Квадратный корень · урок 12 из 17 · практикум

Практикум:
арифметический
квадратный корень
и его свойства

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG8U-032

1 мин · теория (вступление). Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Паспорт: R02 «Числа и вычисления: квадратный корень» (17 ч), урок 12/17, единица R02.2 «Арифметический квадратный корень и его свойства». Тип П (практикум). Новый материал по единице был на уроке ALG8U-022; вчера — практикум ALG8U-031 по квадратным корням (R02.1); завтра — практикум ALG8U-033 по иррациональным числам.
Хронометраж (45 мин): титул 1 · цели 1 (сл. 2) · разминка 2 (сл. 3) · карта свойств 2 (сл. 4) · тип 1 — образец 2 + сами 3 (сл. 5–6) · тип 2 — 2 + 3 (сл. 7–8) · тип 3 — 2 + 3 (сл. 9–10) · тип 4 — 2 + 2 (сл. 11–12) · найди ошибку 2 (сл. 13) · доказательство 2 (сл. 14) · самопроверка 3 + 2 (сл. 15–16) · задача из жизни 2 (сл. 17) · закрепление 2 (сл. 18) · ОГЭ 2 (сл. 19) · самостоятельная 4 (сл. 20) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 21).
Рисунок: квадрат со стороной 2 + √3; его площадь 4 + 4√3 + 3 = 7 + 4√3. Это ключ к типу 3 (двойные радикалы).

R02.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Вычислять рационально

собирать множители под один корень и раскладывать подкоренное выражение (ПР-3)

Работать с модулем

применять $a^{2} = ∣ a ∣$ с учётом знака на промежутке (ПР-18)

Упрощать двойные радикалы

выделять полный квадрат под знаком корня (ПР-18)

Сравнивать и доказывать

сравнивать корни по монотонности, доказывать неравенства (ПР-3)

1 мин · теория
ПР-3 (ФРП): «Оперировать понятиями: квадратный корень, арифметический квадратный корень, иррациональное число, находить, оценивать квадратные корни… выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни, используя свойства корней».
ПР-18: «Выполнять преобразования иррациональных выражений, используя свойства корней».
Виды деятельности ФРП: «Доказывать свойства арифметических квадратных корней; применять их для преобразования выражений», «Сравнивать и упорядочивать… числа, записанные с помощью квадратных корней».

разминка: R02.1–R02.2

Разминка · устно

Корни, квадраты, знаки

169

13

0, 0036

0, 06

2 \frac{7}{9}

\frac{5}{3}

(32)^{2}

18

(a - b) (a + b)

a^{2} - b^{2}

(2 - 3)^{2}

7 - 43

∣ 3 - π ∣

π - 3

5 □ 2

>

повторение: R02.2

Вспомним · карта свойств

Шесть фактов и их условия

Свойство	Условие
$a = b ⟺ b \geq 0, b^{2} = a$	$a \geq 0$
$(a)^{2} = a$	$a \geq 0$
$ab = a \cdot b$	$a \geq 0, b \geq 0$
$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$	$a \geq 0, b > 0$
$a^{2} = ∣ a ∣$	любое $a$
$0 \leq a < b \Rightarrow a < b$	монотонность

Устно

$0, 16 \cdot 2500$
$3^{4} \cdot 2^{2}$
$(- 3)^{2}$
$(- 7)^{2}$

R02.2

Тип 1образец · разложить под корнем

$6 5^{2} - 6 3^{2}$ — без возведения в квадрат

6 5^{2} - 6 3^{2}

= (65 - 63) (65 + 63)

разность квадратов

= 2 \cdot 128 = 256

собрали удобный квадрат

= 16

проверка:

1 6^{2} = 256

R02.2

Тип 1решите сами

Соберите подкоренное выражение в полный квадрат

база $11 7^{2} - 10 8^{2}$ $45$
база $12, 1 \cdot 0, 4$ $2, 2$
повыш. $\frac{72}{0 , 5}$ $12$
повыш. $\frac{2 ^{10} \cdot 3 ^{6}}{5 ^{4}}$ $34, 56$

R02.2

Тип 2образец · корень из квадрата

Упростите при $2 \leq x \leq 5$

(x - 2)^{2} + (x - 5)^{2}

= ∣ x - 2∣ + ∣ x - 5∣

a^{2} = ∣ a ∣

x - 2 \geq 0, x - 5 \leq 0

знаки на промежутке

= (x - 2) + (5 - x) = 3

R02.2

Тип 2решите сами

Сначала увидеть квадрат, потом — знак

база $(x - 4)^{2}$ при $x < 4$ $4 - x$
повыш. $x^{2} - 6 x + 9 + x^{2} + 2 x + 1$ при $- 1 \leq x \leq 3$ $4$
повыш.то же выражение при $x > 3$ $2 x - 2$
повыш.При каких $a$ верно $a^{2} = - a$ ? $a \leq 0$

R02.2

Тип 3образец · двойной радикал

$7 - 43$ : найдите полный квадрат

(2 + 3)^{2} = 4 + 43 + 3

7 - 43 = 2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 + (3)^{2}

= (2 - 3)^{2}

7 - 43 = 2 - 3

= 2 - 3

так как

2 = 4 > 3

R02.2

Тип 3решите сами

Подберите два числа: сумма и произведение

база $6 - 25$ $5 - 1$
повыш. $11 + 62$ $3 + 2$
повыш. $19 - 83$ $4 - 3$
повыш. $7 - 43 + 7 + 43$ $4$

Шаблон

m \pm 2 n = (p \pm q)^{2}

p + q = m, pq = n

6 - 25

:

p + q = 6, pq = 5

\Rightarrow p = 5, q = 1

В конце сравните

p

и

q

!

R02.2

Тип 4образец и задание · сравнение

Что больше: $35$ или $211$ ?

35 = 9 \cdot 5 = 45

внесли множитель под корень

211 = 4 \cdot 11 = 44

45 > 44 \Rightarrow 35 > 211

монотонность корня

Сами: сравните

7 + 10

и

3 + 14

2 мин · теория (демонстрационный пример; задание «Сами» решают все, разбор — 30 с)
Положение точек: √44 ≈ 6,633, √45 ≈ 6,708 (калькулятор — только для проверки).
Самостоятельно: обе суммы положительны, сравниваем квадраты: (√7 + √10)² = 17 + 2√70, (√3 + √14)² = 17 + 2√42. Так как 70 > 42, то √7 + √10 > √3 + √14.
Почему можно сравнивать квадраты: для неотрицательных чисел a < b ⇔ a² < b² (следствие монотонности).
Ошибка: возводить в квадрат, не проверив, что обе части неотрицательны.

R02.2

Тип 4решите сами

Сравните, не вычисляя приближённо

база $23$ и $32$ $<$
база $50$ и $7$ $>$
повыш. $\frac{1}{2} 60$ и $3 \frac{5}{3}$ $=$
повыш. $6 + 5$ и $8 + 3$ $>$
повыш.По возрастанию: $33$ , $27$ , $5$

R02.2

Типичные ошибки

Найдите ошибку

Запись ученика	Что не так	Верно
$16 + 9 = 4 + 3 = 7$	корень из суммы — не сумма корней	$25 = 5$
$(- 7)^{2} = - 7$	корень неотрицателен	$∣ - 7∣ = 7$
$- 4 \cdot - 9 = 36 = 6$	множители должны быть $\geq 0$	не имеет смысла
$(3 - 2)^{2} = 3 - 2$	$3 - 2 < 0$	$2 - 3$
$a^{2} b = a b$	неверно при $a < 0$	$∣ a ∣ b$

R02.2

Доказываем · углублённый уровень

$ab \leq \frac{a + b}{2}$ при $a \geq 0, b \geq 0$

(a - b)^{2} \geq 0

квадрат неотрицателен

a - 2 ab + b \geq 0

(a)^{2} = a, a b = ab

ab \leq \frac{a + b}{2}

равенство $⟺ a = b$ ; пример: $4 \cdot 9 = 6 \leq 6, 5$

2 мин · теория (доказательство)
При нехватке времени перенести в ДЗ (это задание «со звёздочкой»).
Рисунок: в квадрат со стороной √a + √b уложены 4 прямоугольника √a × √b (площадь каждого √(ab)) и маленький квадрат в центре. Значит (√a + √b)² ≥ 4√(ab), т. е. a + b + 2√(ab) ≥ 4√(ab) — то же неравенство.
Названия «среднее арифметическое» и «среднее геометрическое» можно упомянуть; само неравенство понадобится в задачах на наибольшее и наименьшее значение.

R02.2

Задания с самопроверкой · 1

Базовый уровень: все свойства подряд

база $0, 25 \cdot 64$ $4$
база $2 \cdot 32$ $8$
база $\frac{98}{2}$ $7$

база $3^{2} \cdot 5^{4}$ $75$
база $1 \frac{9}{16}$ $1, 25$
база $(x + 3)^{2}$ при $x < - 3$ $- x - 3$

R02.2

Задания с самопроверкой · 2

Повышенный уровень: все четыре типа

повыш. $31 3^{2} - 31 2^{2}$ $25$
повыш. $8 + 215$ $5 + 3$
повыш. $12 - 63$ $3 - 3$
повыш. $(7 - 3)^{2} + (7 - 2)^{2}$ $1$
повыш. $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 8 x + 16$ при $- 2 \leq x \leq 4$ $2 x - 2$

R02.2 · задача из жизни

Задача из жизни · дальность горизонта

Как далеко видно с высоты $h$ ?

d \approx 2 R h, R = 6400

км

базаВышка $5$ м ( $h = 0, 005$ км) $8$ км
базаМаяк высотой $20$ м $16$ км
повыш.Во сколько раз поднять глаз, чтобы видеть втрое дальше? в $9$ раз
повыш.С какой высоты горизонт в $40$ км? $125$ м

R02.2

Закрепление

Вычислите и упростите

база $0, 09 \cdot 196$ $4, 2$
база $5^{4} \cdot 7^{2}$ $175$
повыш. $(5 - 3)^{2} + 5$ $3$

повыш. $9 - 45$ $5 - 2$
практикаПол квадратной комнаты выложен 400 квадратными плитками по $0, 09 м^{2}$ . Найдите сторону комнаты. $6$ м

R02.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8

Найдите значение выражения

\frac{2 , 8 \cdot 4 , 2}{0 , 24}

План

всё под один корень
избавиться от запятых
сократить, извлечь корень

Ответ в бланк — число без единиц

Ответ:

7

R02.2

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

$0, 36 \cdot 81$ $5, 4$
$5 0^{2} - 1 4^{2}$ $48$
$(x - 3)^{2} + (x - 7)^{2}$ при $3 \leq x \leq 7$ $4$
$9 + 45$ $5 + 2$

Вариант 2

$0, 49 \cdot 121$ $7, 7$
$6 1^{2} - 1 1^{2}$ $60$
$(x + 1)^{2} + (x - 4)^{2}$ при $- 1 \leq x \leq 4$ $5$
$11 - 47$ $7 - 2$

4 мин · практика
Варианты по партам: 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам на слайде (открыть по клику).
Вариант 1: 1) 0,6·9 = 5,4. 2) √((50 − 14)(50 + 14)) = √(36·64) = 6·8 = 48 (2500 − 196 = 2304 = 48² ✓). 3) (x − 3) + (7 − x) = 4. 4) 4√5 = 2√20: p + q = 9, pq = 20 → 5 и 4: (√5 + 2)² = 5 + 4√5 + 4 ✓.
Вариант 2: 1) 0,7·11 = 7,7. 2) √((61 − 11)(61 + 11)) = √(50·72) = √3600 = 60 (3721 − 121 = 3600 ✓). 3) (x + 1) + (4 − x) = 5. 4) 4√7 = 2√28: p + q = 11, pq = 28 → 7 и 4: (√7 − 2)² = 7 − 4√7 + 4 ✓; √7 > 2, ответ √7 − 2.
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда $a^{2} = a$ , а когда $- a$ ?
Как узнать, какой знак ставить в $p \pm q$ ?
Какой тип был самым трудным?

Домашнее задание

$8 2^{2} - 1 8^{2}$ ; $8 - 215$
$(x - 1)^{2} + (x - 6)^{2}$ при $1 \leq x \leq 6$
Сравните $52$ и $43$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-032 · Практикум: арифметический квадратный корень и его свойства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025
Строка, урок	R02 «Числа и вычисления: квадратный корень», 17 ч · урок 12/17 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R02.2 «Арифметический квадратный корень и его свойства» → 2–21 (опора R02.1 — разминка, сл. 3)
Результаты	ПР-3 (оперировать понятием арифметического квадратного корня, находить, оценивать корни, преобразовывать по свойствам) → 2–6, 11–12, 14–15, 17–21 · ПР-18 (преобразования иррациональных выражений по свойствам корней) → 7–10, 13, 16, 18, 20 · хронометраж: теория 14 мин, практика 31 мин (69 %) · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	понятие иррационального числа — ALG8U-033; действия и свойства действий с иррациональными числами — ALG8U-034–035; допустимые значения переменных (R02.9) — отдельно; функция «корень из x» — не в этом уроке
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:арифметическийквадратный кореньи его свойства

Сегодня вы научитесь

Вычислять рационально

Работать с модулем

Упрощать двойные радикалы

Сравнивать и доказывать

Корни, квадраты, знаки

Шесть фактов и их условия

652−632​ — без возведения в квадрат

Соберите подкоренное выражение в полный квадрат

Упростите при 2≤x≤5

Сначала увидеть квадрат, потом — знак

7−43​​: найдите полный квадрат

Подберите два числа: сумма и произведение

Шаблон

Что больше: 35​ или 211​?

Сравните, не вычисляя приближённо

Найдите ошибку

ab​≤2a+b​ при a≥0, b≥0

Базовый уровень: все свойства подряд

Повышенный уровень: все четыре типа

Как далеко видно с высоты h?

Вычислите и упростите

Найдите значение выражения

План

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-032 · Практикум: арифметический квадратный корень и его свойства

Практикум:
арифметический
квадратный корень
и его свойства

$6 5^{2} - 6 3^{2}$ — без возведения в квадрат

Упростите при $2 \leq x \leq 5$

$7 - 43$ : найдите полный квадрат

Что больше: $35$ или $211$ ?

$ab \leq \frac{a + b}{2}$ при $a \geq 0, b \geq 0$

Как далеко видно с высоты $h$ ?