Квадратный корень · урок 11 из 17 · практикум

Практикум:
квадратные корни

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG8U-031

Паспорт: R02 «Числа и вычисления: квадратный корень» (17 ч), урок 11/17, тип П (практикум), единица R02.1 «Квадратные корни». Теория строки пройдена на уроках ALG8U-021–030; сегодня отрабатываем задачи на квадратные корни и уравнение x² = a. Следующий практикум ALG8U-032 — свойства арифметического корня.
0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Теория (14): цели 1 (сл. 2) · опорная схема 1 (сл. 4) · образцы типов 1–4 по 3 мин (сл. 5, 7, 9, 11).
Практика (31): блиц 2 (сл. 3) · «решите сами» типов 1–3 по 3 мин, типа 4 — 2 мин (сл. 6, 8, 10, 12) · формулы 2 (сл. 13) · самопроверка 3 + 3 (сл. 14–15) · ошибки 2 (сл. 16) · самостоятельная 3 + 2 (сл. 17–18) · ОГЭ 2 (сл. 19) · итог 1 (сл. 20).
Если не успеваете: сл. 15 и задачи 3–4 сл. 12 перенести в ДЗ.

R02.1

Цели урока

Сегодня отрабатываем четыре типа задач

1 · Уравнение $x^{2} = a$

сводить к нему уравнение и записывать все корни (ПР-3)

2 · Уравнение $(k x + m)^{2} = a$

решать через замену, не теряя корни (ПР-3)

3 · Оценка и приближение

зажимать корень между числами, округлять, показывать на прямой (ПР-3, ПР-4)

4 · Параметр

исследовать число корней уравнения в зависимости от $a$ (ПР-22)

1 мин · теория
ПР-3 (ФРП): «Оперировать понятиями: квадратный корень, арифметический квадратный корень… находить, оценивать квадратные корни, используя при необходимости калькулятор…».
ПР-4: «…изображать действительные числа точками на координатной прямой» (сравнение и округление). ПР-22: «Проводить исследования уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение… решения, если имеет, то сколько…)».
Виды деятельности ФРП: «Исследовать уравнение x² = a, находить точные и приближенные значения корней при a > 0», «Оценивать квадратные корни целыми числами и десятичными дробями», «Выражать переменные из формул».

повторение: R02.1

Разминка · устно

Блиц: восемь вопросов за две минуты

$144$ $12$
$0, 09$ $0, 3$
$\frac{25}{49}$ $\frac{5}{7}$
$(7)^{2}$ $7$

$(- 6)^{2}$ $6$
$1, 3^{2}$ $1, 69$
$40$ — между целыми? $6$ и $7$
$x^{2} = 100$ $x = \pm 10$

повторение: R02.1

Разминка · опорная схема

Уравнение $x^{2} = a$ : всё решает знак $a$

Устно: все квадратные корни из

$0, 81$
$1 \frac{7}{9}$
$2$
$- 25$
$0$

R02.1 · тип 1

Тип 1 · образец решения

Решите: $3 x^{2} - 7 = 0$

1

3 x^{2} = 7

перенесли

2

x^{2} = \frac{7}{3}

a > 0

— два корня

3

x = \pm \frac{7}{3} = \pm \frac{21}{3}

А

2 x^{2} + 8 = 0

?

x^{2} = - 4 < 0

— корней нет.

R02.1 · тип 1

Тип 1 · решите сами

Приведите к виду $x^{2} = a$ и решите

база $7 x^{2} - 28 = 0$ $\pm 2$
база $0, 2 x^{2} = 1$ $\pm 5$
база $x^{2} + 0, 01 = 0$ нет корней

повыш. $\frac{x ^{2}}{3} - 4 = 0$ $\pm 23$
повыш. $x^{2} = (5 - 3)^{2}$ $x = \pm (3 - 5)$

Проверка: подставьте корень в исходное уравнение

R02.1 · тип 2

Тип 2 · образец решения

Решите: $(2 x - 1)^{2} = 9$

1

t = 2 x - 1, t^{2} = 9

2

t = 3

или

t = - 3

3

2 x - 1 = 3 \Rightarrow x = 2

2 x - 1 = - 3 \Rightarrow x = - 1

Так же:

(x + 3)^{2} = 7 \Rightarrow x = - 3 \pm 7

R02.1 · тип 2

Тип 2 · решите сами

Скобка в квадрате — новая переменная

база $(x + 4)^{2} = 25$ $1; - 9$
база $(3 x - 2)^{2} = 5$ $\frac{2 \pm 5}{3}$
база $(x - 1)^{2} + 4 = 0$ нет корней

повыш. $x^{2} - 6 x + 9 = 2$ $3 \pm 2$
повыш. $(x^{2} - 5)^{2} = 16$ $\pm 1; \pm 3$

В 4) узнайте квадрат разности, в 5) — сколько корней получится?

R02.1 · тип 3

Тип 3 · образец · оценка и округление

Найдите $47$ с точностью до $0, 1$

1

36 < 47 < 49 \Rightarrow 6 < 47 < 7

2

6, 8^{2} = 46, 24; 6, 9^{2} = 47, 61

3

6, 8 5^{2} = 46, 9225 < 47

47 \approx 6, 9

R02.1 · тип 3

Тип 3 · решите сами

Оцените, округлите, посчитайте целые

базаМежду какими целыми $130$ ? $11$ и $12$
база $130$ с точностью до $0, 1$ $\approx 11, 4$
повыш.Сколько целых чисел между $20$ и $70$ ? $4$
повыш.Сколько целых $x$ : $x^{2} < 30$ ? $11$

R02.1 · тип 4 · исследование

Тип 4 · образец · уравнение с параметром

Сколько корней у $x^{2} = a^{2} - 4$ ?

правая часть

> 0 ⟺ ∣ a ∣ > 2

: два

a = \pm 2

: один,

x = 0

- 2 < a < 2

: нет

При

∣ a ∣ > 2

:

x = \pm a^{2} - 4

R02.1 · тип 4 · исследование

Тип 4 · решите сами

Исследуйте число корней

база $(x - 1)^{2} = a - 5$ $a > 5$ : два; $a = 5$ : один; $a < 5$ : нет
базаПри каком $a$ уравнение $x^{2} = a$ имеет корень $23$ ? Второй корень? $a = 12$ ; второй корень $- 23$

повыш. $x^{2} = 9 - a^{2}$ $∣ a ∣ < 3$ : два; $a = \pm 3$ : один; $∣ a ∣ > 3$ : нет
повыш. $x^{2} = ∣ a ∣ - 1$ $∣ a ∣ > 1$ : два; $a = \pm 1$ : один; $∣ a ∣ < 1$ : нет

План: знак правой части → ответ для каждого случая

R02.1 · практика

Практика · выражаем переменную из формулы

Камень падает с высоты $45$ м. Сколько секунд?

h = 5 t^{2}

g \approx 10 м / с^{2}

t^{2} = \frac{h}{5} \Rightarrow t = \frac{h}{5}

t \geq 0

t = \frac{45}{5} = 9 = 3

с

Сами:

S = π r^{2}

,

S = 28, 26 см^{2}

,

π \approx 3, 14

. Найдите

r

.

r = 3

см

R02.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте по клику

$5 x^{2} - 45 = 0$ $\pm 3$
$x^{2} - 3 = 0$ $\pm 3$
$x^{2} + 16 = 0$ нет корней

$(x - 5)^{2} = 36$ $11; - 1$
$(2 x + 3)^{2} = 0$ $- 1, 5$
$90$ — между целыми? $9$ и $10$

R02.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Решите, оцените, исследуйте

повыш. $(3 x + 1)^{2} = 8$ $x = \frac{- 1 \pm 2 2}{3}$
повыш. $\frac{( x - 2 ) ^{2}}{4} = 3$ $x = 2 \pm 23$

повыш. $58$ до $0, 1$ $\approx 7, 6$
повыш.Сколько целых $x$ : $x^{2} \leq 50$ ? $15$
повыш.Число корней: $(x + 1)^{2} = 2 a - 6$ $a > 3$ : два; $a = 3$ : один; $a < 3$ : нет

R02.1

Типичные ошибки

Найдите ошибку

✗ Потерян корень

x^{2} = 16 \Rightarrow x = 4

верно:

x = \pm 4

✗ Корень — не половина

x^{2} = 7 \Rightarrow x = \pm 3, 5

верно:

x = \pm 7

✗ Одна ветка из двух

(x - 3)^{2} = 4 \Rightarrow x - 3 = 2, x = 5

верно:

x - 3 = \pm 2

,

x = 5

или

x = 1

✗ Корень из отрицательного

x^{2} = - 9 \Rightarrow x = - 3

верно: корней нет

Правило: сначала знак правой части, потом — оба знака

\pm

.

R02.1

Самостоятельная работа · вариант 1 · 5 минут

Вариант 1 — решите

база $x^{2} - 0, 64 = 0$ $\pm 0, 8$
база $4 x^{2} = 9$ $\pm 1, 5$
повыш. $(5 - 2 x)^{2} = 49$ $- 1; 6$

повыш.Между какими соседними целыми числами $- 57$ ? $- 8$ и $- 7$
практикаКвадратный зал — $72 м^{2}$ . Хватит ли $34$ м плинтуса на весь периметр? хватит

R02.1

Самостоятельная работа · вариант 2 · 5 минут

Вариант 2 — решите

база $x^{2} - 0, 49 = 0$ $\pm 0, 7$
база $9 x^{2} = 16$ $\pm \frac{4}{3}$
повыш. $(7 - 3 x)^{2} = 64$ $- \frac{1}{3}; 5$

повыш.Между какими соседними целыми числами $- 83$ ? $- 10$ и $- 9$
практикаКвадратный участок — $50 м^{2}$ . Хватит ли $28$ м сетки на ограду по периметру? не хватит

R02.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 9

Решите уравнение

(x + 2)^{2} = 49

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Ещё: $3 x^{2} - 12 = 0$ , в ответ — больший корень. $2$

План

скобка $= \pm 7$
два линейных уравнения
выбрать меньший корень

В бланк — одно число

Ответ: $- 9$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

От чего зависит число корней $x^{2} = a$ ?
Как решить $(k x + m)^{2} = a$ , не раскрывая скобки?
Как округлить $n$ до десятых?

Домашнее задание

$6 x^{2} - 54 = 0$ ; $(4 x + 1)^{2} = 3$
$200$ с точностью до $0, 1$
Число корней: $(x + 1)^{2} = 3 - a$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-031 · Практикум: Квадратные корни

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Числа и вычисления: квадратный корень», 17 ч · урок 11/17 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R02.1 «Квадратные корни» → 2–20 (блиц: 3; опорная схема: 4; тип 1: 5–6; тип 2: 7–8; тип 3: 9–10; тип 4: 11–12; формулы: 13; самопроверка: 14–15; ошибки: 16; самостоятельная: 17–18; ОГЭ: 19) · хронометраж: теория 14 мин, практика 31 мин (69 %)
Результаты	ПР-3 (квадратный корень, арифметический корень; находить, оценивать корни) → 2–10, 13–20 · ПР-4 (действительные числа на координатной прямой, сравнение, округление) → 9–10, 14–15, 17–18 · ПР-22 (исследование уравнений: есть ли решения, сколько) → 11–12, 15 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	свойства арифметического корня — практикум ALG8U-032; иррациональные числа — ALG8U-033; действия с иррациональными числами — ALG8U-034; квадратные уравнения общего вида — строка R03
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:квадратные корни

Сегодня отрабатываем четыре типа задач

1 · Уравнение x2=a

2 · Уравнение (kx+m)2=a

3 · Оценка и приближение

4 · Параметр

Блиц: восемь вопросов за две минуты

Уравнение x2=a: всё решает знак a

Решите: 3x2−7=0

Приведите к виду x2=a и решите

Решите: (2x−1)2=9

Скобка в квадрате — новая переменная

Найдите 47​ с точностью до 0,1

Оцените, округлите, посчитайте целые

Сколько корней у x2=a2−4?

Исследуйте число корней

Камень падает с высоты 45 м. Сколько секунд?

Решите и проверьте по клику

Решите, оцените, исследуйте

Найдите ошибку

✗ Потерян корень

✗ Корень — не половина

✗ Одна ветка из двух

✗ Корень из отрицательного

Вариант 1 — решите

Вариант 2 — решите

Решите уравнение

План

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-031 · Практикум: Квадратные корни

Практикум:
квадратные корни

1 · Уравнение $x^{2} = a$

2 · Уравнение $(k x + m)^{2} = a$

Уравнение $x^{2} = a$ : всё решает знак $a$

Решите: $3 x^{2} - 7 = 0$

Приведите к виду $x^{2} = a$ и решите

Решите: $(2 x - 1)^{2} = 9$

Найдите $47$ с точностью до $0, 1$

Сколько корней у $x^{2} = a^{2} - 4$ ?

Камень падает с высоты $45$ м. Сколько секунд?