Квадратный корень · урок 16 из 17 · практикум

Практикум:
сравнение
иррациональных
чисел

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG8U-036

1 мин · теория. Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин. Теория — титул, цели и четыре образца (сл. 5, 7, 9, 11) по 3 мин; остальное — работа учеников.
Паспорт: R02 «Числа и вычисления: квадратный корень» (17 ч), урок 16/17, единица R02.6 «Сравнение иррациональных чисел». Тип — П (практикум). Новый материал был на уроке ALG8U-026 (четыре способа сравнения); здесь — более трудные типы задач. Следующий урок ALG8U-037 — обобщение по всей строке.
Хронометраж (45 мин): титул и цели 2 (сл. 1–2) · разминка 2 (сл. 3) · блиц 2 (сл. 4) · тип 1 — 6 (сл. 5–6) · тип 2 — 6 (сл. 7–8) · тип 3 — 6 (сл. 9–10) · тип 4 — 6 (сл. 11–12) · смешанные задания 3 (сл. 13) · ошибки 2 (сл. 14) · задача из жизни 2 (сл. 15) · ОГЭ 2 (сл. 16) · самостоятельная 4 (сл. 17) · рефлексия и ДЗ 2 (сл. 18).
Рисунок на титуле — к сл. 4, в масштабе: $2 + 3 \approx 3, 146$ , $10 \approx 3, 162$ . На глаз не различить — нужен точный способ.

R02.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Тонко сравнивать

суммы корней, возводя в квадрат дважды (ПР-4, ПР-24)

Раскрывать модуль

определяя знак выражения с корнем: $a^{2} = ∣ a ∣$ (ПР-3, ПР-18)

Сравнивать разности

через сопряжённое выражение (ПР-18, ПР-24)

Оценивать

корни целыми числами и считать целые на промежутке (ПР-3, ПР-4)

1 мин · теория
ПР-3 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: квадратный корень, арифметический квадратный корень, иррациональное число, находить, оценивать квадратные корни…». ПР-4: «Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений, изображать действительные числа точками на координатной прямой».
ПР-18: «Выполнять преобразования иррациональных выражений, используя свойства корней». ПР-24: «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки…».
Вид деятельности ФРП: «Сравнивать и упорядочивать рациональные и иррациональные числа, записанные с помощью квадратных корней».

повторение: R02.2–R02.5

Разминка · устно

Считаем в уме — ответ по клику

1) $144$

12

2) $(11)^{2}$

11

3) $(32)^{2}$

18

4) $23$ — под один корень

$12$

5) $3 \cdot 12$

6

6) $(7 - 2) (7 + 2)$

3

7) Между какими целыми $55$ ?

7 и 8

8) $(2 + 1)^{2}$

$3 + 22$

повторение: ALG8U-026

Вспомним · четыре способа

Блиц: поставьте $<$ , $>$ или $=$

1 · под один корень

$a b = a^{2} b$

2 · квадраты

$x, y > 0$ :
$x < y \Leftrightarrow x^{2} < y^{2}$

3 · целое между

$17 > 4$ , $5 > 2$

4 · сопряжённое

$a - b = \frac{a - b}{a + b}$

$48$ и $7$ $<$
$- 32$ и $- 4$ $<$
$25$ и $19$ $>$
$8 + 2$ и $18$ $=$

R02.6 · тип 1

Тип 1 · образец · квадрат дважды

Сравните $2 + 3$ и $10$

$2 + 3$	∨	$10$	обе $> 0$
$5 + 26$	∨	$10$	в квадрат
$26$	∨	$5$	$- 5$ ; обе $> 0$
$24$	$<$	$25$	в квадрат
$2 + 3$	$<$	$10$	ответ

R02.6 · тип 1

Тип 1 · решите сами · самопроверка

Сравните

база $5 + 3$ и $15$ $>$
база $6 + 2$ и $15$ $<$
повыш. $2023 + 2025$ и $22024$ $<$

3 мин · практика
Решают в тетрадях, ответы открываются по клику — проверка всем классом. 1) Квадраты: $8 + 215$ и $15$ ⇒ $215$ и $7$ ⇒ $60$ и $49$ ⇒ $5 + 3 > 15$ (3,968… и 3,873…).
2) Квадраты: $8 + 212 = 8 + 43$ и $15$ ⇒ $43$ и $7$ ⇒ $48$ и $49$ ⇒ $6 + 2 < 15$ (3,864… и 3,873…). Очень «тонкое» сравнение.
3) Квадраты: $4048 + 2 2023 \cdot 2025$ и $4 \cdot 2024 = 4048 + 2 \cdot 2024$ ⇒ $2023 \cdot 2025$ и $2024$ ⇒ $2023 \cdot 2025 = 202 4^{2} - 1 < 202 4^{2}$ ⇒ первое меньше. Рисунок (масштаб $a = 1$ , $c = 9$ ): $\frac{a + c}{2} < \frac{a + c}{2}$ — середина хорды (2) ниже точки графика ( $5 \approx 2, 24$ ). Рисунок показать после попытки решения.

R02.6 · тип 2

Тип 2 · образец · знак и модуль

Упростите $∣2 - 5 ∣ + ∣3 - 5 ∣$

4 < 5 \Rightarrow 2 < 5

5 < 9 \Rightarrow 5 < 3

5 - 2 + 3 - 5 = 1

R02.6 · тип 2

Тип 2 · решите сами · самопроверка

Упростите выражение

a^{2} = ∣ a ∣

Знак: сравните корень с числом

К № 3:

7 - 43 = (2 - 3)^{2}

база $(1 - 2)^{2} + (2 - 2)^{2}$ $= 1$
база $∣ 10 - 3∣ - ∣ 10 - 4∣$ $= 210 - 7$
повыш. $7 - 43 + 3$ $= 2$

R02.6 · тип 3

Тип 3 · образец · сопряжённое

Сравните $4 - 15$ и $17 - 4$

4 - 15 = \frac{16 - 15}{4 + 15} = \frac{1}{4 + 15}

17 - 4 = \frac{17 - 16}{17 + 4} = \frac{1}{17 + 4}

17 + 4 > 4 + 15

4 - 15 > 17 - 4

R02.6 · тип 3

Тип 3 · решите сами · самопроверка

Сравните

(a - b) (a + b) = a - b

К № 3:

3 - 22 = (2 - 1)^{2}

,
а

0 < 2 - 1 < 1

база $26 - 5$ и $5 - 24$ $<$
база $7 - 5$ и $5 - 3$ $<$
повыш. $3 - 22$ и $2 - 1$ $<$

R02.6 · тип 4

Тип 4 · образец · целые на промежутке

Сколько целых чисел между $- 30$ и $27$ ?

25 < 30 < 36 \Rightarrow - 6 < - 30 < - 5

27 = 28, 5 < 28 < 6

R02.6 · тип 4

Тип 4 · решите сами · самопроверка

Оцените целыми числами

К № 2: сначала упростите сумму

К № 3: оценка

2 + 1 < 7 + 3 < 3 + 2

— грубая. Возведите в квадрат!

базаСколько целых чисел между $- 33$ и $40$ ? 12
базаНайдите наибольшее целое число, меньшее $12 + 27$ . 8
повыш.Между какими соседними целыми лежит $7 + 3$ ? 4 и 5

R02.6 · самопроверка

Задания с самопроверкой · все четыре типа

Определите тип и решите

базаСравните $11 + 5$ и $30$ $>$
базаУпростите $∣ 6 - 2∣ + ∣ 6 - 3∣$ $= 1$
базаСколько целых чисел между $- 10$ и $20$ ? 8
повыш.Сравните $10 - 3$ и $11 - 10$ $>$
повыш.Упростите $11 - 62$ $= 3 - 2$

R02.6

Типичные ошибки

Найдите ошибку

✗ Квадрат отрицательных

5 - 3 \lor - 1

14 - 65 < 1

⇒ «

<

» ?

Обе части $< 0$ .
Верно: $5 - 3 > - 1$

✗ Модуль без знака

∣2 - 7 ∣ = 2 - 7

?

$2 < 7$ . Верно: $7 - 2$

✗ Отрицательный корень

(1 - 3)^{2} = 1 - 3

?

Корень $\geq 0$ . Верно: $3 - 1$

Перед квадратом и модулем — всегда определяем знак.

R02.6 · практика

Практическая задача

Хватит ли 25 м сетки на забор?

Участок — квадрат площадью 40 м².

P = 440 = 640

25 = 625

640 > 25

R02.6 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 7

Точка A соответствует одному из чисел. Какому?

1) $47$ 2) $53$ 3) $60$ 4) $67$

Метод

A между 7 и 8, правее середины:

7, 5^{2} = 56, 25

Ответ: 3

R02.6 · самостоятельная

Самостоятельная работа · 4 мин

Два варианта

Вариант 1

Сравните $36$ и $213$
Сравните $3 + 8$ и $20$
Упростите $∣ 7 - 3∣ - ∣ 7 - 2∣$
Сколько целых между $- 18$ и $33$ ?

$>$ ; $>$ ; $5 - 27$ ; 10

Вариант 2

Сравните $211$ и $35$
Сравните $2 + 10$ и $21$
Упростите $∣ 11 - 3∣ - ∣ 11 - 4∣$
Сколько целых между $- 23$ и $15$ ?

$<$ ; $<$ ; $211 - 7$ ; 8

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда можно возводить обе части в квадрат?
Как раскрыть $∣ a - b ∣$ ?
Какой тип задач был самым трудным?

Домашнее задание

Сравните $3 + 7$ и $19$
Упростите $9 - 45$
Сравните $50 - 7$ и $7 - 48$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-036 · Практикум: Сравнение иррациональных чисел

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Числа и вычисления: квадратный корень», 17 ч · урок 16/17 · тип П
Единицы → слайды	R02.6 «Сравнение иррациональных чисел» → 2, 4–18 · опора R02.2, R02.4, R02.5 (свойства корня, действия) → 3, 4, 7–10 · хронометраж: теория 14 мин (сл. 1, 2, 5, 7, 9, 11) · практика 31 мин (69 %)
Результаты	ПР-3 (оперировать понятиями … арифметический квадратный корень, оценивать квадратные корни) → 2, 3, 7, 8, 11–13, 17 · ПР-4 (действительные числа для сравнения, изображать точками на координатной прямой) → 2, 4–6, 9, 11–13, 15–17 · ПР-18 (преобразования иррациональных выражений) → 2, 3, 8–10, 13, 14, 17 · ПР-24 (свойства числовых неравенств для сравнения, оценки) → 2, 5, 6, 10, 13, 14 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	множество действительных чисел — ALG8U-027; обобщение строки — ALG8U-037
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:сравнениеиррациональныхчисел

Сегодня вы научитесь

Тонко сравнивать

Раскрывать модуль

Сравнивать разности

Оценивать

Считаем в уме — ответ по клику

Блиц: поставьте <, > или =

1 · под один корень

2 · квадраты

3 · целое между

4 · сопряжённое

Сравните 2​+3​ и 10​

Сравните

Упростите ∣2−5​∣+∣3−5​∣

Упростите выражение

Сравните 4−15​ и 17​−4

Сравните

Сколько целых чисел между −30​ и 27​?

Оцените целыми числами

Определите тип и решите

Найдите ошибку

✗ Квадрат отрицательных

✗ Модуль без знака

✗ Отрицательный корень

Хватит ли 25 м сетки на забор?

Точка A соответствует одному из чисел. Какому?

Метод

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-036 · Практикум: Сравнение иррациональных чисел

Практикум:
сравнение
иррациональных
чисел

Блиц: поставьте $<$ , $>$ или $=$

Сравните $2 + 3$ и $10$

Упростите $∣2 - 5 ∣ + ∣3 - 5 ∣$

Сравните $4 - 15$ и $17 - 4$

Сколько целых чисел между $- 30$ и $27$ ?