Квадратный корень · урок 13 из 17 · практикум

Практикум:
понятие
иррационального числа

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG8U-033

1 мин · теория (орг. момент)
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин. Тип урока П: вся теория дана образцами, после каждого — задания ученикам.
Паспорт: R02 «Числа и вычисления: квадратный корень» (17 ч), урок 13/17, единица R02.3 «Понятие иррационального числа». Тип П (практикум). Теория была на ALG8U-023; на прошлом практикуме ALG8U-032 — свойства арифметического корня; дальше ALG8U-034 — практикум «Действия с иррациональными числами».
Хронометраж: орг. момент и цели 2 мин (сл. 1–2, теория) · разминка 3 (сл. 3) · тип 1 «распознать» 5 (сл. 4 образец — теория 2, сл. 5 — практика 3) · тип 2 «периодическая дробь» 4 (сл. 6 — теория 2, сл. 7 — практика 2) · тип 3 «число между» 4 (сл. 8 — теория 2, сл. 9 — практика 2) · тип 4 «действия Q и I» 5 (сл. 10 — теория 2, сл. 11 — практика 3) · тип 5 «доказательство» 6 (сл. 12–13 — теория 4, сл. 14 — практика 2) · найди ошибку 2 (сл. 15) · самопроверка 5 (сл. 16–17) · закрепление 3 (сл. 18) · самостоятельная работа 4 (сл. 19) · ОГЭ 1 (сл. 20) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 21).
Если не успеваете — сл. 13 (√2 + √3) перенести на ALG8U-034 или дать сильным ученикам; сл. 18 можно сократить до № 1–3.
Рисунок: диагональ единичного квадрата, перенесённая циркулем на прямую, — точка √2, у которой нет конечной и нет периодической записи.

R02.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать

рациональные и иррациональные числа, записанные с корнями и десятичными дробями (ПР-1, ПР-3)

Переводить

периодическую дробь в обыкновенную и находить числа между данными (ПР-2, ПР-4)

Рассуждать

о сумме и произведении рационального и иррационального чисел (ПР-1)

Доказывать

иррациональность чисел методом от противного (ПР-1, ПР-3)

1 мин · теория
ПР-1 (ФРП): «Иррациональные числа».
ПР-2: «Понимать и использовать представления о расширении числовых множеств».
ПР-3: «Оперировать понятиями: квадратный корень, арифметический квадратный корень, иррациональное число, находить, оценивать квадратные корни…».
ПР-4: «Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений, изображать действительные числа точками на координатной прямой».

повторение: R02.3

Разминка · карта чисел

В какую «область» попадает число?

Устно: куда?

7; - 3; 0, 25; 0, (6)

9; 7; π; - 3

Иррациональное — бесконечная непериодическая десятичная дробь

R02.3 · тип 1

Тип 1 · образец · рационально или нет?

Сначала упростите — потом решайте

0, 49 = 0, 7

ℚ

0, 9 = \frac{9}{10} = \frac{3}{10}

не ℚ

2 \cdot 18 = 36 = 6

ℚ

(3 - 1)^{2} = 4 - 23

не ℚ

2 мин · теория (образец разбирает учитель)
Главная мысль: «наличие знака корня ничего не решает» — √36 = 6 рационально, а 4 − 2√3 иррационально (рациональное минус ненулевое кратное √3 — докажем на сл. 10).
Почему 3/√10 иррационально: √10 иррационально (10 — не точный квадрат), а 3/√10 = (3/10)·√10 — произведение ненулевого рационального на иррациональное.
Типичная ошибка: √0,9 = 0,3. Проверка: 0,3² = 0,09 ≠ 0,9.
Вопрос классу: а √0,09? (0,3 — рационально.)

R02.3 · тип 1

Тип 1 · сделайте сами

Отметьте иррациональные числа

1, 44

14, 4

3 \cdot 27

\frac{50}{2}

(5 + 2) (5 - 2)

(5 + 2)^{2}

2 + 8

3, (14)

0, 123456789101112 \dots

(подряд все натуральные)

Ответ: 4 иррациональных из 9

3 мин · практика
Ответы. Рациональные: √1,44 = 1,2; √3·√27 = √81 = 9; √50/√2 = √25 = 5; (√5 + 2)(√5 − 2) = 5 − 4 = 1; 3,(14) — периодическая дробь (= 311/99).
Иррациональные: √14,4 = √(144/10) = 12/√10; (√5 + 2)² = 9 + 4√5; √2 + √8 = √2 + 2√2 = 3√2; 0,123456789101112… — непериодическая (в записи встречаются сколь угодно длинные блоки нулей, например в 10^k, поэтому периода нет).
Итого иррациональных 4: √14,4; (√5 + 2)²; √2 + √8; 0,1234567891011….
Работа в парах 3 мин, потом проверка. Ловушка — √1,44 и √14,4: отличаются только запятой.

R02.3 · тип 2

Тип 2 · образец и задание · периодическая дробь

Сдвигаем запятую — «хвосты» сокращаются

0, (36)

:

100 x - x = 36

x = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}

Ваша очередь

$0, (5)$
$2, 1 (6)$

2 мин · теория (образец; «Ваша очередь» — сразу, устно)
Алгоритм: умножить на 10^k так, чтобы после запятой остался ровно период; ещё раз — чтобы период сдвинулся на целый «шаг»; вычесть.
Проверка образца: 23 : 18 = 1,2777… ✓; 4 : 11 = 0,3636… ✓.
Ответы: 0,(5) = 5/9; 2,1(6): 100x − 10x = 216,(6) − 21,(6) = 195, x = 195/90 = 13/6 (13 : 6 = 2,1666… ✓).
Углубление (вопрос сильным): чему равно 0,(9)? (10x − x = 9, x = 1.) Вывод: любая периодическая дробь рациональна — значит, иррациональное число периода иметь не может.

R02.3 · тип 2

Тип 2 · сделайте сами · ответы по клику

Запишите обыкновенной дробью

0, (7)

= \frac{7}{9}

0, (27)

= \frac{27}{99} = \frac{3}{11}

1, (3)

= \frac{4}{3}

0, 1 (6)

= \frac{15}{90} = \frac{1}{6}

2, (18)

= \frac{24}{11}

0, 2 (45)

= \frac{243}{990} = \frac{27}{110}

R02.3 · тип 3

Тип 3 · образец · число между данными

Между $2$ и $3$ — и рациональные, и иррациональные

Иррациональное между

1, 5

и

1, 6

:

1, 5^{2} = 2, 25 < 2, 5 < 2, 56 = 1, 6^{2}

Ваша очередь

рациональное и иррациональное между $3, 1$ и $3, 2$

2 мин · теория (образец)
Масштаб: √2 ≈ 1,414, √3 ≈ 1,732, √2,5 ≈ 1,581, 1,505005000500005… — после каждой «5» на один ноль больше, периода нет.
Приём для иррационального: взять √a, где a между квадратами концов и a — не квадрат рационального числа; или «склеить» непериодический хвост.
Ответы на «Ваша очередь»: рациональное 3,15; иррациональные √10 (3,1² = 9,61 < 10 < 10,24 = 3,2²) или π ≈ 3,1416.
Вывод (ПР-4): между любыми двумя различными числами есть бесконечно много и рациональных, и иррациональных чисел.

R02.3 · тип 3

Тип 3 · сделайте сами · ответы по клику

Числа между данными

базаРациональное и иррациональное между $5$ и $6$
$2, 3$ и $5, 5$
повыш.Рациональное и иррациональное между $0, 1$ и $0, 11$
$0, 105$ и $0, 1010010001 \dots$

базаСколько целых чисел между $- 10$ и $17$ ?
8 чисел: от $- 3$ до $4$
повыш.Сколько натуральных чисел между $20$ и $90$ ?
5 чисел: $5, 6, 7, 8, 9$

2 мин · практика
1) √5 ≈ 2,236, √6 ≈ 2,449. Рациональное: 2,3 (2,3² = 5,29; 5 < 5,29 < 6) или 2,4 (5,76). Иррациональное: √5,5 (5,5 — не квадрат рационального числа), годится и √5,1 и т. п.
2) Рациональное: 0,105. Иррациональное: 0,1010010001… (больше 0,1, меньше 0,11, периода нет) или √0,011 ≈ 0,1049 (0,1² = 0,01 < 0,011 < 0,0121 = 0,11²).
3) √9 < √10 < √16 ⇒ −√10 ≈ −3,16 лежит между −4 и −3; 4² = 16 < 17 < 25 ⇒ √17 ≈ 4,12. Целые: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 — всего 8. Рисунок открыть по клику для проверки.
4) 4² = 16 < 20 < 25 = 5², 9² = 81 < 90 < 100 = 10² ⇒ √20 ≈ 4,47, √90 ≈ 9,49; натуральные 5, 6, 7, 8, 9 — 5 чисел.

R02.3 · тип 4

Тип 4 · образец · рациональное и иррациональное

$r \in Q, α \in / Q \Rightarrow r + α \in / Q$

Доказательство

Пусть $r + α = q \in Q$ .

Тогда $α = q - r \in Q$ — противоречие.

2 + (- 2) = 0

,

2 \cdot 8 = 4

2 + 2 = 22

,

2 \cdot 3 = 6

R02.3 · тип 4

Тип 4 · сделайте сами · верно ли?

Докажите или опровергните примером

Число $3 - 25$ иррационально.
Сумма двух иррациональных чисел иррациональна.
Если $α$ иррационально, то $α^{2}$ иррационально.
Если $α^{2}$ иррационально, то $α$ иррационально.
При каких рациональных $a$ число $a 2 + 3$ рационально?

R02.3 · тип 5

Тип 5 · образец · доказательство от противного

Докажем: $3$ — иррациональное число

2 мин · теория
План доказательства от противного: предположить, что √3 = m/n — несократимая дробь (m, n ∈ ℕ), возвести в квадрат, получить, что m и n делятся на 3.
Обоснование «m² ⋮ 3 ⇒ m ⋮ 3» (связь с остатками, ПР-7): если m = 3k ± 1, то m² = 9k² ± 6k + 1 = 3(3k² ± 2k) + 1 — остаток 1, на 3 не делится.
Вопрос классу: почему так же нельзя «доказать», что √4 иррационально? (m² = 4n² ⇒ m ⋮ 2, но из этого не следует противоречие: m = 2k ⇒ k² = n², k = n — дробь 2/1, она несократима, противоречия нет.)
Задание у доски (если есть время): тем же методом — √5 (остатки при делении на 5: m² даёт 0, 1, 4).

R02.3 · тип 5

Тип 5 · образец и задание · сумма корней

$2 + 3$ — иррациональное число

Пусть

2 + 3 = r, r \in Q

2 + 26 + 3 = r^{2}

6 = \frac{r ^{2} - 5}{2} \in Q

но

6

— не квадрат

\Rightarrow 6 \in / Q

— противоречие

Приём

Возвести в квадрат и «уединить» один корень

Ваша очередь

Докажите: $5 - 2 \in / Q$

2 мин · теория
Опора — теорема ALG8U-023: √n при натуральном n либо целое, либо иррациональное. 6 лежит между 4 и 9, значит √6 не целое ⇒ иррационально.
Почему (r² − 5)/2 ∈ ℚ: r² рационально, разность и частное рациональных — рациональны.
Ответ на задание: пусть √5 − √2 = r ∈ ℚ; 5 − 2√10 + 2 = r² ⇒ √10 = (7 − r²)/2 ∈ ℚ, но 10 — не квадрат. Противоречие.
Сильным: докажите, что √2 + √3 + √6 иррационально? — оставить как задачу «со звёздочкой», если спросят.

R02.3 · тип 5

Тип 5 · сделайте сами · ответы по клику

Дополните доказательство и докажите сами

$6 \in / Q$ : заполните пропуски

1) Пусть $6 = \frac{m}{n}$ — несократимая дробь.

2) Тогда $m^{2} =$ $6 n^{2}$

3) $m^{2}$ чётно $\Rightarrow m$ чётно, $m =$ $2 k$

4) $4 k^{2} = 6 n^{2} \Rightarrow 2 k^{2} = 3 n^{2} \Rightarrow n$ чётно

5) $m$ и $n$ чётны — дробь сократима. Противоречие!

базаДокажите: $2 + 5 \in / Q$
$7 + 210 = r^{2}$ ⇒ $10 \in Q$ ✗
повыш.Докажите: $\frac{1}{3} + 2 \in / Q$
$\frac{1}{3} = \frac{1}{3} \cdot 3 \in / Q$ , тип 4

2 мин · практика
Левая часть — устно всем классом по шагам (пропуски открываются по клику), правая — в тетрадях.
√6: m² = 6n² — чётно ⇒ m чётно (квадрат нечётного нечётен), m = 2k ⇒ 4k² = 6n² ⇒ 2k² = 3n²; 3n² чётно, 3 нечётно ⇒ n² чётно ⇒ n чётно. Противоречие с несократимостью.
№ 1: пусть √2 + √5 = r ∈ ℚ; 2 + 2√10 + 5 = r² ⇒ √10 = (r² − 7)/2 ∈ ℚ, но 10 — не квадрат (9 < 10 < 16). Противоречие.
№ 2: 1/√3 = √3/3 = (1/3)·√3 — произведение ненулевого рационального на иррациональное, иррационально; + 2 (рациональное) — снова иррационально (сл. 10).

R02.3

Типичные ошибки

Найдите ошибку

✗ Корень из дроби

0, 9 = 0, 3

?

$0, 3^{2} = 0, 09$ . На самом деле $0, 9 \in / Q$ .

✗ Приближение

π = \frac{22}{7}

?

$\frac{22}{7}$ и $3, 14$ — лишь приближения; $π \in / Q$ .

✗ «Повторяются цифры»

0, 1010010001 \dots \in Q

?

Цифры 0 и 1 повторяются, но блока-периода нет.

Рационально ⇔ конечная или периодическая десятичная дробь

2 мин · практика (найди ошибку)
1) √0,9 ≈ 0,9487; рациональное: √0,09 = 0,3.
2) 22/7 = 3,(142857) — периодическая дробь, рациональна; π = 3,14159… — иррационально (это доказывается в высшей математике, в школе принимается без доказательства).
3) Между единицами нулей становится всё больше: блок любой длины когда-нибудь «сломается», периода нет ⇒ иррационально.
Ещё частая ошибка: «√2 · √2 иррационально, ведь оба множителя иррациональны» (на самом деле = 2).

R02.3

Задания с самопроверкой · база

Рационально или нет? — ответы по клику

база $0, 0036$ $= 0, 06$ ℚ
база $12 \cdot 3$ $= 6$ ℚ
база $\frac{45}{5}$ $= 3$ ℚ

база $(2)^{3}$ $= 22$ не ℚ
база $0, (12)$ $= \frac{4}{33}$ ℚ
база $4, 9$ $= \frac{7}{10}$ не ℚ

R02.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Решите — ответы по клику

повыш.При каком рациональном $x$ число $(x - 1) + (x + 2) 2$ рационально?
$x = - 2$ , число равно $- 3$
повыш.Рационально ли?
$(3 - 2) (3 + 2)$ ; $(6 - 1)^{2}$
$1$ — ℚ; $7 - 26$ — не ℚ
повыш.Найдите рациональные $a, b$ :
$a + b 3 = 5$
$a = 5, b = 0$

из жизниСторона квадратной плитки $30 см$ . Рациональна ли длина её диагонали? Оцените до $1$ см.

$d = 302 \in / Q$ , $d \approx 42$ см

R02.3

Закрепление · решите и обоснуйте

Решите и обоснуйте

базаКакое число иррационально: $0, 16$ ; $1, 6$ ; $\frac{160}{10}$ ; $(7)^{2}$ ?
базаЗапишите $0, (45)$ обыкновенной дробью.
повыш.Укажите иррациональное число между $2, 7$ и $2, 8$ .

повыш.Докажите: $3 + 5$ иррационально.
повыш.Приведите два иррациональных числа, сумма и произведение которых рациональны.
практикаПлощадь квадрата $50 см^{2}$ . Рациональна ли его сторона? Оцените её с точностью до $0, 1$ .

3 мин · практика
1) √1,6 = √(16/10) = 4/√10 — иррационально; √0,16 = 0,4; √160/√10 = √16 = 4; (√7)² = 7.
2) 100x − x = 45 ⇒ x = 45/99 = 5/11 (5 : 11 = 0,4545… ✓).
3) Например, √7,5: 2,7² = 7,29 < 7,5 < 7,84 = 2,8² (√7,5 ≈ 2,739); или 2,71010010001…; число e ≈ 2,718 — тоже подходит.
4) Пусть √3 + √5 = r ∈ ℚ: 8 + 2√15 = r² ⇒ √15 = (r² − 8)/2 ∈ ℚ, но 15 — не квадрат. Противоречие.
5) Например, 1 + √2 и 1 − √2: сумма 2, произведение 1 − 2 = −1.
6) Сторона √50 = 5√2 — иррациональна; 7² = 49 < 50 < 64 = 8²; 7,07² = 49,98…, 7,08² = 50,13 ⇒ √50 ≈ 7,07 ≈ 7,1 см.

R02.3

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Какое иррационально?
$0, 25$ ; $2, 5$ ; $2 \cdot 8$ $2, 5$
$0, (81)$ — обыкновенной дробью $\frac{9}{11}$
Иррациональное между $3$ и $3, 1$ $9, 5$
Докажите: $2 + 7 \in / Q$
$9 + 214 = r^{2}$ ⇒ $14 \in Q$ ✗

Вариант 2

Какое иррационально?
$0, 36$ ; $3, 6$ ; $5 \cdot 20$ $3, 6$
$0, (63)$ — обыкновенной дробью $\frac{7}{11}$
Иррациональное между $4$ и $4, 1$ $16, 5$
Докажите: $3 + 7 \in / Q$
$10 + 221 = r^{2}$ ⇒ $21 \in Q$ ✗

4 мин · практика
Варианты по партам; 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открыть по клику).
Вариант 1: √0,25 = 0,5; √2,5 = √(25/10) = 5/√10 — иррационально; √16 = 4. 0,(81) = 81/99 = 9/11 (9 : 11 = 0,8181… ✓). 3² = 9 < 9,5 < 9,61 = 3,1² ⇒ √9,5 ≈ 3,08 (годится и 3,0101001…). √2 + √7 = r ⇒ 2 + 2√14 + 7 = r² ⇒ √14 = (r² − 9)/2 ∈ ℚ, но 14 не квадрат — противоречие.
Вариант 2: √0,36 = 0,6; √3,6 = √(36/10) = 6/√10 — иррационально; √100 = 10. 0,(63) = 63/99 = 7/11 (7 : 11 = 0,6363… ✓). 4² = 16 < 16,5 < 16,81 = 4,1² ⇒ √16,5 ≈ 4,06. √3 + √7 = r ⇒ 10 + 2√21 = r² ⇒ √21 = (r² − 10)/2 ∈ ℚ, но 21 не квадрат — противоречие.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

R02.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8

Какое из данных чисел является рациональным?

1)

810

2)

8, 1

3)

0, 81

4) все эти числа иррациональны

План

запятая → обыкновенная дробь
числитель и знаменатель — квадраты?

В бланк — номер ответа

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по десятичной записи узнать, что число рационально?
Почему $r + 2$ иррационально при рациональном $r$ ?
В чём суть метода «от противного»?

Домашнее задание

Обыкновенной дробью: $1, (6)$ ; $0, 3 (18)$
Докажите, что $5$ иррационально
Докажите: $7 - 3 \in / Q$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-033 · Практикум: Понятие иррационального числа

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Числа и вычисления: квадратный корень», 17 ч · урок 13/17 · тип П
Единицы → слайды	R02.3 «Понятие иррационального числа» → 2–21 (теория 14 мин: сл. 1–2, 4, 6, 8, 10, 12, 13; практика 31 мин: сл. 3, 5, 7, 9, 11, 14–21)
Результаты	ПР-1 (иррациональные числа) → 3–21 · ПР-2 (расширение числовых множеств) → 3, 6–7 · ПР-3 (оперировать понятием иррационального числа, оценивать корни) → 4–5, 12–20 · ПР-4 (действительные числа на координатной прямой, сравнение, округление) → 8–9, 17–19 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	действия и свойства действий с иррациональными числами — ALG8U-034, 035; сравнение — ALG8U-036; множество действительных чисел — ALG8U-027; иррациональность π — без доказательства
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:понятиеиррационального числа

Сегодня вы научитесь

Распознавать

Переводить

Рассуждать

Доказывать

В какую «область» попадает число?

Сначала упростите — потом решайте

Отметьте иррациональные числа

Сдвигаем запятую — «хвосты» сокращаются

Ваша очередь

Запишите обыкновенной дробью

Между 2​ и 3​ — и рациональные, и иррациональные

Ваша очередь

Числа между данными

r∈Q, α∈/Q ⇒ r+α∈/Q

Доказательство

Докажите или опровергните примером

Докажем: 3​ — иррациональное число

2​+3​ — иррациональное число

Приём

Ваша очередь

Дополните доказательство и докажите сами

6​∈/Q: заполните пропуски

Найдите ошибку

✗ Корень из дроби

✗ Приближение

✗ «Повторяются цифры»

Рационально или нет? — ответы по клику

Решите — ответы по клику

Решите и обоснуйте

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Какое из данных чисел является рациональным?

План

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-033 · Практикум: Понятие иррационального числа

Практикум:
понятие
иррационального числа

Между $2$ и $3$ — и рациональные, и иррациональные

$r \in Q, α \in / Q \Rightarrow r + α \in / Q$

Докажем: $3$ — иррациональное число

$2 + 3$ — иррациональное число

$6 \in / Q$ : заполните пропуски