Квадратный корень · урок 2 из 17

Арифметический
квадратный корень
и его свойства

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG8U-022

1 мин · теория (орг. момент)
Паспорт: R02 «Числа и вычисления: квадратный корень» (17 ч), урок 2/17, единица R02.2 «Арифметический квадратный корень и его свойства». Тип Н (новый материал). На уроке ALG8U-021 — квадратные корни (уравнение x² = a); дальше ALG8U-023 — иррациональные числа.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Хронометраж: титул и цели 2 мин (сл. 1–2, теория) · разминка и актуализация 4 (сл. 3–4) · определение 3 (сл. 5–6, теория) + образец → сам 2 (сл. 7) · монотонность 2 (сл. 8, теория) + оценка 2 (сл. 9) · теорема 1 — 2 (сл. 10) + 2 (сл. 11) · теорема 2 — 1 (сл. 12) + 2 (сл. 13) · теорема 3 и следствие 3 (сл. 14–15) + 2 (сл. 16) · не путать 1 (сл. 17, теория) · исследование 2 (сл. 18) · ошибки 2 (сл. 19) · самопроверка 4 (сл. 20–21) · закрепление 2 (сл. 22) · ОГЭ 2 (сл. 23) · самостоятельная 4 (сл. 24) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 25).
Рисунок: квадрат площадью 49 имеет сторону 7 — длина стороны неотрицательна, это и есть арифметический корень.

R02.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Определять

арифметический квадратный корень и отличать его от «квадратного корня» (ПР-3)

Доказывать

свойства корня из произведения, частного и квадрата (ПР-3, ПР-18)

Вычислять и оценивать

значения корней без калькулятора, оценивать их целыми числами (ПР-3)

Преобразовывать

выражения с корнями, учитывая знак переменной (ПР-18)

1 мин · теория
ПР-3 (ФРП): «Оперировать понятиями: квадратный корень, арифметический квадратный корень, иррациональное число, находить, оценивать квадратные корни… выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни, используя свойства корней».
ПР-18: «Выполнять преобразования иррациональных выражений, используя свойства корней».
Виды деятельности ФРП: «Формулировать определение… арифметического квадратного корня», «Доказывать свойства арифметических квадратных корней; применять их для преобразования выражений».

разминка

Разминка · устно

Вычислите квадраты — они понадобятся для корней

1 1^{2}

121

1 4^{2}

196

1 6^{2}

256

(- 6)^{2}

36

0, 3^{2}

0, 09

1, 5^{2}

2, 25

0, 0 2^{2}

0, 0004

(\frac{3}{7})^{2}

\frac{9}{49}

повторение: R02.1

Вспомним · уравнение $x^{2} = a$

Сколько корней у уравнения $x^{2} = a$ ?

Устно: решите

$x^{2} = 49$
$x^{2} = 0, 36$
$x^{2} = 0$
$x^{2} = - 9$

R02.2

Новое · определение

Арифметический квадратный корень из $a$

a

— неотрицательное число, квадрат которого равен

a

a = b ⟺ {b \geq 0, b^{2} = a

a \geq 0 : a \geq 0, (a)^{2} = a

R02.2

Применяем определение

Проверяем два условия: $b \geq 0$ и $b^{2} = a$

Запись	Значение	Проверка
$49$	$7$ (не −7)	$7 \geq 0, 7^{2} = 49$
$0, 25$	$0, 5$	$0, 5^{2} = 0, 25$
$1 \frac{9}{16}$	$\frac{5}{4} = 1, 25$	$1 \frac{9}{16} = \frac{25}{16} = (\frac{5}{4})^{2}$
$- 49$	$- 7$ имеет смысл	минус перед корнем
$- 49$	не имеет смысла	$b^{2} \geq 0$ при любом $b$

R02.2

Образец → сам

Вычислите или объясните, почему нельзя

Образец

1 \frac{7}{9} = ?

1 \frac{7}{9} = \frac{16}{9}

\frac{4}{3} \geq 0, (\frac{4}{3})^{2} = \frac{16}{9}

\Rightarrow 1 \frac{7}{9} = \frac{4}{3}

Сам

$0, 81$ $= 0, 9$
$2 \frac{1}{4}$ $= \frac{3}{2} = 1, 5$
$- 0, 09$ $= - 0, 3$
$- 16$ не имеет смысла

R02.2

Свойство · больше число — больше корень

$0 \leq a < b \Rightarrow a < b$

Доказательство

b - a = (b - a) (b + a)

b - a > 0, b + a > 0

\Rightarrow b - a > 0

R02.2

Образец → сам · оценка корня

Между какими целыми числами корень?

Образец: $30$

25 < 30 < 36

5 < 30 < 6

Сам

$20$ 4 и 5
$77$ 8 и 9
$130$ 11 и 12
Сравните $19$ и $4, 4$ $19 < 4, 4$

R02.2

Теорема 1 · корень из произведения

$ab = a \cdot b$ при $a \geq 0, b \geq 0$

Применяем

16 \cdot 81 = 4 \cdot 9 = 36

2 \cdot 32 = 64 = 8

0, 9 \cdot 1000 = 900 = 30

R02.2

Образец → сам · теорема 1

Извлеките корень или соберите под один корень

Образец

36 \cdot 0, 25 = ?

= 36 \cdot 0, 25 = 6 \cdot 0, 5 = 3

3 \cdot 27 = ?

= 3 \cdot 27 = 81 = 9

Сам

$49 \cdot 0, 04$ $= 1, 4$
$0, 81 \cdot 400$ $= 18$
$5 \cdot 45$ $= 15$
$8 \cdot 18$ $= 12$

R02.2

Теорема 2 · корень из дроби

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ при $a \geq 0, b > 0$

Доказательство — те же два условия

\frac{a}{b} \geq 0

числитель ≥ 0, знаменатель > 0

(\frac{a}{b})^{2} = \frac{( a ) ^{2}}{( b ) ^{2}} = \frac{a}{b}

Почему

b > 0

, а не

b \geq 0

? На ноль делить нельзя.

Применяем

\frac{25}{49} = \frac{5}{7}

2 \frac{7}{9} = \frac{25}{9} = \frac{5}{3}

\frac{72}{2} = 36 = 6

R02.2

Образец → сам · теорема 2

Вычислите

Образец

1 \frac{11}{25} = \frac{36}{25}

= \frac{36}{25} = \frac{6}{5} = 1, 2

\frac{75}{3} = \frac{75}{3} = 25 = 5

Сам

$\frac{64}{121}$ $= \frac{8}{11}$
$5 \frac{4}{9}$ $= \frac{7}{3}$
$\frac{150}{6}$ $= 5$
$\frac{0 , 16}{0 , 09}$ $= \frac{4}{3}$

R02.2

Теорема 3 · корень из квадрата

$a^{2} = ∣ a ∣$ при любом $a$

∣ a ∣ \geq 0

условие 1 ✓

∣ a ∣^{2} = a^{2}

условие 2 ✓

(- 7)^{2} = ∣ - 7∣ = 7

(3 - π)^{2} = π - 3

R02.2

Следствие · чётные степени

$a^{2 n} = ∣ a^{n} ∣$ : модуль нужен не всегда

Выражение	Решение	Ответ
$a^{4}$	$(a^{2})^{2} = ∣ a^{2} ∣$	$a^{2}$ модуль не нужен
$a^{6}$	$(a^{3})^{2} = ∣ a^{3} ∣$	$∣ a ∣^{3}$
$a^{6}, a < 0$	$a^{3} < 0$	$- a^{3}$
$25 x^{8} y^{2}$	$25 \cdot (x^{4})^{2} \cdot y^{2}$	$5 x^{4} ∣ y ∣$
$3^{4} \cdot 2^{6}$	$3^{2} \cdot 2^{3}$	$72$

R02.2

Образец → сам · теорема 3

Упростите: сначала модуль, потом знак

Образец

(- 11)^{2} = ∣ - 11∣ = 11

(5 - 3)^{2} = 5 - 3

$5 < 9 = 3$ , значит $5 - 3 < 0$

= 3 - 5

Сам

$(- 0, 6)^{2}$ $= 0, 6$
$(2 - 7)^{2}$ $= 7 - 2$
$9 b^{2}$ , $b < 0$ $= - 3 b$
$a^{10}$ , $a < 0$ $= - a^{5}$

R02.2

Углубление · не путать

$(a)^{2}$ и $a^{2}$ — разные выражения

$(a)^{2} = a$

смысл имеет только при $a \geq 0$

(5)^{2} = 5

(- 5)^{2}

— не имеет смысла

$a^{2} = ∣ a ∣$

смысл имеет при любом $a$

5^{2} = 5

(- 5)^{2} = 5

Совпадают только при

a \geq 0

. Сначала — где выражение имеет смысл, потом — знак.

R02.2 · исследование

Углубление · при каких значениях?

При каких $a$ верно $(a - 3)^{2} = 3 - a$ ?

(a - 3)^{2} = ∣ a - 3∣

∣ a - 3∣ = 3 - a = - (a - 3)

⟺ a - 3 \leq 0

Ответ:

a \leq 3

R02.2

Типичные ошибки

Найдите ошибку

✗ Корень из суммы

9 + 16 = 3 + 4

?

✗ Забыли модуль

(2 - 5)^{2} = 2 - 5

?

Корень не бывает отрицательным: ответ $3$ .

✗ Отрицательные множители

(- 4) (- 9) = ? - 4 - 9

Теорема — только для $a, b \geq 0$ : $4 \cdot 9 = 6$ .

Свойства есть для произведения и частного, а для суммы и разности — нет.

R02.2

Задания с самопроверкой · база

Вычислите без калькулятора

$2, 25 \cdot 0, 16$ $= 0, 6$
$3^{4} \cdot 5^{2}$ $= 45$
$1, 6 \cdot 10$ $= 4$

$\frac{63}{7}$ $= 3$
$1 3^{2} - 1 2^{2}$ $= 5$
$0, 09 \cdot 1, 21 \cdot 4$ $= 0, 66$

R02.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Упростите и решите задачу

$a^{4} b^{6}$ , $b < 0$ $= - a^{2} b^{3}$
$0, 36 x^{2}$ , $x < 0$ $= - 0, 6 x$
$(x - 4)^{2}$ , $x < 1$ $= 4 - x$
$(1 - 2)^{2} + (2 - 2)^{2}$ $= 1$

практикаСвободное падение

Скорость тела, упавшего с высоты $h$ : $v = 2 g h$ . Найдите $v$ (м/с) при $g = 10$ м/с², $h = 45$ м.

v = 900 = 30

м/с

R02.2

Закрепление · сделайте сами

Вычислите и упростите

база $0, 16 \cdot 225$ $= 6$
база $50 \cdot 18$ $= 30$
повыш. $\frac{3 ^{6} \cdot 5 ^{2}}{2 ^{4}}$ $= 33, 75$

повыш. $a^{6} b^{4}$ при $a < 0$ $= - a^{3} b^{2}$
практикаКвадратный участок — $6, 25$ а ( $1$ а $= 100 м^{2}$ ). Сколько метров забора нужно? $100$ м

R02.2 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 8

Найдите значение выражения

\frac{12 \cdot 30}{10}

= \frac{360}{10} = 36 = 6

План

собрать всё под один корень
сократить дробь
извлечь корень

Ответ в бланк — число без единиц

R02.2

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

$0, 25 \cdot 64$ $4$
$3 \cdot 75$ $15$
$1 \frac{24}{25}$ $\frac{7}{5} = 1, 4$
$x^{2} y^{4}$ , $x < 0$ $- x y^{2}$

Вариант 2

$0, 36 \cdot 25$ $3$
$2 \cdot 50$ $10$
$3 \frac{6}{25}$ $\frac{9}{5} = 1, 8$
$x^{4} y^{2}$ , $y < 0$ $- x^{2} y$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем $a$ отличается от корня уравнения $x^{2} = a$ ?
Какие два условия проверяем в доказательствах?
Когда $a^{2} \neq = a$ ?

Домашнее задание

$1, 44 \cdot 0, 09 \cdot 400$ ; $7 \frac{1}{9}$ ; $\frac{98}{2}$
При каких $x$ верно $(x - 5)^{2} = x - 5$ ?
Докажите: $a + b < a + b$ при $a, b > 0$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-022 · Арифметический квадратный корень и его свойства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Числа и вычисления: квадратный корень», 17 ч · урок 2/17 · тип Н
Единицы → слайды	R02.2 «Арифметический квадратный корень и его свойства» → 2, 4–25 (теория: 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 17; практика: 7, 9, 11, 13, 16, 18–25) · опора R02.1 → 3, 4
Результаты	ПР-3 (оперировать понятиями квадратный корень, арифметический квадратный корень; находить, оценивать корни) → 2–9, 20, 22–25 · ПР-18 (преобразования иррациональных выражений по свойствам корней) → 10–24 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	иррациональные числа — ALG8U-023; действия с иррациональными числами — ALG8U-024–025; допустимые значения переменных (R02.9) и тождественные преобразования (R02.10) — позже в строке; функция «корень из x» — не в этом уроке
Хронометраж	теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) · 25 видимых слайдов
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Арифметическийквадратный кореньи его свойства

Сегодня вы научитесь

Определять

Доказывать

Вычислять и оценивать

Преобразовывать

Вычислите квадраты — они понадобятся для корней

Сколько корней у уравнения x2=a?

Арифметический квадратный корень из a

Проверяем два условия: b≥0 и b2=a

Вычислите или объясните, почему нельзя

Образец

Сам

0≤a<b⇒a​<b​

Между какими целыми числами корень?

Образец: 30​

Сам

ab​=a​⋅b​ при a≥0, b≥0

Извлеките корень или соберите под один корень

Образец

Сам

ba​​=b​a​​ при a≥0, b>0

Вычислите

Образец

Сам

a2​=∣a∣ при любом a

a2n​=∣an∣: модуль нужен не всегда

Упростите: сначала модуль, потом знак

Образец

Сам

(a​)2 и a2​ — разные выражения

(a​)2=a

a2​=∣a∣

При каких a верно (a−3)2​=3−a?

Найдите ошибку

✗ Корень из суммы

✗ Забыли модуль

✗ Отрицательные множители

Вычислите без калькулятора

Упростите и решите задачу

практикаСвободное падение

Вычислите и упростите

Найдите значение выражения

План

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-022 · Арифметический квадратный корень и его свойства

Арифметический
квадратный корень
и его свойства

Сколько корней у уравнения $x^{2} = a$ ?

Арифметический квадратный корень из $a$

Проверяем два условия: $b \geq 0$ и $b^{2} = a$

$0 \leq a < b \Rightarrow a < b$

Образец: $30$

$ab = a \cdot b$ при $a \geq 0, b \geq 0$

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ при $a \geq 0, b > 0$

$a^{2} = ∣ a ∣$ при любом $a$

$a^{2 n} = ∣ a^{n} ∣$ : модуль нужен не всегда

$(a)^{2}$ и $a^{2}$ — разные выражения

$(a)^{2} = a$

$a^{2} = ∣ a ∣$

При каких $a$ верно $(a - 3)^{2} = 3 - a$ ?