Квадратный корень · урок 5 из 17

Свойства действий
с иррациональными
числами

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG8U-025

1 мин · теория (орг. момент)
Паспорт: R02 «Числа и вычисления: квадратный корень» (17 ч), урок 5/17, единица R02.5 «Свойства действий с иррациональными числами». Тип — Н (новый материал). Перед уроком: ALG8U-024 «Действия с иррациональными числами» (Q + I = I, теоремы от противного). После: ALG8U-026 «Сравнение иррациональных чисел».
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Хронометраж: орг. момент и цели 2 мин (сл. 1–2) · разминка и актуализация 4 (сл. 3–4) · проблема 2 (сл. 5) · законы и «образец → сам» 5 (сл. 6–8: теория 3, практика 2) · числа $a + b 2$ и «образец → сам» 5 (сл. 9–10: теория 2, практика 3) · деление и «образец → сам» 5 (сл. 11–12: теория 2, практика 3) · теорема, двойной радикал и «сам» 6 (сл. 13–15: теория 3, практика 3) · самопроверка база и повышенный 6 (сл. 16–17) · золотой прямоугольник 2 (сл. 18) · ОГЭ 2 (сл. 19) · найди ошибку 1 (сл. 20) · самостоятельная работа 4 (сл. 21) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 22). Теоретические слайды — без сокращений.
Если не успеваете: звёздочку сл. 17 и второе равенство сл. 18 перенести в ДЗ.
Рисунок на титуле — модель площади к сл. 7: произведение $(a + b 2) (c + d 2)$ раскладывается на четыре прямоугольника.

R02.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Применять законы

переместительный, сочетательный, распределительный — к любым действительным числам (ПР-3)

Считать с $a + b 2$

складывать, умножать, делить, ответ — снова вида $a + b 2$ (ПР-3)

Избавляться от корня

в знаменателе дроби с помощью сопряжённого выражения (ПР-3)

Доказывать

теорему о равенстве $a + b 2 = c + d 2$ и применять её (ПР-3, ПР-4)

1 мин · теория
ПР-3 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: квадратный корень, арифметический квадратный корень, иррациональное число… выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни, используя свойства корней».
ПР-4: «Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений…» — сегодня: законы действий верны для всех действительных чисел.
Вид деятельности ФРП по строке: «Выполнять операции с иррациональными числами», «Доказывать свойства… применять их для преобразования выражений».

разминка: R02.2–R02.4

Разминка · устно

Вспомним свойства корня

вычислите

3 \cdot 3

3

вычислите

(25)^{2}

20

вычислите

2 \cdot 8

4

вычислите

\frac{20}{5}

2

вынесите множитель

18

32

вынесите множитель

12

23

продолжите

(a - b) (a + b)

a^{2} - b^{2}

продолжите

(a + b)^{2}

a^{2} + 2 ab + b^{2}

повторение: R02.2, R02.4

Вспомним · считаем удобно

Устно: как сосчитать быстрее?

Слева: 370, 17, 2,9

Справа:

1003

,

7

,

2, 9

Почему так можно?

R02.5 · опора R02.4

Проблема

Что значит $2 + 3$ , если дроби бесконечны?

Вопрос

верно ли $2 + 3 = 3 + 2$ ?

Для границ закон верен — значит, верен и для самих чисел.

2 мин · теория
Сумму (и произведение) иррациональных чисел определяют через приближения: складываем нижние границы и верхние границы — получаем всё более узкие отрезки, в которых лежит сумма.
Границы рациональные, для них переместительный закон верен: $1, 41 + 1, 73 = 1, 73 + 1, 41$ . Отрезки для $2 + 3$ и $3 + 2$ совпадают ⇒ числа равны.
Строгое построение действительных чисел — в вузе; в школе свойства действий для действительных чисел принимают (ФРП: «Использовать начальные представления о множестве действительных чисел»). Не углубляться дольше 2 минут.

R02.5

Новое · законы для всех действительных чисел

Свойства действий сохраняются

закон	для любых $a, b, c$	пример
переместительный	$a + b = b + a$ , $ab = ba$	$3 \cdot 5 = 53$
сочетательный	$(ab) c = a (b c)$	$(23) 3 = 2 \cdot 3$
распределительный	$a (b + c) = ab + a c$	$32 + 52 = 82$
противоположное	$a + (- a) = 0$	$5 - 5 = 0$
обратное, $a \neq = 0$	$a \cdot \frac{1}{a} = 1$	$2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

С корнем можно действовать как с буквой: приводить подобные, раскрывать скобки, применять формулы.

R02.5

Новое · законы в вычислениях

Каждый шаг — по закону

23 \cdot 53

= (2 \cdot 5) (3 \cdot 3)

перемест., сочет.

= 10 \cdot 3 = 30

определение корня

2 (3 + 1) = 6 + 2

распредел.

R02.5

Образец → сам · законы действий

Вычислите по образцу, называя законы

Образец

(3 + 2) 3

= 3 \cdot 3 + 23

распределительный, переместительный

= 3 + 23

Сам

Вычислите:

1)

47 \cdot 37

84

2)

5 (5 - 2)

5 - 25

3)

53 - 3 + 23

63

4)

2 (8 + 3)

4 + 6

R02.5

Новое · числа с корнем из двух и рациональными коэффициентами

Сумма и произведение — снова такого же вида

(a + b 2) + (c + d 2) = (a + c) + (b + d) 2

(a + b 2) (c + d 2) = (a c + 2 b d) + (a d + b c) 2

(1 + 2) (3 - 2) = 1 + 22

R02.5

Образец → сам · числа с корнем из двух

Запишите результат в виде $a + b 2$

Образец

(2 + 2) (3 + 22)

= 6 + 42 + 32 + 4

= 10 + 72

Сам

1)

(1 + 2) + (4 - 32)

5 - 22

2)

(3 - 2) (1 + 2)

1 + 22

3)

(2 + 32) (2 - 32)

- 14

4)

(3 - 2)^{2}

11 - 62

R02.5

Новое · деление

Избавляемся от корня в знаменателе

\frac{1}{3 + 2 2} = \frac{3 - 2 2}{( 3 + 2 2 ) ( 3 - 2 2 )}

= \frac{3 - 2 2}{9 - 8} = 3 - 22

\frac{6}{3} = \frac{6 3}{3} = 23

R02.5

Образец → сам · корень в знаменателе

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе

Образец

\frac{1}{5 - 2} = \frac{5 + 2}{( 5 - 2 ) ( 5 + 2 )}

= \frac{5 + 2}{5 - 4}

= 5 + 2

Сам

1)

\frac{10}{5}

25

2)

\frac{3}{6}

\frac{6}{2}

3)

\frac{1}{2 - 1}

2 + 1

4)

\frac{4}{3 - 5}

3 + 5

R02.5 · доказательство

Углубление · теорема

$a + b 2 = c + d 2$ , $a, b, c, d \in Q$ $\Rightarrow$ $a = c$ , $b = d$

(b - d) 2 = c - a

Пусть

b \neq = d

:

2 = \frac{c - a}{b - d}

справа рациональное — противоречие

b = d

\Rightarrow

c - a = 0

\Rightarrow

a = c

R02.5 · применение теоремы

Углубление · метод коэффициентов

Упростим $3 + 22$

Ищем

x + y 2

,

x, y \in Q

(x + y 2)^{2} = (x^{2} + 2 y^{2}) + 2 x y 2

x^{2} + 2 y^{2} = 3

,

2 x y = 2

по теореме

x = y = 1

:

3 + 22 = 1 + 2

R02.5 · применение теоремы

Сам · теорема о равенстве

Найдите рациональные $x$ , $y$ · упростите

$x, y \in Q$ :

1)

(x - 1) + (y + 2) 2 = 0

x = 1, y = - 2

2)

2 x + (x - y) 2 = 6 + 2

x = 3, y = 2

3)

x + y 2 = (1 - 2)^{2}

x = 3, y = - 2

упростите:

4)

4 + 23

1 + 3

5)

11 - 62

3 - 2

R02.5

Задания с самопроверкой · база

Вычислите, называя законы

Ответ — в виде $a + b k$ или число

база 1)

35 \cdot 25

30

база 2)

(4 - 3) + (3 + 6)

10

база 3)

72 - 22 + 2

62

база 4)

(2 + 3) (1 - 3)

- 1 - 3

база 5)

3 (12 - 3)

3

база 6)

(5 - 1)^{2}

6 - 25

R02.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Преобразуйте и найдите

повыш.Избавьтесь от корня в знаменателе: $\frac{2}{5 - 3}$
$5 + 3$
повыш.Найдите рациональные $x, y$ : $x + y 3 = (2 - 3)^{2}$
$x = 7, y = - 4$
повыш.Упростите $7 - 43$ $2 - 3$

Вычислите (задача со звёздочкой)

$\frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{2 + 3} + \frac{1}{3 + 2}$

$= 1$

R02.5 · практика

Закрепление · практическая задача

Золотой прямоугольник: $φ = \frac{1 + 5}{2} \approx 1, 618$

Докажите:

φ^{2} = φ + 1

\frac{1}{φ - 1} = φ

Банковская карта:

85, 6 : 54 \approx 1, 59

R02.5 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8

Найдите значение выражения

(13 - 5) (13 + 5)

$= 13 - 5 = 8$

Метод

разность квадратов — она верна для любых чисел:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

R02.5

Типичные ошибки

Найдите ошибку

✗ «Разделили» дробь

\frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{2} + 1

?

Распределительного закона для знаменателя нет.

✗ Потеряли $2 ab$

(3 + 2)^{2} = 5

?

Верно: $5 + 26$ .

✗ Отрицательный корень

7 - 43 = 3 - 2

?

$3 - 2 < 0$ , а корень $\geq 0$ .

Законы действий верны для всех чисел — а «правил», которых нет, нет и для корней.

R02.5

Самостоятельная работа

Два варианта · в № 4 найдите рациональные $x$ , $y$

Вариант 1

1)

23 \cdot 43

24

2)

(3 + 2) (1 - 2)

1 - 22

3)

\frac{2}{3 - 1}

3 + 1

4)

x + y 2 = (2 + 2)^{2}

x = 6, y = 4

Вариант 2

1)

32 \cdot 52

30

2)

(2 - 3) (1 + 3)

- 1 + 3

3)

\frac{4}{5 + 1}

5 - 1

4)

x + y 3 = (1 - 3)^{2}

x = 4, y = - 2

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему законы действий верны для $2$ ?
Чем умножить, чтобы убрать корень из знаменателя?
Когда из $a + b 2 = c + d 2$ следует $a = c$ ?

Домашнее задание

Вычислите $(3 - 2) (4 + 2)$
Избавьтесь от корня: $\frac{1}{6 - 5}$
Упростите $6 + 25$ ; найдите рациональные $a, b$ : $\frac{1 + 5}{3 - 5} = a + b 5$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-025 · Свойства действий с иррациональными числами

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Числа и вычисления: квадратный корень», 17 ч · урок 5/17 · тип Н
Единицы → слайды	R02.5 «Свойства действий с иррациональными числами» → 2, 5–22 · опора R02.2–R02.4 → 3, 4, 5
Результаты	ПР-3 (оперировать понятиями … иррациональное число, выполнять преобразования выражений с корнями, используя свойства корней) → 2, 3, 4, 6–17, 19–22 · ПР-4 (начальные представления о множестве действительных чисел для вычислений) → 5, 6, 18 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	сравнение иррациональных чисел — ALG8U-026; множество действительных чисел — ALG8U-027; расширения числовых множеств — ALG8U-028; тождественные преобразования выражений с корнями (R02.10) — позже в строке
Хронометраж	теория 14 мин (сл. 1, 2, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 14) · практика 31 мин (69 %) — сл. 3, 4, 8, 10, 12, 15–22
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Свойства действийс иррациональнымичислами

Сегодня вы научитесь

Применять законы

Считать с a+b2​

Избавляться от корня

Доказывать

Вспомним свойства корня

Устно: как сосчитать быстрее?

Что значит 2​+3​, если дроби бесконечны?

Вопрос

Свойства действий сохраняются

Каждый шаг — по закону

Вычислите по образцу, называя законы

Образец

Сам

Сумма и произведение — снова такого же вида

Запишите результат в виде a+b2​

Образец

Сам

Избавляемся от корня в знаменателе

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе

Образец

Сам

a+b2​=c+d2​, a,b,c,d∈Q ⇒ a=c, b=d

Упростим 3+22​​

Найдите рациональные x, y · упростите

Вычислите, называя законы

Преобразуйте и найдите

Вычислите (задача со звёздочкой)

Золотой прямоугольник: φ=21+5​​≈1,618

Найдите значение выражения

Метод

Найдите ошибку

✗ «Разделили» дробь

✗ Потеряли 2ab

✗ Отрицательный корень

Два варианта · в № 4 найдите рациональные x, y

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-025 · Свойства действий с иррациональными числами

Свойства действий
с иррациональными
числами

Считать с $a + b 2$

Что значит $2 + 3$ , если дроби бесконечны?

Запишите результат в виде $a + b 2$

$a + b 2 = c + d 2$ , $a, b, c, d \in Q$ $\Rightarrow$ $a = c$ , $b = d$

Упростим $3 + 22$

Найдите рациональные $x$ , $y$ · упростите

Золотой прямоугольник: $φ = \frac{1 + 5}{2} \approx 1, 618$

✗ Потеряли $2 ab$

Два варианта · в № 4 найдите рациональные $x$ , $y$