Неравенства · урок 17 из 20 · практикум

Практикум: неравенство с переменной

Алгебра · 8 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025
строка R01 · ALG8U-017

Паспорт: R01 «Уравнения и неравенства: неравенства» (20 ч), урок 17/20, единица R01.4 «Неравенство с переменной». Тип урока — П (практикум).
1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %). Всего 45 мин.
Хронометраж: цели 1 (сл. 2) · разминка 3 (сл. 3) · вспомним 2 (сл. 4) · тип 1 «подстановка и ОДЗ»: образец 2 + сами 3 (сл. 5–6) · тип 2 «всегда / никогда»: образец 2 + четыре знака 1 + сами 3 (сл. 7–9) · тип 3 «множитель известного знака»: образец 2 + сами 3 (сл. 10–11) · тип 4 «параметр»: образец 2 + сами 3 (сл. 12–13) · самопроверка 3 (сл. 14) · найди ошибку 2 (сл. 15) · закрепление 3 (сл. 16) · задача из жизни 2 (сл. 17) · ОГЭ 2 (сл. 18) · самостоятельная работа 4 (сл. 19) · итог и ДЗ 1 (сл. 20).
Теория (учитель показывает и разбирает): сл. 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 20 — все тексты, выводы и образцы сохранены полностью. Практика (работают ученики): сл. 3, 6, 9, 11, 13–19.
Предыдущий урок ALG8U-016 — практикум «Доказательство неравенств» (выделение квадрата пригодится в типе 2); следующий ALG8U-018 — «Строгие и нестрогие неравенства». Линейные неравенства и системы класс уже решает (уроки 12–14).
Если класс сильный — тип 1 пройти быстро, высвободившееся время отдать параметру (сл. 13) и заданию 6 на сл. 14.

R01.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Проверять решения

подстановкой — с учётом области допустимых значений

Видеть «всегда» и «никогда»

через $(\dots)^{2} \geq 0$ и $∣ \dots ∣ \geq 0$

Упрощать неравенство

отбрасывая множитель известного знака (ПР-24)

Исследовать параметр

$a x > b$ : разбор случаев $a > 0$ , $a = 0$ , $a < 0$

1 мин · теория
ПР-24 (дословно ФРП): «Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств» — сл. 3–19.
Виды деятельности ФРП (R01): «Приводить примеры решений неравенств» — сл. 4–6, 14, 19; «Определять равносильные неравенства» — сл. 7–11, 14–16; «Исследовать линейное неравенство с одной переменной с параметром» — сл. 12–14, 19.
Вопрос на старте: «Чем неравенство $2 x - 1 > 5$ отличается от неравенства $7 > 5$ ?» — ответ на следующем слайде.

разминка

Разминка · устно

Вычислите, решите, сравните

(- 3)^{2}

9

- 3^{2}

- 9

∣ - 5∣

5

(x - 1)^{2}

при

x = 1

0

3 x \leq 12

x \leq 4

- 2 x > 6

x < - 3

x^{2} = 0

x = 0

x^{2} + 1 □ 0

>

R01.4 · повторение R01.8

Вспомним

Решение неравенства — значение $x$ , при котором получается верное числовое неравенство

R01.4

Тип 1 · образец · подстановка

Какие из чисел 0; 1; 2; 2,5; 4; 5 — решения неравенства $x^{2} - 5 x + 4 \leq 0$ ?

$x$	$x^{2} - 5 x + 4$	$\leq 0$ ?
0	$4$	✗
1	$0$	✓
2	$- 2$	✓
2,5	$- 2, 25$	✓
4	$0$	✓
5	$4$	✗

2 мин · теория (учитель разбирает образец)
Вычисления: $0 - 0 + 4 = 4$ ; $1 - 5 + 4 = 0$ ; $4 - 10 + 4 = - 2$ ; $6, 25 - 12, 5 + 4 = - 2, 25$ ; $16 - 20 + 4 = 0$ ; $25 - 25 + 4 = 4$ . Решения: 1; 2; 2,5; 4.
Обратить внимание: $x = 1$ и $x = 4$ дают $0 \leq 0$ — верно, потому что знак нестрогий. При $<$ они бы не подошли.
Гипотеза «решения — отрезок $[1; 4]$ » по точкам не доказана: подстановка проверяет отдельные числа. Доказательство: $x^{2} - 5 x + 4 = (x - 1) (x - 4)$ — произведение $\leq 0$ , когда множители разных знаков или один равен нулю (можно показать сильным).

R01.4

Тип 1 · ваша очередь

Сначала область допустимых значений, потом подстановка

\frac{x + 1}{x - 3} \leq 0

базаКакие из чисел $- 2; 0; 1, 5; 3; 5$ — решения?
базаНайдите наименьшее целое решение неравенства $7 - 2 x < 3 x - 8$ .

При

x = 3

знаменатель равен 0 — число не решение.

R01.4

Тип 2 · образец · верно при всех x

Докажите, что неравенство $x^{2} - 6 x + 10 > 0$ верно при любом $x$

x^{2} - 6 x + 10 = x^{2} - 6 x + 9 + 1

= (x - 3)^{2} + 1

(x - 3)^{2} \geq 0 \Rightarrow (x - 3)^{2} + 1 \geq 1 > 0

Ответ:

x

— любое число,

(- \infty; + \infty)

.

$y = (x - 3)^{2} + 1$ : весь график выше оси $x$ , наименьшее значение $1$

R01.4 · R01.5

Тип 2 · один квадрат — четыре ответа

Знак неравенства решает всё

$(x - 2)^{2} > 0$

$x \neq = 2$

$(x - 2)^{2} \geq 0$

$x$ — любое

$(x - 2)^{2} < 0$

решений нет

$(x - 2)^{2} \leq 0$

$x = 2$

R01.4

Тип 2 · ваша очередь

Решите неравенство: «всегда», «никогда» или «в одной точке»?

база $x^{2} + 9 \geq 6 x$
база $x^{2} - 8 x + 16 > 0$
повыш. $4 x - x^{2} > 4$
повыш. $x^{2} + 2 x + 1 \leq 0$
олимп. $∣ x - 1∣ + (x - 1)^{2} \leq 0$

Опора

$(\dots)^{2} \geq 0$

$∣ \dots ∣ \geq 0$

Сумма неотрицательных

= 0

\Leftrightarrow

каждое слагаемое

= 0

R01.4

Тип 3 · образец · множитель известного знака

Решите неравенство $x^{2} (x - 3) \geq 0$

x^{2} \geq 0

при любом

x

x = 0 : 0 \geq 0

— верно

x \neq = 0 : x^{2} > 0, x - 3 \geq 0

Ответ:

{0} \cup [3; + \infty)

R01.4

Тип 3 · ваша очередь

Решите неравенство и изобразите множество решений

база

$\frac{2 x - 1}{x ^{2} + 4} \geq 0$

повыш.

$(x + 4)^{2} (x - 1) < 0$

повыш.

$(x - 1)^{2} (x + 2) \leq 0$

повыш.

$\frac{x + 3}{( x - 2 ) ^{2}} \geq 0$

R01.4 · исследование

Тип 4 · образец · неравенство с параметром

Решите неравенство $a x > 3$ при всех значениях параметра $a$

R01.4 · исследование

Тип 4 · ваша очередь

Исследуйте неравенство с параметром

базаПри каких $a$ число 2 является решением неравенства $a x - 1 > 3$ ?
повыш.Решите $(a - 2) x \leq a - 2$ при всех $a$ .
повыш.Решите $(a + 1) x > a^{2} - 1$ при всех $a$ .
исслед.При каких $a$ неравенство $a x \geq 2 a$ верно при всех $x$ ?

План

1. Коэффициент при $x$

2. Случаи: $> 0$ , $= 0$ , $< 0$

3. Ответ по каждому случаю

R01.4

Задания с самопроверкой

Все четыре типа — база и повышенный уровень

базаЯвляется ли $x = - 1$ решением неравенства $\frac{x + 3}{x - 1} > - 2$ ? да
база $(x + 5)^{2} \leq 0$ $x = - 5$
база $x^{2} - 10 x + 25 > 0$ $x \neq = 5$
повыш. $\frac{3 - x}{x ^{2} + 2} > 0$ $(- \infty; 3)$
повыш. $x^{2} (x + 1) \leq 0$ $(- \infty; - 1] \cup {0}$
параметрПри каких $a$ неравенство $a x < a$ не имеет решений? $a = 0$

R01.4

Типичные ошибки

Найдите ошибку

$a x > 3$

$x > \frac{3}{a}$

только при $a > 0$ ; ещё случаи $a = 0$ , $a < 0$

$x^{2} (x - 3) \geq 0$

$x \geq 3$

потеряна точка $x = 0$

$(x - 2)^{2} > 0$

$x$ — любое

при $x = 2$ : $0 > 0$ — неверно, $x \neq = 2$

Граничные и «особые» точки проверяйте подстановкой.

R01.4

Закрепление · в классе

Решите

базаЯвляется ли число $- 3$ решением неравенства $\frac{x ^{2} - 1}{x + 2} < x$ ? да
базаНайдите наибольшее целое решение неравенства $5 (x - 1) \leq 2 x + 7$ . $4$
повыш.Решите неравенство $x^{2} + 6 x + 9 > 0$ . $x \neq = - 3$
повыш.Решите неравенство $(x - 3)^{2} (2 x + 5) \geq 0$ . $[- 2, 5; + \infty)$
параметрПри каких $a$ неравенство $(a - 3) x < a^{2} - 9$ не имеет решений? $a = 3$

3 мин · практика
Решают у доски по цепочке (по одному заданию), остальные — в тетрадях; ответ открывается по клику после разбора.
1) $\frac{9 - 1}{- 3 + 2} = \frac{8}{- 1} = - 8$ ; $- 8 < - 3$ — верно. Да, является.
2) $5 x - 5 \leq 2 x + 7$ , $3 x \leq 12$ , $x \leq 4$ . Ответ: 4.
3) $(x + 3)^{2} > 0$ — $x \neq = - 3$ : $(- \infty; - 3) \cup (- 3; + \infty)$ .
4) При $x = 3$ : $0 \geq 0$ — верно; иначе $2 x + 5 \geq 0$ , $x \geq - 2, 5$ . Точка 3 уже лежит в $[- 2, 5; + \infty)$ . Ответ: $[- 2, 5; + \infty)$ — ловушка: не нужно писать « $\cup {3}$ ».
5) $(a - 3) x < (a - 3) (a + 3)$ . При $a = 3$ : $0 < 0$ — решений нет; при $a \neq = 3$ решения есть ( $x < a + 3$ или $x > a + 3$ ). Ответ: $a = 3$ .

R01.4 · практика

Задача из жизни

Какое такси выбрать?

Тариф А

посадка 200 ₽ + 20 ₽ за каждый км

Тариф Б

без платы за посадку, 30 ₽ за каждый км

базаСколько км можно проехать по тарифу А, имея 600 ₽? не больше 20 км
повыш.При каких расстояниях тариф Б дешевле? меньше 20 км

R01.4

Формат ОГЭ · линия 13

Укажите неравенство, которое не имеет решений

1)

x^{2} - 49 > 0

2)

x^{2} + 49 > 0

3)

x^{2} + 49 < 0

4)

x^{2} - 49 < 0

x^{2} + 49 \geq 49 > 0

при любом

x

$y = x^{2} - 49$ $y = x^{2} + 49 > 0$

R01.4

Самостоятельная работа

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Является ли $x = 2$ решением $\frac{x + 4}{x - 3} < - 5$ ? да
$(x - 6)^{2} > 0$ $x \neq = 6$
$x^{2} (x - 2) \geq 0$ ${0} \cup [2; + \infty)$
При каких $a$ число 3 — решение $a x + 2 > 8$ ? $a > 2$

Вариант 2

Является ли $x = 4$ решением $\frac{x + 5}{x - 2} < - 5$ ? нет
$(x + 7)^{2} \leq 0$ $x = - 7$
$x^{2} (x + 3) < 0$ $(- \infty; - 3)$
При каких $a$ число $- 2$ — решение $a x - 1 \geq 5$ ? $a \leq - 3$

4 мин · практика
Варианты по партам: 3 мин работы, 1 мин — взаимопроверка в парах по ответам на слайде (открыть по клику).
Вариант 1: 1) $\frac{2 + 4}{2 - 3} = \frac{6}{- 1} = - 6$ ; $- 6 < - 5$ — верно, да. 2) $(x - 6)^{2} > 0$ — все, кроме 6. 3) $x = 0$ : $0 \geq 0$ — верно; при $x \neq = 0$ : $x - 2 \geq 0$ , $x \geq 2$ . Ответ: ${0} \cup [2; + \infty)$ . 4) $3 a + 2 > 8$ , $3 a > 6$ , $a > 2$ .
Вариант 2: 1) $\frac{4 + 5}{4 - 2} = \frac{9}{2} = 4, 5$ ; $4, 5 < - 5$ — неверно, нет. 2) квадрат $\leq 0$ только при $x + 7 = 0$ : $x = - 7$ . 3) $x = 0$ : $0 < 0$ — неверно, точку выкалываем; при $x \neq = 0$ : $x + 3 < 0$ , $x < - 3$ . Ответ: $(- \infty; - 3)$ (0 и так не входит). 4) $- 2 a - 1 \geq 5$ , $- 2 a \geq 6$ , делим на $- 2$ — знак меняется: $a \leq - 3$ .
Критерий: 4 верных — «5», 3 — «4», 2 — «3».

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему $x = 3$ не решение $\frac{x + 1}{x - 3} \leq 0$ ?
Когда $(x - a)^{2} \leq 0$ ?
Почему в $a x > 3$ три случая?

Домашнее задание

Какие из чисел $- 1; 0; 2; 4$ — решения $\frac{x - 2}{x + 1} \geq 0$ ?
Решите $x^{2} + 25 \leq 10 x$ .
Решите $(a + 2) x \geq 3$ при всех $a$ .
Тренажёр: reknow.ru/8/algebra/8_algebra_adv_neravenstva.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

ALG8U-017 · Практикум: Неравенство с переменной

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Алгебра», 8 класс
Строка, урок	R01 «Уравнения и неравенства: неравенства», 20 ч · урок 17/20 · тип П
Единицы → слайды	R01.4 «Неравенство с переменной» → 3–20 (теория: 4, 5, 7, 8, 10, 12; практика: 3, 6, 9, 11, 13–19)
Результаты	ПР-24 (применять свойства числовых неравенств, решать линейные неравенства с одной переменной, давать графическую иллюстрацию множества решений) → 3–19 · кодификатора REQ у курса нет
Виды деятельности	«Приводить примеры решений неравенств» → 4–6, 14, 16, 19 · «Определять равносильные неравенства» → 7–11, 14–17 · «Исследовать линейное неравенство с одной переменной с параметром» → 12–14, 16, 19
Вне урока	строгие и нестрогие неравенства (отдельно) — ALG8U-018; сложение и умножение неравенств — ALG8U-019; метод интервалов и квадратные неравенства — вне 8 класса (здесь только множитель известного знака)
Хронометраж	теория 14 мин · практика 31 мин (69 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: неравенство с переменной

Сегодня вы научитесь

Проверять решения

Видеть «всегда» и «никогда»

Упрощать неравенство

Исследовать параметр

Вычислите, решите, сравните

Решение неравенства — значение x, при котором получается верное числовое неравенство

Какие из чисел 0; 1; 2; 2,5; 4; 5 — решения неравенства x2−5x+4≤0?

Сначала область допустимых значений, потом подстановка

Докажите, что неравенство x2−6x+10>0 верно при любом x

Знак неравенства решает всё

Решите неравенство: «всегда», «никогда» или «в одной точке»?

Опора

Решите неравенство x2(x−3)≥0

Решите неравенство и изобразите множество решений

Решите неравенство ax>3 при всех значениях параметра a

Исследуйте неравенство с параметром

План

Все четыре типа — база и повышенный уровень

Найдите ошибку

ax>3

x2(x−3)≥0

(x−2)2>0

Решите

Какое такси выбрать?

Тариф А

Тариф Б

Укажите неравенство, которое не имеет решений

Два варианта · 4 задания

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

ALG8U-017 · Практикум: Неравенство с переменной

Решение неравенства — значение $x$ , при котором получается верное числовое неравенство

Какие из чисел 0; 1; 2; 2,5; 4; 5 — решения неравенства $x^{2} - 5 x + 4 \leq 0$ ?

Докажите, что неравенство $x^{2} - 6 x + 10 > 0$ верно при любом $x$

Решите неравенство $x^{2} (x - 3) \geq 0$

Решите неравенство $a x > 3$ при всех значениях параметра $a$

$a x > 3$

$x^{2} (x - 3) \geq 0$

$(x - 2)^{2} > 0$