Квадратный корень · урок 3 из 17 · новый материал

Понятие
иррационального
числа

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG8U-023

Паспорт: R02 «Числа и вычисления: квадратный корень» (17 ч), урок 3/17, единица R02.3 «Понятие иррационального числа». Тип урока — Н (новый материал). До этого: ALG8U-021 «Квадратные корни», ALG8U-022 «Арифметический квадратный корень и его свойства».
1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Всего 45 мин.
Теория (14): титул 1 · цели 1 (сл. 2) · остатки 1 (сл. 4) · проблема 1 (сл. 5) · доказательство 3 (сл. 6) · приближения 1 (сл. 7) · определение 1 (сл. 9) · периодическая → обыкновенная 1 (сл. 11) · на прямой 1 (сл. 13) · множества 1 (сл. 15) · углубление 1 (сл. 16) · итог и ДЗ 1 (сл. 24).
Практика (31): разминка 3 (сл. 3) · оценка корней 3 (сл. 8) · вид дроби 2 (сл. 10) · по образцу 3 (сл. 12) · построение 2 (сл. 14) · классификация 2 (сл. 17) · докажите 4 (сл. 18) · самопроверка 3 (сл. 19) · ошибки 1 (сл. 20) · ОГЭ 2 (сл. 21) · задача из жизни 2 (сл. 22) · самостоятельная 4 (сл. 23).
Если не успеваете: сл. 16 (углубление) перенести в ДЗ для сильных, задание 4 на сл. 18 — дома, сл. 22 — в ДЗ.
Рисунок на титуле — к сл. 5: «повёрнутый» квадрат внутри квадрата 2 × 2 имеет площадь 2, его сторона $2$ .

R02.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать иррациональность

чисел $2$ , $3$ , $5$ методом от противного (ПР-1, ПР-3)

Различать десятичные дроби

конечные, периодические, непериодические (ПР-1, ПР-2)

Оценивать корни

десятичными приближениями с недостатком и избытком (ПР-3)

Отмечать на прямой

точки $2$ и $5$ — построением (ПР-4)

1 мин · теория
Результаты ФРП (8 класс, углублённый): ПР-1 «Иррациональные числа» (раздел); ПР-2 «Понимать и использовать представления о расширении числовых множеств»; ПР-3 «Оперировать понятиями: квадратный корень, арифметический квадратный корень, иррациональное число, находить, оценивать квадратные корни…»; ПР-4 «…изображать действительные числа точками на координатной прямой».
Виды деятельности ФРП по строке: «Оценивать квадратные корни целыми числами и десятичными дробями», «Сравнивать и упорядочивать рациональные и иррациональные числа», «Знакомиться с историей развития математики».

разминка · R02.1, R02.2

Разминка · устно

Вычислите, сократите, оцените

81

9

0, 25

0, 5

1, 4^{2}

1, 96

1, 5^{2}

2, 25

1 7^{2}

289

\frac{12}{18}

— сократите

\frac{2}{3}

□ < 7 < □

2

и

3

p

нечётно,

p^{2}

— ?

нечётно

повторение: 6–7 кл., R02.1

Вспомним · рациональные числа

Рациональное число — это $\frac{m}{n}$ , $m \in Z, n \in N$

Устно: в десятичную дробь

$\frac{1}{8}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{5}{11}$
$\frac{7}{12}$

1 мин · теория (устные ответы — быстро, главное — вывод про остатки)
Ответы: 1) 0,125; 2) 0,666… = 0,(6); 3) 0,4545… = 0,(45); 4) 0,58333… = 0,58(3).
Главная мысль слайда: при делении m на n остатков меньше n, поэтому не позже чем через n шагов какой-то остаток повторится — дальше цифры пойдут по кругу. Значит, любое рациональное число — конечная или бесконечная периодическая десятичная дробь.
Вопрос классу: какая самая длинная может быть длина периода у дроби со знаменателем 7? (Не больше 6: 1/7 = 0,(142857).)

R02.3

Проблема · квадрат площади 2

Какова сторона квадрата площади 2?

S = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2

d^{2} = 2 \Rightarrow d = 2

1^{2} = 1 < 2 < 4 = 2^{2}

Можно ли записать

2

дробью

\frac{m}{n}

?

1 мин · теория
Квадрат 2 × 2 разбит на 4 клетки; диагонали клеток образуют «повёрнутый» квадрат. Каждая клетка разрезана диагональю пополам, внутрь попадает ровно половина — площадь 4 · ½ = 2. Сторона d — диагональ единичного квадрата.
Вопрос классу: d — целое число? (Нет: 1 < d < 2.) А может быть, d — обыкновенная дробь, например 7/5? (7/5 = 1,4; 1,4² = 1,96 ≠ 2.) Пусть дети предложат свои дроби: 17/12 → 289/144 ≈ 2,007 — близко, но не 2.
История (вид деятельности ФРП): по преданию, открытие несоизмеримости стороны и диагонали квадрата сделано в школе Пифагора (V в. до н. э.).

R02.3

Теорема · доказательство от противного

Число $2$ не является рациональным

Пусть

2 = \frac{p}{q}

— несократимая дробь

p^{2} = 2 q^{2} \Rightarrow p^{2}

чётно

\Rightarrow p

чётно

p = 2 k : 4 k^{2} = 2 q^{2} \Rightarrow q^{2} = 2 k^{2}

q

чётно

\Rightarrow

дробь сократима на 2

Противоречие ⇒

2 \in / Q

3 мин · теория
Доказательство обязательно записать в тетрадь целиком — это опорный приём урока и ДЗ.
Тонкое место: « $p^{2}$ чётно ⇒ p чётно» — доказывается от противного (справа): квадрат нечётного числа нечётен. Вопрос классу: почему можно сразу считать дробь несократимой? (Любую дробь можно сократить до несократимой.)
Типичная ошибка: «p чётно, значит q нечётно, а мы получили чётное» — рассуждение верное, но надо явно сослаться на несократимость.

R02.3 · опора R02.2

Оценка · приближения с недостатком и избытком

Ищем цифры $2$ — отрезок сужается

$x$	$x^{2}$
$1, 4$	$1, 96 < 2$
$1, 5$	$2, 25 > 2$
$1, 41$	$1, 9881$
$1, 42$	$2, 0164$
$1, 414$	$1, 999396$

1 мин · теория (учитель показывает образец оценки)
Можно с калькулятором (вид деятельности ФРП). Итог: $1, 414 < 2 < 1, 415$ (1,415² = 2,002225). 1,414 — приближение с недостатком, 1,415 — с избытком.
Каждый шаг даёт новую цифру; процесс не закончится (иначе $2$ была бы конечной дробью) и цифры не станут периодическими (иначе $2$ было бы рациональным — сл. 4). Это и подводит к определению.
Вопрос: почему достаточно сравнивать квадраты? (Для неотрицательных a, b: a < b ⇔ a² < b² — урок ALG8U-022.)

R02.3 · опора R02.2

Образец → сам · оценка корней

Оцените корень, как мы оценили $2$

Образец

1, 4^{2} = 1, 96 < 2

1, 5^{2} = 2, 25 > 2

1, 4 < 2 < 1, 5

база $10$ — между соседними целыми $3 < 10 < 4$
база $3$ с точностью до $0, 1$ $1, 7 < 3 < 1, 8$
база $7$ с точностью до $0, 1$ $2, 6 < 7 < 2, 7$
повыш. $5$ с точностью до $0, 01$ $2, 23 < 5 < 2, 24$

R02.3

Определение

Иррациональное число — бесконечная непериодическая десятичная дробь

R02.3 · ПР-1

Закрепление определения · устно

Какая это дробь? Рациональное ли число?

$0, 375$ конечная · $Q$
$0, 777 \dots$ периодич. · $Q$
$2, 1454545 \dots$ периодич. · $Q$
$0, 1212121212$ конечная · $Q$

$3, 010010001 \dots$ непериод. · иррац.
$\frac{5}{6}$ $0, 8 (3)$ · $Q$
$0, 123456789101112 \dots$ непериод. · иррац.
$2 = 1, 41421356 \dots$ непериод. · иррац.

R02.3

Приём · периодическая дробь → $\frac{m}{n}$

Любая периодическая дробь — рациональное число

Пример 1: $x = 0, (36)$

100 x = 36, (36)

100 x - x = 36

x = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}

Пример 2: $x = 1, 2 (3)$

100 x = 123, (3)

10 x = 12, (3)

90 x = 111

x = \frac{111}{90} = \frac{37}{30}

R02.3

Образец → сам · периодическая дробь в обыкновенную

Обратите в обыкновенную дробь

Образец: $x = 0, 2 (7)$

100 x = 27, (7)

10 x = 2, (7)

90 x = 25

x = \frac{25}{90} = \frac{5}{18}

база $0, (5)$ $\frac{5}{9}$
база $0, (12)$ $\frac{4}{33}$
база $0, 1 (6)$ $\frac{1}{6}$
повыш. $2, (3)$ $\frac{7}{3}$

R02.3 · ПР-4

Построение · циркуль и линейка

Отметим $2$ и $5$ на координатной прямой

1 мин · теория
Квадрат площади 2 со сл. 5: его сторона — диагональ единичного квадрата. Длина диагонали прямоугольника 1 × 2 равна $5$ : квадрат на ней составлен из 4 треугольников площади 1 и единичного квадрата, 4 + 1 = 5 (теорему Пифагора в 8 классе изучают в геометрии — можно сослаться).
Вывод: иррациональные числа — это тоже точки прямой. Рациональных точек «не хватает», чтобы заполнить прямую.
Вопрос: как отметить $10$ ? (Прямоугольник 1 × 3: 1 + 9 = 10.)

R02.3 · ПР-4

Образец → сам · построение на прямой

Диагональ какого прямоугольника даст корень?

число	прямоугольник	между целыми
$10$	$1 \times 3$	$3$ и $4$
$8$	$2 \times 2$	$2$ и $3$
$13$	$2 \times 3$	$3$ и $4$
$17$	$1 \times 4$	$4$ и $5$

Подсказка: ищите

a^{2} + b^{2} = n

, как

1^{2} + 2^{2} = 5

R02.3 · ПР-2

Расширение числовых множеств

$N \subset Z \subset Q$ , а $2$ — вне $Q$

Зачем расширяли?

$N \to Z$ : решить $x + 5 = 2$

$Z \to Q$ : решить $3 x = 2$

$Q \to$ ?: решить $x^{2} = 2$

1 мин · теория
Каждое расширение позволяет решить новое уравнение: вычитание → отрицательные числа, деление → дроби, извлечение корня → иррациональные числа.
Вместе рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел $R$ — это тема урока по единице R02.7; сегодня только название.
0,1010010001… — после каждой единицы число нулей растёт на 1, поэтому периода нет. π ≈ 3,14159… иррационально (доказательство — за рамками школы, сообщаем как факт).

R02.3 · углубление

Углубление · когда $n$ рационален?

$n$ при натуральном $n$ — либо целое, либо иррациональное

n = \frac{p}{q}

, НОД

(p, q) = 1

,

q > 1

n q^{2} = p^{2}

простое

s ∣ q \Rightarrow s ∣ p^{2} \Rightarrow s ∣ p

общий делитель

s

— противоречие

значит,

q = 1

и

n \in N

R02.3

Закрепление · рациональное или иррациональное?

Распределите числа по двум столбцам

1)	$16$	5)	$π$
2)	$0, 09$	6)	$3, 1416$
3)	$8$	7)	$- 25$
4)	$0, (3)$	8)	$12, 1$

Алгоритм для $a$

запишите $a$ дробью $\frac{m}{n}$
оба — точные квадраты? → рационально
иначе — иррационально

2 мин · практика
Рациональные: 1) 4; 2) 0,3; 4) 1/3; 6) конечная дробь; 7) −5. Иррациональные: 3) $8$ (8 — не точный квадрат); 5) π; 8) $12, 1 = \frac{121}{10}$ — иррационально.
Ловушка 8): «121 — квадрат, значит рационально». Нет: $12, 1 = \frac{121}{10}$ , а 10 — не квадрат. Если бы $121/10 = r$ , то $10 = 11/ r$ было бы рациональным. Сравните: $1, 21 = 1, 1$ .
Ловушка 6): 3,1416 — это не π, а его рациональное приближение.
Алгоритм справа верен для несократимой дроби $\frac{m}{n}$ — уточните у сильных учеников, почему (следует из сл. 16).

R02.3

Сделайте сами

Докажите, обратите, найдите

базаОбратите в обыкновенную дробь: $0, (27)$ ; $2, 1 (6)$
базаНайдите рациональное и иррациональное число между $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$
повыш.Докажите, что $3$ — иррациональное число
повыш.Докажите, что $2 + 1$ — иррациональное число

К 3: остатки при делении на 3. Если

p = 3 m \pm 1

, то

p^{2} = 3 (\dots) + 1

К 4: от противного,

2 + 1 = r

4 мин · практика
1) $0, (27) = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$ (3 : 11 = 0,2727… ✓). $x = 2, 1 (6)$ : $100 x - 10 x = 216, (6) - 21, (6) = 195$ , $x = \frac{195}{90} = \frac{13}{6}$ (13 : 6 = 2,1666… ✓).
2) Например, 0,4 = 2/5 (рациональное) и 0,4101001000100001… (иррациональное: число нулей растёт). Сильным — $0, 2$ : $0, 2 = \frac{1}{5}$ , 0,111… < 0,2 < 0,25, поэтому $\frac{1}{3} < 0, 2 < \frac{1}{2}$ ; иррационально по алгоритму сл. 17.
3) $p^{2} = 3 q^{2}$ ⇒ $p^{2}$ делится на 3 ⇒ p делится на 3 (иначе $p = 3 m \pm 1$ , $p^{2} = 3 (3 m^{2} \pm 2 m) + 1$ ) ⇒ $p = 3 k$ , $q^{2} = 3 k^{2}$ ⇒ q делится на 3 — противоречие с несократимостью.
4) Пусть $2 + 1 = r \in Q$ . Тогда $2 = r - 1$ — рационально (разность рациональных), противоречие со сл. 6.

R02.3

Задания с самопроверкой

Решите — ответы откроются по клику

базаСравните $2$ и $1, 42$ $2 < 1, 42$
базаМежду какими соседними целыми числами лежит $50$ ? $7$ и $8$
базаОбратите в обыкновенную дробь $0, (81)$ $\frac{9}{11}$
базаКакое число рационально: $0, 4$ , $6, 4$ , $0, 64$ ? $0, 64 = 0, 8$
повыш.Сколько целых чисел между $5$ и $30$ ? $3$
повыш.Обратите в обыкновенную дробь $0, (142857)$ $\frac{1}{7}$

R02.3

Типичные ошибки

Найдите ошибку

✗ « $π = 3, 14$ »

$3, 14$ — рациональное приближение; верно $π \approx 3, 14$ .

✗ « $0, (3)$ — иррац.: дробь бесконечная»

Бесконечная, но периодическая: $0, (3) = \frac{1}{3}$ .

✗ « $2 = \frac{99}{70}$ »

$9 9^{2} = 9801$ , а $2 \cdot 7 0^{2} = 9800$ . Близко, но не равно.

Иррациональность определяется не длиной записи, а отсутствием периода.

R02.3 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 7

Какому числу соответствует точка $A$ ?

1)

14

2)

17

3)

23

4)

26

Зажмите:

4^{2} = 16

,

5^{2} = 25

. Какое число ближе к 16?

R02.3 · ПР-3

Задача из жизни · дачный участок

Квадратный участок площадью $200$ м² огораживают сеткой

Рациональна ли длина стороны $a$ ? нет
Между какими целыми лежит $a$ ? $14$ и $15$
Оцените $a$ с точностью до $0, 1$ м $14, 1 < a < 14, 2$
Сетку продают целыми метрами. Сколько метров купить? $57$ м

R02.3

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

В обыкновенную дробь: $0, (4)$ $\frac{4}{9}$
В обыкновенную дробь: $0, 3 (6)$ $\frac{11}{30}$
Между какими целыми $40$ ? $6$ и $7$
Рационально? $1, 44$ ; $14, 4$ да; нет

Вариант 2

В обыкновенную дробь: $0, (8)$ $\frac{8}{9}$
В обыкновенную дробь: $0, 8 (3)$ $\frac{5}{6}$
Между какими целыми $70$ ? $8$ и $9$
Рационально? $2, 25$ ; $22, 5$ да; нет

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем рациональное число отличается от иррационального в десятичной записи?
В чём идея доказательства для $2$ ?
Как отметить $5$ на прямой?

Домашнее задание

Обратите: $0, (6)$ ; $0, 1 (2)$ ; $3, (81)$
Докажите: $5$ и $3 - 2$ иррациональны
Оцените $3$ с точностью до $0, 01$ ; отметьте $10$ на прямой
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-023 · Понятие иррационального числа

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Числа и вычисления: квадратный корень», 17 ч · урок 3/17 · тип Н · теория 14 мин / практика 31 мин (69 %)
Единицы → слайды	R02.3 «Понятие иррационального числа» → 2, 5–24 · опора R02.1, R02.2 → 3, 4, 7, 8, 16, 21
Результаты	ПР-1 (иррациональные числа) → 5, 6, 9–12, 16–20, 23 · ПР-2 (расширение числовых множеств) → 9, 10, 15 · ПР-3 (оценивать квадратные корни, понятие иррационального числа) → 3, 6–8, 17, 19, 21–23 · ПР-4 (изображать числа точками на прямой) → 13, 14, 21 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	действия с иррациональными числами — ALG8U-024 (R02.4); свойства действий — R02.5; сравнение иррациональных чисел — R02.6; множество действительных чисел — R02.7; расширения числовых множеств — R02.8
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Понятиеиррациональногочисла

Сегодня вы научитесь

Доказывать иррациональность

Различать десятичные дроби

Оценивать корни

Отмечать на прямой

Вычислите, сократите, оцените

Рациональное число — это nm​, m∈Z, n∈N

Какова сторона квадрата площади 2?

Число 2​ не является рациональным

Ищем цифры 2​ — отрезок сужается

Оцените корень, как мы оценили 2​

Образец

Иррациональное число — бесконечная непериодическая десятичная дробь

Какая это дробь? Рациональное ли число?

Любая периодическая дробь — рациональное число

Обратите в обыкновенную дробь

Образец: x=0,2(7)

Отметим 2​ и 5​ на координатной прямой

Диагональ какого прямоугольника даст корень?

N⊂Z⊂Q, а 2​ — вне Q

Зачем расширяли?

n​ при натуральном n — либо целое, либо иррациональное

Распределите числа по двум столбцам

Алгоритм для a​

Докажите, обратите, найдите

Решите — ответы откроются по клику

Найдите ошибку

✗ «π=3,14»

✗ «0,(3) — иррац.: дробь бесконечная»

✗ «2​=7099​»

Какому числу соответствует точка A?

Квадратный участок площадью 200 м² огораживают сеткой

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-023 · Понятие иррационального числа

Понятие
иррационального
числа

Рациональное число — это $\frac{m}{n}$ , $m \in Z, n \in N$

Число $2$ не является рациональным

Ищем цифры $2$ — отрезок сужается

Оцените корень, как мы оценили $2$

Образец: $x = 0, 2 (7)$

Отметим $2$ и $5$ на координатной прямой

$N \subset Z \subset Q$ , а $2$ — вне $Q$

$n$ при натуральном $n$ — либо целое, либо иррациональное

Алгоритм для $a$

✗ « $π = 3, 14$ »

✗ « $0, (3)$ — иррац.: дробь бесконечная»

✗ « $2 = \frac{99}{70}$ »

Какому числу соответствует точка $A$ ?

Квадратный участок площадью $200$ м² огораживают сеткой