Неравенства · урок 19 из 20 · практикум

Практикум:
сложение и умножение
числовых неравенств

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG8U-019

1 мин · теория (орг. момент)
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Паспорт: R01 «Уравнения и неравенства: неравенства» (20 ч), урок 19/20, единица R01.6 «Сложение и умножение числовых неравенств». Тип урока — П (практикум). Новый материал по теме был на уроке ALG8U-005, оценки — на ALG8U-006; сегодня — новые типы задач, без повтора задач тех уроков.
Хронометраж: орг. момент и цели 2 мин (сл. 1–2, теория) · разминка 2 (сл. 3, практика) · повторение теорем 2 (сл. 4, теория) · тип 1: образец 2 + сами 3 + самопроверка 3 (сл. 5–7) · тип 2: образец 3 + сами 3 (сл. 8–9) · тип 3: образец 2 + сами 3 (сл. 10–11) · тип 4: образец 2 + сами 3 (сл. 12–13) · самопроверка повыш. 2 (сл. 14) · типичные ошибки 1 (сл. 15, теория) · найди ошибку 2 (сл. 16) · ОГЭ 2 (сл. 17) · задачи из жизни 2 (сл. 18) · самостоятельная 5 (сл. 19) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 20).
Теория: сл. 1, 2, 4, 5, 8, 10, 12, 15 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 2 + 1 = 14 мин. Практика: сл. 3, 6, 7, 9, 11, 13, 14, 16–20 = 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 5 + 1 = 31 мин.
Если не успеваете: тип 4 (сл. 13) — задание 2 перенести в ДЗ; самопроверку сл. 14 — задания 3–4 в ДЗ.

R01.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Проверять следствия

что верно вытекает из данных неравенств, а что — нет (ПР-24)

Доказывать сложением

складывать опорные неравенства (ПР-24)

Доказывать умножением

перемножать, проверив знаки всех частей (ПР-24)

Сравнивать без вычислений

длинные суммы и большие степени (ПР-24)

разминка · R01.1, R01.2

Разминка · устно

Вычислите или поставьте знак $>$ , $<$

- \frac{1}{2} \cdot (- 6)

3

(- 0, 3)^{2}

0, 09

\frac{1}{0 , 25}

4

2^{10}

1024

\frac{2}{7} □ \frac{2}{9}

>

(- 5)^{3} □ (- 2)^{3}

<

a > 3 : - a □ - 3

<

0 < x < 1 : x^{2} □ x

<

повторение: R01.2, R01.6

Вспомним · две теоремы

Почленно: складывать — всегда, умножать — при условии

Устно: верно ли?

$7 > 2, 1 > - 5 \Rightarrow 8 > - 3$
$- 1 < 2, - 4 < 1 \Rightarrow 4 < 2$
$2 < 3, 5 < 6 \Rightarrow 10 < 18$

R01.6

Тип 1 · образец · что следует?

Известно: $x > 3, y > 5$ . Верно ли…

«Да» — доказать теоремой

«Нет» — один контрпример:

x = 4, y = 100

:

x - y = - 96

R01.6

Тип 1 · сделайте сами

Докажите или опровергните

база $a > 2, b < - 1$ :

$a - b > 3$
$ab < - 2$
$a + b > 1$

повыш. $- 1 < x < 2$ :

$x^{2} < 4$
$x^{2} > 1$

Подсказка: от

b < - 1

перейдите к

- b > 1

R01.6

Тип 1 · задания с самопроверкой

Известно: $1 < x < 3, - 2 < y < - 1$ . Верно ли…

база $x - y > 2$ да
база $x + y > 0$ нет
база $y^{2} < 4$ да

повыш. $x y < - 1$ да
повыш. $\frac{x}{- y} > \frac{1}{2}$ да
повыш. $x^{2} + y > 0$ нет

«Да» — обоснуйте теоремой, «нет» — приведите контрпример. Сначала перейдите к

1 < - y < 2

R01.6 · опора R01.3

Тип 2 · образец · доказательство сложением

Докажем: $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 \geq 2 (a + b + c)$

Разбили на три одинаковых «кирпичика»

Равенство ⇔ в каждом:

a = b = c = 1

R01.6 · опора R01.3

Тип 2 · сделайте сами

Найдите «кирпичики» и сложите

база $a^{4} + b^{4} + 2 \geq 4 ab$
повыш. $(a + b + c) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geq 9$ при $a, b, c > 0$

Опоры

t^{2} + 1 \geq 2 t

\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2

при $x, y > 0$

R01.6 · опора R01.3

Тип 3 · образец · доказательство умножением

Докажем: $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) \geq 4 ab c d$ при $a, b, c, d \geq 0$

Перед умножением — проверить знаки всех четырёх частей

Нестрогие и все части

\geq 0

— можно

R01.6

Тип 3 · сделайте сами

Перемножьте, проверив знаки

база $0 < a < b, 0 < c < d \Rightarrow \frac{a}{d} < \frac{b}{c}$
повыш. $(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) \geq 4 ab$ при любых $a, b$

К 1: деление = умножение на обратное. К 2: разберите знак

ab

R01.6 · опора R01.1

Тип 4 · образец · длинная сумма

Докажем: $\frac{1}{2} < \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{20} < \frac{10}{11}$

каждое

\geq \frac{1}{20}

,
9 из них

>

S > 10 \cdot \frac{1}{20} = \frac{1}{2}

каждое

\leq \frac{1}{11}

:

S < \frac{10}{11}

R01.6 · опора R01.1

Тип 4 · сделайте сами · степени

Сравните, перемножив одинаковые неравенства

база $2^{300}$ и $3^{200}$
повыш. $3 1^{11}$ и $1 7^{14}$

Следствие умножения

0 < a < b \Rightarrow a^{n} < b^{n}

перемножили $n$ раз $a < b$

К 1:

2^{3} = 8

,

3^{2} = 9

. К 2: сравните с

32

и

16

R01.6 · опора R01.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Сравните без вычислений

повыш. $5^{300}$ и $3^{500}$ $5^{300} < 3^{500}$
повыш. $3^{40}$ и $4^{30}$ $3^{40} > 4^{30}$

повыш. $9 9^{20}$ и $999 9^{10}$ $<$
повыш. $\frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{30}$ и $2$ $<$

Приём: одинаковые показатели — сравниваем основания; длинная сумма — заменяем каждое слагаемое наибольшим

R01.6

Типичные ошибки

Чего нельзя делать почленно

✗ Вычитать

5 > 2, 4 > 1

\Rightarrow 1 > 1

?

Верно «крест-накрест»:

$a > b, c < d$
$\Rightarrow a - c > b - d$

✗ Умножать с минусами

- 3 < - 1, - 2 < 1

\Rightarrow 6 < - 1

?

Нужны положительные части

✗ Делить

6 > 2, 3 > 1

\Rightarrow 2 > 2

?

Верно:

$a > b > 0, 0 < c < d$
$\Rightarrow \frac{a}{c} > \frac{b}{d}$

Вычитание и деление сводим к сложению и умножению:

a - c = a + (- c)

,

\frac{a}{c} = a \cdot \frac{1}{c}

R01.6

Найди ошибку

Где ошибка в выводе? Есть ли она вообще?

Перемножил

$a > 2, b > - 3$

$\Rightarrow ab > - 6$

неверно: $a = 10, b = - 2$

часть $- 3$ отрицательна — умножать нельзя

Возвёл в квадрат

$x < 3$

$\Rightarrow x^{2} < 9$

неверно: $x = - 4$

$x$ может быть отрицательным

Вычел «крест-накрест»

$a > b, c > d$

$\Rightarrow a - d > b - c$

ошибки нет

$- d > - c$ , сложили с $a > b$

R01.6 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 7

На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b$ . Какое утверждение верно?

1)	$a + b > 0$	2)	$ab > - 2$
3)	$a - b < - 3$	4)	$b - a < 3$

Запишите

- 3 < a < - 2

,

1 < b < 2

— и оцените

R01.6 · оценка R01.7

Задачи из жизни

Оцените — и примите решение

практикаШирина комнаты от $3, 9$ до $4, 1$ м, длина от $5, 9$ до $6, 1$ м. Гарантированно ли хватит $25 м^{2}$ ламината? нет
практикаВелосипедист едет со скоростью от $14$ до $16$ км/ч в течение от $1, 5$ до $2$ ч. Может ли он проехать $35$ км? нет

R01.6

Самостоятельная работа

Два варианта · 3 задания

Вариант 1

база $2 < a < 3, 4 < b < 6$ . Оцените $a + b$ , $ab$ , $2 a - b$ . $6 < a + b < 9$ ; $8 < ab < 18$ ; $- 2 < 2 a - b < 2$
база $a > b > 0, c > d > 0$ . Докажите: $a c + b d > a d + b c$ . разность $= (a - b) (c - d) > 0$
повыш.Докажите для натуральных $n$ : $\frac{1}{n + 1} + \dots + \frac{1}{2 n} \geq \frac{1}{2}$ каждое слагаемое $\geq \frac{1}{2 n}$

Вариант 2

база $1 < a < 2, 3 < b < 5$ . Оцените $a + b$ , $ab$ , $3 a - b$ . $4 < a + b < 7$ ; $3 < ab < 10$ ; $- 2 < 3 a - b < 3$
база $a > b > 0$ . Докажите: $a^{3} + a b^{2} > a^{2} b + b^{3}$ . разность $= (a - b) (a^{2} + b^{2}) > 0$
повыш.Докажите для натуральных $n$ : $\frac{1}{n + 1} + \dots + \frac{1}{2 n} < 1$ каждое слагаемое $< \frac{1}{n}$

5 мин · практика
Варианты по партам: 4 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам на слайде (открыть по клику). Подсказка к заданию 2: разность разложите на множители.
В-1. 1) $6 < a + b < 9$ ; $8 < ab < 18$ (все части положительны); $4 < 2 a < 6$ и $- 6 < - b < - 4$ , сумма: $- 2 < 2 a - b < 2$ . 2) $a c + b d - a d - b c = a (c - d) - b (c - d) = (a - b) (c - d) > 0$ — произведение положительных чисел. 3) В сумме n слагаемых, каждое $\geq \frac{1}{2 n}$ ; сложим: сумма $\geq n \cdot \frac{1}{2 n} = \frac{1}{2}$ (равенство только при n = 1). Проверка n = 2: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} \geq \frac{1}{2}$ ✓.
В-2. 1) $4 < a + b < 7$ ; $3 < ab < 10$ ; $3 < 3 a < 6$ и $- 5 < - b < - 3$ , сумма: $- 2 < 3 a - b < 3$ . 2) $a^{3} + a b^{2} - a^{2} b - b^{3} = a^{2} (a - b) + b^{2} (a - b) = (a - b) (a^{2} + b^{2}) > 0$ . Проверка a = 2, b = 1: 8 + 2 = 10 > 4 + 1 = 5 ✓. 3) Каждое из n слагаемых $\frac{1}{n + k} < \frac{1}{n}$ (k ≥ 1); сложим: сумма $< n \cdot \frac{1}{n} = 1$ . Проверка n = 2: $\frac{7}{12} < 1$ ✓.
Критерий: 3 верных — «5», 2 — «4», 1 и верная идея во втором — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда неравенства можно перемножать?
Как «вычесть» неравенства правильно?
Чем доказать «да», чем — «нет»?

Домашнее задание

$a^{2} + 4 b^{2} + 9 c^{2} + 3 \geq 2 a + 4 b + 6 c$
Сравните $2^{100}$ и $1 0^{30}$
$0 < a < 1, 0 < b < 1 \Rightarrow ab + 1 > a + b$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-019 · Практикум: Сложение и умножение числовых неравенств

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Уравнения и неравенства: неравенства», 20 ч · урок 19/20 · тип П
Единицы → слайды	R01.6 «Сложение и умножение числовых неравенств» → 2, 4–20 · опора R01.1, R01.2, R01.3 → 3–4, 8–10, 12–14 · оценка (R01.7) как применение → 7, 17–19 · теория 14 мин (сл. 1, 2, 4, 5, 8, 10, 12, 15) · практика 31 мин, 69 % (сл. 3, 6, 7, 9, 11, 13, 14, 16–20)
Результаты	ПР-24 (применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки) → 2–20 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	линейные неравенства и системы — ALG8U-011…013 (повтор на ALG8U-020); обобщение строки — ALG8U-020; неравенство о среднем геометрическом — строка R02
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:сложение и умножениечисловых неравенств

Сегодня вы научитесь

Проверять следствия

Доказывать сложением

Доказывать умножением

Сравнивать без вычислений

Вычислите или поставьте знак >, <

Почленно: складывать — всегда, умножать — при условии

Известно: x>3, y>5. Верно ли…

Докажите или опровергните

Известно: 1<x<3, −2<y<−1. Верно ли…

Докажем: a2+b2+c2+3≥2(a+b+c)

Найдите «кирпичики» и сложите

Опоры

Докажем: (a2+b2)(c2+d2)≥4abcd при a,b,c,d≥0

Перемножьте, проверив знаки

Докажем: 21​<111​+121​+…+201​<1110​

Сравните, перемножив одинаковые неравенства

Следствие умножения

Сравните без вычислений

Чего нельзя делать почленно

✗ Вычитать

✗ Умножать с минусами

✗ Делить

Где ошибка в выводе? Есть ли она вообще?

Перемножил

Возвёл в квадрат

Вычел «крест-накрест»

На координатной прямой отмечены числа a и b. Какое утверждение верно?

Оцените — и примите решение

Два варианта · 3 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-019 · Практикум: Сложение и умножение числовых неравенств

Практикум:
сложение и умножение
числовых неравенств

Вычислите или поставьте знак $>$ , $<$

Известно: $x > 3, y > 5$ . Верно ли…

Известно: $1 < x < 3, - 2 < y < - 1$ . Верно ли…

Докажем: $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 \geq 2 (a + b + c)$

Докажем: $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) \geq 4 ab c d$ при $a, b, c, d \geq 0$

Докажем: $\frac{1}{2} < \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{20} < \frac{10}{11}$

На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b$ . Какое утверждение верно?