Квадратный корень · урок 6 из 17

Сравнение
иррациональных
чисел

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG8U-026

Паспорт: R02 «Числа и вычисления: квадратный корень» (17 ч), урок 6/17, единица R02.6 «Сравнение иррациональных чисел». Тип — Н (новый материал). Перед уроком: ALG8U-025 «Свойства действий с иррациональными числами». После: ALG8U-027 «Множество действительных чисел».
0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Теория (14): цели 1 (сл. 2) · проблема 1 (сл. 5) · теорема о монотонности 3 (сл. 6) · способ 1 — 2 (сл. 7) · способ 2 — 2 (сл. 9) · способ 3 — 1 (сл. 11) · способ 4 — 2 (сл. 13) · упорядочивание 1 (сл. 14) · схема выбора 1 (сл. 16).
Практика (31): разминка 2 (сл. 3) · оценка корня 2 (сл. 4) · «образец → сам» 2 + 2 + 2 + 2 (сл. 8, 10, 12, 15) · самопроверка 3 + 3 (сл. 17–18) · задача о трубе 2 (сл. 19) · ОГЭ 2 (сл. 20) · найди ошибку 2 (сл. 21) · самостоятельная работа 6 (сл. 22) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 23).
Рисунок на титуле — к сл. 7: квадраты площадью 12 и 18 имеют стороны $23 = 12$ и $32 = 18$ ; у большего квадрата сторона больше.

R02.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать

монотонность корня: $a < b \Leftrightarrow a < b$ (ПР-3)

Сравнивать точно

числа с корнями четырьмя способами без калькулятора (ПР-4, ПР-24)

Упорядочивать

рациональные и иррациональные числа на координатной прямой (ПР-4)

Выбирать способ

и понимать, когда приближённой оценки не хватает (ПР-4)

1 мин · теория
ПР-3 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: квадратный корень, арифметический квадратный корень, иррациональное число, находить, оценивать квадратные корни…».
ПР-4: «Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений, изображать действительные числа точками на координатной прямой». ПР-24: «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки…».
Вид деятельности ФРП: «Сравнивать и упорядочивать рациональные и иррациональные числа, записанные с помощью квадратных корней».

разминка: R02.3–R02.5

Разминка · устно

Вычислите или запишите

32 = ?

18

25 = ?

20

1, 4^{2}

1, 96

2, 5^{2}

6, 25

(23)^{2}

12

(5 + 2)^{2}

7 + 210

0, 49

0, 7

a < b \Rightarrow - a \lor - b

- a > - b

повторение: R02.1–R02.5

Вспомним · оценка корня

Между какими целыми числами лежит $20$ ?

Устно

$20$
$50$
$99$ , $101$

R02.6 · проблема

Проблема

Что больше: $35$ или $6, 7$ ?

берём $5 \approx$	$35 \approx$	вывод
$2, 2$	$6, 6$	меньше 6,7?
$2, 24$	$6, 72$	больше 6,7?
$2, 236$	$6, 708$	больше 6,7

Округление дало разные ответы. Какая точность «достаточна» — заранее неизвестно.

Задача урока

сравнивать точно, без калькулятора

R02.6 · теорема

Новое · главная теорема

Если $0 \leq a < b$ , то $a < b$

Доказательство

b - a = (b - a) (b + a)

b - a > 0, b + a > 0

\Rightarrow b - a > 0

Верно и обратное: $a < b \Rightarrow a < b$

3 мин · теория
Рисунок: график $y = x$ (точный масштаб, $a = 2$ , $b = 6$ ) идёт вверх — чем больше x, тем больше $x$ . Рисунок — иллюстрация, доказательство — справа.
Шаг 1 — разность квадратов: $(b)^{2} - (a)^{2} = b - a$ . Шаг 2: $b + a > 0$ , так как $b > 0$ при $b > 0$ (а $b > a \geq 0$ ). Произведение положительно и второй множитель положителен ⇒ первый положителен.
Обратное — от противного: если $a \geq b$ , то по доказанному $a \geq b$ . Итог: для $a, b \geq 0$ неравенства $a < b$ и $a < b$ равносильны. Вопрос: где важно $a \geq 0$ ? (Иначе $a$ не определён.)

R02.6 · способ 1

Способ 1 · всё под один корень

Сравните $23$ и $32$

23 = 4 \cdot 3 = 12

32 = 9 \cdot 2 = 18

12 < 18 \Rightarrow 12 < 18

23 < 32

При

a \geq 0

:

a b = a^{2} b

R02.6 · способ 1

Образец → сам · способ 1

Внесите множитель под корень и сравните

Образец: $33$ и $27$

33 = 9 \cdot 3 = 27

27 = 4 \cdot 7 = 28

27 < 28 \Rightarrow 33 < 27

Сам

$42$ и $27$ $>$
$53$ и $38$ $>$
$\frac{1}{2} 20$ и $6$ $<$
$72$ и $10$ $<$

R02.6 · способ 2

Способ 2 · сравнение квадратов

Сравните $7 + 3$ и $25$

(7 + 3)^{2} = 10 + 221

слева

(25)^{2} = 20 = 10 + 10

справа

221 \lor 10 \Leftrightarrow 21 \lor 5 = 25

21 < 25 \Rightarrow 7 + 3 < 25

R02.6 · способ 2

Образец → сам · способ 2

Сравните квадраты положительных чисел

Образец: $6 + 2$ и $15$

(6 + 2)^{2} = 8 + 212

(15)^{2} = 15 = 8 + 7

212 = 48 < 49 = 7

6 + 2 < 15

Сам

$5 + 3$ и $4$ $<$
$10 + 2$ и $20$ $>$
$6 + 3$ и $2 + 7$ $>$

R02.6 · способ 3

Способ 3 · промежуточное число

Сравните $17 + 5$ и $6$

17 + 5 > 6

Оцениваем каждое слагаемое целым числом с нужной стороны

R02.6 · способ 3

Образец → сам · способ 3

Оцените каждое слагаемое целым числом

Образец: $26 + 10$ и $8$

26 > 25 = 5

10 > 9 = 3

26 + 10 > 8

Сам

$15 + 8$ и $7$ $<$
$50 - 3$ и $5$ $>$
$99 + 0, 8$ и $11$ $<$
$65 - 8$ и $5$ $>$

R02.6 · углубление

Способ 4 · умножение на сопряжённое

Сравните $11 - 10$ и $10 - 3$

11 - 10 = \frac{1}{11 + 10}

10 - 9 = \frac{1}{10 + 9}

знаменатель первой дроби больше

11 - 10 < 10 - 3

R02.6 · координатная прямая

Новое · упорядочивание

Расположите в порядке возрастания: $3; - 2; 1, 7; - 5; \frac{7}{4}$

5 > 4 = 2 \Rightarrow - 5 < - 2

1, 7^{2} = 2, 89 < 3

(\frac{7}{4})^{2} = \frac{49}{16} > 3

- 5 < - 2 < 1, 7 < 3 < \frac{7}{4}

R02.6 · координатная прямая

Сам · упорядочивание

Расположите числа в порядке возрастания

$7; 2, 6; - 6; - 2, 5; \frac{8}{3}$ $- 2, 5 < - 6 < 2, 6 < 7 < \frac{8}{3}$
$32; 25; 4; 17$ $4 < 17 < 32 < 25$

R02.6 · схема

Схема-итог

Как сравнить два числа с корнями

1 мин · теория
Схему ученики переносят в тетрадь. Первый вопрос — знаки: отрицательное меньше положительного; два отрицательных — сравниваем модули, вывод «наоборот».
Способ 3 — самый быстрый, его пробуем первым. Способы 1, 2, 4 — точные; их выбор зависит от вида выражений.
Вопрос: каким способом сравнить $2 + 11$ и $5 + 7$ ? (Способ 2, затем способ 3: квадраты $13 + 222$ и $12 + 235$ ; $22 < 4, 7$ ( $4, 7^{2} = 22, 09$ ) ⇒ левое $< 22, 4$ ; $35 > 5, 9$ ( $5, 9^{2} = 34, 81$ ) ⇒ правое $> 23, 8$ . Ответ: « $<$ ».) Пример для сильных; можно пропустить.

R02.6

Задания с самопроверкой · база

Сравните (поставьте $<$ , $>$ или $=$ )

$50$ и $7$ $>$
$52$ и $43$ $>$
$- 26$ и $- 5$ $>$

$3 + 5$ и $8$ $>$
$0, 512$ и $3$ $=$
$\frac{8}{2}$ и $1, 4$ $>$

Подсказка

сначала — знаки, потом способ по схеме

R02.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Сравните и найдите

повыш. $5 + 10$ и $7 + 8$ $<$
повыш. $2023 - 2022$ и $2022 - 2021$ $<$
повыш.Найдите все целые $n$ , для которых $23 < n < 35$ . $4; 5; 6$

К 1: суммы под корнем равны:

5 + 10 = 7 + 8

К 3: возведите все части в квадрат

R02.6 · практика

Закрепление · практическая задача

Поместится ли труба длиной $7, 05$ м на полу?

Комната — квадрат 5 × 5 м. Трубу кладут по диагонали.

52 = 50

7, 0 5^{2} = 49, 7025

50 > 7, 05

R02.6 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 7

Какая из точек соответствует числу $67$ ?

1) A 2) B 3) C 4) D

Метод

зажать между квадратами целых, затем — десятых:

64 < 67 < 81

R02.6

Типичные ошибки

Найдите ошибку

✗ Квадраты отрицательных

9 > 8 \Rightarrow - 3 > - 8

?

Верно: $- 3 < - 8$

✗ Сложили под корнем

2 + 7 = 9

?

Квадрат: $9 + 214 > 9$

✗ Грубое округление

35 \approx 6, 6 < 6, 7

?

Точно: $45 > 44, 89$

В квадрат возводим только положительные части; приближения — с проверкой точности.

R02.6

Самостоятельная работа · 6 минут

Сравните без калькулятора

Вариант 1

$36$ и $213$ $>$
$11 + 3$ и $27$ $<$
$38 - 8$ и $3$ $>$
По возрастанию: $5; - 3; 2, 2; - 1, 8$ $- 1, 8; - 3; 2, 2; 5$

Вариант 2

$211$ и $35$ $<$
$13 + 2$ и $26$ $>$
$24 + 3$ и $7$ $<$
По возрастанию: $7; - 10; 2, 7; - 3, 2$ $- 3, 2; - 10; 7; 2, 7$

6 мин · практика
5 мин — решение, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам (открываются кликом). Критерий: «5» — 4 задания, «4» — 3, «3» — 2. Задания 1–3 — способы 1, 2, 3; задание 4 — упорядочивание.
В1: 1) $54$ и $52$ ⇒ « $>$ ». 2) квадраты $14 + 233$ и $28$ : $233 = 132 < 196 = 14$ ⇒ « $<$ » (5,049 и 5,292). 3) $38 > 6$ , $8 < 3$ ⇒ разность $> 3$ (3,336). 4) $2, 2^{2} = 4, 84 < 5$ ⇒ $2, 2 < 5$ ; $3 < 3, 24 = 1, 8^{2}$ ⇒ $3 < 1, 8$ ⇒ $- 3 > - 1, 8$ . Ответ: $- 1, 8; - 3; 2, 2; 5$ .
В2: 1) $44$ и $45$ ⇒ « $<$ ». 2) квадраты $15 + 226$ и $24$ : $226 = 104 > 81 = 9$ ⇒ « $>$ » (5,020 и 4,899). 3) $24 < 5$ , $3 < 2$ ⇒ сумма $< 7$ (6,631). 4) $2, 7^{2} = 7, 29 > 7$ ⇒ $7 < 2, 7$ ; $3, 2^{2} = 10, 24 > 10$ ⇒ $10 < 3, 2$ ⇒ $- 10 > - 3, 2$ . Ответ: $- 3, 2; - 10; 7; 2, 7$ .

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему из $a < b$ следует $a < b$ ?
Когда можно возводить в квадрат?
Какой способ — для разности корней?

Домашнее задание

Сравните: $37$ и $215$ ; $6 + 2$ и $12$
Расположите по возрастанию: $10; 3, 2; - 8; - 2, 8$
Сравните $15 - 14$ и $14 - 13$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-026 · Сравнение иррациональных чисел

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Числа и вычисления: квадратный корень», 17 ч · урок 6/17 · тип Н
Единицы → слайды	R02.6 «Сравнение иррациональных чисел» → 2, 5–23 · опора R02.1–R02.5 → 3, 4, 7 · теория — сл. 2, 5–7, 9, 11, 13, 14, 16 (14 мин); практика — сл. 3, 4, 8, 10, 12, 15, 17–23 (31 мин, 69 %)
Результаты	ПР-3 (оперировать понятиями … арифметический квадратный корень, оценивать квадратные корни) → 2, 3, 4, 6, 7, 8 · ПР-4 (действительные числа для сравнения, изображать точками на координатной прямой) → 2, 5, 7–23 · ПР-24 (свойства числовых неравенств для сравнения, оценки) → 2, 3, 9–12, 14, 15, 17, 18, 22 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	множество действительных чисел — ALG8U-027; расширения числовых множеств — ALG8U-028; допустимые значения переменных в выражениях с корнями — ALG8U-029
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Сравнениеиррациональныхчисел

Сегодня вы научитесь

Доказывать

Сравнивать точно

Упорядочивать

Выбирать способ

Вычислите или запишите

Между какими целыми числами лежит 20​?

Что больше: 35​ или 6,7?

Задача урока

Если 0≤a<b, то a​<b​

Сравните 23​ и 32​

Внесите множитель под корень и сравните

Образец: 33​ и 27​

Сам

Сравните 7​+3​ и 25​

Сравните квадраты положительных чисел

Образец: 6​+2​ и 15​

Сам

Сравните 17​+5​ и 6

Оцените каждое слагаемое целым числом

Образец: 26​+10​ и 8

Сам

Сравните 11​−10​ и 10​−3

Расположите в порядке возрастания: 3​; −2; 1,7; −5​; 47​

Расположите числа в порядке возрастания

Как сравнить два числа с корнями

Сравните (поставьте <, > или =)

Подсказка

Сравните и найдите

Поместится ли труба длиной 7,05 м на полу?

Какая из точек соответствует числу 67​?

Метод

Найдите ошибку

✗ Квадраты отрицательных

✗ Сложили под корнем

✗ Грубое округление

Сравните без калькулятора

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-026 · Сравнение иррациональных чисел

Сравнение
иррациональных
чисел

Между какими целыми числами лежит $20$ ?

Что больше: $35$ или $6, 7$ ?

Если $0 \leq a < b$ , то $a < b$

Сравните $23$ и $32$

Образец: $33$ и $27$

Сравните $7 + 3$ и $25$

Образец: $6 + 2$ и $15$

Сравните $17 + 5$ и $6$

Образец: $26 + 10$ и $8$

Сравните $11 - 10$ и $10 - 3$

Расположите в порядке возрастания: $3; - 2; 1, 7; - 5; \frac{7}{4}$

Сравните (поставьте $<$ , $>$ или $=$ )

Поместится ли труба длиной $7, 05$ м на полу?

Какая из точек соответствует числу $67$ ?