Квадратный корень · урок 8 из 17

Расширения
числовых
множеств

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG8U-028

0,5 мин · теория
Паспорт: R02 «Числа и вычисления: квадратный корень» (17 ч), урок 8/17, единица R02.8 «Представления о расширениях числовых множеств». Тип — Н (новый материал). До: ALG8U-027 «Множество действительных чисел». После: ALG8U-029 «Допустимые значения переменных в выражениях с корнями».
Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %). Всего 45 мин.
Хронометраж. Теория: титул и цели 1 (сл. 1–2) · цепочка расширений 3 (сл. 6) · замкнутость 3 (сл. 8) · прямая 2 (сл. 10) · история 1 (сл. 11) · плотность 2 (сл. 12) · «Дополнительно» 1 (сл. 14, можно пропустить). Практика: разминка 3 (сл. 3) · «куда поместить число» 2 (сл. 4) · проблема 2 (сл. 5) · образец → сам 2 + 2 + 2 (сл. 7, 9, 13) · закрепление 2 + 3 (сл. 15–16) · самопроверка 2 + 2 (сл. 17–18) · задача из жизни 2 (сл. 19) · ОГЭ 2 (сл. 20) · найди ошибку 1 (сл. 21) · самостоятельная работа 4 (сл. 22) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 23).
Рисунок на титуле — вложенные множества $N \subset Z \subset Q \subset R$ : каждое следующее содержит предыдущее.

R02.8

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Объяснять, зачем

расширяют множество: какое действие или уравнение «не решалось» (ПР-2)

Проверять замкнутость

выполнимо ли действие внутри $N$ , $Z$ , $Q$ , $R$ — и доказывать это (ПР-2)

Определять множество

наименьшее, которому принадлежит число или корень уравнения (ПР-2, ПР-3)

Видеть на прямой

точки $Z$ , $Q$ , $R$ ; находить числа между данными (ПР-4)

0,5 мин · теория
ПР-2 (ФРП дословно): «Понимать и использовать представления о расширении числовых множеств» — главный результат урока.
ПР-3: «Оперировать понятиями: … иррациональное число…»; ПР-4: «Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений, изображать действительные числа точками на координатной прямой».
Вид деятельности ФРП по строке: «Знакомиться с историей развития математики», «Исследовать уравнение x² = a».

повторение: R02.3, R02.5, R02.7

Разминка · устно

Семь быстрых вопросов

Вычислите: $49$ , $0, 09$ , $1, 21$ . 7; 0,3; 1,1
Запишите обыкновенной дробью: $0, (3)$ и $0, 25$ . $\frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{4}$
Какие числа иррациональны: $25$ , $8$ , $0, 16$ , $π$ ? $8$ , $π$
Решите: $x + 9 = 4$ . $- 5$
Решите: $4 x = 3$ . $\frac{3}{4}$
Найдите среднее арифметическое чисел $0, 2$ и $0, 5$ . 0,35
Между какими соседними целыми числами лежит $30$ ? 5 и 6

повторение: R02.3, R02.7

Вспомним · четыре множества

Куда поместить число?

Устно

Для каждого числа — самое «узкое» множество

Вложение:

N \subset Z \subset Q \subset R

R02.8 · исследование

Проблема

Почему одного множества мало?

уравнение	не решается в	корень	решается в
$x + 5 = 2$	$N$	$- 3$	$Z$
$3 x = 2$	$Z$	$\frac{2}{3}$	$Q$
$x^{2} = 2$	$Q$	$\pm 2$	$R$
$x^{2} = - 1$	$R$	?	?

Новое множество придумывают, чтобы решалось то, что раньше не решалось.

R02.8

Новое · цепочка расширений

Каждый шаг — ради нового действия

1. Старое — внутри

$N \subset Z \subset Q \subset R$

2. Правила те же

$2 + 3 = 5$ в любом множестве

3. Новое выполнимо

действие теперь возможно всегда

3 мин · теория
Три требования к любому расширению (карточки): новое множество содержит старое; действия над старыми числами дают те же результаты и сохраняют законы (переместительный, сочетательный, распределительный); новое действие выполнимо всегда.
Вопрос: какое действие «не всегда» в $N$ ? (Вычитание: $2 - 5$ .) В $Z$ ? (Деление: $2 : 3$ .) В $Q$ ? (Извлечение корня: $2$ ; длина диагонали единичного квадрата.)
Ошибка: думать, что дроби — «другие» числа, не связанные с целыми. Целое $n = \frac{n}{1}$ — частный случай дроби.

R02.8

Образец → сам · где живёт корень

Наименьшее множество, содержащее все корни

Образец: $4 x + 9 = 3$

1) $4 x = 3 - 9 = - 6$

2) $x = - \frac{6}{4} = - 1, 5$

3) $- 1, 5 \in / Z$ , но $- 1, 5 = - \frac{3}{2} \in Q$

ответ:

Q

Сами: найдите корни и множество

$x + 8 = 3$ $- 5$ ; $Z$
$7 x = 21$ $3$ ; $N$
$x^{2} = 49$ $\pm 7$ ; $Z$
повыш. $x^{2} = 0, 5$ $\pm 0, 5$ ; $R$

R02.8 · доказательство

Новое · замкнутость

Результат действия остаётся в множестве?

	$a + b$	$a \cdot b$	$a - b$	$a : b$	$a, a \geq 0$
$N$	да	да	$2 - 5$	$2 : 3$	$2$
$Z$	да	да	да	$2 : 3$	$2$
$Q$	да	да	да	да*	$2$
$R$	да	да	да	да*	да

* при $b \neq = 0$ ; в ячейке «нет» — контрпример

Почему $Q$ замкнуто:

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a d}{b c}

числитель и знаменатель — целые, $b d \neq = 0$

3 мин · теория
Определение: множество замкнуто относительно действия, если результат действия над любыми его элементами снова принадлежит ему. Чтобы показать «не замкнуто», достаточно одного контрпримера.
Доказательство для $Q$ : $a, b, c, d \in Z$ , $b, d \neq = 0$ (для деления ещё $c \neq = 0$ ). Сумма, произведение целых — целые, а $b d \neq = 0$ , $b c \neq = 0$ — значит, результат — дробь с целыми числителем и знаменателем.
Последний столбец: в $R$ корень из неотрицательного числа всегда существует (это и было целью расширения). Корень из отрицательного числа в $R$ не определён — вопрос сл. 5 остаётся.

R02.8

Образец → сам · замкнутость

Замкнуто ли множество относительно действия?

Образец: иррациональные, умножение

1) Пробуем: $2 \cdot 2 = 2$

2) $2$ иррационально, а $2 \in Q$

3) Нашёлся контрпример

не замкнуто

Сами: да или нет? Почему?

${- 1; 0; 1}$ — умножение да
Числа, кратные 3, — сложение да: $3 m + 3 n = 3 (m + n)$
Отрицательные целые — умножение нет: $(- 1) (- 2) = 2$
повыш.Иррациональные — сложение нет: $2 + (- 2) = 0$

2 мин · практика
Образец — по шагам: чтобы опровергнуть замкнутость, достаточно одного контрпримера. Затем ученики решают сами, ответы — щелчком.
Ответы: 1) Да — перебор: $(- 1) (- 1) = 1$ , $(- 1) \cdot 0 = 0$ , $(- 1) \cdot 1 = - 1$ , $0 \cdot a = 0$ , $1 \cdot 1 = 1$ — всё в множестве. 2) Да: $3 m + 3 n = 3 (m + n)$ — снова кратно 3. 3) Нет: $(- 1) \cdot (- 2) = 2 > 0$ . 4) Нет: $2$ и $- 2$ иррациональны, а сумма $0$ рациональна.
Для «да» нужна общая запись (как в 2), один пример не доказывает. Исключение — конечное множество (1): там можно перебрать все пары.

R02.8 · опора R02.7

Новое · на координатной прямой

Как множества заполняют прямую

2 мин · теория
Верхняя прямая: целые числа — изолированные точки (натуральные — розовые). Средняя: рациональные числа с любым знаменателем — между двумя точками всегда есть ещё (на рисунке только восьмые доли). Нижняя: действительные числа заполняют прямую целиком.
Построение: диагональ единичного квадрата равна $2$ (теорема Пифагора — геометрия 8 класса, либо площадь квадрата на диагонали равна 2). Циркулем переносим её на прямую.
Главная мысль: рациональные точки «густые», но не все — точка $2$ им не принадлежит. Каждой точке прямой соответствует ровно одно действительное число, и наоборот (урок ALG8U-027).

R02.8 · история

Из истории математики

Как расширялось понятие числа

1 мин · теория
Дроби (египетские, вавилонские шестидесятеричные) появились задолго до отрицательных чисел. Несоизмеримость стороны и диагонали квадрата открыли пифагорейцы (V в. до н. э.) — для греков это были отношения отрезков, а не числа.
Отрицательные числа: Китай — «Математика в девяти книгах» (около II в. до н. э., красные и чёрные палочки), Индия — Брахмагупта (VII в., «долг» и «имущество»). В Европе их долго называли «ложными».
Строгая теория действительных чисел — XIX в. (Р. Дедекинд, Г. Кантор, К. Вейерштрасс). Вопрос классу: почему логическая цепочка удобнее исторической? (Каждый шаг — ради одного нового действия.)

R02.8 · углубление

Углубление · плотность

Между любыми двумя числами — бесконечно много

a < b \Rightarrow a < \frac{a + b}{2} < b

\frac{1}{3} < \frac{5}{12} < \frac{1}{2}

середина

2 < 1, 5 < 3

рац. между ирр.

1, 41 < 2 < 1, 42

ирр. между рац.

2 мин · теория
Среднее арифметическое двух рациональных чисел рационально (замкнутость $Q$ , сл. 8) и лежит строго между ними. Повторяя, получаем бесконечно много рациональных чисел между любыми двумя — это свойство называют плотностью.
Проверка: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ , $\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$ , середина $\frac{5}{12}$ . $2 \approx 1, 414$ , $3 \approx 1, 732$ — между ними $1, 5$ (так как $1, 5^{2} = 2, 25$ , и $2 < 2, 25 < 3$ ).
Вопрос: есть ли «соседнее» рациональное число для $\frac{1}{2}$ , т. е. ближайшее справа? (Нет: между $\frac{1}{2}$ и любым большим числом есть середина.) В $Z$ соседи есть — это отличие от $Q$ .

R02.8 · ПР-4

Образец → сам · числа между данными

Найдите число между двумя данными

Образец: между $0, 6$ и $0, 7$

1) Середина: $\frac{0 , 6 + 0 , 7}{2} = 0, 65 \in Q$

2) Квадраты концов: $0, 36$ и $0, 49$

3) $0, 36 < 0, 4 < 0, 49$ , $0, 4$ — не квадрат

0, 6 < 0, 4 < 0, 7

Сами

Рациональное между $\frac{2}{5}$ и $\frac{1}{2}$ $\frac{9}{20}$
Рациональное между $5$ и $6$ $2, 4$
Иррациональное между $2$ и $3$ $5$
повыш.Три рациональных между $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{3}$
$0, 26$ ; $0, 3$ ; $0, 32$

сверх ФРП 8 кл. · перспектива

Дополнительно

А уравнение $x^{2} = - 1$ ?

в

R

:

x^{2} \geq 0

— корней нет

новое число

i

:

i^{2} = - 1

числа вида

a + bi

комплексные числа · XVI–XVIII вв. · изучают в старших классах

1 мин · теория
При нехватке времени пропустить. Материал сверх ФРП 8 класса — только как перспектива и иллюстрация общего принципа расширения (сл. 6).
Корни квадратных и кубических уравнений «через отрицательные под корнем» встречались у Дж. Кардано и Р. Бомбелли (XVI в.); обозначение $i$ ввёл Л. Эйлер (XVIII в.). Множество комплексных чисел обозначают $C$ .
Важно для 8 класса: в $R$ выражение $- 1$ не имеет смысла; уравнение $x^{2} = a$ при $a < 0$ корней не имеет. Этим займёмся на следующем уроке (ALG8U-029, допустимые значения).

R02.8

Закрепление · база

Отметьте все множества, которым принадлежит число

	$N$	$Z$	$Q$	$R$
1) $- 7$
2) $36$
3) $- \frac{12}{4}$
4) $0, (27)$
5) $12$

Наименьшее множество, где есть корни:

$2 x + 7 = 1$
$5 x = - 2$
$x^{2} = 12$

R02.8

Закрепление · повышенный уровень

Замкнуто ли? Докажите или опровергните

базаНечётные числа — относительно сложения? умножения?
повыш.Числа вида $a + b 2$ , $a, b \in Q$ — относительно сложения? умножения?
повыш.Найдите рациональное и иррациональное число между $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$ .

«Нет» — один контрпример

«Да» — общая запись и вычисление

(a + b 2) (c + d 2) = ?

R02.8 · ПР-3

Задания с самопроверкой · база

Упростите и назовите наименьшее множество

база $0, 81$ $0, 9$ ; $Q$
база $- \frac{18}{6}$ $- 3$ ; $Z$
база $(5)^{2}$ $5$ ; $N$

база $0, 1 (6)$ $\frac{1}{6}$ ; $Q$
база $π - 3$ $R$
повыш.Сколько целых чисел между $- 10$ и $10$ ? 7

R02.8 · ПР-2, ПР-4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Докажите, опровергните, найдите

повыш.Степени двойки $2, 4, 8, 16, \dots$ — замкнуты относительно умножения? сложения?
умножения — да: $2^{m} \cdot 2^{n} = 2^{m + n}$ ; сложения — нет: $2 + 4 = 6$
повыш.Найдите рациональное число между $2$ и $2, 1$ . $1, 42$
повыш.Верно ли, что сумма двух иррациональных чисел иррациональна?
нет: $(1 + 3) + (1 - 3) = 2$
профильНатуральное $n$ : $n \in Q$ и $4 < n < 6$ . Найдите $n$ . $n = 25$

R02.8 · практика

Закрепление · практическая задача

Можно ли точно измерить диагональ плитки?

Линейка показала 14,1 см. Это точно?

d^{2} = 1 0^{2} + 1 0^{2} = 200

,

d = 102

14, 1^{2} = 198, 81 < 200 < 201, 64 = 14, 2^{2}

d

иррационально: любая линейка даёт только приближение

R02.8 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 7

Какому числу соответствует точка A?

1)

45

2)

55

3)

66

4)

74

Метод

$7 < a < 8 ⟺ 49 < a < 64$

R02.8

Типичные ошибки

Найдите ошибку

✗ «Корень — значит иррационально»

2, 25 = 1, 5 \in Q

Проверка: $1, 5^{2} = 2, 25$

✗ «Дробь — значит не целое»

- \frac{12}{4} = - 3 \in Z

Сначала сократить дробь

✗ Перепутали вложение

Z \subset Q

, но

0, 5 \in / Z

Целое — рационально, не наоборот

Сначала упростить число, потом выбирать множество. В российских учебниках

0 \in / N

.

R02.8

Самостоятельная работа · 4 минуты

По вариантам

Вариант 1

Наименьшее множество для $1, 44$ $1, 2$ ; $Q$
Корни $x^{2} = 18$ и их множество $\pm 32$ ; $R$
Кратные 5 замкнуты относительно вычитания? да
Рациональное число между $3$ и $2$ $1, 8$

Вариант 2

Наименьшее множество для $2, 56$ $1, 6$ ; $Q$
Корни $x^{2} = 27$ и их множество $\pm 33$ ; $R$
Кратные 4 замкнуты относительно деления? нет
Рациональное число между $7$ и $8$ $2, 7$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Зачем перешли от $Q$ к $R$ ?
Что значит «множество замкнуто»?
Чем $Q$ на прямой отличается от $R$ ?

Домашнее задание

Наименьшее множество для $0, 49$ , $- 81$ , $7$ , $1, 2 (3)$
Замкнуты ли чётные числа относительно сложения, умножения, деления?
Найдите два иррациональных числа между $3$ и $3, 1$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-028 · Представления о расширениях числовых множеств

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Числа и вычисления: квадратный корень», 17 ч · урок 8/17 · тип Н · теория 13 мин / практика 32 мин (71 %)
Единицы → слайды	R02.8 «Представления о расширениях числовых множеств» → 2, 3, 5–23 · опора R02.3, R02.7 → 3, 4, 10
Результаты	ПР-2 (понимать и использовать представления о расширении числовых множеств) → 2, 5–9, 11–18, 21–23 · ПР-3 (иррациональное число) → 3, 4, 7, 15, 17, 19, 22 · ПР-4 (действительные числа на координатной прямой, округление) → 10, 12, 13, 18–20, 22 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	комплексные числа — сверх ФРП 8 кл. (только слайд «Дополнительно», 14); допустимые значения выражений с корнями — ALG8U-029; преобразования выражений с корнями — ALG8U-030
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Расширениячисловыхмножеств

Сегодня вы научитесь

Объяснять, зачем

Проверять замкнутость

Определять множество

Видеть на прямой

Семь быстрых вопросов

Куда поместить число?

Устно

Почему одного множества мало?

Каждый шаг — ради нового действия

1. Старое — внутри

2. Правила те же

3. Новое выполнимо

Наименьшее множество, содержащее все корни

Образец: 4x+9=3

Сами: найдите корни и множество

Результат действия остаётся в множестве?

Замкнуто ли множество относительно действия?

Образец: иррациональные, умножение

Сами: да или нет? Почему?

Как множества заполняют прямую

Как расширялось понятие числа

Между любыми двумя числами — бесконечно много

Найдите число между двумя данными

Образец: между 0,6 и 0,7

Сами

А уравнение x2=−1?

Отметьте все множества, которым принадлежит число

Замкнуто ли? Докажите или опровергните

Упростите и назовите наименьшее множество

Докажите, опровергните, найдите

Можно ли точно измерить диагональ плитки?

Какому числу соответствует точка A?

Метод

Найдите ошибку

✗ «Корень — значит иррационально»

✗ «Дробь — значит не целое»

✗ Перепутали вложение

По вариантам

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-028 · Представления о расширениях числовых множеств

Расширения
числовых
множеств

Образец: $4 x + 9 = 3$

Образец: между $0, 6$ и $0, 7$

А уравнение $x^{2} = - 1$ ?