Квадратный корень · урок 4 из 17

Действия
с иррациональными
числами

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG8U-024

Паспорт: R02 «Числа и вычисления: квадратный корень» (17 ч), урок 4/17, единица R02.4 «Действия с иррациональными числами». Тип — Н (новый материал). Перед уроком: ALG8U-023 «Понятие иррационального числа» (доказательство иррациональности √2). После: ALG8U-025 «Свойства действий с иррациональными числами».
0,5 мин · теория
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин. Теория — сл. 1, 2, 6, 8, 10, 11, 13, 15 (все теоретические слайды сохранены полностью: теоремы 1–2 с доказательствами, таблица-итог, доказательство для $2 + 3$ , точные и приближённые вычисления). Практика — разминка (3), «вспомним» (4), проблема-исследование (5), «образец → сам» после каждого нового правила (7, 9, 12, 14, 16), задания с самопроверкой (17, 18), задача из жизни (19), формат ОГЭ (20), найдите ошибку (21), самостоятельная работа (22), рефлексия (23).
Рисунок на титуле — к сл. 15: квадраты площадью 2 и 3 стоят рядом; длина их общего основания $2 + 3$ .

R02.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Определять результат

рационален ли результат суммы, разности, произведения (ПР-3)

Доказывать от противного

иррациональность чисел вида $r + α$ , $r α$ , $2 + 3$ (ПР-3)

Вычислять точно

с выражениями вида $a + b 2$ (ПР-3)

Вычислять приближённо

оценивать сумму и произведение с заданной точностью (ПР-4)

0,5 мин · теория
ПР-3 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: квадратный корень, арифметический квадратный корень, иррациональное число, находить, оценивать квадратные корни… выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни, используя свойства корней».
ПР-4: «Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений…» — сегодня часть «округления и вычислений».
Вид деятельности ФРП по строке: «Выполнять операции с иррациональными числами».

повторение: R02.1–R02.3

Разминка · устно

Корни, квадраты, дроби — в темпе

$81$ ; $0, 16$ $9; 0, 4$
$\frac{2}{3} - \frac{1}{4}$ $\frac{5}{12}$
$(5)^{2}$ ; $(23)^{2}$ $5; 12$
$2 \cdot 18$ $6$

Раскройте $(x + 3)^{2}$ $x^{2} + 6 x + 9$
$1, 7^{2}$ ; $1, 8^{2}$ $2, 89; 3, 24$
Между какими десятыми $3$ ? $1, 7$ и $1, 8$
Рационально ли число $0$ ? да: $\frac{0}{1}$

повторение: R02.1–R02.3

Вспомним · два вида чисел

Рациональное или иррациональное?

Устно: куда?

Разложите шесть чисел по двум группам.

А это?

2, 25

1,5 мин · практика
Ответы: $0, (3) = \frac{1}{3}$ , $49 = 7$ , $- 1, 5 = - \frac{3}{2}$ — рациональные; $10$ , $π$ , $2$ — иррациональные. Карточки появляются по щелчку после ответов класса.
3) $2, 25 = 1, 5$ — рациональное. Ловушка: «под корнем — значит иррационально». Иррационален $n$ при натуральном n, только если n не точный квадрат.
Вопрос: как доказали, что $2$ иррационально? (От противного: $2 = \frac{m}{n}$ — несократимая дробь ⇒ $m^{2} = 2 n^{2}$ ⇒ m и n чётные — противоречие.) Этот метод сегодня главный.

R02.4 · исследование

Проблема

Сумма двух иррациональных чисел — иррациональна?

$α$	$β$	$α + β$	итог
$2$	$2$	$22$	?
$2$	$- 2$	$0$	рац.
$1 + 2$	$3 - 2$	$4$	рац.
$2$	$3$	$2 + 3$	?

Вывод: сумма иррациональных может быть любой. Нужны теоремы для точных случаев.

Гипотеза

рациональное + иррациональное = иррациональное

R02.4

Новое · теорема 1

$r$ — рациональное, $α$ — иррациональное $\Rightarrow$ $r + α$ иррационально

3 + 2

7 - 5

0, 1 + π

все иррациональны

R02.4

Образец → сам · теорема 1

Рационально или иррационально?

Образец: $5 - 4$

$- 4$ — рациональное

$5$ — иррациональное: 5 — не квадрат

$5 + (- 4)$ — иррационально (теорема 1)

сначала упростить → Q + I → теорема 1

Сами: обоснуйте

$7 + 11$ I, теорема 1
$9 + 2$ $5$ — Q
$\frac{1}{2} - 3$ I, теорема 1
$6, 25 - 0, 5$ $2$ — Q

1,5 мин · практика
Образец учитель открывает по шагам (20 с), затем ученики решают 4 задания в тетради; ответы — кликом.
Ответы: 1) 7 рационально, $11$ иррационально (11 не квадрат) ⇒ сумма иррациональна. 2) $9 = 3$ , $3 + 2 = 5$ — рационально. 3) $\frac{1}{2} + (- 3)$ : $- 3$ иррационально ⇒ иррационально (следствие теоремы 1). 4) $6, 25 = 2, 5$ , $2, 5 - 0, 5 = 2$ — рационально.
Ловушки — задания 2 и 4: «есть корень — значит иррационально». Сначала извлекаем корень, если он извлекается.

R02.4

Новое · теорема 2

$r \neq = 0$ — рациональное, $α$ — иррациональное $\Rightarrow$ $r α$ иррационально

Пусть

r α = q

— рациональное

α = \frac{q}{r}

делим:

r \neq = 0

\frac{q}{r}

— рациональное

противоречие

\Rightarrow

r α \in / Q

R02.4

Образец → сам · теорема 2

Произведение и частное: Q и I

Образец: $\frac{2 3}{5}$

$\frac{2 3}{5} = \frac{2}{5} \cdot 3$

$r = \frac{2}{5} \neq = 0$ , $3$ — иррациональное

$\Rightarrow$ иррационально (теорема 2)

проверить: множитель $r \neq = 0$

Сами: обоснуйте

$- 32$ I, теорема 2
$\frac{7}{2}$ I, теорема 2
$0 \cdot 5$ $0$ — Q
$\frac{4}{2}$ I, следствие

R02.4

Схема-итог

Что получится? Q — рациональное, I — иррациональное

	Q и Q	Q и I	I и I
сумма, разность	Q	Iтеорема 1	любое $2 - 2 = 0$
произведение	Q	I при $r \neq = 0$ теорема 2	любое $2 \cdot 2 = 2$
частное	Q	I при $r \neq = 0$ следствие	любое $\frac{8}{2} = 2$

Если в клетке «любое» — решаем по-другому: вычисляем или доказываем от противного.

R02.4 · доказательство

Углубление · клетка «любое»

Докажем: $2 + 3$ иррационально

Пусть

2 + 3 = r

,

r

— рациональное

3 = r - 2

возведём в квадрат

3 = r^{2} - 2 r 2 + 2

2 = \frac{r ^{2} - 1}{2 r}

r > 0

справа — рациональное: противоречие

R02.4 · доказательство

Образец → сам · от противного

Докажите иррациональность

Образец: $6 - 2$

Пусть $6 - 2 = r > 0$ , $r$ — рац.

$6 = r + 2$ $\Rightarrow$ $6 = r^{2} + 2 r 2 + 2$

$2 = \frac{4 - r ^{2}}{2 r}$ — рационально?!

противоречие $\Rightarrow$ число иррационально

Сами

база $3 + 7$
$3 = \frac{r ^{2} - 4}{2 r}$
повыш. $1 + 2 + 3$
$r - 1 = 2 + 3$
база $2 + 8$
$= 32$ , теорема 2

2 мин · практика
Образец: $r = 6 - 2 > 0$ , так как $6 > 2$ . Из $6 = r^{2} + 2 r 2 + 2$ получаем $2 r 2 = 4 - r^{2}$ , $2 = \frac{4 - r ^{2}}{2 r}$ — рационально, противоречие.
1) Пусть $3 + 7 = r$ ; $7 = r - 3$ ; $7 = r^{2} - 2 r 3 + 3$ ; $3 = \frac{r ^{2} - 4}{2 r}$ — рационально, противоречие ( $3$ иррационально).
2) Пусть $1 + 2 + 3 = r$ ; тогда $2 + 3 = r - 1$ — рационально, а на сл. 11 доказано, что это число иррационально. Противоречие. (Короче: Q + I по теореме 1.)
3) Возводить в квадрат не нужно: $8 = 22$ , сумма $32$ — иррациональна по теореме 2. Сначала упростить!

R02.4

Новое · точные вычисления

Действуем с корнем как с буквой

32 + 52 = 82

(1 + 2)^{2} = 1 + 22 + 2 = 3 + 22

(3 + 1) (3 - 1) = 3 - 1 = 2

Ответ — в виде

a + b 2

,

a, b

рациональные

2 мин · теория
Первая строка — распределительный закон: $32 + 52 = (3 + 5) 2$ , как $3 x + 5 x = 8 x$ . Подробно свойства действий — на уроке ALG8U-025.
Рисунок: квадрат со стороной $1 + 2$ = единичный квадрат + квадрат площадью 2 + два прямоугольника площадью $2$ . Это формула квадрата суммы из 7 класса.
Третья строка: разность квадратов даёт рациональное число — так произведение двух иррациональных чисел оказалось рациональным. Типичная ошибка: $(1 + 2)^{2} = 1 + 2 = 3$ (забыли удвоенное произведение).

R02.4

Образец → сам · точные вычисления

Запишите в виде $a + b k$

Образец: $(2 - 3)^{2}$

$= 2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 + (3)^{2}$

$= 4 - 43 + 3$

$= 7 - 43$

формула → корни в квадрат → подобные

Сами: вычислите

$53 - 23 + 3$ $43$
$(3 + 2)^{2}$ $11 + 62$
$(7 - 2) (7 + 2)$ $3$
$(1 + 2) (3 - 2)$ $1 + 22$

R02.4 · опора R02.1

Новое · приближённые вычисления

Оценим $2 + 3$ с точностью до $0, 01$

1, 41 < 2 < 1, 42

1, 73 < 3 < 1, 74

3, 14 < 2 + 3 < 3, 16

2, 43 < 2 \cdot 3 < 2, 48

R02.4 · опора R02.1

Образец → сам · приближённые вычисления

Оцените с точностью до $0, 01$

Образец: $3 - 2$

меньше: $1, 73 - 1, 42 = 0, 31$

больше: $1, 74 - 1, 41 = 0, 33$

$0, 31 < 3 - 2 < 0, 33$ , $\approx 0, 32$

при вычитании: из меньшей вычесть бо́льшую

$2$ : 1,41…1,42 · $3$ : 1,73…1,74 · $5$ : 2,23…2,24

$2 + 5$ $3, 64 \dots 3, 66$ ; $\approx 3, 65$
$23$ $3, 46 \dots 3, 48$ ; $\approx 3, 47$
$5 - 2$ $0, 81 \dots 0, 83$ ; $\approx 0, 82$
повыш. $2 \cdot 5$ $3, 14 \dots 3, 19$

2 мин · практика
Образец: чтобы разность была наименьшей, из нижней границы $3$ вычитаем верхнюю границу $2$ ; наибольшей — наоборот. Калькулятор: $3 - 2 = 0, 3178 \dots$ — внутри интервала.
Ответы: 1) $1, 41 + 2, 23 = 3, 64$ , $1, 42 + 2, 24 = 3, 66$ ⇒ ≈ 3,65 (калькулятор 3,6503…). 2) $2 \cdot 1, 73 = 3, 46$ , $2 \cdot 1, 74 = 3, 48$ ⇒ ≈ 3,47 (3,4641…). 3) $2, 23 - 1, 42 = 0, 81$ , $2, 24 - 1, 41 = 0, 83$ ⇒ ≈ 0,82 (0,8219…).
4) $1, 41 \cdot 2, 23 = 3, 1443$ , $1, 42 \cdot 2, 24 = 3, 1808$ ⇒ $3, 14 < 10 < 3, 19$ (3,1623…). Интервал шире 0,02 — точности до 0,01 нет: при умножении погрешности растут, нужны более точные границы корней. Это вывод для сильных учеников.

R02.4

Задания с самопроверкой · база

Рационально или иррационально? Обоснуйте

$5 + 3$ иррац.
$- 27$ иррац.
$(7 + 3) - 7$ $3$ , рац.

$2 \cdot 8$ $4$ , рац.
$\frac{3}{4}$ иррац.
$(2 - 3) (2 + 3)$ $1$ , рац.

Подсказка

Q и I — по теореме;
I и I — вычислите

R02.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Докажите и найдите

повыш.Докажите, что $3 - 2$ иррационально. схема сл. 11
повыш.Приведите иррациональные $α$ и $β$ , у которых и $α + β$ , и $α β$ рациональны. $1 \pm 2$
базаВычислите $(3 + 22) (3 - 22)$ . $1$

К заданию 1: схема сл. 11

К заданию 2: разность квадратов

R02.4 · практика

Задача из жизни

Хватит ли плинтуса длиной $6, 7$ м?

Две квадратные комнаты площадью 5 и 20 м² стоят рядом.

5 + 20 = 35

35 = 45

и

6, 7^{2} = 44, 89

R02.4 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8

Какое из данных чисел является рациональным?

1)	$2 + 8$
2)	$3 \cdot 27$
3)	$(5 + 1)^{2}$
4)	$6 : 2$

Метод

упростите каждое и сверьтесь с таблицей:

a \cdot b = ab

Ответ: 2

R02.4

Найдите ошибку · типичные ошибки

Найдите ошибку

✗ Сложили под корнем

2 + 3 = 5

?

$3, 14 \dots \neq = 2, 23 \dots$

✗ «I + I = I»

(1 + 2) + (1 - 2) = 2

Один контрпример опровергает.

✗ Забыли $r \neq = 0$

0 \cdot 3 = 0

Теорема 2 — только для $r \neq = 0$ .

Сначала упростить, потом решать: теорема или вычисление.

R02.4

Самостоятельная работа · 5 минут

По вариантам

Вариант 1

Рационально ли $4 - 6$ ? нет
Рационально ли $3 \cdot 75$ ? да: $15$
Вычислите $(2 + 5)^{2}$ . $9 + 45$
Оцените $3 + 5$ до $0, 01$ . $\approx 3, 97$

Вариант 2

Рационально ли $\frac{11}{3}$ ? нет
Рационально ли $2 \cdot 50$ ? да: $10$
Вычислите $(3 - 2)^{2}$ . $11 - 62$
Оцените $5 - 3$ до $0, 01$ . $\approx 0, 50$

5 мин · практика (4 мин работа, 1 мин — взаимопроверка соседа по ответам, открытым кликом)
Границы корней — на сл. 16 ( $2$ , $3$ , $5$ с точностью до 0,01).
Вариант 1: 1) Q + I — иррационально (теорема 1; 6 не квадрат). 2) $225 = 15$ — рационально. 3) $4 + 45 + 5 = 9 + 45$ . 4) $1, 73 + 2, 23 = 3, 96$ , $1, 74 + 2, 24 = 3, 98$ ⇒ ≈ 3,97 (калькулятор 3,9681…).
Вариант 2: 1) $\frac{1}{3} \cdot 11$ , $r \neq = 0$ — иррационально (теорема 2). 2) $100 = 10$ — рационально. 3) $9 - 62 + 2 = 11 - 62$ . 4) $2, 23 - 1, 74 = 0, 49$ , $2, 24 - 1, 73 = 0, 51$ ⇒ ≈ 0,50 (калькулятор 0,5040…).
Критерий: «5» — 4 верных, «4» — 3, «3» — 2. Ловушка в задании 2 обоих вариантов: произведение двух иррациональных оказалось целым.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда сумма точно иррациональна?
Зачем в теореме 2 условие $r \neq = 0$ ?
Как доказать иррациональность «от противного»?

Домашнее задание

Рационально ли: $(5 - 2) (5 + 2)$ , $12 - 3$ ?
Докажите: $1 + 5$ и $5 + 2$ иррациональны
Оцените $5 + 7$ с точностью до 0,01
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-024 · Действия с иррациональными числами

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Числа и вычисления: квадратный корень», 17 ч · урок 4/17 · тип Н · теория 13,5 мин / практика 31,5 мин (70 %)
Единицы → слайды	R02.4 «Действия с иррациональными числами» → 2, 5–23 · опора R02.1–R02.3 → 3, 4, 15, 16
Результаты	ПР-3 (оперировать понятиями … иррациональное число, выполнять преобразования выражений с корнями) → 2, 3–14, 17, 18, 20–23 · ПР-4 (действительные числа для округления и вычислений) → 3, 15, 16, 19, 22, 23 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	свойства действий (переместительный, распределительный законы) — ALG8U-025; сравнение иррациональных чисел — ALG8U-026; множество действительных чисел — ALG8U-027
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Действияс иррациональнымичислами

Сегодня вы научитесь

Определять результат

Доказывать от противного

Вычислять точно

Вычислять приближённо

Корни, квадраты, дроби — в темпе

Рациональное или иррациональное?

Устно: куда?

А это?

Сумма двух иррациональных чисел — иррациональна?

Гипотеза

r — рациональное, α — иррациональное ⇒ r+α иррационально

Рационально или иррационально?

Образец: 5​−4

Сами: обоснуйте

r=0 — рациональное, α — иррациональное ⇒ rα иррационально

Произведение и частное: Q и I

Образец: 523​​

Сами: обоснуйте

Что получится? Q — рациональное, I — иррациональное

Докажем: 2​+3​ иррационально

Докажите иррациональность

Образец: 6​−2​

Сами

Действуем с корнем как с буквой

Запишите в виде a+bk​

Образец: (2−3​)2

Сами: вычислите

Оценим 2​+3​ с точностью до 0,01

Оцените с точностью до 0,01

Образец: 3​−2​

Рационально или иррационально? Обоснуйте

Подсказка

Докажите и найдите

Хватит ли плинтуса длиной 6,7 м?

Какое из данных чисел является рациональным?

Метод

Найдите ошибку

✗ Сложили под корнем

✗ «I + I = I»

✗ Забыли r=0

По вариантам

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-024 · Действия с иррациональными числами

Действия
с иррациональными
числами

$r$ — рациональное, $α$ — иррациональное $\Rightarrow$ $r + α$ иррационально

Образец: $5 - 4$

$r \neq = 0$ — рациональное, $α$ — иррациональное $\Rightarrow$ $r α$ иррационально

Образец: $\frac{2 3}{5}$

Докажем: $2 + 3$ иррационально

Образец: $6 - 2$

Запишите в виде $a + b k$

Образец: $(2 - 3)^{2}$

Оценим $2 + 3$ с точностью до $0, 01$

Оцените с точностью до $0, 01$

Образец: $3 - 2$

Хватит ли плинтуса длиной $6, 7$ м?

✗ Забыли $r \neq = 0$