: D = 25, x = (5 ± 5)/6 → 0 и 5/3 — совпадает с ответом из актуализации.
При D = 0 оба корня совпадают: x = −b/(2a). Подробно о числе корней — ALG8U-040; сегодня не углубляемся.

R03.2

Алгоритм решения

Пять шагов по формуле

R03.2

Образец → сам · шаги 1–3

Выпишите $a, b, c$ и найдите $D$

Образец: $3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

a = 3, b = - 2, c = - 1

D = (- 2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 1)

D = 4 + 12 = 16

Сам

$x^{2} - 6 x + 5 = 0$ $D = 16$
$2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$ $D = 49$
$x^{2} + 2 x + 3 = 0$ $D = - 8$
$5 x^{2} - x = 0$ $D = 1$

R03.2

Образец решения

$2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$

a = 2, b = - 5, c = - 3

D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 25 + 24 = 49

x_{1, 2} = \frac{5 \pm 7}{4}

x_{1} = - \frac{1}{2}, x_{2} = 3

R03.2

Решите сами · по алгоритму

Найдите $D$ и корни

база $x^{2} + 4 x - 21 = 0$ $3; - 7$
база $3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$ $2; \frac{1}{3}$
база $4 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ $\frac{1}{2}$
повыш. $x^{2} + x + 5 = 0$ нет корней

4 мин · практика
В тетрадях; первое — вместе по подсказке справа. Подсказка справа к № 1 видна сразу; ответы 1–4 открываются по клику после проверки в тетрадях.
1) D = 16 + 84 = 100, x = (−4 ± 10)/2 → 3 и −7. Проверка: 9 + 12 − 21 = 0 ✓.
2) D = 49 − 24 = 25, x = (7 ± 5)/6 → 2 и 1/3. Проверка: 12 − 14 + 2 = 0 ✓.
3) D = 16 − 16 = 0, x = 4/8 = 1/2 (один корень). Замечание: 4x² − 4x + 1 = (2x − 1)² — полный квадрат.
4) D = 1 − 20 = −19 < 0 — корней нет. Ошибка: «извлекают» корень из −19 или пишут D = 1 + 20.
Задания 3 и 4 — мостик к следующему уроку о количестве корней; классификацию не обсуждаем.

R03.2

Углублённый уровень · считаем короче

Если $b = 2 k$ — чётный коэффициент

D = 4 k^{2} - 4 a c = 4 (k^{2} - a c)

D_{1} = \frac{D}{4} = k^{2} - a c

x_{1, 2} = \frac{- 2 k \pm 2 D _{1}}{2 a}

x_{1, 2} = \frac{- k \pm D _{1}}{a}

Пример: $3 x^{2} - 14 x + 8 = 0$

k = - 7, D_{1} = 49 - 24 = 25

x_{1, 2} = \frac{7 \pm 5}{3}

x_{1} = \frac{2}{3}, x_{2} = 4

R03.2

Образец → сам · чётный коэффициент

Решите через $D_{1} = k^{2} - a c$

Образец: $3 x^{2} + 10 x + 3 = 0$

k = 5, D_{1} = 25 - 9 = 16

x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 4}{3}

x_{1} = - \frac{1}{3}, x_{2} = - 3

Сам

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$ $4; 2$
$5 x^{2} + 8 x - 4 = 0$ $\frac{2}{5}; - 2$
$x^{2} + 4 x - 1 = 0$ $- 2 \pm 5$
$4 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ $\frac{3}{2}$

R03.2

Углублённый уровень · доказываем приём

Корни «видны» по коэффициентам

Если $a + b + c = 0$

x_{1} = 1, x_{2} = \frac{c}{a}

$5 x^{2} - 8 x + 3 = 0$ : корни $1$ и $\frac{3}{5}$

Если $a - b + c = 0$

x_{1} = - 1, x_{2} = - \frac{c}{a}

$2 x^{2} + 7 x + 5 = 0$ : корни $- 1$ и $- \frac{5}{2}$

Доказательство: $b = - (a + c)$

D = (a + c)^{2} - 4 a c = (a - c)^{2}

x_{1, 2} = \frac{( a + c ) \pm ( a - c )}{2 a}

x = \frac{2 a}{2 a} = 1, x = \frac{2 c}{2 a} = \frac{c}{a}

Сами:

2026 x^{2} - 2025 x - 1 = 0

R03.2

Сам · приёмы по коэффициентам

Найдите корни без дискриминанта

x^{2} - 6 x + 5 = 0

1; 5

3 x^{2} + 5 x + 2 = 0

- 1; - \frac{2}{3}

7 x^{2} - 9 x + 2 = 0

1; \frac{2}{7}

4 x^{2} + x - 3 = 0

- 1; \frac{3}{4}

100 x^{2} - 99 x - 1 = 0

1; - \frac{1}{100}

11 x^{2} + 12 x + 1 = 0

- 1; - \frac{1}{11}

2 мин · практика
Устно: ученик сначала называет, какая сумма равна нулю, потом корни. Бирюзовые карточки — a + b + c = 0, жёлтые — a − b + c = 0 (цвет подсказывает слабым; сильным — сказать, что цвет можно не смотреть).
Ответы: 1) 1 − 6 + 5 = 0 → 1 и 5; 2) 3 − 5 + 2 = 0 → −1 и −2/3; 3) 7 − 9 + 2 = 0 → 1 и 2/7; 4) 4 − 1 − 3 = 0 → −1 и 3/4; 5) 100 − 99 − 1 = 0 → 1 и −1/100; 6) 11 − 12 + 1 = 0 → −1 и −1/11.
Проверка через D для № 2: D = 25 − 24 = 1, x = (−5 ± 1)/6 → −2/3 и −1 ✓; для № 4: D = 1 + 48 = 49, x = (−1 ± 7)/8 → 3/4 и −1 ✓.

R03.2

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$x^{2} - 5 x + 6 = 0 : D = - 5^{2} - 24$	квадрат без скобок	$D = (- 5)^{2} - 24 = 1$
$x^{2} = 4 x - 3 : b = 4, c = - 3$	не привели к виду $a x^{2} + b x + c = 0$	$x^{2} - 4 x + 3 = 0$ : корни $1; 3$
$2 x^{2} + 3 x - 2 = 0 : x = \frac{- 3 \pm 5}{2}$	делят на $a$ , а не на $2 a$	$\frac{- 3 \pm 5}{4}$ : $\frac{1}{2}; - 2$
$D = - 16 \Rightarrow x = \pm 4$	корень из отрицательного	корней нет

R03.2

Закрепление

Решите уравнения

база $x^{2} - 7 x + 10 = 0$
база $3 x^{2} + x - 2 = 0$
повыш. $(2 x - 1)^{2} - (x + 3) (x - 3) = 14$

повыш. $x^{2} - 23 x - 1 = 0$
повыш. $x^{2} - (a + 1) x + a = 0$ при любом $a$
практикаДлина прямоугольника на 3 см больше ширины, площадь $40 см^{2}$ . Найдите стороны.

3 мин · практика
На уроке — 1, 2 и одно повышенное на выбор, остальное — в ДЗ или сильным ученикам.
1) D = 49 − 40 = 9, x = (7 ± 3)/2 → 2 и 5. 2) D = 1 + 24 = 25, x = (−1 ± 5)/6 → 2/3 и −1.
3) 4x² − 4x + 1 − x² + 9 = 14 → 3x² − 4x − 4 = 0; D₁ = 4 + 12 = 16, x = (2 ± 4)/3 → 2 и −2/3. Проверка x = 2: 9 − 5·(−1) = 14 ✓.
4) k = −√3, D₁ = 3 + 1 = 4, x = √3 ± 2. Проверка: (√3 + 2)² − 2√3(√3 + 2) − 1 = 7 + 4√3 − 6 − 4√3 − 1 = 0 ✓.
5) 1 − (a + 1) + a = 0 → корни 1 и a (при a = 1 корень один). Через D: (a + 1)² − 4a = (a − 1)².
6) x(x + 3) = 40, x² + 3x − 40 = 0, D = 9 + 160 = 169, x = (−3 ± 13)/2 → 5 (−8 не подходит по смыслу). Ответ: 5 см и 8 см.

R03.2

Задания с самопроверкой · база

Решите — ответы по клику

база $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ $5; - 2$
база $2 x^{2} + x - 1 = 0$ $\frac{1}{2}; - 1$
база $x^{2} - 8 x + 16 = 0$ $4$

база $3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$ нет корней
база $6 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ $\frac{1}{2}; \frac{1}{3}$
база $x^{2} + 2 x - 15 = 0$ $3; - 5$

R03.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Сначала приведите к виду $a x^{2} + b x + c = 0$

повыш. $(x + 2)^{2} = 3 x + 8$
$x = \frac{- 1 \pm 17}{2}$
повыш. $\frac{x ^{2}}{2} - x = 4$ $4; - 2$
повыш. $0, 5 x^{2} + 1, 5 x - 2 = 0$ $1; - 4$

из жизниМяч брошен вверх, его высота $h = 20 t - 5 t^{2}$ (м), $t$ — время (с). Когда мяч будет на высоте $15$ м?

$t^{2} - 4 t + 3 = 0$ : через $1$ с и через $3$ с

2 мин · практика
Ответы: 1) x² + 4x + 4 = 3x + 8 → x² + x − 4 = 0, D = 1 + 16 = 17, x = (−1 ± √17)/2; 2) умножаем на 2: x² − 2x − 8 = 0, k = −1, D₁ = 1 + 8 = 9, x = 1 ± 3 → 4 и −2; 3) умножаем на 2: x² + 3x − 4 = 0, a + b + c = 0 → 1 и −4 (D = 9 + 16 = 25, x = (−3 ± 5)/2 ✓).
Задача: 20t − 5t² = 15 → 5t² − 20t + 15 = 0 → t² − 4t + 3 = 0, a + b + c = 0 → t = 1 и t = 3. Два ответа имеют смысл: мяч на высоте 15 м на подъёме (1 с) и на спуске (3 с). Проверка: 20 − 5 = 15; 60 − 45 = 15.
Рисунок условный: две точки пересечения траектории с уровнем 15 м — два корня.

R03.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 9

Решите уравнение

5 x^{2} + 9 x + 4 = 0

Если корней больше одного, в ответ запишите меньший.

Два пути

по формуле: $D$ , затем корни
проверить $a - b + c$

В бланк — одно число, десятичная дробь через запятую

R03.2

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

$x^{2} - 5 x - 14 = 0$ $7; - 2$
$3 x^{2} - 8 x + 5 = 0$ $1; \frac{5}{3}$
$x^{2} + 6 x - 2 = 0$ $- 3 \pm 11$
$2 x^{2} + 3 x + 4 = 0$ нет корней

Вариант 2

$x^{2} + 3 x - 18 = 0$ $3; - 6$
$4 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ $1; \frac{3}{4}$
$x^{2} - 10 x + 7 = 0$ $5 \pm 32$
$3 x^{2} - x + 2 = 0$ нет корней

4 мин · практика
Варианты по партам; 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам на слайде (открыть по клику). Задание 2 можно решать приёмом a + b + c = 0, задание 3 — через D₁.
Вариант 1: 1) D = 25 + 56 = 81, x = (5 ± 9)/2 → 7 и −2; 2) 3 − 8 + 5 = 0 → 1 и 5/3 (D = 64 − 60 = 4, x = (8 ± 2)/6 ✓); 3) k = 3, D₁ = 9 + 2 = 11, x = −3 ± √11; 4) D = 9 − 32 = −23 < 0 — корней нет.
Вариант 2: 1) D = 9 + 72 = 81, x = (−3 ± 9)/2 → 3 и −6; 2) 4 − 7 + 3 = 0 → 1 и 3/4 (D = 49 − 48 = 1, x = (7 ± 1)/8 ✓); 3) k = −5, D₁ = 25 − 7 = 18, x = 5 ± √18 = 5 ± 3√2; 4) D = 1 − 24 = −23 < 0 — корней нет.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Откуда берётся формула корней?
Что показывает знак $D$ ?
Когда удобнее $D_{1}$ , а когда — приём $a + b + c = 0$ ?

Домашнее задание

$x^{2} - 10 x + 21 = 0$ ; $6 x^{2} + x - 1 = 0$
$5 x^{2} - 12 x + 4 = 0$ через $D_{1}$
$7 x^{2} + 5 x - 12 = 0$ — без дискриминанта
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-039 · Формула корней квадратного уравнения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения», 17 ч · урок 2/17 · тип Н (новый материал)
Единицы → слайды	R03.2 «Формула корней квадратного уравнения» → 2, 4–23 (теория: 5, 7–9, 11, 13, 15; практика: 4, 6, 10, 12, 14, 16–22) · повторение R03.1 → 3 · хронометраж: теория 13 мин, практика 32 мин (71 %)
Результаты	ПР-19 (решать квадратные уравнения) → 2, 8–14, 16–23 · ПР-12 (тождественные преобразования рациональных выражений) → 4–7, 13–14, 20 · ПР-22 (исследования уравнений) → 15–16, 18 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	количество действительных корней (R03.3) — ALG8U-040; теорема Виета (R03.4) — ALG8U-041; уравнения с параметром (R03.6–R03.7) — позже; текстовые задачи (R03.10) — практические задачи на сл. 18 и 20
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Формула корнейквадратногоуравнения

Сегодня вы научитесь

Выводить формулу

Решать по формуле

Считать короче

Видеть приёмы

Решите устно

Вычислите или назовите

x2+6x−7=0: дополним до квадрата

Решите выделением полного квадрата

Образец: x2−8x+12=0

Сам

Тот же приём для ax2+bx+c=0, a=0

Знаменатель

Числитель

Формула корней квадратного уравнения

Пять шагов по формуле

Выпишите a, b, c и найдите D

Образец: 3x2−2x−1=0

Сам

2x2−5x−3=0

Найдите D и корни

Если b=2k — чётный коэффициент

Пример: 3x2−14x+8=0

Решите через D1​=k2−ac

Образец: 3x2+10x+3=0

Сам

Корни «видны» по коэффициентам

Если a+b+c=0

Если a−b+c=0

Найдите корни без дискриминанта

Найдите ошибку

Решите уравнения

Решите — ответы по клику

Сначала приведите к виду ax2+bx+c=0

Решите уравнение

Два пути

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-039 · Формула корней квадратного уравнения

Формула корней
квадратного
уравнения

$x^{2} + 6 x - 7 = 0$ : дополним до квадрата

Образец: $x^{2} - 8 x + 12 = 0$

Тот же приём для $a x^{2} + b x + c = 0, a \neq = 0$

Выпишите $a, b, c$ и найдите $D$

Образец: $3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

$2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$

Найдите $D$ и корни

Если $b = 2 k$ — чётный коэффициент

Пример: $3 x^{2} - 14 x + 8 = 0$

Решите через $D_{1} = k^{2} - a c$

Образец: $3 x^{2} + 10 x + 3 = 0$

Если $a + b + c = 0$

Если $a - b + c = 0$

Сначала приведите к виду $a x^{2} + b x + c = 0$