Квадратный корень · урок 7 из 17

Множество
действительных
чисел

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG8U-027

Паспорт: R02 «Числа и вычисления: квадратный корень» (17 ч), урок 7/17, единица R02.7 «Множество действительных чисел». Тип — Н (новый материал). Перед уроком: ALG8U-026 «Сравнение иррациональных чисел». После: ALG8U-028 «Представления о расширениях числовых множеств».
0 мин · титул. Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), всего 45 мин.
Теория (все слайды нового материала сохранены полностью, темп — 1–2 мин на слайд): цели 1 · проблема 2 · определение и схема 2 · построение $5$ 2 · сравнение по записи 2 · плотность 2 · десятичные приближения 2 = 13 мин.
Практика: разминка 2 · вспомним 2 · «образец → сам» (построение 3, сравнение 3, приближения 2) · таблица множеств 2 · повышенный 3 · порядок на прямой 2 · ОГЭ 2 · самопроверка 3 · найди ошибку 2 · самостоятельная 4 · рефлексия и ДЗ 2 = 32 мин.
Рисунок на титуле — схема вложенных множеств (сл. 6): $N \subset Z \subset Q$ , рядом иррациональные $I$ , всё вместе — $R$ .

R02.7

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Различать множества

$N$ , $Z$ , $Q$ , $I$ , $R$ и их вложение (ПР-2)

Изображать числа

точками координатной прямой, строить $2$ , $5$ (ПР-4)

Сравнивать и округлять

действительные числа по десятичной записи (ПР-4)

Доказывать

между любыми двумя числами есть рациональное и иррациональное (ПР-3)

1 мин · теория
ПР-4 (ФРП дословно): «Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений, изображать действительные числа точками на координатной прямой» — главный результат урока.
ПР-2: «Понимать и использовать представления о расширении числовых множеств» — сегодня первое знакомство (схема $N \subset Z \subset Q \subset R$ ), подробно — урок ALG8U-028.
ПР-3: «Оперировать понятиями … иррациональное число…». Вид деятельности ФРП: «Сравнивать и упорядочивать рациональные и иррациональные числа…».

повторение: R02.1–R02.6

Разминка · устно

Считаем в уме — ответ по клику

121

11

0, 09

0,3

2 \frac{1}{4}

1,5

1, 5^{2}

2,25

\frac{3}{8}

десятичной дробью0,375

\frac{1}{6}

десятичной дробью0,1(6)

0, (1)

обыкновенной дробью1/9

30

между целыми5 и 6

повторение: R02.3, R02.6

Вспомним · десятичная запись

Какая бывает бесконечная десятичная дробь?

Устно

$\frac{2}{9}$ — какая дробь?
$0, 49$ — куда?
Что больше: $7$ или $2, 6$ ?

R02.7 · проблема

Проблема

Хватит ли рациональных чисел для всех точек прямой?

Диагональ

квадрата со стороной 1 равна $2$

Точка есть, а рационального числа для неё нет: в прямой «дыры».

2 мин · теория
Вопрос: между любыми двумя рациональными точками есть ещё рациональная (середина). Значит, они покрывают всю прямую? Пусть класс выскажется.
Откладываем циркулем диагональ единичного квадрата от точки 0. Квадрат, построенный на диагонали, имеет площадь 2 (урок ALG8U-023), значит длина диагонали $2$ , а $2$ иррационально.
Вывод: рациональных чисел не хватает. Чтобы каждой точке соответствовало число, нужно новое, более широкое множество.

R02.7

Новое · определение

Рациональные и иррациональные вместе — действительные числа

R = Q \cup I

N \subset Z \subset Q \subset R

Действительное число — любая бесконечная десятичная дробь

2 мин · теория
Определение: множество действительных чисел $R$ — объединение множеств рациональных и иррациональных чисел. Знаки: $\subset$ «является подмножеством», $\cup$ «объединение»; $Q \cap I = \emptyset$ — общих чисел нет.
Ученики переносят схему в тетрадь. Вопрос: в какие множества входит число $- 3$ ? ( $Z$ , $Q$ , $R$ .) А $9$ ? (Все четыре: $9 = 3$ .)
Обозначение $I$ для иррациональных встречается в учебниках не везде; можно писать $R ∖ Q$ . Ошибка: считать, что $N$ и $I$ — «соседи». Иррациональные не входят ни в $Q$ , ни в $Z$ , ни в $N$ .

R02.7 · координатная прямая

Новое · точка ↔ число

Построим точку $5$ на прямой

2 < 5 < 3

Аксиома

каждой точке прямой — одно действительное число, и обратно

2 мин · теория
Квадрат 3×3 клетки (площадь 9), отрезаем 4 прямоугольных треугольника с катетами 1 и 2 (площадь каждого 1). Остаётся наклонный квадрат площадью 5, его сторона $5$ — без теоремы Пифагора.
Ставим ножку циркуля в 0 (вершина квадрата), раствор — сторона, и переносим её на прямую. Точка лежит между 2 и 3: $4 < 5 < 9$ . Точка $- 5$ — симметрично относительно 0.
Взаимно однозначное соответствие: каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число, каждому числу — единственная точка. Поэтому прямую называют числовой.

R02.7 · координатная прямая

Образец → сам

Какой квадрат на клетках даст нужный отрезок?

Образец: $13$

катеты 2 и 3

25 - 4 \cdot 3 = 13

3 < 13 < 4

Сам: катеты и место на прямой

$8$ 2 и 2; между 2 и 3
$17$ 1 и 4; между 4 и 5
$20$ 2 и 4; между 4 и 5
$- 8$ — где? между −3 и −2

3 мин · практика
Образец (1 мин, вместе): квадрат 5×5 клеток (площадь 25), от углов отрезаем 4 прямоугольных треугольника с катетами 2 и 3 (площадь каждого $\frac{2 \cdot 3}{2} = 3$ ). Наклонный квадрат: $25 - 12 = 13$ , сторона $13$ ; $9 < 13 < 16$ , точка между 3 и 4.
Сам (2 мин, на клетчатой бумаге): 1) катеты 2 и 2, квадрат 4×4: $16 - 4 \cdot 2 = 8$ ; $4 < 8 < 9$ → между 2 и 3. 2) катеты 1 и 4, квадрат 5×5: $25 - 4 \cdot 2 = 17$ ; $16 < 17 < 25$ → между 4 и 5. 3) катеты 2 и 4, квадрат 6×6: $36 - 4 \cdot 4 = 20$ ; $16 < 20 < 25$ → между 4 и 5. 4) симметрично $8$ относительно 0: между −3 и −2.
Правило подбора: сумма квадратов катетов равна числу под корнем ( $2^{2} + 3^{2} = 13$ , $1^{2} + 4^{2} = 17$ ). Сильным: можно ли так получить $3$ ? (Нет — 3 не сумма двух квадратов натуральных чисел; $3$ строят иначе, через $2$ .)

R02.7 · опора R02.6

Новое · сравнение

Сравниваем по разрядам — до первого различия

2 = 1, 41421 \dots

1, 41 (4) = 1, 41444 \dots

2 = 1, 4142 \dots < 1, 4144 \dots

2 < 1, 41 (4)

Отрицательные

больше то, у которого модуль меньше

π = 3, 14159 \dots < 3, 1416

- π > - 3, 1416

2 мин · теория
Правило: записываем обе бесконечные дроби, сравниваем целые части, затем разряды слева направо; первый разряд, где цифры различны, решает. Для положительных — больше то, у которого эта цифра больше.
Пример: $2 = 1, 41421 \dots$ и $1, 41444 \dots$ совпадают до тысячных, в десятитысячных $2 < 4$ . Проверка без записи: $1, 414 4^{2} = 2, 0005 \dots > 2$ .
Ловушка: $0, (9) = 1$ — у числа могут быть две записи. Поэтому дроби с периодом 9 заменяем конечными (подробно не разбирать, достаточно упомянуть).

R02.7 · сравнение

Образец → сам

Сравните по десятичной записи

Образец: $5$ и $2, 2 (3)$

5 = 2, 2360 \dots

2, 2 (3) = 2, 2333 \dots

тысячные:

6 > 3

5 > 2, 2 (3)

Сам

$3$ и $1, 7 (3)$ $3 < 1, 7 (3)$
$π$ и $3, (14)$ $π > 3, (14)$
$- 2$ и $- 1, 4 (1)$ $- 2 < - 1, 4 (1)$
$\frac{2}{3}$ и $0, 666$ $2/3 > 0, 666$

3 мин · практика
Образец: $5 = 2, 2360 \dots$ (проверка: $2, 23 6^{2} = 4, 999696 < 5 < 2, 23 7^{2} = 5, 004169$ ), $2, 2 (3) = 2, 2333 \dots$ ; совпадают до сотых, в тысячных $6 > 3$ .
Ответы: 1) $3 = 1, 7320 \dots$ , $1, 7 (3) = 1, 7333 \dots$ : в тысячных $2 < 3$ → $3 < 1, 7 (3)$ . 2) $π = 3, 14159 \dots$ , $3, (14) = 3, 14141 \dots$ : в десятитысячных $5 > 4$ → $π > 3, (14)$ . 3) $2 = 1, 414 \dots > 1, 411 \dots = 1, 4 (1)$ , у отрицательных наоборот: $- 2 < - 1, 4 (1)$ . 4) $\frac{2}{3} = 0, 6666 \dots$ , $0, 666 = 0, 6660 \dots$ : в десятитысячных $6 > 0$ → $\frac{2}{3} > 0, 666$ .
Ошибка в 3): поставить «>», забыв, что у отрицательных больше то, у которого модуль меньше. Ошибка в 4): считать $\frac{2}{3} = 0, 666$ — это лишь приближение.

R02.7 · доказательство

Углубление · плотность

Между любыми двумя числами — и рациональное, и иррациональное

a < b

,

a, b \in Q

\frac{a + b}{2} \in Q

замкнутость

\frac{2}{2} (b - a) \in I

т. 2

a + \frac{2}{2} (b - a) \in I

т. 1

2 мин · теория
Теоремы 1 и 2 — урок ALG8U-024: рациональное + иррациональное = иррациональное; рациональное (≠ 0) · иррациональное = иррациональное. Здесь $b - a \neq = 0$ .
Почему точка лежит между $a$ и $b$ : $0 < \frac{2}{2} < 1$ , значит прибавляем к $a$ часть отрезка длины $b - a$ .
Для произвольных действительных $a < b$ утверждение тоже верно: обрываем десятичную запись $b$ на разряде, где она уже отличается от $a$ , — получаем рациональное число между ними, и далее как выше. Доказательство в общем виде — по желанию, для сильных.

R02.7 · приближения

Новое · приближения и округление

Лупа: где на прямой $3$ ?

1, 73 < 3 < 1, 74

до 0,01

с недостатком $1, 73$
с избытком $1, 74$

3 \approx 1, 73

R02.7 · приближения

Образец → сам

Приближения с недостатком и с избытком

Образец: $7$ до 0,01

2, 6^{2} = 6, 76 < 7 < 7, 29 = 2, 7^{2}

2, 6 4^{2} = 6, 9696 < 7 < 7, 0225 = 2, 6 5^{2}

2, 64 < 7 < 2, 65

Сам: до 0,1

$11$ $3, 3 < 11 < 3, 4$
$30$ $5, 4 < 30 < 5, 5$
$0, 8$ $0, 8 < 0, 8 < 0, 9$

R02.7

Закрепление · база

Отметьте множества, которым принадлежит число

	$N$	$Z$	$Q$	$I$	$R$
1) $- 3$		✓	✓		✓
2) $0, (6)$			✓		✓
3) $16$	✓	✓	✓		✓
4) $- 5$				✓	✓
5) $1, 21$			✓		✓

Сначала

упростите корень, потом выбирайте

R02.7

Закрепление · повышенный уровень

Найдите и обоснуйте

повыш.Укажите рациональное и иррациональное число между $2$ и $3$ . напр. $1, 5$ и $2, 5$
повыш.То же — между $0, (3)$ и $0, 34$ . напр. $0, 335$ и $0, 33501001 \dots$
повыш.Верно ли: «каждой точке прямой соответствует рациональное число»? нет: точка $2$

К 1: сравнивайте квадраты

К 2: постройте непериодическую запись

R02.7 · практика

Закрепление · координатная прямая

Расположите в порядке возрастания

- 3; 1, 7;

\frac{7}{4}; - 1, 7; 3

R02.7 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 7

Одна из точек соответствует числу $68$ . Какая?

Метод

зажмите корень между соседними квадратами

64 < 68 < 81

R02.7 · самопроверка

Задания с самопроверкой

Решите — ответы откроются по клику

базаКакое из чисел $0, 36; 40; 0, (7)$ иррационально? $40$
ОГЭ, линия 7Между какими соседними целыми числами $57$ ? 7 и 8
базаКакое число лежит между 3 и 4: $8; 15; 17; 24$ ? $15$

повыш.Сколько целых чисел между $- 10$ и $20$ ? 8
повыш.Наименьшее натуральное $n$ , при котором $n > 5, 5$ ? 31
из жизниКвадратный участок площадью 50 м $^{2}$ . Хватит ли 28 м сетки на забор? нет

3 мин · практика
Ответы: 1) $0, 36 = 0, 6$ и $0, (7) = \frac{7}{9}$ рациональны; $40$ : $6^{2} = 36 < 40 < 49 = 7^{2}$ , 40 не квадрат рационального числа — иррационально. 2) $7^{2} = 49 < 57 < 64 = 8^{2}$ → 7 и 8. 3) $9 < 15 < 16$ → $3 < 15 < 4$ ; $8 < 3$ , $17 > 4$ , $24 > 4$ .
4) $3 < 10 < 4$ → $- 4 < - 10 < - 3$ ; $4 < 20 < 5$ . Целые от −3 до 4: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 — восемь. 5) $n > 5, 5 ⟺ n > 5, 5^{2} = 30, 25$ → $n = 31$ . 6) Сторона $50$ : $7, 0 7^{2} = 49, 9849 < 50$ , значит сторона больше 7,07 м, периметр больше $4 \cdot 7, 07 = 28, 28$ м > 28 м — не хватит.
Работают в парах 2 мин, затем ответы открываются по одному. Ошибка в 4): считать только числа от −3 до 4 «без нуля» или включать −4. Ошибка в 6): $50 \approx 7$ , «периметр 28 — хватит» (приближение с недостатком занижает периметр).

R02.7

Типичные ошибки

Найдите ошибку

✗ «Корень — значит $I$ »

0, 04 \in I

?

$0, 04 = 0, 2 \in Q$

✗ «Видно период»

0, 1010010001 \dots

Нулей всё больше — периода нет: $I$ .

✗ Знак у минусов

- 3 > - 1, 7

?

Наоборот: $- 3 < - 1, 7$ .

Сомневаетесь — упростите и отметьте точку на прямой.

R02.7

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта

Вариант 1

Каким множествам принадлежит $0, 25$ ? $Q$ , $R$
Сравните $6$ и $2, 4 (5)$ $6 < 2, 4 (5)$
$13$ до 0,1 с недостатком 3,6
Рациональное число между $7$ и $8$ напр. 2,7

Вариант 2

Каким множествам принадлежит $- 49$ ? $Z$ , $Q$ , $R$
Сравните $8$ и $2, 8 (3)$ $8 < 2, 8 (3)$
$19$ до 0,1 с недостатком 4,3
Рациональное число между $10$ и $11$ напр. 3,2

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Из каких чисел состоит $R$ ?
Почему $Q$ не хватает для прямой?
Как сравнить два числа по записи?

Домашнее задание

Постройте на прямой точку $10$
Найдите рациональное и иррациональное число между $5$ и $6$
Сравните $2, (23)$ и $5$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-027 · Множество действительных чисел

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Числа и вычисления: квадратный корень», 17 ч · урок 7/17 · тип Н
Единицы → слайды	R02.7 «Множество действительных чисел» → 2, 5–21 · опора R02.1–R02.6 → 3, 4 (разминка, повторение), 9
Результаты	ПР-4 (множество действительных чисел для сравнения, округления, вычислений; точки на прямой) → 2, 5, 7–10, 12, 13, 16–18, 20, 21 · ПР-2 (расширение числовых множеств) → 2, 5, 6, 14 · ПР-3 (иррациональное число) → 4, 11, 15, 18 · хронометраж: теория 13 мин (сл. 2, 5–7, 9, 11, 12), практика 32 мин (71 %) · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	расширения числовых множеств и их история — ALG8U-028; допустимые значения в выражениях с корнями — ALG8U-029; аксиоматика и строгая теория действительных чисел — за пределами 8 класса
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Множестводействительныхчисел

Сегодня вы научитесь

Различать множества

Изображать числа

Сравнивать и округлять

Доказывать

Считаем в уме — ответ по клику

Какая бывает бесконечная десятичная дробь?

Хватит ли рациональных чисел для всех точек прямой?

Диагональ

Рациональные и иррациональные вместе — действительные числа

Построим точку 5​ на прямой

Аксиома

Какой квадрат на клетках даст нужный отрезок?

Образец: 13​

Сам: катеты и место на прямой

Сравниваем по разрядам — до первого различия

Отрицательные

Сравните по десятичной записи

Образец: 5​ и 2,2(3)

Сам

Между любыми двумя числами — и рациональное, и иррациональное

Лупа: где на прямой 3​?

до 0,01

Приближения с недостатком и с избытком

Образец: 7​ до 0,01

Сам: до 0,1

Отметьте множества, которым принадлежит число

Сначала

Найдите и обоснуйте

Расположите в порядке возрастания

Одна из точек соответствует числу 68​. Какая?

Метод

Решите — ответы откроются по клику

Найдите ошибку

✗ «Корень — значит I»

✗ «Видно период»

✗ Знак у минусов

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-027 · Множество действительных чисел

Множество
действительных
чисел

Построим точку $5$ на прямой

Образец: $13$

Образец: $5$ и $2, 2 (3)$

Лупа: где на прямой $3$ ?

Образец: $7$ до 0,01

Одна из точек соответствует числу $68$ . Какая?

✗ «Корень — значит $I$ »