Квадратные уравнения · урок 1 из 17 · новый материал

Квадратное
уравнение

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R03 · ALG8U-038

0,5 мин · теория
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Всего 45 мин.
Паспорт: R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения» (17 ч), урок 1/17, единица R03.1 «Квадратное уравнение». Тип Н (новый материал). Перед этим — обобщение по квадратному корню ALG8U-037; следующий урок ALG8U-039 — «Формула корней квадратного уравнения».
Хронометраж: титул и цели 1 (сл. 1–2, теория) · разминка 3 (сл. 3, практика) · проблема 2 (сл. 4, теория) · определение 2 (сл. 5, теория) · классификация 2 (сл. 6, теория) · распознавание 2,5 + решите сами 2 (сл. 7–8, практика) · неполное 1: разбор 2 (сл. 9, теория) + решите сами 2,5 (сл. 10) · неполное 2: разбор 2 (сл. 11, теория) + решите сами 2,5 (сл. 12) · сводная таблица 1 (сл. 13, теория) · параметр: разбор 2 (сл. 14, теория) + сами 2,5 (сл. 15) · найдите ошибку 2 (сл. 16) · самопроверка 3 + 3 (сл. 17–18) · ОГЭ 2 (сл. 19) · самостоятельная работа 5 (сл. 20) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 21).
Теория: 0,5 + 0,5 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 = 14 мин. Практика: 3 + 2,5 + 2 + 2,5 + 2,5 + 2,5 + 2 + 3 + 3 + 2 + 5 + 1 = 31 мин.
Рисунок: парабола пересекает ось x в двух точках — это корни уравнения. О параболе подробно — позже (строка R06/R08), сегодня только как образ.

R03.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать

квадратное уравнение и называть его коэффициенты, в том числе после преобразований (ПР-19)

Классифицировать

приведённые, полные и неполные квадратные уравнения (ПР-19)

Решать неполные

квадратные уравнения трёх видов и определять число корней (ПР-19, ПР-22)

Исследовать и моделировать

уравнения с параметром; составлять уравнение по условию задачи (ПР-22, ПР-23)

0,5 мин · теория
ПР-19 (ФРП): «Решать квадратные уравнения».
ПР-22: «Проводить исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее)».
ПР-23: «Переходить от словесной формулировки задачи к ее алгебраической модели с помощью составления уравнения…».
Виды деятельности ФРП: «Распознавать уравнения с одной переменной, квадратные уравнения. Определять равносильные уравнения… решать квадратные уравнения – полные и неполные».

повторение: R02, 7 класс

Разминка · устно

Два инструмента для сегодняшнего урока

$x^{2} = 49$ $\pm 7$
$x^{2} = 7$ $\pm 7$
$x^{2} = - 4$ корней нет
$x (x - 5) = 0$ $0; 5$
$(2 x + 3) (x - 1) = 0$ $- 1, 5; 1$
Раскройте: $(x - 3)^{2}$ $x^{2} - 6 x + 9$
Раскройте: $2 x (x + 4)$ $2 x^{2} + 8 x$

Инструмент 1

x^{2} = m, m > 0 ⟺ x = \pm m

Инструмент 2

A \cdot B = 0 ⟺ A = 0 или B = 0

при условии, что оба множителя имеют смысл

3 мин · практика
Устно, в темпе: ученик отвечает — учитель открывает ответ кликом; карточка «Инструмент 2» открывается последней.
Ответы: 1) ±7; 2) ±√7; 3) корней нет (квадрат неотрицателен); 4) 0 и 5; 5) 2x + 3 = 0 ⇒ x = −1,5 или x − 1 = 0 ⇒ x = 1; 6) x² − 6x + 9; 7) 2x² + 8x. Задания 6–7 понадобятся для приведения к стандартному виду (сл. 7–8).
Типичная ошибка в 1): только «7». Вопрос: почему (−7)² = 49 тоже подходит? В 6): (x − 3)² ≠ x² − 9.
Оба инструмента — ключ к решению неполных квадратных уравнений (сл. 9–13).

R03.1

Проблема · откуда берутся такие уравнения

Площадь участка 40 м², одна сторона на 3 м длиннее

x (x + 3) = 40

модель задачи

x^{2} + 3 x - 40 = 0

раскрыли скобки, перенесли 40

Угадать корень удаётся не всегда. Нужен общий способ — к нему мы идём весь этот раздел.

R03.1

Новое · определение

Квадратное уравнение

a x^{2} + b x + c = 0, a \neq = 0

$x$ — переменная, $a, b, c$ — заданные числа (коэффициенты)

$a$

первый (старший) коэффициент

$b$

второй коэффициент

$c$

свободный член

Почему $a \neq = 0$ ?

при $a = 0$ : $b x + c = 0$ — линейное

R03.1

Новое · виды квадратных уравнений

Приведённые, полные и неполные

R03.1

Закрепляем · распознать и назвать коэффициенты

Сначала — к виду $a x^{2} + b x + c = 0$

Уравнение	Стандартный вид	$a; b; c$	Вид
$3 x - x^{2} + 7 = 0$	$- x^{2} + 3 x + 7 = 0$	$- 1; 3; 7$	полное
$2 x (x - 3) = 5 - x^{2}$	$3 x^{2} - 6 x - 5 = 0$	$3; - 6; - 5$	полное
$(x + 1)^{2} = 2 x + 3$	$x^{2} - 2 = 0$	$1; 0; - 2$	приведённое, неполное
$\frac{x ^{2}}{2} - 3 x = 0$	$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 0 = 0$	$\frac{1}{2}; - 3; 0$	неполное
$(x - 2) (x + 2) = x^{2} + 4 x$	$- 4 x - 4 = 0$	—	не квадратное!

R03.1

Решите сами · стандартный вид и коэффициенты

Приведите к виду $a x^{2} + b x + c = 0$ , назовите $a; b; c$

$5 x - 2 x^{2} = 3$
$- 2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$ : $- 2; 5; - 3$
$x (x + 4) = 3 x - 1$
$x^{2} + x + 1 = 0$ : $1; 1; 1$

$(x - 3)^{2} = 9 - 6 x$
$x^{2} = 0$ : $1; 0; 0$ — неполное
$(2 x + 1) (x - 1) = 2 x^{2}$
$- x - 1 = 0$ — не квадратное

Порядок: раскрыть скобки → всё перенести влево → привести подобные → только потом называть

a, b, c

R03.1

Неполное 1c = 0 · выносим x за скобки

$3 x^{2} - 12 x = 0$

3 x (x - 4) = 0

вынесли общий множитель

x = 0 или x - 4 = 0

произведение равно нулю

x_{1} = 0, x_{2} = 4

В общем виде:

a x^{2} + b x = 0 \Rightarrow x (a x + b) = 0 \Rightarrow x = 0, x = - \frac{b}{a}

— всегда два корня (

b \neq = 0

)

R03.1

Неполное 1Решите сами · c = 0

Вынесите $x$ за скобки и решите

$x^{2} + 7 x = 0$ $0; - 7$
$5 x^{2} = 15 x$ $0; 3$
$- 4 x^{2} + 6 x = 0$ $0; 1, 5$
$\frac{x ^{2}}{3} - 2 x = 0$ $0; 6$

Помним

x (a x + b) = 0

x = 0 или a x + b = 0

на $x$ не делим — потеряем корень $0$

R03.1

Неполное 2b = 0 · сводим к $x^{2} = m$

Сколько корней у $x^{2} = m$ ?

a x^{2} + c = 0 ⟺ x^{2} = - \frac{c}{a}

2 x^{2} - 18 = 0 \Rightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3

x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0

случай

a x^{2} = 0

5 x^{2} + 20 = 0 \Rightarrow x^{2} = - 4

корней нет

R03.1

Неполное 2Решите сами · b = 0

Сведите к $x^{2} = m$ и решите

$x^{2} - 81 = 0$ $\pm 9$
$3 x^{2} - 48 = 0$ $\pm 4$
$4 x^{2} + 1 = 0$ корней нет
$- 5 x^{2} + 10 = 0$ $\pm 2$
$16 x^{2} - 9 = 0$ $\pm \frac{3}{4}$

Помним

x^{2} = m

$m > 0$ : два корня $\pm m$
$m = 0$ : один корень $0$
$m < 0$ : корней нет

R03.1

Итог · неполные квадратные уравнения

Три вида — три способа

Вид	Способ	Корни	Сколько
$a x^{2} = 0$	$x^{2} = 0$	$x = 0$	1
$a x^{2} + b x = 0$	$x (a x + b) = 0$	$0; - \frac{b}{a}$	2
$a x^{2} + c = 0$	$x^{2} = - \frac{c}{a} > 0$ $a, c$ разных знаков	$\pm - \frac{c}{a}$	2
$a x^{2} + c = 0$	$x^{2} = - \frac{c}{a} < 0$ $a, c$ одного знака	—	0

Неполное уравнение всегда можно решить без формулы корней — разложением или через

x^{2} = m

.

R03.1

Углублённый уровень · исследуем уравнение с параметром

$(a - 3) x^{2} + (a^{2} - 9) x + a = 0$

Квадратное?

a - 3 \neq = 0 \Rightarrow a \neq = 3

Приведённое?

a - 3 = 1 \Rightarrow a = 4

x^{2} + 7 x + 4 = 0

$b = 0$ :

a^{2} = 9, a \neq = 3 \Rightarrow a = - 3

- 6 x^{2} - 3 = 0

— корней нет

$c = 0$ :

a = 0

- 3 x^{2} - 9 x = 0 \Rightarrow x = 0, x = - 3

R03.1

Углублённый уровень · решите сами

Уравнения с параметром

При каких $a$ уравнение $(a + 2) x^{2} + 5 x - 1 = 0$ квадратное?
$a \neq = - 2$
При каких $a$ уравнение $(a - 1) x^{2} + 3 x + a^{2} - 4 = 0$ квадратное и $c = 0$ ?
$a = - 2$ или $a = 2$

Сколько корней у $x^{2} = m + 5$ в зависимости от $m$ ?
$m > - 5$ : 2; $m = - 5$ : 1; $m < - 5$ : 0
При каком $k$ число $2$ — корень уравнения $k x^{2} - 3 x - 2 = 0$ ?
$k = 2$

R03.1

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$x^{2} = 5 x \Rightarrow x = 5$	разделили на $x$ , потеряли корень	$0; 5$
$x^{2} = 16 \Rightarrow x = 4$	забыли отрицательный корень	$\pm 4$
$x^{2} + 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3$	$x^{2} \geq 0$ , а $- 9 < 0$	корней нет
$5 - 3 x^{2} + x = 0$ : $a = 5$	$a$ — коэффициент при $x^{2}$	$a = - 3, b = 1, c = 5$
$4 x^{2} - x = 0 \Rightarrow x = 0, x = 4$	$4 x - 1 = 0$ , а не $x - 4$	$0; \frac{1}{4}$

R03.1

Закрепление · задания с самопроверкой 1

Решите уравнения и задачи

база $7 x^{2} - 28 = 0$ $\pm 2$
база $- 2 x^{2} + 9 x = 0$ $0; 4, 5$
повыш. $(3 x - 1)^{2} + 6 x = 10$ $\pm 1$

повыш.При каких $k$ уравнение $x^{2} = k - 2$ имеет два корня? $k > 2$
практикаМяч брошен вверх, его высота $h = 20 t - 5 t^{2}$ (м). Через сколько секунд он упадёт на землю? через $4$ с

3 мин · практика
Ученики решают в тетради, затем учитель открывает ответы кликом — проверка всем классом.
1) x² = 4, x = ±2 (проверка: 7·4 − 28 = 0 ✓).
2) x(−2x + 9) = 0, x = 0 или x = 4,5 (проверка: −2·20,25 + 40,5 = 0 ✓).
3) 9x² − 6x + 1 + 6x = 10 → 9x² = 9 → x = ±1 (проверка x = −1: 16 − 6 = 10 ✓; x = 1: 4 + 6 = 10 ✓).
4) k − 2 > 0, k > 2. При k = 2 — один корень, при k < 2 — нет.
5) 20t − 5t² = 0, 5t(4 − t) = 0, t = 0 (момент броска) или t = 4. Ответ: через 4 с. Корень t = 0 по смыслу не подходит — интерпретация результата (ПР-23).

R03.1

Задания с самопроверкой 2 · повышенный уровень

Сначала к стандартному виду — потом решаем

$(x + 2)^{2} = 4 x + 13$ $\pm 3$
$(x - 1) (x + 1) = 2 x^{2} - 17$ $\pm 4$
$\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x}{3} = 0$ $0; \frac{2}{3}$
$(2 x - 5)^{2} = 25$ $0; 5$

5. практикаСторону квадрата увеличили в 3 раза, и его площадь увеличилась на $72$ см². Найдите сторону квадрата.

$9 x^{2} - x^{2} = 72 \Rightarrow x = 3$ см

3 мин · практика
Ученики решают самостоятельно, ответы открываются кликом.
1) x² + 4x + 4 = 4x + 13 ⇒ x² = 9 ⇒ ±3 (проверка x = −3: 1 = −12 + 13 ✓).
2) x² − 1 = 2x² − 17 ⇒ x² = 16 ⇒ ±4 (проверка: 15 = 32 − 17 ✓).
3) x(x/2 − 1/3) = 0 ⇒ x = 0 или x = 2/3 (проверка: (4/9)/2 = 2/9 и (2/3)/3 = 2/9 ✓).
4) 4x² − 20x + 25 = 25 ⇒ 4x² − 20x = 0 ⇒ 4x(x − 5) = 0 ⇒ 0; 5 (проверка: (−5)² = 25 ✓, 5² = 25 ✓). Другой путь: 2x − 5 = ±5.
5) Было x², стало (3x)² = 9x²: 9x² − x² = 72 ⇒ 8x² = 72 ⇒ x² = 9 ⇒ x = ±3; длина положительна ⇒ 3 см (проверка: 81 − 9 = 72 ✓). Корень −3 по смыслу не подходит (ПР-23).

R03.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 9

Решите уравнение

(2 x - 3)^{2} + 12 x = 25

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

План

раскрыть скобки
привести к стандартному виду
узнать вид — неполное?
решить, выбрать меньший

В бланк — одно число

Ответ: $- 2$

R03.1

Самостоятельная работа · 5 минут

По вариантам

Вариант 1

$x^{2} - 36 = 0$ $\pm 6$
$3 x^{2} + 12 x = 0$ $0; - 4$
$2 x^{2} + 8 = 0$ корней нет
$(x + 3)^{2} = 6 x + 25$ $\pm 4$

Вариант 2

$x^{2} - 64 = 0$ $\pm 8$
$5 x^{2} - 20 x = 0$ $0; 4$
$3 x^{2} + 27 = 0$ корней нет
$(x - 2)^{2} = 13 - 4 x$ $\pm 3$

5 мин · практика (4 мин работа, 1 мин — взаимопроверка соседа по ответам, открытым кликом)
Вариант 1: 1) x² = 36 ⇒ ±6. 2) 3x(x + 4) = 0 ⇒ 0; −4. 3) x² = −4 ⇒ корней нет. 4) x² + 6x + 9 = 6x + 25 ⇒ x² = 16 ⇒ ±4 (проверка x = −4: 1 = −24 + 25 ✓).
Вариант 2: 1) x² = 64 ⇒ ±8. 2) 5x(x − 4) = 0 ⇒ 0; 4. 3) x² = −9 ⇒ корней нет. 4) x² − 4x + 4 = 13 − 4x ⇒ x² = 9 ⇒ ±3 (проверка x = 3: 1 = 13 − 12 ✓; x = −3: 25 = 13 + 12 ✓).
Критерий: «5» — 4 верных, «4» — 3, «3» — 2. Задания по одному на каждый вид неполного уравнения и одно с приведением к стандартному виду.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему в определении $a \neq = 0$ ?
Какое уравнение называют неполным?
Может ли у $a x^{2} + b x = 0$ не быть корней?

Домашнее задание

$5 x^{2} - 45 = 0$ ; $6 x^{2} + x = 0$ ; $3 x^{2} + 12 = 0$
При каких $m$ уравнение $(m^{2} - 1) x^{2} + (m + 1) x + m - 1 = 0$ неполное квадратное?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_uravneniya.htm

1 мин · практика (рефлексия — ответы учеников; ДЗ — запись)
Ответы на вопросы: при a = 0 уравнение линейное; b = 0 или c = 0; нет — корень 0 есть всегда.
Ответы ДЗ: 1) ±3; 0 и −1/6; корней нет.
2) Квадратное при m² ≠ 1, т. е. m ≠ ±1. b = 0 ⇔ m = −1 — исключено; c = 0 ⇔ m = 1 — исключено. Ответ: таких m нет (при m = ±1 уравнение не квадратное). Задача на внимательность: проверить ход рассуждений.
Следующий урок ALG8U-039 — «Формула корней квадратного уравнения»: вернёмся к x² + 3x − 40 = 0.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-038 · Квадратное уравнение

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R03 «Уравнения и неравенства: квадратные уравнения», 17 ч · урок 1/17 · тип Н (новый материал) · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R03.1 «Квадратное уравнение» → 2–21
Результаты	ПР-19 (решать квадратные уравнения) → 5–13, 16–21 · ПР-22 (исследование уравнений, число решений, графические представления) → 9–15, 17 · ПР-23 (алгебраическая модель задачи, интерпретация результата) → 4, 17, 18 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	формула корней (R03.2) — ALG8U-039; количество корней по дискриминанту (R03.3) — ALG8U-040; теорема Виета (R03.4) — ALG8U-041; уравнения с параметром и модулем (R03.6–R03.8) и текстовые задачи (R03.9–R03.10) — далее в строке; график квадратичной функции — только как иллюстрация
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Квадратноеуравнение

Сегодня вы научитесь

Распознавать

Классифицировать

Решать неполные

Исследовать и моделировать

Два инструмента для сегодняшнего урока

Инструмент 1

Инструмент 2

Площадь участка 40 м², одна сторона на 3 м длиннее

Квадратное уравнение

a

b

c

Почему a=0?

Приведённые, полные и неполные

Сначала — к виду ax2+bx+c=0

Приведите к виду ax2+bx+c=0, назовите a; b; c

3x2−12x=0

Вынесите x за скобки и решите

Помним

Сколько корней у x2=m?

Сведите к x2=m и решите

Помним

Три вида — три способа

(a−3)x2+(a2−9)x+a=0

Уравнения с параметром

Найдите ошибку

Решите уравнения и задачи

Сначала к стандартному виду — потом решаем

Решите уравнение

План

По вариантам

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-038 · Квадратное уравнение

Квадратное
уравнение

$a$

$b$

$c$

Почему $a \neq = 0$ ?

Сначала — к виду $a x^{2} + b x + c = 0$

Приведите к виду $a x^{2} + b x + c = 0$ , назовите $a; b; c$

$3 x^{2} - 12 x = 0$

Вынесите $x$ за скобки и решите

Сколько корней у $x^{2} = m$ ?

Сведите к $x^{2} = m$ и решите

$(a - 3) x^{2} + (a^{2} - 9) x + a = 0$