Квадратный корень · урок 1 из 17

Квадратные
корни

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R02 · ALG8U-021

Паспорт: R02 «Числа и вычисления: квадратный корень» (17 ч), урок 1/17, единица R02.1 «Квадратные корни». Тип урока — Н (новый материал). Перед этим — обобщение по неравенствам (ALG8U-020).
0 мин · титул. Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин.
Теория (14 мин): цели 1 (сл. 2) · проблема 1 (сл. 5) · определение 2 (сл. 6) · исследование по графику 2 (сл. 7) · обозначение 1 (сл. 8) · десятичные приближения 2 (сл. 12) · «Дополнительно», метод Герона 1 (сл. 14) · уравнения (x − m)² = a 2 (сл. 15) · параметр 1 (сл. 17) · итог 1 (сл. 23).
Практика (31 мин): разминка 3 (сл. 3) · квадраты чисел 2 (сл. 4) · найдите корни 2 (сл. 9) · образец → сам: x² = a 3 (сл. 10) · оценка корня 2 (сл. 11) · образец → сам: приближения 2 (сл. 13) · образец → сам: уравнения 3 (сл. 16) · задания с самопроверкой 1 — 3 (сл. 18) · найди ошибку 2 (сл. 19) · ОГЭ 2 (сл. 20) · задания с самопроверкой 2 — 3 (сл. 21) · самостоятельная работа 4 (сл. 22).
Вопрос по титулу: площадь квадрата 25 клеток — какова сторона? (5, так как 5² = 25.) Обратная задача к возведению в квадрат — тема урока.

R02.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить квадратные корни

из числа: два, один или ни одного (ПР-3)

Исследовать уравнение $x^{2} = a$

сколько корней при разных $a$ — по графику и алгебраически (ПР-22)

Оценивать корни

целыми числами и десятичными дробями, с калькулятором (ПР-3)

Решать уравнения

вида $(x - m)^{2} = a$ , в том числе с параметром (ПР-3, ПР-22)

1 мин · теория
ПР-3 (ФРП дословно): «Оперировать понятиями: квадратный корень, арифметический квадратный корень, иррациональное число, находить, оценивать квадратные корни, используя при необходимости калькулятор…». Сегодня — первая часть: квадратный корень, нахождение и оценка.
ПР-22: «Проводить исследования уравнений… (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько…)» — сл. 7, 17.
Виды деятельности ФРП: «Формулировать определение квадратного корня из числа», «Исследовать уравнение x² = a, находить точные и приближённые значения корней при a > 0», «Оценивать квадратные корни целыми числами и десятичными дробями».

повторение: степень, 7 класс

Разминка · устно

Считаем в уме — ответ по клику

1 3^{2}

169

0, 4^{2}

0,16

(- 9)^{2}

81

- 9^{2}

−81

(\frac{3}{5})^{2}

9/25

1, 1^{2}

1,21

0, 0 3^{2}

0,0009

a^{2} = 64

a > 0

,

a = ?

8

повторение: степень, 7 класс

Вспомним · квадраты чисел

Квадрат любого числа неотрицателен: $x^{2} \geq 0$

$n$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$n^{2}$	121	144	169	196	225	256	289	324	361	400

(- n)^{2} = n^{2}

— противоположные числа имеют равные квадраты

Устно

$(- 7)^{2}, 0, 3^{2}, (\frac{2}{3})^{2}$
Какое число в квадрате даёт $169$ ?
Может ли $x^{2} = - 4$ ?

R02.1

Проблема

Известна площадь квадрата. Какова его сторона?

a^{2} = 49

a^{2} = 2

Нужна операция, обратная возведению в квадрат

R02.1

Новый материал · определение

Квадратный корень из числа $a$ — число, квадрат которого равен $a$

b^{2} = a

Корней из $a$

$a > 0$ — два, противоположные

$a = 0$ — один: $0$

$a < 0$ — нет

R02.1 · исследование

Новый материал · исследование

Сколько корней у уравнения $x^{2} = a$ ?

$a$	корней
$a > 0$	два
$a = 0$	один
$a < 0$	нет

Корни уравнения

x^{2} = a

— это квадратные корни из

a

R02.1 · подводка к R02.2

Новый материал · обозначение

Неотрицательный корень из $a$ обозначают $a$

x^{2} = a, a > 0 \Rightarrow x = \pm a

x^{2} = 81 \Rightarrow x = \pm 9

x^{2} = 7 \Rightarrow x = \pm 7

49 = 7, 0 = 0

R02.1

Закрепление · устно

Найдите все квадратные корни из числа

база $144; 0, 49; 0; - 36$
база $1 \frac{9}{16}; 0, 0009; 1 0^{6}$
повыш. $a^{2}$ , где $a$ — любое число

R02.1

Образец → сам

Решите уравнение $x^{2} = a$

Образец: $x^{2} = 0, 64$

0, 64 > 0

— два корня

0, 8^{2} = 0, 64

x = \pm 0, 8

Сам

$x^{2} = 225$ $\pm 15$
$x^{2} = \frac{9}{49}$ $\pm \frac{3}{7}$
$x^{2} = - 16$ корней нет
$x^{2} = 13$ $\pm 13$

R02.1

Закрепление · оценка целыми числами

Между какими целыми числами $50$ ?

49 < 50 < 64

7 < 50 < 8

$130, 200, 0, 5$
повыш.ближайшее целое к $90$

2 мин · практика (образец √50 — вместе, затем задания)
Чем больше неотрицательное число, тем больше его неотрицательный корень (точно — на уроке ALG8U-022). Поэтому из 49 < 50 < 64 следует 7 < √50 < 8; √50 ≈ 7,07 — у левого края.
Ответы: √130 — между 11 и 12 (121 < 130 < 144); √200 — между 14 и 15 (196 < 200 < 225); √0,5 — между 0 и 1.
Повыш.: 81 < 90 < 100 — между 9 и 10; 9,5² = 90,25 > 90, значит √90 < 9,5 и ближайшее целое 9 (√90 ≈ 9,49). Ошибка: «90 ближе к 100, чем к 81? нет, 9 ближе к 81» — сравнивать надо с квадратом середины, 9,5².

R02.1 · исследование

Закрепление · десятичные приближения

Уточняем $2$ — сторону розового квадрата

шаг	меньше	больше	вывод
1	$1^{2} = 1$	$2^{2} = 4$	$1 < 2 < 2$
2	$1, 4^{2} = 1, 96$	$1, 5^{2} = 2, 25$	$1, 4 < 2 < 1, 5$
3	$1, 4 1^{2} = 1, 9881$	$1, 4 2^{2} = 2, 0164$	$1, 41 < 2 < 1, 42$

2 \approx 1, 41

R02.1

Образец → сам

Найдите корень с точностью до $0, 1$

Образец: $5$

2^{2} = 4 < 5 < 9 = 3^{2}

2, 2^{2} = 4, 84 < 5

2, 3^{2} = 5, 29 > 5

2, 2 < 5 < 2, 3

Сам (калькулятор можно)

$3$ $1, 7 < 3 < 1, 8$
$7$ $2, 6 < 7 < 2, 7$
$10$ $3, 1 < 10 < 3, 2$
$0, 5$ $0, 7 < 0, 5 < 0, 8$

сверх R02.1 · история

Дополнительно · история математики

Как вавилоняне и Герон извлекали корни

x_{новое} = \frac{1}{2} (x + \frac{a}{x})

a = 2, x = 1 \to 1, 5

\frac{1}{2} (1, 5 + \frac{2}{1 , 5}) \approx 1, 4167

\to 1, 414216 (2 \approx 1, 414214)

1 мин · теория (по времени; можно дать как сообщение)
Слайд по времени, можно пропустить или дать как сообщение. Идея: прямоугольник площади a со сторонами x и a/x; их среднее арифметическое — сторона «более квадратного» прямоугольника той же площади.
Вычисления: x₀ = 1; x₁ = (1 + 2)/2 = 1,5; x₂ = (1,5 + 1,3333)/2 ≈ 1,4167; x₃ = (1,4167 + 1,4118)/2 ≈ 1,41422. Сравните с калькулятором: √2 ≈ 1,414214.
Связь с неравенствами (строка R01): $\frac{1}{2} (x + \frac{a}{x}) \geq a$ при x > 0 — приближения всегда «сверху».

R02.1

Углубление · уравнения, сводящиеся к простейшему

Решим: $(x - 3)^{2} = 16$

t = x - 3, t^{2} = 16

x - 3 = 4 или x - 3 = - 4

x = 7 или x = - 1

$4 x^{2} - 9 = 0$
$(2 x + 1)^{2} = 0$ ; $(x + 5)^{2} = - 4$

R02.1

Образец → сам

Решите уравнение вида $(x - m)^{2} = a$

Образец: $(x + 2)^{2} = 25$

x + 2 = 5

или

x + 2 = - 5

x = 3

или

x = - 7

проверка:

5^{2} = 25, (- 5)^{2} = 25

Сам

$(x - 1)^{2} = 36$ $7; - 5$
$(2 x - 3)^{2} = 1$ $2; 1$
$9 x^{2} - 4 = 0$ $\pm \frac{2}{3}$
$(x + 4)^{2} = - 9$ корней нет

R02.1 · исследование

Углубление · уравнение с параметром

Сколько корней у $x^{2} = 2 a - 6$ в зависимости от $a$ ?

знак правой части:

2 a - 6

$a$	$2 a - 6$	корни
$a > 3$	$> 0$	$\pm 2 a - 6$
$a = 3$	$= 0$	$x = 0$
$a < 3$	$< 0$	нет

При каких

a

уравнение

(x - a)^{2} = 4

имеет корень

x = 5

?

R02.1

Задания с самопроверкой 1

Решите — ответы откроются по клику

база $x^{2} = 1, 44$ $\pm 1, 2$
база $25 x^{2} = 1$ $\pm 0, 2$
базаМежду какими целыми числами $150$ ? 12 и 13

повыш.При каких $a$ уравнение $x^{2} = a + 4$ не имеет корней? $a < - 4$
повыш.При каком $a$ уравнение $x^{2} = 3 a - 12$ имеет ровно один корень? $a = 4$
практикаКвадратная клумба площадью $1, 69$ м $^{2}$ . Найдите её периметр. 5,2 м

R02.1

Типичные ошибки

Найдите ошибку

✗ Потерян корень

x^{2} = 9 \Rightarrow x = 3

Верно: $x = \pm 3$ , ведь $(- 3)^{2} = 9$

✗ «Отрицательный корень»

x^{2} = - 9 \Rightarrow x = - 3

$(- 3)^{2} = 9$ , а не $- 9$ . Корней нет

✗ Знак ± под радикалом

16 = \pm 4

$16 = 4$ ; корни из 16 — это $\pm 4$

«Корни из

a

» — все числа с квадратом

a

;

a

— только неотрицательный.

R02.1 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 9

Решите уравнение $4 x^{2} - 100 = 0$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

4 x^{2} = 100

x^{2} = ?

План

привести к виду $x^{2} = a$
знак $a$ → число корней
выбрать меньший

R02.1

Задания с самопроверкой 2

Решите — ответы откроются по клику

база $x^{2} = 121$ $\pm 11$
базаМежду какими целыми числами $75$ ? 8 и 9
повыш. $(3 x - 2)^{2} = 49$ $3; - 1 \frac{2}{3}$

повыш.При каких $a$ уравнение $x^{2} = 5 - a$ имеет два корня? $a < 5$
практикаКвадратный участок — $6, 25$ а ( $1$ а $= 100$ м²). Найдите длину забора вокруг него. 100 м

R02.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта

Вариант 1

$x^{2} = 196$ $\pm 14$
Между какими целыми $110$ ? 10 и 11
$(x - 5)^{2} = 9$ $8; 2$
ОГЭ, линия 9 $9 x^{2} - 81 = 0$ ; в ответ — меньший корень. −3

Вариант 2

$x^{2} = 289$ $\pm 17$
Между какими целыми $140$ ? 11 и 12
$(x + 3)^{2} = 16$ $1; - 7$
ОГЭ, линия 9 $4 x^{2} - 64 = 0$ ; в ответ — меньший корень. −4

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое квадратный корень из $a$ ?
Сколько корней у $x^{2} = a$ при разных $a$ ?
Чем «корни из 16» отличаются от $16$ ?

Домашнее задание

$x^{2} = 0, 16$ ; $(x + 2)^{2} = 9$
Оцените $40$ ; ближайшее целое?
Число корней $(x - 1)^{2} = a + 2$ при разных $a$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_korni.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-021 · Квадратные корни

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R02 «Числа и вычисления: квадратный корень», 17 ч · урок 1/17 · тип Н
Единицы → слайды	R02.1 «Квадратные корни» → 2–13, 15–23 · сверх единицы (история, «Дополнительно») → 14
Результаты	ПР-3 (квадратный корень: находить, оценивать, с калькулятором) → 2–6, 8–16, 18–23 · ПР-22 (исследование уравнений: сколько решений) → 7, 17, 18, 21 · хронометраж: теория 14 мин, практика 31 мин (69 %) · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	арифметический корень и его свойства — ALG8U-022; иррациональность корня из 2 — ALG8U-023; квадратные уравнения общего вида — строка R03
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Квадратныекорни

Сегодня вы научитесь

Находить квадратные корни

Исследовать уравнение x2=a

Оценивать корни

Решать уравнения

Считаем в уме — ответ по клику

Квадрат любого числа неотрицателен: x2≥0

Известна площадь квадрата. Какова его сторона?

Квадратный корень из числа a — число, квадрат которого равен a

Корней из a

Сколько корней у уравнения x2=a?

Неотрицательный корень из a обозначают a​

Найдите все квадратные корни из числа

Решите уравнение x2=a

Образец: x2=0,64

Сам

Между какими целыми числами 50​?

Уточняем 2​ — сторону розового квадрата

Найдите корень с точностью до 0,1

Образец: 5​

Сам (калькулятор можно)

Как вавилоняне и Герон извлекали корни

Решим: (x−3)2=16

Решите уравнение вида (x−m)2=a

Образец: (x+2)2=25

Сам

Сколько корней у x2=2a−6 в зависимости от a?

Решите — ответы откроются по клику

Найдите ошибку

✗ Потерян корень

✗ «Отрицательный корень»

✗ Знак ± под радикалом

Решите уравнение 4x2−100=0

План

Решите — ответы откроются по клику

Два варианта

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-021 · Квадратные корни

Квадратные
корни

Исследовать уравнение $x^{2} = a$

Квадрат любого числа неотрицателен: $x^{2} \geq 0$

Квадратный корень из числа $a$ — число, квадрат которого равен $a$

Корней из $a$

Сколько корней у уравнения $x^{2} = a$ ?

Неотрицательный корень из $a$ обозначают $a$

Решите уравнение $x^{2} = a$

Образец: $x^{2} = 0, 64$

Между какими целыми числами $50$ ?

Уточняем $2$ — сторону розового квадрата

Найдите корень с точностью до $0, 1$

Образец: $5$

Решим: $(x - 3)^{2} = 16$

Решите уравнение вида $(x - m)^{2} = a$

Образец: $(x + 2)^{2} = 25$

Сколько корней у $x^{2} = 2 a - 6$ в зависимости от $a$ ?

Решите уравнение $4 x^{2} - 100 = 0$