Квадратный корень · практикум · урок 15 из 17

Свойства действий
с иррациональными
числами

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG8U-035

1 мин · теория (орг. момент)
Паспорт: R02 «Числа и вычисления: квадратный корень» (17 ч), урок 15/17, единица R02.5 «Свойства действий с иррациональными числами». Тип П (практикум). До этого: ALG8U-033 (понятие иррационального числа), ALG8U-034 (действия с иррациональными числами). Дальше: ALG8U-036 — сравнение иррациональных чисел.
Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %) — всего 45 мин.
Хронометраж: титул и цели 2 мин (сл. 1–2, теория) · разминка 2 и актуализация 2 (сл. 3–4, практика) · карта свойств 2 (сл. 5, теория) · тип 1: доказательство 3 (сл. 6, теория) и «рационально или нет» 3 (сл. 7, практика) · тип 2: образец 2 (сл. 8, теория) и практика 3 (сл. 9) · тип 3: правило и образец 2 (сл. 10, теория) и практика 3 (сл. 11) · тип 4: образец 2 (сл. 12, теория) и «сам» 2 (сл. 13) · найди ошибку 2 (сл. 14) · самопроверка 3 + 3 (сл. 15–16) · закрепление 2 (сл. 17) · ОГЭ 2 (сл. 18) · самостоятельная работа 4 (сл. 19) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 20).
Если не успеваете — сл. 17 задания 4–6 и сл. 12 пример 2 перенести в ДЗ.
Рисунок: множество действительных чисел ℝ, внутри — рациональные ℚ, остальное — иррациональные.

R02.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Определять

рационально ли значение суммы, разности, произведения, частного (ПР-3, ПР-4)

Применять законы

переместительный, сочетательный, распределительный — для рационального счёта (ПР-3, ПР-18)

Сравнивать части

решать равенства вида $a + b 2 = c + d 2$ в рациональных числах (ПР-3)

Доказывать

иррациональность чисел методом от противного (ПР-1, ПР-3)

1 мин · теория
ПР-1 (ФРП, раздел): «Иррациональные числа».
ПР-3: «Оперировать понятиями: квадратный корень, арифметический квадратный корень, иррациональное число, … выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни, используя свойства корней».
ПР-4: «Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений…».
ПР-18: «Выполнять преобразования иррациональных выражений, используя свойства корней».
Вид деятельности ФРП: «Выполнять операции с иррациональными числами».

разминка · R02.3, R02.4

Разминка · устно

Вычислите или упростите

вычислите

2 \cdot 8

4

вычислите

(7)^{2}

7

вынесите множитель

50

52

вычислите

\frac{27}{3}

3

приведите подобные

23 + 53

73

вычислите

(5 - 2) (5 + 2)

1

раскройте скобки

(1 + 2)^{2}

3 + 22

избавьтесь от корня
в знаменателе

\frac{1}{2}

\frac{2}{2}

повторение: R02.3, R02.4

Вспомним · разложите по множествам

Рациональное или иррациональное?

Рациональное —

\frac{m}{n}

,

m \in Z, n \in N

Иррациональное — бесконечная непериодическая десятичная дробь

R02.5

Карта · что получится в результате

Таблицы сложения и умножения для ℚ и «иррац.»

Вычитание и деление ведут себя так же:

a - b = a + (- b)

,

a : b = a \cdot \frac{1}{b}

.

2 мин · теория
Это «карта» урока: розовые клетки — известно с 6 класса (ℚ замкнуто относительно действий), фиолетовые докажем (тип 1), жёлтые «?» разберём на примерах (сл. 7).
Важно: в умножении рациональный множитель должен быть ненулевым: $0 \cdot 2 = 0$ — рационально.
Вопрос классу: если $α$ иррационально, то $- α$ и $\frac{1}{α}$ иррациональны? (Да: иначе $α = - (- α)$ и $α = 1 : \frac{1}{α}$ были бы рациональны.) Поэтому вычитание и деление сводятся к сложению и умножению.

R02.5 · тип 1

Тип 1 · образец: метод от противного

Рациональное + иррациональное = иррациональное

r \neq = 0 : r α = q \Rightarrow α = \frac{q}{r}

Ваша очередь. Докажите иррациональность:

1 - 5

и

\frac{5}{3}

3 мин · теория (учитель разбирает образец; «Ваша очередь» — устно)
Схема доказательства «от противного»: предположили противное → получили следствие → оно противоречит условию → предположение неверно.
Для произведения: если $r α = q$ , то $α = \frac{q}{r}$ — частное рациональных (делитель $r \neq = 0$ ) рационально, противоречие.
«Ваша очередь»: $1 - 5 = 1 + (- 5)$ , где $- 5$ иррационально; $\frac{5}{3} = \frac{1}{3} \cdot 5$ , $\frac{1}{3} \neq = 0$ . Иррациональность $5$ доказана на уроке ALG8U-033 (как для $2$ ).
Типичная ошибка: «доказывать» вычислением на калькуляторе — конечная запись $2, 2360679 \dots$ ничего не доказывает.

R02.5 · тип 1

Тип 1 · клетки «?»

Два иррациональных числа — результат бывает разным

Рационально ли?

$(7 - 1) + (3 - 7)$
$5 \cdot 20$
$(3 + 1)^{2}$
$6 : 24$

3 мин · практика (примеры слева — 30 с, затем ученики решают 4 задания)
Вывод: для двух иррациональных чисел общего правила нет — каждый раз нужно упростить выражение и посмотреть на результат.
Ответы: 1) $2$ — рационально; 2) $100 = 10$ — рационально; 3) $3 + 23 + 1 = 4 + 23$ — иррационально (рациональное + ненулевое рациональное · иррациональное); 4) $\frac{6}{24} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ — рационально.
Вопрос классу: придумайте два иррациональных числа, произведение которых равно 5. (Например, $5 \cdot 5$ или $10 \cdot 2, 5$ .)

R02.5 · тип 2

Тип 2 · законы действий в ℝ · образец

$(5 - 2)^{10} \cdot (5 + 2)^{10}$ — группируем пары

ab = ba, (ab) c = a (b c)

a (b + c) = ab + a c

a^{n} b^{n} = (ab)^{n}

Законы верны для всех действительных чисел

R02.5 · тип 2

Тип 2 · распределительный закон · практика

$3 (12 + 3) = 6 + 3 = 9$

Вычислите рационально

база $(3 - 22)^{5} (3 + 22)^{5}$
повыш. $(3 + 2)^{7} (3 - 2)^{6}$
база $2 (8 - 32) + 4$

R02.5 · тип 3

Тип 3 · образец

$a + b 2 = c + d 2$ , $a, b, c, d \in Q$ $\Rightarrow$ $a = c, b = d$

Найдите рациональные $x$ и $y$ :

(1 + 2) x + (1 - 2) y = 3 + 2

(x + y) + (x - y) 2 = 3 + 1 \cdot 2

{x + y = 3 x - y = 1

x = 2, y = 1

R02.5 · тип 3

Тип 3 · практика

Две части — два линейных уравнения

Найдите рациональные $x, y$

база $x + y 3 = (2 - 3)^{2}$
база $(x + 2) + (y - 1) 5 = 0$
повыш. $x + y 2 = \frac{1}{2 - 1}$

R02.5 · тип 4

Тип 4 · образец: рационально ли число?

Возводим в квадрат и сводим к известному

1)

3 + 22 - 2 = (1 + 2) - 2 = 1

ℚ

2) Пусть

2 + 3 = r \in Q

3 = (r - 2)^{2} = r^{2} - 2 r 2 + 2

2 = \frac{r ^{2} - 1}{2 r} \in Q

— противоречие

2 мин · теория (учитель разбирает образец)
Пример 1: $3 + 22 = 1 + 22 + 2 = (1 + 2)^{2}$ — площадь квадрата со стороной $1 + 2$ (рисунок). $1 + 2 > 0$ , поэтому $(1 + 2)^{2} = 1 + 2$ . Число рационально: 1.
Пример 2: $3 = r - 2$ , возводим в квадрат. $r \neq = 0$ , так как $2 + 3 > 0$ — делить на $2 r$ можно. Получили, что $2$ рационально — противоречие.
Вопрос классу: а не проще ли сказать «иррациональное + иррациональное»? (Нет — по сл. 7 сумма двух иррациональных может быть рациональной.)
Пример 2 при нехватке времени — в ДЗ (аналогичное задание есть в ДЗ).

R02.5 · тип 4

Тип 4 · образец → сам

Рационально ли число? Обоснуйте

база 1)

4 + 23 - 3

1

— рационально база 2)

6 - 25 + 5

25 - 1

— иррационально повыш. 3)

2 + 7

иррационально повыш. 4)

7 + 43 + 7 - 43

4

— рационально

Подсказка 1. Ищите полный квадрат:

3 + 22 = (1 + 2)^{2}

Подсказка 2. Следите за знаком:

(a - b)^{2} = ∣ a - b ∣

2 мин · практика
№ 1–2 решают все, № 3–4 — кто справился; ответы по клику, решение одного-двух учеников — у доски устно.
1) $4 + 23 = 1 + 23 + 3 = (1 + 3)^{2}$ , $(1 + 3)^{2} = 1 + 3$ ; $1 + 3 - 3 = 1$ — рационально.
2) $6 - 25 = 5 - 25 + 1 = (5 - 1)^{2}$ , $5 - 1 > 0$ , значит корень равен $5 - 1$ ; сумма $25 - 1$ — иррациональна (рациональное + ненулевое рациональное · иррациональное).
3) Пусть $2 + 7 = r \in Q$ , $r > 0$ . Тогда $r^{2} = 9 + 214$ , $14 = \frac{r ^{2} - 9}{2} \in Q$ — но 14 не квадрат натурального числа, $14$ иррационально. Противоречие.
4) $7 \pm 43 = 4 \pm 43 + 3 = (2 \pm 3)^{2}$ ; $2 - 3 > 0$ ( $3 \approx 1, 73$ ). Сумма $(2 + 3) + (2 - 3) = 4$ — рационально.
Типичная ошибка в 2): $(1 - 5)^{2} = 1 - 5$ — забыт модуль, получается отрицательный «корень».

R02.5

Типичные ошибки

Найдите ошибку

✗ «Сложим корни»

2 + 3 = 5

?

Квадраты: $5 + 26 \neq = 5$ . Неподобные корни не складываются.

✗ «Всегда иррац.»

8 \cdot 2

— иррац. ?

$16 = 4$ . Для двух иррациональных нужен расчёт.

✗ Забыли условие

2 + 0 \cdot 2 = 0 + 1 \cdot 2

Но $2 \neq = 0$ : сравнивать части можно, только если они рациональны.

«Не похоже на рациональное» — не доказательство. Упростите или докажите от противного.

R02.5

Задания с самопроверкой · база

Вычислите и проверьте ответ

1)

3 \cdot 27

9

2)

(11 - 3) (11 + 3)

2

3)

(2 - 3)^{4} (2 + 3)^{4}

1

4)

(2 + 1)^{2} - 22

3

5) рационально ли

5 + \frac{1}{2}

?нет 6)

(x - 1) + (y + 2) 3 = 0

x = 1, y = - 2

R02.5

Задания с самопроверкой · повышенный

Решите и обоснуйте

повыш. 1)

(7 + 6)^{9} (7 - 6)^{8}

7 + 6

повыш. 2)

\frac{1}{5 - 2} - 5

2

повыш. 3) рациональные

x, y

:

x + y 3 = \frac{2}{3 + 1}

x = - 1, y = 1

повыш. 4) рациональные

x, y

:

(2 + 5) x + (1 - 5) y = 8 + 5

x = 3, y = 2

повыш. 5) при каком рациональном

a

число

(a + 2)^{2}

рационально?

a = 0

R02.5

Закрепление · сделайте сами

Все четыре типа

базаРационально ли $(6 - 2) (6 + 2)$ ?
база $(4 - 15)^{8} (4 + 15)^{8}$
повыш.Рациональные $x, y$ :
$x + y 5 = (3 + 5)^{2}$

повыш.Докажите, что число
$3 + 5$ иррационально
повыш.Рационально ли
$\frac{1}{3 - 2} - \frac{1}{3 + 2}$ ?
практикаСтороны участка
$3 + 2$ м и $3 - 2$ м. Рациональны ли площадь и периметр?

R02.5 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8

Найдите значение выражения

\frac{( 13 - 7 ) ( 13 + 7 )}{( 2 3 ) ^{2}}

План

числитель — разность квадратов
знаменатель — квадрат произведения
сократить дробь

Ответ — десятичная дробь, через запятую

R02.5

Самостоятельная работа

Два варианта · в № 3 $x, y$ — рациональные

Вариант 1

1)

2 \cdot 32

8

2)

(13 - 23)^{6} (13 + 23)^{6}

1

3)

x + y 2 = (1 - 2)^{2}

3; - 2

4)

9 + 45 - 5

2

Вариант 2

1)

3 \cdot 48

12

2)

(17 - 4)^{5} (17 + 4)^{5}

1

3)

x + y 3 = (2 + 3)^{2}

7; 4

4)

11 - 62 + 2

3

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какой результат у суммы рационального и иррационального?
Почему $0 \cdot 2$ — исключение?
Когда можно приравнять части в
$a + b 2 = c + d 2$ ?

Домашнее задание

$(10 - 3)^{20} (10 + 3)^{21}$
Рациональные $x, y$ :
$(2 + 3) x - (1 - 3) y = 5 + 3$
Докажите: $2 + 5$ иррационально
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-035 · Практикум: Свойства действий с иррациональными числами

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Числа и вычисления: квадратный корень», 17 ч · урок 15/17 · тип П
Единицы → слайды	R02.5 «Свойства действий с иррациональными числами» → 2, 5–20 · опора R02.3, R02.4 → 3–4
Результаты	ПР-1 (иррациональные числа) → 4, 6, 12–13 · ПР-3 (оперировать понятием иррационального числа, преобразования выражений с корнями) → 2–20 · ПР-4 (множество действительных чисел для вычислений) → 5, 8–9 · ПР-18 (преобразования иррациональных выражений) → 3, 8–13, 15–19 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	сравнение иррациональных чисел — ALG8U-036; множество действительных чисел как целое — R02.7; обобщение — ALG8U-037
Хронометраж	теория 13 мин (сл. 1–2, 5, 6, 8, 10, 12) · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Свойства действийс иррациональнымичислами

Сегодня вы научитесь

Определять

Применять законы

Сравнивать части

Доказывать

Вычислите или упростите

Рациональное или иррациональное?

Таблицы сложения и умножения для ℚ и «иррац.»

Рациональное + иррациональное = иррациональное

Два иррациональных числа — результат бывает разным

(5​−2)10⋅(5​+2)10 — группируем пары

3​(12​+3​)=6+3=9

a+b2​=c+d2​, a,b,c,d∈Q ⇒ a=c, b=d

Две части — два линейных уравнения

Возводим в квадрат и сводим к известному

Рационально ли число? Обоснуйте

Найдите ошибку

✗ «Сложим корни»

✗ «Всегда иррац.»

✗ Забыли условие

Вычислите и проверьте ответ

Решите и обоснуйте

Все четыре типа

Найдите значение выражения

План

Два варианта · в № 3 x,y — рациональные

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-035 · Практикум: Свойства действий с иррациональными числами

Свойства действий
с иррациональными
числами

$(5 - 2)^{10} \cdot (5 + 2)^{10}$ — группируем пары

$3 (12 + 3) = 6 + 3 = 9$

$a + b 2 = c + d 2$ , $a, b, c, d \in Q$ $\Rightarrow$ $a = c, b = d$

Два варианта · в № 3 $x, y$ — рациональные