Неравенства · урок 20 из 20 · обобщение

Обобщение
и систематизация:
неравенства

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG8U-020

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R01 «Уравнения и неравенства: неравенства» (20 ч), урок 20/20, тип О (обобщение). Единицы — вся строка R01.1–R01.16. Итоговый урок перед строкой R02 «Квадратные корни».
Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), всего 45 мин. Теория: титул 1, цели 1, карта темы 2, свойства 2, промежутки 1, равносильность 2, ax > b 2, образец решения 1, системы 1, текстовая задача 1. Практика: разминка 2 (сл. 3), свойства — сами 2 (сл. 6), оценка 2 (сл. 7), промежутки и равносильность 2 (сл. 10), параметр — сами 2 (сл. 12), линейные — сами 3 (сл. 14), системы — сами 2 (сл. 16), такси 2 (сл. 18), параметр в системе 2 (сл. 19), ошибки 2 (сл. 20), задания 3 (сл. 21), ОГЭ 2 (сл. 22), самостоятельная 4 (сл. 23), рефлексия 1 (сл. 24).
Если класс сильный — дать больше времени заданиям повышенного уровня (сл. 12, 14, 21). Если слабый — сл. 19 оставить на дом, в самостоятельной ограничиться заданиями 1–3.
Рисунок на титуле — к сл. 15: решение системы — общая часть двух промежутков.

R01.1–R01.16

Цели урока

Сегодня вы соберёте тему в систему

Сравнивать и оценивать

по свойствам числовых неравенств (ПР-24)

Доказывать неравенства

через знак разности (ПР-24)

Решать линейные неравенства и системы

и изображать решения на прямой (ПР-24)

Исследовать и моделировать

неравенства с параметром, текстовые задачи (ПР-24)

1 мин · теория
ПР-24 (дословно ФРП): «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств». Сегодня — все части этого результата.
Виды деятельности ФРП по строке: «исследовать линейное неравенство с одной переменной с параметром», «решать текстовые задачи с помощью линейных неравенств».
Вопрос классу: какой урок темы был самым трудным? Запомнить ответы — к ним вернуться на рефлексии.

повторение · R01.1 · R01.6 · R01.12 · R01.14

Разминка · устно

Восемь вопросов — без тетради

Сравнения и свойства

Сравните $- 0, 3$ и $- 0, 29$ $- 0, 3 < - 0, 29$
$a > b$ . Верно ли, что $- a > - b$ ? нет, $- a < - b$
$a < b$ . Знак разности $a - b$ ? минус
$2 < x < 3$ . Оцените $x + 4$ $6 < x + 4 < 7$

Промежутки и решения

Решите: $- 3 x > 12$ $x < - 4$
Промежутком: $x \geq - 2$ $[- 2; + \infty)$
Наименьшее целое из $(- 3; 5]$ $- 2$
Верно ли: $5 \in (2; 5)$ ? нет

R01.1–R01.16

Карта темы

16 единиц — четыре блока

2 мин · теория (учитель задаёт вопросы по блокам)
Цифры — номера единиц R01.n. Блоки появляются по одному; на каждый — вопрос «что главное в блоке?».
Ожидаемые ответы: числовые — «a > b ⇔ a − b > 0»; действия — «умножение на отрицательное меняет знак, перемножать — только положительные части»; с переменной — «решить — найти все решения или доказать, что их нет»; линейные — «ответ — промежуток».
Связь блоков: свойства (блок 1–2) — это обоснование каждого шага при решении неравенств (блок 3–4).

R01.1 · R01.2 · R01.6

Блок 1–2 · сводная таблица

Свойства числовых неравенств

$a > b, b > c \Rightarrow a > c$	транзитивность
$a > b \Rightarrow a + c > b + c$	прибавить число
$a > b, c > 0 \Rightarrow a c > b c$ $a > b, c < 0 \Rightarrow a c < b c$	умножить на число
$a > b, c > d \Rightarrow a + c > b + d$	сложить почленно
$a > b > 0, c > d > 0 \Rightarrow a c > b d$	перемножить почленно
$a > b > 0 \Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b}$	обратные числа

R01.1 · R01.2 · R01.3

Образец → сам · сравнение и доказательство

Доказываем через знак разности

Образец: докажите $a^{2} + 9 \geq 6 a$

a^{2} + 9 - 6 a

= (a - 3)^{2} \geq 0

Разность $\geq 0$ ⇒ верно;
равенство при $a = 3$

Сами

базаСравните $\frac{4}{9}$ и $\frac{5}{11}$ $\frac{4}{9} < \frac{5}{11}$
базаДокажите: $x^{2} + 4 \geq 4 x$ $(x - 2)^{2} \geq 0$
база $a > b$ . Сравните $1 - 5 a$ и $1 - 5 b$ $1 - 5 a < 1 - 5 b$
повыш.Верно ли: $a > b \Rightarrow a^{2} > b^{2}$ ? нет

R01.6 · R01.7

Блок 2 · оценивание значения выражения

Дано $2 < a < 3, 5 < b < 7$ . Оцените $a - b$

a - b = a + (- b)

- 7 < - b < - 5

× (−1)

- 5 < a - b < - 2

Сами:

ab

,

\frac{a}{b}

,

3 a - 2 b

2 мин · практика (первый шаг показывает учитель, остальное — ученики)
Вычитать неравенства нельзя — поэтому прибавляем противоположное: сначала умножаем $5 < b < 7$ на −1 (знаки меняются), потом складываем почленно с $2 < a < 3$ .
Ответы: $10 < ab < 21$ (все части положительны); $\frac{1}{7} < \frac{1}{b} < \frac{1}{5}$ , $\frac{2}{7} < \frac{a}{b} < \frac{3}{5}$ ; $6 < 3 a < 9$ , $- 14 < - 2 b < - 10$ , $- 8 < 3 a - 2 b < - 1$ .
Проверка числами: a = 2,5, b = 6: a − b = −3,5 ∈ (−5; −2) ✓; 3a − 2b = −4,5 ∈ (−8; −1) ✓; a/b ≈ 0,42 ∈ (0,29; 0,6) ✓.
Типичная ошибка: «2 − 5 < a − b < 3 − 7», т. е. −3 < a − b < −4 — бессмыслица (левая граница больше правой).

R01.5 · R01.12

Блок 4 · числовые промежутки

Неравенство — промежуток — рисунок

Неравенство	Промежуток	На прямой
$a < x < b$	$(a; b)$
$a \leq x \leq b$	$[a; b]$
$x > a$	$(a; + \infty)$
$x \leq b$	$(- \infty; b]$

Строгий знак

$<, >$ — круглая скобка, выколотая точка

Нестрогий знак

$\leq, \geq$ — квадратная скобка, закрашенная точка

Бесконечность

$\pm \infty$ — всегда круглая скобка

R01.8–R01.11

Блок 3 · равносильные неравенства и неравенство-следствие

$\Leftrightarrow$ — те же решения; $\Rightarrow$ — решений не меньше

Равносильные преобразования

перенос слагаемого с другим знаком
умножение на $c > 0$
умножение на $c < 0$ со сменой знака

Только следствие

$x > 2 \Rightarrow x^{2} > 4$
обратное неверно: $x = - 3$

2 мин · теория
Определения (R01.10, R01.11): неравенства равносильны, если множества их решений совпадают; второе — следствие первого, если каждое решение первого является решением второго.
Рисунок: луч $(3; + \infty)$ лежит внутри луча $(1; + \infty)$ , поэтому $x > 3 \Rightarrow x > 1$ ; обратное неверно: x = 2 удовлетворяет второму, но не первому.
Вопрос: равносильны ли $2 x > 6$ и $x > 3$ ? (Да.) $x > 3$ и $x^{2} > 9$ ? (Нет: x = −4 — решение второго, но не первого.)
Почему важно: решая неравенство цепочкой равносильных преобразований, мы не теряем и не приобретаем решений — проверка не нужна.

R01.5 · R01.10 · R01.11 · R01.12

Задания с самопроверкой · промежутки и равносильность

Запишите, сосчитайте, сравните множества

Промежутки

$- 1 < x \leq 4$ : промежуток и число целых $(- 1; 4]$ , целых 5
Запишите неравенством промежуток на рисунке: $- 3 \leq x < 2$ , т. е. $[- 3; 2)$
Наибольшее целое из $(- \infty; 2, 7)$ 2

Равносильны ли?

$3 x > - 6$ и $x > - 2$ да
$- x \geq 5$ и $x \geq - 5$ нет
$2 - x < 0$ и $x > 2$ да
повыш. $x > 2$ и $x^{2} > 4$ : что из чего следует? $x > 2 \Rightarrow x^{2} > 4$ , не наоборот

R01.13 · исследование

Блок 4 · линейное неравенство $a x > b$

Три случая — по знаку коэффициента $a$

Решите при всех $a$ :

(a - 2) x > a - 2

a > 2 : x > 1

a < 2 : x < 1

a = 2 : 0 > 0

— нет решений

2 мин · теория (исследование, учитель разбирает пример)
Исследование линейного неравенства с параметром — вид деятельности ФРП по строке R01 (углублённый уровень).
Дерево: при a > 0 делим на положительное — знак сохраняется; при a < 0 — меняется; при a = 0 неравенство $0 \cdot x > b$ верно при всех x, если b < 0, и не имеет решений, если b ≥ 0.
Пример справа: коэффициент a − 2. Проверка: a = 5: 3x > 3 ⇒ x > 1 ✓; a = 0: −2x > −2 ⇒ x < 1 ✓; a = 2: 0 > 0 — ложно при любом x ✓.
Вопрос: что изменится, если знак будет ≥? (При a = 2: 0 ≥ 0 — верно при любом x; ответы при a ≠ 2: x ≥ 1 и x ≤ 1.)

R01.13 · исследование

Образец → сам · неравенство с параметром

Решите при всех значениях $a$

база $a x > 0$ $a > 0$ : $x > 0$ ; $a < 0$ : $x < 0$ ; $a = 0$ : нет решений
повыш. $(a + 1) x \leq a + 1$ $a > - 1$ : $x \leq 1$ ; $a < - 1$ : $x \geq 1$ ; $a = - 1$ : любое $x$
повыш.При каких $a$ неравенство $(a - 3) x > 5$ не имеет решений? $a = 3$
повыш.При каких $a$ множество решений $a x \geq 2$ — луч $[1; + \infty)$ ? $a = 2$

Схема: знак коэффициента при

x

— три случая:

> 0

,

< 0

,

= 0

.

R01.14

Блок 4 · решение линейного неравенства

Решим: $\frac{x - 1}{2} - \frac{2 x + 3}{3} \geq \frac{x}{6} - 2$

3 (x - 1) - 2 (2 x + 3) \geq x - 12

× 6

- x - 9 \geq x - 12

- 2 x \geq - 3

перенос

x \leq 1, 5

: (−2), знак меняется

R01.14

Образец → сам · линейные неравенства

Решите по образцу — ответ промежутком

Шаги образца

умножить на общий знаменатель
раскрыть скобки
перенести, привести
разделить; на отрицательное — знак меняется

база $3 (x - 2) - 2 (x + 1) \leq 4$ $(- \infty; 12]$
база $\frac{x + 2}{3} - \frac{x}{2} > 1$ $(- \infty; - 2)$
повыш. $\frac{2 x - 1}{4} - \frac{x - 3}{6} \geq \frac{x}{12}$ $[- 1; + \infty)$
повыш.Наименьшее целое решение: $5 - \frac{3 x - 1}{2} < x$ 3

3 мин · практика
1) 3x − 6 − 2x − 2 ≤ 4 ⇒ x ≤ 12. Проверка x = 12: 30 − 26 = 4 ≤ 4 ✓.
2) ×6: 2x + 4 − 3x > 6 ⇒ −x > 2 ⇒ x < −2. Проверка x = −5: −1 + 2,5 = 1,5 > 1 ✓; x = −2: 0 + 1 = 1 > 1 — ложь ✓.
3) ×12: 3(2x − 1) − 2(x − 3) ≥ x ⇒ 6x − 3 − 2x + 6 ≥ x ⇒ 3x ≥ −3 ⇒ x ≥ −1. Проверка x = −1: −0,75 + 4/6 = −1/12 ≥ −1/12 ✓ (граница входит).
4) ×2: 10 − 3x + 1 < 2x ⇒ 11 < 5x ⇒ x > 2,2; наименьшее целое — 3. Проверка x = 3: 5 − 4 = 1 < 3 ✓; x = 2: 5 − 2,5 = 2,5 < 2 — ложь ✓.
Слабым — 1, 2; сильным — 3, 4. Типичная ошибка в 3: $- 2 (x - 3) = - 2 x - 6$ вместо $- 2 x + 6$ .

R01.15

Блок 4 · система линейных неравенств

Решение системы — общая часть промежутков

{3 x - 7 < 2 x + 1 5 - 2 x \leq 11

{x < 8 x \geq - 3

Сколько целых решений?

R01.15

Задания с самопроверкой · системы

Решите систему — нарисуйте прямую

база ${2 x - 3 > 1 x + 4 \leq 10$ $(2; 6]$ , целых 4
база ${5 - x > 2 3 x + 1 \geq - 8$ $[- 3; 3)$

база ${4 x > 8 x - 1 < 0$ решений нет
повыш. $- 1 \leq 2 x + 3 < 9$ $[- 2; 3)$

R01.16

Блок 4 · текстовая задача

Длина на 5 см больше ширины, периметр больше 30, но не больше 50 см

30 < 4 x + 10 \leq 50

20 < 4 x \leq 40

5 < x \leq 10

Ширина — от 5 см (не включая) до 10 см

R01.16

Практика · из жизни

Какой тариф такси выгоднее?

Тариф А: посадка 150 ₽ + 30 ₽ за км
Тариф Б: посадка 60 ₽ + 40 ₽ за км

1) При каком расстоянии А дешевле Б?

150 + 30 x < 60 + 40 x

x > 9

км

2) Есть 600 ₽. Сколько км можно проехать по А?

150 + 30 x \leq 600

,

x \leq 15

км

R01.15 · исследование

Углубление · система с параметром

При каких $a$ система ${x > 2 x < a$ имеет ровно 3 целых решения?

целые:

3, 4, 5

5 < a

и

6 \in / (2; a)

5 < a \leq 6

2 мин · практика (рассуждают ученики, учитель направляет)
Решение системы — $(2; a)$ при a > 2 (при a ≤ 2 решений нет). Три целых решения могут быть только 3, 4, 5: значит 5 ∈ (2; a) ⇒ a > 5, а 6 ∉ (2; a) ⇒ a ≤ 6.
Проверка границ: a = 6: (2; 6) — целые 3, 4, 5 ✓ (6 не входит, знак строгий); a = 5: только 3, 4 — мало; a = 6,5: 3, 4, 5, 6 — много.
Вопрос классу: что изменится, если второе неравенство нестрогое, x ≤ a? (Тогда 5 ≤ a < 6.)
Слабому классу — пропустить или дать на дом с подсказкой рисунка.

R01.2 · R01.7 · R01.12 · R01.14

Типичные ошибки

Найдите ошибку

✗ Знак не сменили

- 2 x > 6 \Rightarrow x > - 3

Верно: $x < - 3$

✗ Вычли неравенства

2 < a < 3, 5 < b < 7

\Rightarrow - 3 < a - b < - 4

?

Верно: $- 5 < a - b < - 2$

✗ Не та скобка

x \leq 4 : (- \infty; 4)

Верно: $(- \infty; 4]$

Делим или умножаем на отрицательное число — знак неравенства меняется.

R01.1–R01.16

Задания с самопроверкой · все блоки

Решите — ответы по клику

базаСравните $\frac{5}{7}$ и $\frac{7}{10}$ R01.1 $\frac{5}{7} > \frac{7}{10}$
база $5 (x - 2) - 3 (x + 1) > 7$ R01.14 $(10; + \infty)$
база $3 < x < 4$ . Оцените $5 - 2 x$ R01.7 $(- 3; - 1)$

повыш.Докажите: $a^{2} + b^{2} + 5 \geq 4 a - 2 b$ R01.3 $(a - 2)^{2} + (b + 1)^{2} \geq 0$
повыш.Наибольшее целое решение: $⎩ ⎨ ⎧ \frac{x}{3} - 1 < \frac{x - 2}{4} 2 x + 5 > 1$ R01.15 5
практикаТетрадь — 45 ₽, ручка — 60 ₽. Есть 500 ₽: ручка и сколько тетрадей наибольшее? R01.16 9

3 мин · практика
1) $\frac{5}{7} - \frac{7}{10} = \frac{50 - 49}{70} = \frac{1}{70} > 0$ ⇒ $\frac{5}{7} > \frac{7}{10}$ .
2) 5x − 10 − 3x − 3 > 7 ⇒ 2x > 20 ⇒ x > 10, ответ $(10; + \infty)$ . Проверка x = 11: 45 − 36 = 9 > 7 ✓.
3) $- 8 < - 2 x < - 6$ ⇒ $- 3 < 5 - 2 x < - 1$ . Проверка x = 3,5: 5 − 7 = −2 ✓.
4) $a^{2} - 4 a + 4 + b^{2} + 2 b + 1 = (a - 2)^{2} + (b + 1)^{2} \geq 0$ (4 + 1 = 5 ✓); равенство при a = 2, b = −1.
5) Первое ×12: 4x − 12 < 3x − 6 ⇒ x < 6; второе: 2x > −4 ⇒ x > −2. Решение $(- 2; 6)$ , наибольшее целое — 5. Проверка x = 5: 5/3 − 1 = 2/3 < 3/4 ✓; x = 6: 1 < 1 — ложь ✓.
6) 45n + 60 ≤ 500 ⇒ 45n ≤ 440 ⇒ n ≤ 9 35/45 ≈ 9,8 ⇒ наибольшее n = 9 (45·9 + 60 = 465 ≤ 500; 45·10 + 60 = 510 > 500).

R01.12 · R01.15 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 13

Укажите решение системы ${2 x - 8 \leq 0 3 - x < 0$

План

решить каждое неравенство
изобразить оба на одной прямой
найти общую часть, проверить точки

Ответ: 3 ·

(3; 4]

R01.1 · R01.7 · R01.14 · R01.15

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Сравните $\frac{3}{8}$ и $\frac{4}{11}$ $\frac{3}{8} > \frac{4}{11}$
$4 (x - 1) - 3 (x + 2) > 2$ $(12; + \infty)$
$1 < a < 2$ . Оцените $3 a - 1$ $(2; 5)$
Целые решения ${3 x - 1 \geq 5 x < 5$ 2; 3; 4

Вариант 2

Сравните $\frac{5}{9}$ и $\frac{6}{11}$ $\frac{5}{9} > \frac{6}{11}$
$2 (x + 3) - 5 (x - 1) \geq 2$ $(- \infty; 3]$
$2 < b < 3$ . Оцените $1 - 2 b$ $(- 5; - 3)$
Целые решения ${2 x + 3 > 1 x \leq 3$ 0; 1; 2; 3

рефлексия · ДЗ

Итог темы

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда знак неравенства меняется?
Чем равносильность отличается от следствия?
Как найти решение системы?

Домашнее задание

$\frac{2 x - 1}{3} - \frac{x + 1}{2} < 1$
${4 x - 3 \geq 2 x + 1 7 - x > 2$ — целые решения
Решите при всех $a$ : $a x \leq 3$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-020 · Обобщение и систематизация по теме «Уравнения и неравенства: неравенства»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Уравнения и неравенства: неравенства», 20 ч · урок 20/20 · тип О
Единицы → слайды	R01.1 → 3, 4, 5, 6, 21, 23 · R01.2 → 5, 6, 20 · R01.3 → 4, 6, 21 · R01.4 → 4 · R01.5 → 8, 10 · R01.6 → 3, 5, 7 · R01.7 → 7, 20, 21, 23 · R01.8–R01.11 → 9, 10 · R01.12 → 3, 8, 10, 20, 22 · R01.13 → 11, 12 · R01.14 → 3, 13, 14, 20, 21, 23 · R01.15 → 15, 16, 19, 21, 22, 23 · R01.16 → 17, 18, 21
Результаты	ПР-24 (применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства и их системы, графическая иллюстрация) → 2–24 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	квадратные неравенства и дискриминант — строка R03; оценка корней — строка R02 (ALG8U-021 и далее); неравенства с модулем — не в ФРП 8 кл.
Время	теория 14 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 8, 9, 11, 13, 15, 17) · практика 31 мин, 69 % (сл. 3, 6, 7, 10, 12, 14, 16, 18–24)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщениеи систематизация:неравенства

Сегодня вы соберёте тему в систему

Сравнивать и оценивать

Доказывать неравенства

Решать линейные неравенства и системы

Исследовать и моделировать

Восемь вопросов — без тетради

Сравнения и свойства

Промежутки и решения

16 единиц — четыре блока

Свойства числовых неравенств

Доказываем через знак разности

Сами

Дано 2<a<3, 5<b<7. Оцените a−b

Неравенство — промежуток — рисунок

Строгий знак

Нестрогий знак

Бесконечность

⇔ — те же решения; ⇒ — решений не меньше

Равносильные преобразования

Только следствие

Запишите, сосчитайте, сравните множества

Промежутки

Равносильны ли?

Три случая — по знаку коэффициента a

Решите при всех значениях a

Решим: 2x−1​−32x+3​≥6x​−2

Решите по образцу — ответ промежутком

Шаги образца

Решение системы — общая часть промежутков

Решите систему — нарисуйте прямую

Длина на 5 см больше ширины, периметр больше 30, но не больше 50 см

Какой тариф такси выгоднее?

При каких a система {x>2x<a​ имеет ровно 3 целых решения?

Найдите ошибку

✗ Знак не сменили

✗ Вычли неравенства

✗ Не та скобка

Решите — ответы по клику

Укажите решение системы {2x−8≤03−x<0​

План

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-020 · Обобщение и систематизация по теме «Уравнения и неравенства: неравенства»

Обобщение
и систематизация:
неравенства

Дано $2 < a < 3, 5 < b < 7$ . Оцените $a - b$

$\Leftrightarrow$ — те же решения; $\Rightarrow$ — решений не меньше

Три случая — по знаку коэффициента $a$

Решите при всех значениях $a$

Решим: $\frac{x - 1}{2} - \frac{2 x + 3}{3} \geq \frac{x}{6} - 2$

При каких $a$ система ${x > 2 x < a$ имеет ровно 3 целых решения?

Укажите решение системы ${2 x - 8 \leq 0 3 - x < 0$