Квадратный корень · урок 10 из 17

Тождественные
преобразования
выражений с корнями

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG8U-030

0,5 мин · теория
Паспорт: R02 «Числа и вычисления: квадратный корень» (17 ч), урок 10/17, единица R02.10 «Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни». Тип Н. Предыдущий урок ALG8U-029 — допустимые значения переменных в выражениях с корнями; дальше ALG8U-031–033 — практикумы по строке.
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин. Теория — сл. 1, 2, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18, 19: все теоретические слайды сохранены полностью (вынесение и внесение множителя, подобные радикалы, ФСУ, освобождение от иррациональности, сокращение дробей, упрощение с ОДЗ, оба углубления). Практика — разминка (3), «вспомним» (4), «образец → сам» после каждого нового правила (6, 8, 10, 12, 14, 16), найдите ошибку (20), задания с самопроверкой (21, 22), задача из жизни (23), формат ОГЭ (24), самостоятельная работа (25), рефлексия (26).
Если не успеваете — сл. 19 (вложенный корень) и задания 1–2 сл. 22 перенести на практикум ALG8U-032.
Рисунок: квадрат со стороной √5 + √3 — площадь 5 + 3 + два прямоугольника по √15 (раскроем на сл. 11).

R02.10

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выносить и вносить

множитель под знак корня, учитывая знак множителя (ПР-3, ПР-18)

Приводить подобные

радикалы и применять формулы сокращённого умножения (ПР-18)

Освобождаться

от иррациональности в знаменателе дроби (ПР-18)

Упрощать с учётом ОДЗ

сокращать дроби и доказывать тождества с корнями (ПР-17, ПР-18)

0,5 мин · теория
ПР-3 (ФРП): «…выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни, используя свойства корней».
ПР-17: «Находить допустимые значения переменных в выражениях, содержащих арифметические квадратные корни».
ПР-18: «Выполнять преобразования иррациональных выражений, используя свойства корней».
Виды деятельности ФРП: «Доказывать свойства арифметических квадратных корней; применять их для преобразования выражений», «Выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни».

повторение: R02.2, R02.9

Разминка · устно

Корни, квадраты, формулы — в темпе

$144$ ; $0, 49$ $12; 0, 7$
Наибольший квадрат-делитель: $50$ ; $72$ $25; 36$
$(7)^{2}$ ; $(32)^{2}$ $7; 18$
$3 \cdot 12$ $6$

Раскройте $(a - b)^{2}$ $a^{2} - 2 ab + b^{2}$
$(a - b) (a + b)$ $a^{2} - b^{2}$
$(- 5)^{2}$ $5$
Разложите $t^{2} - 9$ $(t - 3) (t + 3)$

повторение: R02.2, R02.9

Вспомним · инструменты

Три свойства и одно условие

Свойство	Условие
$ab = a \cdot b$	$a \geq 0, b \geq 0$
$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$	$a \geq 0, b > 0$
$a^{2} = ∣ a ∣$	любое $a$
$(a)^{2} = a$	$a \geq 0$

Устно

$2 \cdot 18$ $6$
$(1 - 2)^{2}$ $2 - 1$
ОДЗ: $\frac{x}{x - 3}$ $x \geq 0, x \neq = 9$

R02.10

Новое · вынесение множителя из-под корня

$a^{2} b = ∣ a ∣ b$ , $b \geq 0$

0, 18 = 0, 09 \cdot 2 = 0, 32

50 x^{2} = 5∣ x ∣ 2

12 a^{3} = 2 a 3 a

a \geq 0

по ОДЗ

R02.10

Образец → сам · вынесение множителя

Вынесите множитель из-под знака корня

Образец: $98$

$98 = 49 \cdot 2$ , $49 = 7^{2}$

$98 = 49 \cdot 2$

$= 72$

наибольший квадрат → корень из него → наружу

Сами

$45$ $35$
$200$ $102$
$75 x^{2}$ $5∣ x ∣ 3$
$18 a^{3}$ $3 a 2 a$

R02.10

Новое · внесение множителя под корень

Знак множителя решает всё

a \geq 0 : a b = a^{2} b

a < 0 : a b = - a^{2} b

- 32 = - 18

x - x = - - x^{3}

x \leq 0

R02.10

Образец → сам · внесение множителя

Внесите множитель под корень и сравните

Образец: $- 25$

множитель $- 2 < 0$ — минус остаётся снаружи

$25 = 4 \cdot 5 = 20$

$- 25 = - 20$

под корень — только неотрицательный множитель

Сами

$32$ $18$
$- 53$ $- 75$
Сравните $27$ и $33$ $27 > 33$
Сравните $- 42$ и $- 33$ $- 42 < - 33$

R02.10

Новое · подобные радикалы

$48 + 27 - 75$ — приводим к одному корню

Подобные — с одинаковым подкоренным выражением

3 a - 5 a = - 2 a

2 + 3 \neq = 5

R02.10

Образец → сам · подобные радикалы

Приведите подобные радикалы

Образец: $12 + 75 - 27$

$= 23 + 53 - 33$

$= (2 + 5 - 3) 3$

$= 43$

вынести множители → сложить коэффициенты

Сами

$8 + 32$ $62$
$20 - 45 + 5$ $0$
$250 - 18$ $72$
$9 a + 25 a - 4 a$ $6 a$

R02.10

Новое · формулы сокращённого умножения

$(5 + 3)^{2} = 8 + 215$

(a - b) (a + b) = a - b

(7 - 2) (7 + 2) = 5

(23 - 1)^{2} = 13 - 43

x - 4 = (x - 2) (x + 2), x \geq 0

R02.10

Образец → сам · формулы сокращённого умножения

Раскройте скобки и упростите

Образец: $(3 + 2)^{2}$

$= (3)^{2} + 2 \cdot 23 + 2^{2}$

$= 3 + 43 + 4$

$= 7 + 43$

не забыть удвоенное произведение

Сами

$(5 - 1)^{2}$ $6 - 25$
$(11 - 3) (11 + 3)$ $2$
$(22 + 3) (22 - 3)$ $5$
Разложите $a - 9, a \geq 0$ $(a - 3) (a + 3)$

R02.10

Новое · освобождение от иррациональности

Умножаем на «сопряжённое» выражение

\frac{6}{3} = \frac{6 3}{3 \cdot 3} = \frac{6 3}{3} = 23

\frac{4}{7 - 3} = \frac{4 ( 7 + 3 )}{7 - 3} = 7 + 3

Знаменатель	умножить на
$b$	$b$
$a - b$	$a + b$
$a + b$	$a - b$
$a - b$	$a + b$

Цель — разность квадратов: в знаменателе корни исчезают.

R02.10

Образец → сам · иррациональность в знаменателе

Освободитесь от иррациональности в знаменателе

Образец: $\frac{3}{2 + 1}$

умножаем на сопряжённое $2 - 1$

$\frac{3 ( 2 - 1 )}{2 - 1}$

$= 32 - 3$

в знаменателе — разность квадратов

Сами

$\frac{5}{5}$ $5$
$\frac{14}{7}$ $27$
$\frac{2}{5 - 3}$ $5 + 3$
$\frac{1}{3 - 8}$ $3 + 22$

R02.10

Новое · сокращение дробей

Замена $x = t$ : корни как переменная

\frac{x - 4}{x + 2} = x - 2

\frac{a - b}{a - b} = a + b

\frac{x - 5 x + 6}{x - 3} = x - 2

Условия:

a, b \geq 0, a \neq = b

;

x \geq 0, x \neq = 9

R02.10

Образец → сам · сокращение дробей

Сократите дробь (укажите условия)

Образец: $\frac{x - 9}{x - 3}$

$x - 9 = (x - 3) (x + 3)$

сокращаем на $x - 3 \neq = 0$

$= x + 3$ , $x \geq 0, x \neq = 9$

разложить → сократить → условия ОДЗ

Сами

$\frac{a - 25}{a + 5}$ $a - 5$
$\frac{x + y}{x - y}$ $\frac{1}{x - y}$
$\frac{x + 4 x + 4}{x + 2}$ $x + 2$
$\frac{a - a}{a - 1}$ $a$

R02.10 · R02.9

Применяем всё вместе

Упростите: $\frac{( a + b ) ^{2} - 4 ab}{a - b} + 2 b$

(a + b)^{2} - 4 ab = a - 2 ab + b

a - 2 ab + b = (a - b)^{2}

\frac{( a - b ) ^{2}}{a - b} + 2 b = a - b + 2 b

= a + b

Сначала ОДЗ

$a \geq 0, b \geq 0$
$a \neq = b ⟺ a \neq = b$

Проверка:

a = 9, b = 4

:

1 + 4 = 5 = 3 + 2

✓

R02.10 · исследование

Углубление · корень из квадрата многочлена

$y = x^{2} - 6 x + 9 + x^{2} + 6 x + 9$

y = (x - 3)^{2} + (x + 3)^{2}

y = ∣ x - 3∣ + ∣ x + 3∣

- 3 \leq x \leq 3 : y = 3 - x + x + 3 = 6

x > 3 : y = 2 x; x < - 3 : y = - 2 x

R02.10

Углубление · сложный корень

$7 - 43$ — ищем полный квадрат

7 - 43 = 4 - 2 \cdot 2 \cdot 3 + 3

= 2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 + (3)^{2} = (2 - 3)^{2}

(2 - 3)^{2} = ∣2 - 3 ∣ = 2 - 3

6 + 25 = 5 + 1

R02.10

Найдите ошибку · типичные ошибки

Найдите ошибку

✗ Забыли знак

8 a^{2} = 2 a 2

?

Верно: $2∣ a ∣ 2$ . При $a = - 1$ : $8 > 0$ , а $- 22 < 0$ .

✗ Минус внутрь

- 23 = 12

?

Отрицательное число не равно корню. Верно: $- 12$ .

✗ Не тот множитель

\frac{1}{5 - 3} \cdot \frac{5 - 3}{5 - 3}

?

Нужно $5 + 3$ : тогда знаменатель $5 - 3 = 2$ .

Каждый переход проверяйте: при каком условии он верен?

R02.10

Задания с самопроверкой · база и повышенный

Упростите и вычислите

база $38 - 50 + 18$ $42$
база $(7 - 2)^{2} + 214$ $9$
повыш. $\frac{10}{6 + 1}$ — без корня в знаменателе $26 - 2$

повыш. $\frac{a - 2 ab + b}{a - b}$ $a - b$
повыш.Внесите множитель: $a - \frac{1}{a}$ $- - a$
практикаСтороны прямоугольника $5 + 1$ см и $5 - 1$ см. Найдите площадь. $4$ см²

R02.10

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Полный квадрат под корнем и модули

повыш. $9 - 45$ $5 - 2$
повыш. $11 + 47$ $7 + 2$
повыш. $x^{2} - 10 x + 25$ при $x < 5$ $5 - x$

повыш. $a^{2} + 2 a + 1 - a^{2} - 2 a + 1$ при $0 \leq a \leq 1$ $2 a$
олимп.Докажите: $\frac{1}{3 + 2} + \frac{1}{3 - 2} = 23$ сопряжённые

R02.10 · практика

Задача из жизни

Два квадратных участка: $200$ м² и $50$ м²

На сколько метров сторона большого участка длиннее стороны малого? $52 \approx 7, 07$ м
Сколько метров сетки нужно, чтобы обнести малый участок? $202 \approx 28, 3$ м
Во сколько раз сторона большого больше стороны малого? в $2$ раза

R02.10 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8

Найдите значение выражения

(6 + 3)^{2} - 62

9

$\frac{( 2 7 ) ^{2}}{14}$ $2$
$(13 - 3) (13 + 3)$ $10$

План

квадрат суммы
вынести множитель: $18$
привести подобные

Ответ в бланк — целое число

R02.10

Самостоятельная работа · 5 минут

По вариантам

Вариант 1

$72 + 8 - 50$ $32$
$(3 - 1)^{2} + 23$ $4$
$\frac{10}{5}$ — без корня в знаменателе $25$
Сократите $\frac{x - 16}{x + 4}$ $x - 4$

Вариант 2

$27 + 12 - 48$ $3$
$(5 + 2)^{2} - 45$ $9$
$\frac{6}{2}$ — без корня в знаменателе $32$
Сократите $\frac{a - 36}{a - 6}$ $a + 6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда при вынесении множителя нужен модуль?
На что умножить, чтобы убрать корни из $a - b$ ?
Почему сокращение дроби меняет ОДЗ?

Домашнее задание

$75 - 212 + 27$ ; $\frac{3}{5 - 2}$
Докажите:
$11 + 62 - 11 - 62 = 22$
При каких $x$ верно
$x^{2} - 4 x + 4 = 2 - x$ ?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-030 · Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Числа и вычисления: квадратный корень», 17 ч · урок 10/17 · тип Н
Единицы → слайды	R02.10 «Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни» → 2, 5–26 · опора R02.2, R02.9 → 3, 4, 17
Результаты	ПР-3 (выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни, используя свойства корней) → 2, 5–14, 21, 23–25 · ПР-17 (допустимые значения переменных в выражениях с корнями) → 4–8, 15–17, 21–22, 25 · ПР-18 (преобразования иррациональных выражений по свойствам корней) → 5–26 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	практикумы по строке — ALG8U-031–033; функция $y = x$ и её график — не в этом уроке; иррациональные уравнения — не в 8 классе
Время	теория 13,5 мин (сл. 1, 2, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17–19) · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Тождественныепреобразованиявыражений с корнями

Сегодня вы научитесь

Выносить и вносить

Приводить подобные

Освобождаться

Упрощать с учётом ОДЗ

Корни, квадраты, формулы — в темпе

Три свойства и одно условие

a2b​=∣a∣b​, b≥0

Вынесите множитель из-под знака корня

Образец: 98​

Сами

Знак множителя решает всё

Внесите множитель под корень и сравните

Образец: −25​

Сами

48​+27​−75​ — приводим к одному корню

Приведите подобные радикалы

Образец: 12​+75​−27​

Сами

(5​+3​)2=8+215​

Раскройте скобки и упростите

Образец: (3​+2)2

Сами

Умножаем на «сопряжённое» выражение

Освободитесь от иррациональности в знаменателе

Образец: 2​+13​

Сами

Замена x​=t: корни как переменная

Сократите дробь (укажите условия)

Образец: x​−3x−9​

Сами

Упростите: a​−b​(a​+b​)2−4ab​​+2b​

Сначала ОДЗ

y=x2−6x+9​+x2+6x+9​

7−43​​ — ищем полный квадрат

Найдите ошибку

✗ Забыли знак

✗ Минус внутрь

✗ Не тот множитель

Упростите и вычислите

Полный квадрат под корнем и модули

Два квадратных участка: 200 м² и 50 м²

Найдите значение выражения

План

По вариантам

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-030 · Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни

Тождественные
преобразования
выражений с корнями

$a^{2} b = ∣ a ∣ b$ , $b \geq 0$

Образец: $98$

Образец: $- 25$

$48 + 27 - 75$ — приводим к одному корню

Образец: $12 + 75 - 27$

$(5 + 3)^{2} = 8 + 215$

Образец: $(3 + 2)^{2}$

Образец: $\frac{3}{2 + 1}$

Замена $x = t$ : корни как переменная

Образец: $\frac{x - 9}{x - 3}$

Упростите: $\frac{( a + b ) ^{2} - 4 ab}{a - b} + 2 b$

$y = x^{2} - 6 x + 9 + x^{2} + 6 x + 9$

$7 - 43$ — ищем полный квадрат

Два квадратных участка: $200$ м² и $50$ м²