Квадратный корень · урок 14 из 17 · практикум

Практикум:
действия
с иррациональными
числами

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG8U-034

Паспорт: R02 «Числа и вычисления: квадратный корень» (17 ч), урок 14/17, единица R02.4 «Действия с иррациональными числами». Тип — П (практикум). Новый материал был на уроке ALG8U-024 (теоремы о сумме и произведении Q и I, вычисления с $a + b 2$ , оценки). После: ALG8U-035 «Практикум: свойства действий с иррациональными числами».
1 мин · теория
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Сумма 45 мин.
Хронометраж: титул и цели 2 мин (сл. 1–2, теория) · разминка 3 (сл. 3) · тип 1: образец 3 + задания 2 (сл. 4–5) · тип 2: 3 + 3 (сл. 6–7) · тип 3: 3 + 3 (сл. 8–9) · тип 4: 3 + 3 (сл. 10–11) · задания с самопроверкой 3 + 3 (сл. 12–13) · найди ошибку 2 (сл. 14) · ОГЭ 1 + 2 (сл. 15–16) · самостоятельная работа 5 (сл. 17) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 18).
Теория (образцы и обоснования учителя): сл. 1–2, 4, 6, 8, 10 — показываются полностью, без сокращений. Практика: сл. 3, 5, 7, 9, 11–18.
Рисунок на титуле — площадная модель к сл. 6: $(2 + 3) (1 + 3) = 2 + 23 + 3 + 3 = 5 + 33$ .
Если класс слабее — на сл. 9 решить задания 1–2, а 3–4 перенести в ДЗ; если сильнее — дать задание 4 со сл. 9 всем.

R02.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Тип 1 · Q или I?

упрощать выражение и обосновывать, рационально ли оно (ПР-3)

Тип 2 · вычислять точно

умножать и делить числа вида $a + b k$ (ПР-3)

Тип 3 · сравнивать коэффициенты

решать равенства $a + b 2 = c + d 2$ (ПР-3)

Тип 4 · оценивать

находить сумму и разность с заданной точностью (ПР-4)

1 мин · теория
ПР-3 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: квадратный корень, арифметический квадратный корень, иррациональное число, находить, оценивать квадратные корни, используя при необходимости калькулятор, выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни, используя свойства корней».
ПР-4: «Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений…».
Вид деятельности ФРП: «Выполнять операции с иррациональными числами»; «Использовать в ходе решения задач элементарные представления, связанные с приближенными значениями величин».

повторение: R02.2, R02.4

Вспомним · блиц

Три инструмента и шесть устных примеров

(a)^{2} = a

ab = a \cdot b

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

$a \geq 0, b \geq 0$ в первых двух

2 \cdot 18

= 6

(25)^{2}

= 20

48

= 43

\frac{20}{5}

= 2

(7 - 1) (7 + 1)

= 6

3 + 12

= 33

R02.4 · тип 1

Тип 1 · образец решения

Рационально ли? Алгоритм в три шага

R02.4 · тип 1

Тип 1 · решите сами

Упростите и определите: Q или I?

база $50 - 2$ $42$ · I
база $\frac{12}{27}$ $\frac{2}{3}$ · Q
повыш. $(5 - 2)^{2} + 45$ $9$ · Q
повыш. $3 (12 + 1)$ $6 + 3$ · I

Самопроверка

двое Q, двое I

R02.4 · тип 2

Тип 2 · образец решения

Умножение и деление чисел вида $a + b k$

(2 + 3) (1 + 3) = 5 + 33

Деление — умножить на сопряжённое:

\frac{1}{2 - 1} = \frac{2 + 1}{( 2 - 1 ) ( 2 + 1 )}

= \frac{2 + 1}{2 - 1} = 2 + 1

R02.4 · тип 2

Тип 2 · решите сами

Запишите в виде $a + b k$

база $(3 - 2) (1 + 22)$
$= - 1 + 52$
база $\frac{2}{3 + 1}$
$= 3 - 1$
повыш. $(1 + 2)^{3}$
$= 7 + 52$
повыш. $\frac{1 + 2}{3 - 2 2}$
$= 7 + 52$

Сюрприз

сравните ответы 3 и 4

R02.4 · тип 3

Тип 3 · углублённый уровень

Если $a + b 2 = c + d 2$ , то $a = c$ и $b = d$

$a, b, c, d$ — рациональные. Почему?

(b - d) 2 = c - a

если

b \neq = d

:

2 = \frac{c - a}{b - d}

— Q?!

значит

b = d

, тогда

a = c

Пример: найдите $3 + 22$

(x + y 2)^{2} = x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y 2

x^{2} + 2 y^{2} = 3, 2 x y = 2

x = y = 1 : 3 + 22 = 1 + 2

R02.4 · тип 3

Тип 3 · решите сами

Сравните коэффициенты

базаНайдите рациональные $x, y$ :
$(2 x - y) + (x + y) 3 = 4 + 53$
$x = 3, y = 2$
повыш.Найдите $7 + 43$ .
$2 + 3$
повыш.При каком рациональном $a$ число $(a + 2)^{2}$ рационально?
$a = 0$
повыш.Найдите $6 - 25$ .
$5 - 1$

R02.4 · тип 4 · опора R02.1

Тип 4 · образец решения

Оценим $25 - 3$ с точностью до $0, 1$

4, 46 < 25 < 4, 48

1, 73 < 3 < 1, 74

4, 46 - 1, 74 < x < 4, 48 - 1, 73

2, 72 < x < 2, 75 \Rightarrow x \approx 2, 7

R02.4 · тип 4 · практика

Тип 4 · решите сами

Оцените и примените

базаОцените $7 - 2$ с точностью до $0, 1$ . $\approx 1, 2$
повыш.Сначала упростите, потом оцените с точностью до $0, 1$ : $3 (3 + 2)$ . $3 + 6 \approx 5, 4$
практикаСтороны прямоугольника $8$ см и $18$ см. Найдите площадь и периметр (до $0, 1$ см). $S = 12$ см², $P \approx 14, 1$ см

R02.4 · типы 1–2

Задания с самопроверкой · 1

Упростите. Рационально ли?

база $75 - 27$ $23$ · I
база $(2 + 5) (3 - 5)$ $1 + 5$ · I
база $2 (18 - 8)$ $2$ · Q
база $\frac{4}{5 - 1}$ $5 + 1$ · I
повыш. $(2 - 3)^{2} + (2 + 3)^{2}$ $14$ · Q
повыш. $\frac{3 + 1}{3 - 1} - 3$ $2$ · Q

R02.4 · типы 3–4 · опора R02.1

Задания с самопроверкой · 2

Сравните коэффициенты и оцените

базаНайдите рациональные $x, y$ :
$x + 35 = 7 + (y - 1) 5$
$x = 7, y = 4$
базаОцените $3 + 5$
с точностью до $0, 1$
$\approx 4, 0$
повыш.Найдите $9 - 45$
$5 - 2$
повыш.Оцените $10 - 3$
с точностью до $0, 1$
$\approx 1, 4$
повыш.Найдите $9 + 42$
$1 + 22$
повыш.При каком рациональном $a$ число $(3 - a) (3 + 2)$ рационально?
$a = 2$

3 мин · практика
Работа в тетрадях 2 мин, затем ответы открываются по щелчку по порядку номеров.
1) Коэффициенты: $x = 7$ , $y - 1 = 3$ ⇒ $y = 4$ . 3) $(5 - 2)^{2} = 5 - 45 + 4 = 9 - 45$ ; $5 - 2 > 0$ ⇒ ответ $5 - 2$ (не $2 - 5$ !). 5) $x^{2} + 2 y^{2} = 9$ , $x y = 2$ ⇒ $x = 1$ , $y = 2$ : $(1 + 22)^{2} = 1 + 8 + 42 = 9 + 42$ .
2) $1, 73 < 3 < 1, 74$ , $2, 23 < 5 < 2, 24$ ⇒ $3, 96 < x < 3, 98$ , оба конца ≈ 4,0 (калькулятор: 3,968…). При сложении границы складываем «одноимённо».
4) $3, 16 < 10 < 3, 17$ ( $9, 9856 < 10 < 10, 0489$ ) ⇒ $3, 16 - 1, 74 = 1, 42 < x < 3, 17 - 1, 73 = 1, 44$ , $x \approx 1, 4$ (калькулятор: 1,430…). Вычитание — крест-накрест.
6) $3 + 23 - a 3 - 2 a = (3 - 2 a) + (2 - a) 3$ — рационально ⇔ $2 - a = 0$ ⇔ $a = 2$ ; значение $- 1$ .

R02.4

Типичные ошибки практикума

Найдите ошибку

✗ $(23)^{2} = 6$

в квадрат — и множитель: $4 \cdot 3 = 12$

✗ $\frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{2} + 1$

умножить на сопряжённое: $2 - 1$

✗ $2, 64 - 1, 41 < x < 2, 65 - 1, 42$

$x = 7 - 2$ : вычитать крест-накрест

✗ $6 - 25 = 1 - 5$

корень $\geq 0$ , а $1 - 5 < 0$ : ответ $5 - 1$

R02.4 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8

Найдите значение выражения

(13 - 7) (13 + 7)

ответ — число в бланк

Метод

узнайте формулу, не раскрывайте скобки «в лоб»:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

R02.4 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8 · серия

Найдите значение выражения

\frac{( 3 2 ) ^{2}}{6}

3

\frac{2 \cdot 32}{4}

4

(6 + 2)^{2} - 212

8

\frac{1}{5 - 2} - 5

2

R02.4 · контроль

Самостоятельная работа

Два варианта · 5 минут

Вариант 1

Q или I: $(2 + 3)^{2} - 62$ $11$ · Q
В виде $a + b 3$ : $(4 - 3) (2 + 3)$ $5 + 23$
Упростите: $\frac{3}{5 + 2}$ $5 - 2$
Найдите $4 + 23$ $1 + 3$

Вариант 2

Q или I: $(3 - 2)^{2} + 43$ $7$ · Q
В виде $a + b 2$ : $(5 + 2) (1 - 2)$ $3 - 42$
Упростите: $\frac{4}{7 - 3}$ $7 + 3$
Найдите $8 - 27$ $7 - 1$

рефлексия · ДЗ

Итог практикума

Проверьте себя и потренируйтесь

Какой тип дался труднее?

1 · Q или I после упрощения
2 · умножение и деление $a + b k$
3 · сравнение коэффициентов
4 · оценка разности

Домашнее задание

Q или I: $(6 - 1)^{2} + 26$ ?
Запишите в виде $a + b 5$ : $\frac{4}{3 - 5}$
Найдите $11 + 62$
Оцените $11 - 5$ до 0,1
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-034 · Практикум: действия с иррациональными числами

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Числа и вычисления: квадратный корень», 17 ч · урок 14/17 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R02.4 «Действия с иррациональными числами» → 2, 4–18 · опора R02.1–R02.2 → 3, 10–11, 13 · хронометраж: теория 14 мин (сл. 1–2, 4, 6, 8, 10), практика 31 мин (69 %)
Результаты	ПР-3 (оперировать понятиями … иррациональное число, выполнять преобразования выражений с корнями) → 2–9, 12–18 · ПР-4 (действительные числа для округления и вычислений) → 10–11, 13, 18 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	свойства действий с иррациональными числами — ALG8U-035; сравнение иррациональных чисел — ALG8U-036; тождественные преобразования (подробно) — ALG8U-030
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:действияс иррациональнымичислами

Сегодня вы научитесь

Тип 1 · Q или I?

Тип 2 · вычислять точно

Тип 3 · сравнивать коэффициенты

Тип 4 · оценивать

Три инструмента и шесть устных примеров

Рационально ли? Алгоритм в три шага

Упростите и определите: Q или I?

Самопроверка

Умножение и деление чисел вида a+bk​

Запишите в виде a+bk​

Сюрприз

Если a+b2​=c+d2​, то a=c и b=d

Сравните коэффициенты

Оценим 25​−3​ с точностью до 0,1

Оцените и примените

Упростите. Рационально ли?

Сравните коэффициенты и оцените

Найдите ошибку

✗ (23​)2=6

✗ 2​+11​=2​1​+1

✗ 2,64−1,41<x<2,65−1,42

✗ 6−25​​=1−5​

Найдите значение выражения

Метод

Найдите значение выражения

Два варианта · 5 минут

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Какой тип дался труднее?

Домашнее задание

ALG8U-034 · Практикум: действия с иррациональными числами

Практикум:
действия
с иррациональными
числами

Умножение и деление чисел вида $a + b k$

Запишите в виде $a + b k$

Если $a + b 2 = c + d 2$ , то $a = c$ и $b = d$

Оценим $25 - 3$ с точностью до $0, 1$

✗ $(23)^{2} = 6$

✗ $\frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{2} + 1$

✗ $2, 64 - 1, 41 < x < 2, 65 - 1, 42$

✗ $6 - 25 = 1 - 5$