Квадратный корень · урок 17 из 17 · обобщение

Обобщение
и систематизация:
квадратный корень

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG8U-037

0,5 мин · теория
Паспорт: R02 «Числа и вычисления: квадратный корень» (17 ч), урок 17/17, тип О (обобщение) по всем единицам R02.1–R02.10. Вчера — практикум ALG8U-036 «Сравнение иррациональных чисел»; завтра начинается строка R03: ALG8U-038 «Квадратное уравнение».
Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), итого 45 мин. Теория — сл. 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15 (все теоретические слайды сохранены полностью, без сокращений); практика — разминка (3), «образец → сам» после каждого блока (7, 10, 13, 16), найдите ошибку (17), верно/неверно (18), задания с самопроверкой (19, 20), формат ОГЭ (21, 22), самостоятельная работа (23), рефлексия (24).
Если класс сильный и уверенный — сл. 6, 8, 9, 11 пройти фронтально быстрее и дать больше времени на сл. 19–20 и задачи со звёздочкой.
Рисунок: вложенные множества ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ — главная схема урока.

R02.1–R02.10

Цели урока

Сегодня собираем тему в одну систему

Понятия и свойства

квадратный и арифметический корень, уравнение $x^{2} = a$ , свойства корней (ПР-3)

Числовые множества

иррациональные и действительные числа, расширения $N \subset Z \subset Q \subset R$ (ПР-2, ПР-4)

Действия и сравнение

вычислять, оценивать и сравнивать числа с корнями, отмечать их на прямой (ПР-3, ПР-4)

Выражения с корнями

находить допустимые значения и выполнять преобразования (ПР-17, ПР-18)

0,5 мин · теория
ПР-2: «Понимать и использовать представления о расширении числовых множеств».
ПР-3: «Оперировать понятиями: квадратный корень, арифметический квадратный корень, иррациональное число, находить, оценивать квадратные корни, используя при необходимости калькулятор, выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни, используя свойства корней».
ПР-4: «Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений, изображать действительные числа точками на координатной прямой».
ПР-17: «Находить допустимые значения переменных в выражениях, содержащих арифметические квадратные корни». ПР-18: «Выполнять преобразования иррациональных выражений, используя свойства корней».

повторение: R02.1, R02.2

Разминка · устно

Восемь коротких вопросов по теме

$144$ $12$
$0, 09$ $0, 3$
$(7)^{2}$ $7$
$(- 3)^{2}$ $3$

$4 \cdot 25$ $10$
$\frac{9}{49}$ $\frac{3}{7}$
$1 3^{2}$ и $1 5^{2}$ $169; 225$
$40$ — между какими целыми? $6$ и $7$

R02.1–R02.10

Карта темы · 17 уроков на одной схеме

Четыре блока темы «Квадратный корень»

R02.1 · R02.2

Блок 1 · понятие корня

Сколько корней у уравнения $x^{2} = a$ ?

a = b ⟺ b \geq 0, b^{2} = a

$a$	корни $x^{2} = a$
$a > 0$	два: $x = \pm a$
$a = 0$	один: $x = 0$
$a < 0$	нет корней

16 = 4

, а у

x^{2} = 16

корни

\pm 4

R02.2 · R02.5

Блок 1 · сводная таблица

Свойства корня — и где они ломаются

Свойство	Условие	Контрпример без условия
$(a)^{2} = a$	$a \geq 0$	$- 4$ не существует
$ab = a \cdot b$	$a \geq 0, b \geq 0$	$(- 4) (- 9) = 6$ , а $- 4$ — нет
$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$	$a \geq 0, b > 0$	$b = 0$ : деление на 0
$a^{2} = ∣ a ∣$	любое $a$	$(- 5)^{2} = 5 \neq = - 5$
$a^{2} b = ∣ a ∣ b$	$b \geq 0$	$a = - 2$ : $12 = 23$

Доказательство

$a \cdot b \geq 0$ и $(a b)^{2} = ab$

значит,

a b

— это и есть

ab

по определению

R02.2 · R02.5

Образец → сам · свойства корня

Вычислите, используя свойства

Образец

50 \cdot 8

= 50 \cdot 8 = 400 = 20

(3 - π)^{2}

= ∣3 - π ∣ = π - 3

$3 - π < 0$ , поэтому модуль раскрываем с минусом

Сами

$27 \cdot 3$ $9$
$\frac{98}{2}$ $7$
$(2 - 5)^{2}$ $5 - 2$
$72 - 32$ $22$

R02.3 · R02.7

Блок 2 · числа

Действительные числа = рациональные + иррациональные

Рациональное

$\frac{m}{n}$ , $m \in Z, n \in N$ — периодическая дробь

Иррациональное

бесконечная непериодическая дробь: $2 = 1, 41421 \dots$

каждой точке прямой — действительное число, и наоборот

R02.8

Блок 2 · расширения числовых множеств

Новое множество — чтобы решить новое уравнение

R02.3 · R02.7 · R02.8

Практика · числовые множества

Наименьшее множество: ℕ, ℤ, ℚ или иррациональное?

$49$ ℕ
$- 16$ ℤ
$0, (27)$ ℚ
$0, 4$ иррациональное

$1 \frac{7}{9}$ ℚ
$π - 3$ иррациональное
$8 \cdot 2$ ℕ
$2 \cdot 3$ иррациональное

2 мин · практика
Работа в парах: один называет множество, другой обосновывает. Ответы открываются кликом.
Ответы: 1) √49 = 7 ∈ ℕ. 2) −4 ∈ ℤ. 3) 0,(27) = 27/99 = 3/11 ∈ ℚ. 4) 0,4 = 2/5 не квадрат рационального числа — иррациональное. 5) √(16/9) = 4/3 ∈ ℚ. 6) π − 3: рациональное минус иррациональное — иррациональное (сл. 11, строка 1). 7) √16 = 4 ∈ ℕ. 8) √6 — 6 не квадрат натурального числа, иррациональное.
Ловушки: 5) смешанное число под корнем — сначала перевести в неправильную дробь; 7) произведение иррациональных бывает натуральным.

R02.4 · R02.5

Блок 3 · действия с иррациональными числами

Какой получится результат?

Действие	Результат	Пример
рац. ± иррац.	всегда иррац.	$1 + 2$
рац. $\neq = 0$ · иррац.	всегда иррац.	$35$
иррац. + иррац.	как угодно	$2 + (- 2) = 0$
иррац. · иррац.	как угодно	$2 \cdot 8 = 4, 2 \cdot 3 = 6$

Докажем строку 1 от противного

r + α = q, r, q \in Q

α = q - r \in Q

противоречие:

α \in / Q

1,5 мин · теория
Ученики сначала голосуют по каждой строке («всегда», «никогда», «как повезёт»), затем открываем ответ.
Доказательство: разность двух рациональных чисел рациональна, поэтому α оказалась бы рациональной — противоречие. Строку 2 доказать аналогично: r·α = q ⇒ α = q : r (r ≠ 0).
Свойства действий (переместительное, сочетательное, распределительное) в ℝ те же, что в ℚ — поэтому (√5 − 2)(√5 + 2) = 5 − 4 = 1 считаем по формулам сокращённого умножения.

R02.6 · R02.7

Блок 3 · сравнение чисел

Расположите в порядке возрастания

\frac{7}{4}; 3; 1, 7; 2, 9

R02.6 · R02.7

Образец → сам · сравнение чисел

Сравните числа

Образец: $35$ и $211$

35 = 9 \cdot 5 = 45

211 = 4 \cdot 11 = 44

45 > 44 \Rightarrow 35 > 211

внести множитель под корень → сравнить подкоренные числа

Сами: поставьте знак

$43$ и $47$ $>$
$10$ и $3, 2$ $<$
$52$ и $43$ $>$
$- 27$ и $- 33$ $<$

R02.9

Блок 4 · допустимые значения переменных

При каких $x$ выражение имеет смысл?

x - 1 + \frac{1}{3 - x}

Правила

под корнем $\geq 0$
знаменатель $\neq = 0$

x \in [1; 3)

Ловушка:

- x^{2}

имеет смысл только при

x = 0

R02.10

Блок 4 · тождественные преобразования

Три главных инструмента

1. Вынести множитель

$75 = 25 \cdot 3 = 53$

2. Сопряжённое выражение

$(a - b) (a + b) = a - b$

3. Корень из квадрата

$(a - b)^{2} = ∣ a - b ∣$

Упростите при $a \geq 0, a \neq = 4$

\frac{a - 4}{a - 2} - a

= \frac{( a - 2 ) ( a + 2 )}{a - 2} - a

a - 4 = (a)^{2} - 2^{2}

= a + 2 - a = 2

R02.9 · R02.10

Образец → сам · допустимые значения и преобразования

Найдите ОДЗ, упростите

Образец: $\frac{x - 9}{x + 3}, x \geq 0$

= \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x + 3}

= x - 3

$x - 9 = (x)^{2} - 3^{2}$ — разность квадратов

Сами

ОДЗ: $5 - x$ $x \leq 5$
ОДЗ: $\frac{x}{x - 4}$ $x \geq 0, x \neq = 4$
$\frac{a - 25}{a - 5}$ $a + 5$
$\frac{2}{5 + 3}$ без корня в знаменателе
$5 - 3$

R02.1–R02.10

Типичные ошибки по всей теме

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$25 = \pm 5$	арифметический корень $\geq 0$	$25 = 5$
$9 + 16 = 3 + 4 = 7$	корень из суммы — не сумма корней	$25 = 5$
$(1 - 2)^{2} = 1 - 2$	$1 - 2 < 0$	$2 - 1$
$x \cdot x - 2$ : $x \geq 0$	нужны оба условия	$x \geq 2$
$3 \cdot 12$ — иррациональное	произведение может быть рациональным	$36 = 6$

R02.1–R02.8

Самопроверка · верно или неверно

Поднимите карточку: «да» или «нет»

Утверждение	Ответ
1. Уравнение $x^{2} = 16$ имеет корни $4$ и $- 4$	верно
2. Сумма двух иррациональных чисел иррациональна	неверно
3. $a^{2} = a$ при любом $a$	неверно
4. Число $0, 1010010001 \dots$ иррационально	верно
5. $23 > 32$	неверно
6. Каждой точке координатной прямой соответствует действительное число	верно

R02.1–R02.10

Задания с самопроверкой · по всем блокам

Решите самостоятельно

база $0, 36 + 1 \frac{9}{16}$ $1, 85$
базаРешите $x^{2} = 7$ и $x^{2} = 0, 49$
$\pm 7; \pm 0, 7$
базаМежду какими целыми числами лежит $- 57$ ? $- 8$ и $- 7$

повыш. $(12 - 27 + 75) \cdot 3$ $12$
повыш. $\frac{6}{3 - 3}$ без корня в знаменателе $3 + 3$
повыш.Рационально ли $(5 - 2)^{2} + 45$ ? да, $9$
практикаПлощадь квадратного участка $200 м^{2}$ . Сторона с точностью до $0, 1$ м? $14, 1$ м

R02.3 · R02.9 · R02.10

Углублённый уровень · задачи со звёздочкой

Доказать, исследовать, упростить

доказать $2 + 3$ — иррациональное число
параметрПри каких $a$ уравнение $x^{2} = a^{2} - 4$ имеет ровно один корень? два корня?
упростить $x + 2 x - 1 + x - 2 x - 1$ при $1 \leq x \leq 2$

Подсказка 1. Пусть

2 + 3 = r \in Q

; возведите

3 = r - 2

в квадрат

Подсказка 2. Смотрите на знак

a^{2} - 4

(слайд 5)

Подсказка 3.

t = x - 1

, тогда

x + 2 t = (t + 1)^{2}

R02.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8

Найдите значение выражения

\frac{45 \cdot 12}{15}

План

всё под один корень
сократить дробь
извлечь корень

Ответ в бланк — целое число

Ответ:

6

R02.2 · R02.5 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8 · на время

Четыре задания за две минуты

$\frac{( 3 2 ) ^{2}}{6}$ $3$
$1 7^{2} - 8^{2}$ $15$

$(13 - 3) (13 + 3)$ $10$
$\frac{6 \cdot 10}{15}$ $2$

R02.2 · R02.6 · R02.9 · R02.10

Самостоятельная работа · 5 минут

По вариантам

Вариант 1

$0, 64 + 2 \frac{1}{4}$ $2, 3$
Сравните $36$ и $52$ $>$
ОДЗ: $\frac{x - 2}{x - 5}$ $x \geq 2, x \neq = 5$
$\frac{4}{7 - 3}$ без корня в знам.
$7 + 3$

Вариант 2

$0, 81 + 1 \frac{11}{25}$ $2, 1$
Сравните $27$ и $33$ $>$
ОДЗ: $\frac{6 - x}{x + 1}$ $x \leq 6, x \neq = - 1$
$\frac{6}{5 + 2}$ без корня в знам.
$25 - 22$

5 мин · практика (4 мин работа, 1 мин — взаимопроверка соседа по ответам, открытым кликом)
Вариант 1: 1) 0,8 + √(9/4) = 0,8 + 1,5 = 2,3. 2) 3√6 = √54, 5√2 = √50 ⇒ 3√6 > 5√2. 3) x − 2 ≥ 0 и x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≥ 2, x ≠ 5. 4) 4(√7 + √3) / (7 − 3) = √7 + √3.
Вариант 2: 1) 0,9 + √(36/25) = 0,9 + 1,2 = 2,1. 2) 2√7 = √28, 3√3 = √27 ⇒ 2√7 > 3√3. 3) 6 − x ≥ 0 и x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≤ 6, x ≠ −1. 4) 6(√5 − √2) / (5 − 2) = 2(√5 − √2) = 2√5 − 2√2.
Критерий: «5» — 4 верных, «4» — 3, «3» — 2. Задания соответствуют блокам карты: 1 — понятие корня, 2 — сравнение, 3 — допустимые значения, 4 — преобразования.

рефлексия · ДЗ

Итог урока и темы

Проверьте себя перед контрольной

Ответьте одной фразой

Какой блок карты для меня самый трудный?
$16$ и корни $x^{2} = 16$ : в чём разница?
Как сравнить два числа с корнями?

Домашнее задание

Сравните $7 + 2$ и $5 + 2$
ОДЗ: $\frac{x + 4}{x - 1}$
$\frac{1}{3 + 2} + \frac{1}{3 - 2}$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-037 · Обобщение и систематизация: квадратный корень

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R02 «Числа и вычисления: квадратный корень», 17 ч · урок 17/17 · тип О (обобщение)
Единицы → слайды	R02.1 → 3, 4, 5, 18, 19 · R02.2 → 3, 4–7, 17, 21, 22, 23 · R02.3 → 8, 10, 18, 20 · R02.4 → 11, 17 · R02.5 → 6, 7, 11, 22 · R02.6 → 12, 13, 18, 23 · R02.7 → 8, 10, 12, 13 · R02.8 → 9, 10 · R02.9 → 14, 16, 17, 20, 23 · R02.10 → 15, 16, 19, 20, 23
Результаты	ПР-2 (расширения числовых множеств) → 2, 9, 10 · ПР-3 (корни, оценка, преобразования по свойствам) → 2, 3, 5, 6, 7, 11, 19, 21, 22 · ПР-4 (действительные числа, сравнение, координатная прямая) → 8, 12, 13, 18 · ПР-17 (допустимые значения) → 14, 16, 20, 23 · ПР-18 (преобразования иррациональных выражений) → 15, 16, 19, 20, 23 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	квадратное уравнение — ALG8U-038 (R03); функция $y = x$ и её график — в строке функций; комплексные числа — только упоминание как вопрос (сл. 9)
Хронометраж	теория 14 мин (все теоретические слайды сохранены) · практика 31 мин (69 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщениеи систематизация:квадратный корень

Сегодня собираем тему в одну систему

Понятия и свойства

Числовые множества

Действия и сравнение

Выражения с корнями

Восемь коротких вопросов по теме

Четыре блока темы «Квадратный корень»

Сколько корней у уравнения x2=a?

Свойства корня — и где они ломаются

Доказательство

Вычислите, используя свойства

Образец

Сами

Действительные числа = рациональные + иррациональные

Рациональное

Иррациональное

Новое множество — чтобы решить новое уравнение

Наименьшее множество: ℕ, ℤ, ℚ или иррациональное?

Какой получится результат?

Расположите в порядке возрастания

Сравните числа

Образец: 35​ и 211​

Сами: поставьте знак

При каких x выражение имеет смысл?

Правила

Три главных инструмента

1. Вынести множитель

2. Сопряжённое выражение

3. Корень из квадрата

Найдите ОДЗ, упростите

Образец: x​+3x−9​, x≥0

Сами

Найдите ошибку

Поднимите карточку: «да» или «нет»

Решите самостоятельно

Доказать, исследовать, упростить

Найдите значение выражения

План

Четыре задания за две минуты

По вариантам

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя перед контрольной

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-037 · Обобщение и систематизация: квадратный корень

Обобщение
и систематизация:
квадратный корень

Сколько корней у уравнения $x^{2} = a$ ?

Образец: $35$ и $211$

При каких $x$ выражение имеет смысл?

Образец: $\frac{x - 9}{x + 3}, x \geq 0$