Квадратный корень · урок 9 из 17

Допустимые значения
переменных
в выражениях с корнями

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG8U-029

1 мин · теория
Паспорт: R02 «Числа и вычисления: квадратный корень» (17 ч), урок 9/17, единица R02.9 «Допустимые значения переменных в выражениях, содержащих арифметические квадратные корни». Тип — Н. Перед уроком: ALG8U-028 «Представления о расширениях числовых множеств». После: ALG8U-030 «Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни».
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Сумма 45 мин.
Хронометраж: титул и цели 2 мин (сл. 1–2, теория) · разминка, повторение, проблема 6 (сл. 3–5, практика) · новый материал 12 (сл. 6–7, 9, 11, 13–15 — теория) · «образец → сам» 8 (сл. 8, 10, 12) · самопроверка база и повышенный 6 (сл. 16–17) · задача из жизни 2 (сл. 18) · ОГЭ 1 (сл. 19) · найди ошибку 2 (сл. 20) · самостоятельная работа 5 (сл. 21) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 22).
Вся теория прежняя, без сокращений; практика добавлена: разминка, после каждого правила — образец по шагам и сразу похожие задания, ответы ко всем заданиям открываются по клику, самостоятельная работа в двух вариантах.
Рисунок на титуле: график $y = x$ существует только над лучом $x \geq 0$ (розовая полоса) — образ всего урока.

R02.9

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить ОДЗ

выражений с корнями: составлять и решать систему условий (ПР-17)

Учитывать знаменатель

корень и дробь вместе: $\frac{1}{A} \Rightarrow A > 0$ (ПР-17, ПР-9)

Изображать ОДЗ

на координатной прямой и по графику (ПР-4, ПР-24)

Исследовать

как меняется ОДЗ при преобразованиях и от параметра (ПР-17, ПР-18)

1 мин · теория
ПР-17 (ФРП дословно): «Находить допустимые значения переменных в выражениях, содержащих арифметические квадратные корни» — главный результат урока.
Опора: ПР-9 «Находить допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях», ПР-24 — системы линейных неравенств и их графическая иллюстрация (строка R01).
ПР-18 «Выполнять преобразования иррациональных выражений, используя свойства корней» — только подготовка (сл. 13), подробно на ALG8U-030.

повторение: R02.1–R02.2, R01

Разминка · устно

Ответьте быстро

1

49 = ?

7

2

0, 25 = ?

0, 5

3

(7)^{2} = ?

7

4

x = 3

, найдите

x

9

5Решите

3 - x \geq 0

x \leq 3

6Решите

- 2 x > 8

x < - 4

7Где не определена

\frac{1}{x + 5}

?

x = - 5

8Существует ли

- 0, 01

?нет

повторение: R02.2, дроби

Вспомним

Когда запись имеет смысл?

Устно

При каких $x$ имеет смысл

\frac{5}{x - 3}

?

А так?

\frac{x}{x ^{2} - 9}

R02.9 · исследование

Проблема

При каких $x$ можно вычислить $A = x - 2 + 6 - x$ ?

$x$	$x - 2$	$6 - x$	$A$
$1$	$- 1$	$5$	нет
$2$	$0$	$4$	$2$
$4$	$2$	$2$	$22$
$6$	$4$	$0$	$2$
$7$	$5$	$- 1$	нет

Перебором всех

x

не проверить — их бесконечно много.

Гипотеза

каждое подкоренное выражение должно быть $\geq 0$

R02.9

Новое · определение

Допустимые значения — те, при которых выполнимы все действия

ОДЗ

область допустимых значений переменной

Все условия выполняются одновременно — значит, это система

R02.9 · опора R01

Пример 1 · система условий

ОДЗ выражения $x - 2 + 6 - x$

{x - 2 \geq 0 6 - x \geq 0

{x \geq 2 x \leq 6

2 \leq x \leq 6

, т. е.

x \in [2; 6]

R02.9 · опора R01

Образец → сам

Найдите ОДЗ суммы корней

Образец: $x + 1 + 4 - x$

x + 1 \geq 0

и

4 - x \geq 0

x \geq - 1

и

x \leq 4

$x \in [- 1; 4]$ концы входят

Сами

$x - 3 + 8 - x$ $[3; 8]$
$3 - x + x + 7$ $[- 7; 3]$
$2 x + 4 - 1 - x$ $[- 2; 1]$
$5 x - 10 + 12 - 3 x$ $[2; 4]$

R02.9

Пример 2 · корень в знаменателе

Найдём ОДЗ двух дробей

\frac{x + 1}{x + 3}

x + 3 > 0 \Rightarrow x > - 3

\frac{x}{x - 2}

{x \geq 0 x \neq = 2 \Rightarrow {x \geq 0 x \neq = 4

Ответы:

x \in (- 3; + \infty)

и

x \in [0; 4) \cup (4; + \infty)

R02.9

Образец → сам

Корень и дробь вместе

Образец: $\frac{3}{2 x - 6}$

2 x - 6 > 0

корень в знаменателе — строго

x > 3

$x \in (3; + \infty)$ точка 3 выколота

Сами

$\frac{1}{x + 5}$ $x > - 5$
$\frac{x}{8 - 2 x}$ $x < 4$
$\frac{x + 2}{x - 3}$ $x \geq - 2, x \neq = 3$
$\frac{x}{x - 5}$ $x \geq 0, x \neq = 25$

R02.9 · углубление

Углубление · оценка подкоренного выражения

ОДЗ — вся прямая, одна точка или пустое множество

x^{2} + 1

$x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ — любое $x$

- x^{2}

$- x^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x = 0$ — одна точка

x - 5 + 5 - x

$x \geq 5$ и $x \leq 5$ — $x = 5$

x - 5 + 3 - x

$x \geq 5$ и $x \leq 3$ — нет значений

Приём: оцените знак подкоренного выражения, а не только решайте неравенство

R02.9 · углубление

Образец → сам

Вся прямая, одна точка или пусто?

Образец: $- (x - 2)^{2}$

(x - 2)^{2} \geq 0

при любом

x

- (x - 2)^{2} \leq 0

\geq 0

лишь при $x = 2$ одна точка

Сами

$x^{2} + 4$ любое $x$
$- (x + 4)^{2}$ $x = - 4$
$x - 7 + 7 - x$ $x = 7$
$x - 1 + - 1 - x$ пусто
$(x - 3)^{2}$ любое $x$

R02.9 · подготовка R02.10

Углубление · сравните

У «похожих» выражений разные ОДЗ

x \cdot x - 1

:

{x \geq 0 x \geq 1

x (x - 1)

:

x (x - 1) \geq 0

произведение $\geq 0$ , если множители одного знака или один из них равен 0

R02.9 · графическая иллюстрация

Новое · взгляд на график

ОДЗ — тень графика на оси $O x$

$y = x - 2$

сдвиг на 2 вправо: $x \geq 2$

$y = - x$

отражение: $x \leq 0$

Где нет графика — нет и значения выражения

R02.9 · параметр

Углубление · задача с параметром

При каких $a$ выражение $x - a + 3 - x$ имеет смысл?

имеет смысл:

a \leq 3

ровно при одном

x

:

a = 3

Подумайте

при каких $a$ в ОДЗ ровно 4 целых числа?

R02.9

Задания с самопроверкой · база

Найдите область допустимых значений

$4 - 2 x$ $x \leq 2$
$\frac{7}{x - 1}$ $x > 1$
$x + - x$ $x = 0$

$\frac{3 x + 6}{x - 1}$ $x \geq - 2, x \neq = 1$
$\frac{1}{x - 3}$ $x \geq 0, x \neq = 9$

Алгоритм

корни → $\geq 0$
знаменатели → $\neq = 0$
система → прямая

R02.9

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Исследуйте ОДЗ

повыш.Найдите ОДЗ: $5 - x + \frac{1}{x ^{2} - 4}$ . $x \leq 5, x \neq = \pm 2$
базаСколько целых чисел входит в ОДЗ выражения $x + 2 + 3 - x$ ? $6$
повыш.При каких $a$ ОДЗ выражения $x - a + 3 - x$ содержит ровно 4 целых числа? $- 1 < a \leq 0$

К 1:

x^{2} \neq = 4 \Leftrightarrow x \neq = \pm 2

К 3: нарисуйте отрезок

[a; 3]

и отметьте целые точки

R02.9 · практика

Закрепление · практическая задача

Почему электронная таблица выдаёт ошибку?

При каких значениях в столбце A появится ошибка?

12 - 3 x < 0 \Rightarrow x > 4

А если

$B = \frac{1}{A - 1}$ — ошибка при каких $A$ ?

R02.9 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 13

На каком рисунке изображено множество значений $x$ , при которых имеет смысл $6 - 2 x$ ?

Метод

подкоренное $\geq 0$ → решить → сверить точку и направление

R02.9

Типичные ошибки

Найдите ошибку

✗ $x - 2$ : $x > 2$

Потеряли $x = 2$ : $0 = 0$ . Верно: $x \geq 2$

✗ $\frac{1}{x + 1}$ : $x \geq - 1$

Забыли знаменатель. Верно: $x > - 1$

✗ $x^{2}$ : $x \geq 0$

Проверяем подкоренное, а не $x$ : $x^{2} \geq 0$ всегда. Верно: любое $x$

✗ $- x$ : нет значений

«−x» не значит «отрицательное». Верно: $x \leq 0$

R02.9

Самостоятельная работа · 5 минут

Найдите ОДЗ · два варианта

Вариант 1

$9 - 3 x$ $x \leq 3$
$\frac{4}{x + 2}$ $x > - 2$
$x - 1 + 5 - x$ ; сколько в ОДЗ целых? $[1; 5]$ ; $5$
$\frac{x}{x - 1}$ $x \geq 0, x \neq = 1$

Вариант 2

$10 - 5 x$ $x \leq 2$
$\frac{6}{x - 3}$ $x > 3$
$x + 3 + 2 - x$ ; сколько в ОДЗ целых? $[- 3; 2]$ ; $6$
$\frac{x}{x - 3}$ $x \geq 0, x \neq = 9$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое ОДЗ выражения?
Почему у $\frac{1}{A}$ условие строгое?
Может ли ОДЗ состоять из одной точки?

Домашнее задание

ОДЗ: $2 x - 8 + 10 - x$ ; $\frac{1}{x + 4 - 1}$
ОДЗ: $- (x + 1)^{2} + x$
При каких $a$ выражение $a - x + x + 2$ имеет смысл ровно при одном $x$ ?
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-029 · Допустимые значения переменных в выражениях, содержащих арифметические квадратные корни

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Числа и вычисления: квадратный корень», 17 ч · урок 9/17 · тип Н
Единицы → слайды	R02.9 «Допустимые значения переменных в выражениях, содержащих арифметические квадратные корни» → 2, 5–22 · опора R02.1–R02.2, R01 → 3–4 · подготовка R02.10 → 13
Результаты	ПР-17 (находить допустимые значения переменных в выражениях с арифметическими квадратными корнями) → 2, 5–12, 14–22 · ПР-9 (ОДЗ дробно-рациональных выражений) → 3–4, 6, 9–10, 16–17, 21 · ПР-24 (системы линейных неравенств, графическая иллюстрация) → 3, 7–8, 15, 19 · ПР-18 (подготовка) → 13 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	тождественные преобразования, $a^{2} = ∣ a ∣$ — ALG8U-030; функция $y = x$ и её свойства — строка о функциях; квадратные неравенства — 9 класс
Проверки	хронометраж: теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) · автопроверка: pending · методист: pending

Допустимые значенияпеременныхв выражениях с корнями

Сегодня вы научитесь

Находить ОДЗ

Учитывать знаменатель

Изображать ОДЗ

Исследовать

Ответьте быстро

Когда запись имеет смысл?

Устно

А так?

При каких x можно вычислить A=x−2​+6−x​ ?

Гипотеза

Допустимые значения — те, при которых выполнимы все действия

ОДЗ

ОДЗ выражения x−2​+6−x​

Найдите ОДЗ суммы корней

Образец: x+1​+4−x​

Сами

Найдём ОДЗ двух дробей

Корень и дробь вместе

Образец: 2x−6​3​

Сами

ОДЗ — вся прямая, одна точка или пустое множество

Вся прямая, одна точка или пусто?

Образец: −(x−2)2​

Сами

У «похожих» выражений разные ОДЗ

ОДЗ — тень графика на оси Ox

y=x−2​

y=−x​

При каких a выражение x−a​+3−x​ имеет смысл?

Подумайте

Найдите область допустимых значений

Алгоритм

Исследуйте ОДЗ

Почему электронная таблица выдаёт ошибку?

А если

На каком рисунке изображено множество значений x, при которых имеет смысл 6−2x​ ?

Метод

Найдите ошибку

✗ x−2​: x>2

✗ x+1​1​: x≥−1

✗ x2​: x≥0

✗ −x​: нет значений

Найдите ОДЗ · два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-029 · Допустимые значения переменных в выражениях, содержащих арифметические квадратные корни

Допустимые значения
переменных
в выражениях с корнями

При каких $x$ можно вычислить $A = x - 2 + 6 - x$ ?

ОДЗ выражения $x - 2 + 6 - x$

Образец: $x + 1 + 4 - x$

Образец: $\frac{3}{2 x - 6}$

Образец: $- (x - 2)^{2}$

ОДЗ — тень графика на оси $O x$

$y = x - 2$

$y = - x$

При каких $a$ выражение $x - a + 3 - x$ имеет смысл?

На каком рисунке изображено множество значений $x$ , при которых имеет смысл $6 - 2 x$ ?

✗ $x - 2$ : $x > 2$

✗ $\frac{1}{x + 1}$ : $x \geq - 1$

✗ $x^{2}$ : $x \geq 0$

✗ $- x$ : нет значений