Неравенства · урок 18 из 20 · практикум

Практикум:
строгие и нестрогие
неравенства

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG8U-018

1 мин · теория (орг. момент)
Паспорт: R01 «Уравнения и неравенства: неравенства» (20 ч), урок 18/20, единица R01.5 «Строгие и нестрогие неравенства». Тип урока — П (практикум). Новый материал по теме был на уроке ALG8U-004; сегодня — новые типы задач и более тонкие случаи.
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) — всего 45 мин.
Хронометраж: титул и цели 2 мин (сл. 1–2) · разминка 2 (сл. 3) · вспомним 2 (сл. 4) · тип 1: образец 2 + сами 3 (сл. 5–6) · тип 2: 2 + 3 (сл. 7–8) · тип 3: 2 + 3 (сл. 9–10) · тип 4: 2 + 3 (сл. 11–12) · параметр 2 (сл. 13) · найди ошибку 2 (сл. 14) · самопроверка 2 + 3 (сл. 15–16) · ОГЭ 2 (сл. 17) · закрепление 3 (сл. 18) · самостоятельная 4 (сл. 19) · рефлексия и ДЗ 1 (сл. 20).
Вопрос к титулу: чем отличаются два множества? (Только одной точкой — числом 2.) Весь урок — о том, когда эта одна точка меняет ответ.

R01.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Ставить точный знак

«>» или «≥» — по тому, достигается ли равенство (ПР-24)

Считать целые решения

следить, входят ли концы промежутка (ПР-24, ПР-4)

Решать «четыре знака»

неравенства с квадратом: от «нет решений» до «любое $x$ » (ПР-24)

Не терять точки

выколотые и отдельные точки на координатной прямой; параметр (ПР-24)

1 мин · теория
ПР-24 (дословно ФРП): «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств».
ПР-4: «… изображать действительные числа точками на координатной прямой». Кодификатора REQ у курса углублённого уровня нет.
Виды деятельности ФРП по строке: «изображать решение на числовой прямой», «исследовать линейное неравенство с одной переменной с параметром».

повторение: R01.5, R01.12

Разминка · устно

Ответьте за 10 секунд

(- 3)^{2} \geq 9

?

верно

0^{2} > 0

?

неверно

(a - 5)^{2} = 0

a = 5

(x + 1)^{2} + 3 \geq ?

3

целых в

[1; 4]

?

4

3 \in (3; 7]

?

нет

- x > 2

x < - 2

не

(x \leq 0)

x > 0

повторение: R01.5

Вспомним · устно

$a \geq b$ означает: $a > b$ или $a = b$

Верно или нет?

$7 \geq 7$
$- 2 \leq - 5$
$0, (3) \geq \frac{1}{3}$
отрицание $x < 4$ — это $x > 4$

R01.5 · опора R01.3

Тип 1 · образец · точный знак

Какой знак точнее: $x^{2} + 4 □ 4 x$ и $x^{2} + 5 □ 4 x$ ?

x^{2} + 4 - 4 x = (x - 2)^{2} \geq 0

= 0

при

x = 2

\Rightarrow

«≥»

x^{2} + 5 - 4 x = (x - 2)^{2} + 1 \geq 1

\geq 1 > 0

\Rightarrow

«>»

R01.5 · опора R01.3

Тип 1 · сделайте сами

Вместо $□$ поставьте точный знак: «>» или «≥»

база $a^{2} + 9 □ 6 a$
база $a^{2} + a + 1 □ 0$
повыш. $a^{2} + b^{2} □ 2 ab - 1$
повыш. $a^{2} + b^{2} + c^{2} □ 2 (a + b + c) - 3$

R01.5 · опора R01.12

Тип 2 · образец · целые решения

Сколько целых чисел между $- 2$ и $3$ ? Зависит от знаков!

промежуток	целых
$[m; n]$	$n - m + 1$
$[m; n)$ , $(m; n]$	$n - m$
$(m; n)$	$n - m - 1$

$m, n$ — целые

R01.5 · опора R01.12, R01.14

Тип 2 · сделайте сами

Целые решения и концы промежутка

базаСколько целых решений у $- 4 \leq x < 3$ ?
базаНаименьшее целое решение $x > - 3, 5$ ; наибольшее целое решение $x < 2$
повыш.Сколько целых решений у $- 5 < 2 x - 1 \leq 7$ ?
повыш.При каких $a$ промежуток $[- 2; a)$ содержит ровно 5 целых чисел?

R01.5

Тип 3 · образец · четыре знака

Решим $(x - 3)^{2} □ 0$ для каждого знака

знак	решения
$> 0$	$x \neq = 3$
$\geq 0$	любое $x$
$< 0$	нет решений
$\leq 0$	только $x = 3$

R01.5 · опора R01.3

Тип 3 · сделайте сами

Решите неравенство

база $- (x + 2)^{2} \geq 0$
база $x^{2} + 10 x + 25 > 0$
повыш. $x^{2} + 1 \leq 2 x$
повыш. $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 5 \leq 0$

R01.5 · опора R01.12

Тип 4 · образец · выколотая точка

Решим $(x - 2)^{2} (x + 1) \geq 0$ и $(x - 2)^{2} (x + 1) > 0$

x = 2

: произведение

= 0

x \neq = 2

:

(x - 2)^{2} > 0

\Rightarrow

знак как у

x + 1

\geq 0

:

x \geq - 1

(точка 2 уже внутри)

> 0

:

x > - 1, x \neq = 2

R01.5 · опора R01.12

Тип 4 · сделайте сами

Решите и изобразите на координатной прямой

база $(x - 4)^{2} (x - 1) < 0$
повыш. $(x - 4)^{2} (x - 1) \leq 0$
повыш. $(x + 2)^{2} (3 - x) > 0$

Сначала точка, где квадрат

= 0

, потом все остальные

x

R01.5 · исследование

Углубление · неравенство с параметром

Решим $a (x - 2) \geq 0$ и $a (x - 2) > 0$ при всех $a$

$a$	$a (x - 2) \geq 0$	$a (x - 2) > 0$
$a > 0$	$x \geq 2$	$x > 2$
$a = 0$	$0 \geq 0$ : любое $x$	$0 > 0$ : нет решений
$a < 0$	$x \leq 2$	$x < 2$

2 мин · теория (демонстрационный разбор)
Исследование линейного неравенства с параметром — вид деятельности ФРП по строке R01. Делим на a: при a > 0 знак сохраняется, при a < 0 — меняется (свойства с урока ALG8U-001), при a = 0 делить нельзя — подставляем.
Вопрос классу: при каких a число x = 2 является решением неравенства $a (x - 2) \geq 0$ ? (При всех a: 0 ≥ 0.) А неравенства $a (x - 2) > 0$ ? (Ни при каких.)
Сильным: при каких a неравенство $a (x - 2) > a$ не имеет решений? Это $a (x - 3) > 0$ : решений нет только при a = 0.

R01.5

Типичные ошибки

Найдите ошибку

✗ Отрицание

не

x > 3

\Rightarrow

x < 3

?

Забыто равенство. Верно: $x \leq 3$ .

✗ Концы

- 2 < x < 3

:

- 2, \dots, 3

?

Концы не входят: $- 1, 0, 1, 2$ — четыре числа.

✗ Потеря точки

(x - 4)^{2} (x - 1) \leq 0 \Rightarrow x \leq 1

?

Делить на $(x - 4)^{2}$ можно лишь при $x \neq = 4$ . Потеряно $x = 4$ .

Проверяйте граничные точки подстановкой: входит или нет?

R01.5 · опора R01.3, R01.12

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте ответ

Точный знак: «>» или «≥»

база $x^{2} + 16 □ 8 x$ ≥
база $x^{2} - 2 x + 3 □ 0$ >
база $9 a^{2} + 1 □ 6 a$ ≥

Сколько целых решений?

база $- 3 \leq x \leq 2$ 6
база $- 1, 5 < x < 4$ 5
база $0 < 3 x \leq 12$ 4

R01.5 · опора R01.12

Задания с самопроверкой · повышенный

Решите и обоснуйте

повыш.Решите $(x + 3)^{2} (x - 2) < 0$ . $(- \infty; - 3) \cup (- 3; 2)$
повыш.Решите $(x - 1)^{2} (x + 4) \geq 0$ . $[- 4; + \infty)$
повыш.Найдите сумму целых решений $- 7 < 2 x + 1 \leq 5$ . $- 3$
параметрПри каких $a$ неравенство $(a - 1) x > 0$ не имеет решений? $a = 1$
из жизниЗачёт — не менее 30 баллов, задание — 6 баллов. Сколько заданий решить как минимум? 5

3 мин · практика
Сильные — все пять, остальные — 1, 3, 5. Ответы по клику, обоснование проговаривает ученик.
1) x = −3: 0 < 0 — ложно; x ≠ −3: знак как у x − 2, x < 2. Ответ: $(- \infty; - 3) \cup (- 3; 2)$ — выколотая точка −3. Проверка: x = 0: 9·(−2) = −18 < 0 ✓. 2) x = 1: 0 ≥ 0 — верно; x ≠ 1: x ≥ −4; точка 1 уже внутри: $[- 4; + \infty)$ . Проверка: x = −5: 36·(−1) < 0 — не входит ✓.
3) $- 8 < 2 x \leq 4$ , $- 4 < x \leq 2$ : −3, −2, −1, 0, 1, 2; сумма −3. 4) При a = 1: 0 > 0 — ложно при всех x, решений нет; при a ≠ 1 решения есть (x > 0 или x < 0). 5) $6 n \geq 30$ , $n \geq 5$ — 5 заданий (ровно 30 баллов — зачёт). При «более 30 баллов» было бы $n > 5$ — 6 заданий.

R01.5 · формат ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 13

Укажите решение неравенства $4 x - 3 \geq 6 x + 5$

Проверьте два вопроса

1. Куда луч?

2. Кружок пустой или закрашенный?

делите на отрицательное — меняйте знак

R01.5

Закрепление · в тетради

Решите

базаЗапишите неравенством: « $x$ не меньше $- 2$ », « $y$ не превосходит 7»
базаЧисло целых решений: $- 3 < x \leq 4$
повыш. $(x + 1)^{2} \leq 0$ ; $(x + 1)^{2} (x - 5) \geq 0$

практикаЛифт поднимает не более 400 кг. В нём 4 человека по 75 кг. Сколько ещё ящиков по 20 кг можно загрузить?

А если бы «менее 400 кг»?

R01.5

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Точный знак: $a^{2} + 25 □ 10 a$ ≥
Число целых решений: $- 2 < x \leq 5$ 7
Решите: $(x - 3)^{2} > 0$ $x \neq = 3$
Решите: $(x - 4)^{2} (x + 1) \leq 0$ $(- \infty; - 1] \cup {4}$

Вариант 2

Точный знак: $b^{2} + 4 b + 5 □ 0$ >
Число целых решений: $- 4 \leq x < 1$ 5
Решите: $- (x + 5)^{2} \geq 0$ $x = - 5$
Решите: $(x + 2)^{2} (x - 1) \geq 0$ ${- 2} \cup [1; + \infty)$

4 мин · практика
Варианты по партам; 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам на слайде (открыть по клику). Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».
Вариант 1: 1) $(a - 5)^{2} \geq 0$ , равенство при a = 5 → «≥». 2) −1, 0, …, 5 — 7 чисел. 3) квадрат положителен при всех x, кроме 3: $x \neq = 3$ . 4) x = 4: 0 ≤ 0 — верно; x ≠ 4: x + 1 ≤ 0, x ≤ −1. Ответ: $(- \infty; - 1] \cup {4}$ ; проверка x = 0: 16·1 > 0 — не входит ✓.
Вариант 2: 1) $(b + 2)^{2} + 1 \geq 1 > 0$ → «>». 2) −4, −3, −2, −1, 0 — 5 чисел. 3) $- (x + 5)^{2} \leq 0$ всегда, «≥ 0» ⇔ «= 0»: x = −5. 4) x = −2: 0 ≥ 0 — верно; x ≠ −2: x ≥ 1. Ответ: ${- 2} \cup [1; + \infty)$ ; проверка x = 0: 4·(−1) < 0 — не входит ✓.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда ставить «≥», а когда «>»?
Сколько решений у $(x - 7)^{2} \leq 0$ ?
Где решается строгость знака?

Домашнее задание

Точный знак: $4 a^{2} + 1 □ 4 a$ ; $a^{2} - 4 a + 5 □ 0$
Число целых решений: $- 7 \leq 3 x - 1 < 8$
Решите $(x - 3)^{2} (x + 2) \leq 0$
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-018 · Практикум: Строгие и нестрогие неравенства

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · frp/pdf/2025_07_2025_ooo_frp_matematika-5-9_ugl.pdf
Строка, урок	R01 «Уравнения и неравенства: неравенства», 20 ч · урок 18/20 · тип П
Время	теория 14 мин · практика 31 мин (69 %) · 20 видимых слайдов; все теоретические слайды сохранены без сокращений
Единицы → слайды	R01.5 «Строгие и нестрогие неравенства» → 2–20 · опора R01.3 → 3, 5–6, 10, 15 · R01.12, R01.14 → 3, 7–8, 11–12, 15–17, 19
Результаты	ПР-24 (применять свойства числовых неравенств…, давать графическую иллюстрацию множества решений) → 2–20 · ПР-4 (изображать числа точками на координатной прямой) → 7–8, 11–12, 16–17, 19 · кодификатора REQ у курса нет
Вне урока	сложение и умножение неравенств — ALG8U-019; оценивание выражений — ALG8U-006; метод интервалов и квадратные неравенства — за пределами 8 класса; дробные неравенства — после строки R04
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум:строгие и нестрогиенеравенства

Сегодня вы научитесь

Ставить точный знак

Считать целые решения

Решать «четыре знака»

Не терять точки

Ответьте за 10 секунд

a≥b означает: a>b или a=b

Какой знак точнее: x2+4 □ 4x и x2+5 □ 4x?

Вместо □ поставьте точный знак: «>» или «≥»

Сколько целых чисел между −2 и 3? Зависит от знаков!

Целые решения и концы промежутка

Решим (x−3)2 □ 0 для каждого знака

Решите неравенство

Решим (x−2)2(x+1)≥0 и (x−2)2(x+1)>0

Решите и изобразите на координатной прямой

Решим a(x−2)≥0 и a(x−2)>0 при всех a

Найдите ошибку

✗ Отрицание

✗ Концы

✗ Потеря точки

Решите и проверьте ответ

Решите и обоснуйте

Укажите решение неравенства 4x−3≥6x+5

Проверьте два вопроса

Решите

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-018 · Практикум: Строгие и нестрогие неравенства

Практикум:
строгие и нестрогие
неравенства

$a \geq b$ означает: $a > b$ или $a = b$

Какой знак точнее: $x^{2} + 4 □ 4 x$ и $x^{2} + 5 □ 4 x$ ?

Вместо $□$ поставьте точный знак: «>» или «≥»

Сколько целых чисел между $- 2$ и $3$ ? Зависит от знаков!

Решим $(x - 3)^{2} □ 0$ для каждого знака

Решим $(x - 2)^{2} (x + 1) \geq 0$ и $(x - 2)^{2} (x + 1) > 0$

Решим $a (x - 2) \geq 0$ и $a (x - 2) > 0$ при всех $a$

Укажите решение неравенства $4 x - 3 \geq 6 x + 5$